【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：选修4－5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式 (含详解).ppt，共(42)页，498.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第一节绝对值不等式本节主要包括2个知识点：1.绝对值不等式的解法；2.绝对值三角不等式.选修4－5不等式选讲突破点(一)绝对值不等式的解法基础联通抓主干知识的“源”与“流”(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a

>0a＝0a<0|x|<ax|－a<x<a∅∅|x|>ax|x>a或x<－ax∈R|x≠0R(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔；②|ax

＋b|≥c⇔.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解．②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解．考点贯通抓高考命题的“形

”与“神”绝对值不等式的解法[典例]解下列不等式：(1)|2x＋1|－2|x－1|>0.(2)|x＋3|－|2x－1|<x2＋1.[解](1)法一：原不等式可化为|2x＋1|>2|x－1|，两边平方得4x2＋4x＋1>4(x2－2x＋1)，

解得x>14，所以原不等式的解集为x|x>14.法二：原不等式等价于x<－12，－2x＋1＋2x－1>0或－12≤x≤1，2x＋1＋2x－1>0或x>1，2x＋1－2x－1

>0.解得x>14，所以原不等式的解集为x|x>14.[解]①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<x2＋1，解得x<10，∴x<－3.②当－3≤x<12时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<x2＋1，解得x<－25，∴－3≤x<－25.(2)|

x＋3|－|2x－1|<x2＋1.③当x≥12时，原不等式化为(x＋3)＋(1－2x)<x2＋1，解得x>2，∴x>2.综上可知，原不等式的解集为x|x<－25或x>2.[方法技巧]绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a∈R＋，|x|<a⇔－a<x<a，

|x|>a⇔x<－a或x>a.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．能力练通抓应

用体验的“得”与“失”1．求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．解：不等式|x－1|－|x－5|<2等价于x<1，－x－1＋x－5<2或1≤x≤5，x－1＋x－5<2或x>5，x－1－x－5<2，即x<1，－4<2或1

≤x≤5，2x<8或x>5，4<2，故原不等式的解集为{x|x<1}∪{x|1≤x<4}∪∅＝{x|x<4}．2．解不等式x＋|2x＋3|≥2.解：原不等式可化为x<－32，－x－3≥2或x≥－32，3x＋3≥2.解得x≤－5或x≥－13.所以原不等

式的解集是x|x≤－5或x≥－13.3．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|

x－5|＝－3，x≤2，2x－7，2<x<5，3，x≥5.当2<x<5时，－3<2x－7<3，所以－3≤f(x)≤3.解：由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15即为x2－8x＋18

≤0，解集为空集；当2<x<5时，f(x)≥x2－8x＋15即为x2－10x＋22≤0，解集为{x|5－3≤x<5}；当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15即为x2－8x＋12≤0，解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为

{x|5－3≤x≤6}．(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．4.已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．解：(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋

2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．解：由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式可化为x≥a，x－a＋3x≤0或x<a，a－x＋3x≤0，即

x≥a，x≤a4或x<a，x≤－a2.结合a>0，解得x≤－a2，即不等式f(x)≤0的解集为x|x≤－a2.∵不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，∴－a2＝－1，故a＝2.(2)若不等式

f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．突破点(二)绝对值三角不等式基础联通抓主干知识的“源”与“流”绝对值三角不等式定理(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|

，当且仅当时，等号成立．ab≥0(a－b)(b－c)≥0考点贯通抓高考命题的“形”与“神”证明绝对值不等式[例1]已知x，y∈R，且|x＋y|≤16，|x－y|≤14，求证：|x＋5y|≤1.[证明]∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.∴由绝对值不等式

的性质，得|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×16＋2×14＝1.即|x＋5y|≤1.[方法技巧]证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值

的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明．(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．绝对值不等式的恒成立问题[例2]设函数f(x)＝x＋|x－a|.(1)当a＝2017时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|

x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．[解](1)由题意得，当a＝2017时，f(x)＝2x－2017，x≥2017，2017，x<2017.因为f(x)在[2017，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的

值域为[2017，＋∞)．[解]由g(x)＝|x＋1|，不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立，知|x＋1|＋|x－a|>2恒成立，即(|x＋1|＋|x－a|)min>2.而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|

，所以|1＋a|>2，解得a>1或a<－3.故a的取值范围为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]设函数f

(x)＝x＋1a＋|x－a|(a>0)．(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)<5，求a的取值范围．解：(1)证明：由a>0，有f(x)＝x＋1a＋|x－a|≥x＋1a－x－a＝1a＋a≥2.当且仅当a＝1时等号成立．所以f(

x)≥2.解：f(3)＝3＋1a＋|3－a|.当a>3时，f(3)＝a＋1a，由f(3)<5得3<a<5＋212.当0＜a≤3时，f(3)＝6－a＋1a，由f(3)<5得1＋52<a≤3.综上，a的取值范围是1＋52，5＋212.(2)若f(3)<5，

求a的取值范围．2．[考点二](2017·保定模拟)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|(a∈R)．(1)当a＝4时，求不等式f(x)≥5的解集；(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝4

时，不等式即为|x－1|＋|x－4|≥5，等价于x<1，－2x＋5≥5或1≤x≤4，3≥5或x>4，2x－5≥5，解得x≤0或x≥5，故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤0或x≥5}．解：因为f(x)＝|x－1|＋|x－a|≥|(x－1)－(x－a)|＝|a－1

|，所以f(x)min＝|a－1|，故|a－1|≥4，解得a≤－3或a≥5.故a的取值范围为(－∞，－3]∪[5，＋∞)．(2)若f(x)≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．3．[考点一]已知函数f(x)＝ax2＋x－a的定义域为[－1,1]．(

1)若f(0)＝f(1)，解不等式|f(x)－1|<ax＋34；(2)若|a|≤1，求证：|f(x)|≤54.解：(1)f(0)＝f(1)，即－a＝a＋1－a，则a＝－1，所以f(x)＝－x2＋x＋1，所以不等式化为|－x2＋x|<－x＋34，①

当－1≤x<0时，不等式化为x2－x<－x＋34，解得－32<x<0；②当0≤x≤1时，不等式化为－x2＋x<－x＋34，解得0≤x<12.综上，原不等式的解集为x|－32<x<12.解：证明：由已知x∈[－1,1],所以|x|≤1，又|a|≤

1，则|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x|＝－|x|－122＋54≤54.(2)若|a|≤1，求证：|f(x)|≤54.4．[考点一](2017·开封模拟)设函数f(x)＝|x－a|，

a<0.(1)证明：f(x)＋f－1x≥2；(2)若不等式f(x)＋f(2x)<12的解集非空，求a的取值范围．解：(1)证明：函数f(x)＝|x－a|，a<0，则f(x)＋f－1x＝|x－a|＋－1x－a＝|x－a|＋1x＋a≥

x－a＋1x＋a＝x＋1x＝|x|＋1|x|≥2|x|·1|x|＝2(当且仅当|x|＝1时取等号)．解：f(x)＋f(2x)＝|x－a|＋|2x－a|，a<0.当x≤a时，f(x)＋f(2x)＝a－x＋a－2x＝2a－3x，则f(x)＋f

(2x)≥－a；当a<x<a2时，f(x)＋f(2x)＝x－a＋a－2x＝－x，则－a2<f(x)＋f(2x)<－a；当x≥a2时，f(x)＋f(2x)＝x－a＋2x－a＝3x－2a，则f(x)＋f(2x)≥－a2，(

2)若不等式f(x)＋f(2x)<12的解集非空，求a的取值范围．则f(x)＋f(2x)的值域为－a2，＋∞，不等式f(x)＋f(2x)<12的解集非空，即为12>－a2，解得，a>－1，由于

a<0，则a的取值范围是(－1,0)．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|>1的解集．解：(1)由题意得f(x)＝x－4，x≤－1，3x－

2，－1<x≤32，－x＋4，x>32，故y＝f(x)的图象如图所示．解：由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.故f(x)>1的解集为{x|1<x<3}，f(x)<－1的解集为

xx<13或x>5.所以|f(x)|>1的解集为xx<13或1<x<3或x>5.(2)求不等式|f(x)|>1的解集．2．(2016·全国丙卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)

当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．解：当x∈R

时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥3，即x－a2＋12－x≥3－a2.又x－a2＋12－xmin＝12－a2，所

以12－a2≥3－a2，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞)．(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函

数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|

－1>0.当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；当－1<x<1时，不等式化为3x－2>0，解得23<x<1；当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为x23<x<2.解：由题设可得f(x)＝x－1－2a

，x<－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，x>a.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a－13，0，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.由题设

得23(a＋1)2>6，故a>2.所以a的取值范围为(2，＋∞)．(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|

，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；(2)设a＞－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)

化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝－5x，x＜12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x＞1.其图象如图所示．由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0.所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．解：当x

∈－a2，12时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈－a2，12都成立．故－a2≥a－2，即a≤43.从而a的取值范围是－1，43.(2)设a＞

－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．5．(2012·新课标全国卷)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．解：(1)

当a＝－3时，f(x)＝－2x＋5，x≤2，1，2＜x＜3，2x－5，x≥3.当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；当2＜x＜3时，f(x)≥3无解；当x≥3时，由f(x)≥3得2x－5≥3，解得x≥4；所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x

≥4}．解：f(x)≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|⇔4－x－(2－x)≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.由条件得－2－a≤1且

2－a≥2，即－3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．