【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第十章 统计与统计案例 第二节 统计案例 (含详解).ppt，共(51)页，939.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第二节统计案例本节主要包括2个知识点：1.回归分析；2.独立性检验.突破点(一)回归分析基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．变量间的相关关系(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种_____

____关系．(2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为_______，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为______．非确定性正相关负相关2．两个变量的线性相关

(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的_________附近，称两个变量之间具有_____________，这条直线叫做回归直线．(2)回归方程为y^＝b^x＋a^，其中b^＝______________

_，a^＝________.一条直线线性相关关系i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2y－－b^x－(3)通过求Q＝i＝1nyi－bxi－a2的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的

距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法．(4)相关系数：当r＞0时，表明两个变量_______；当r＜0时，表明两个变量_______．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性____；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间________________

________．通常|r|大于_____时，认为两个变量有很强的线性相关性．正相关负相关越强几乎不存在线性相关关系0.75考点贯通抓高考命题的“形”与“神”相关关系的判断[例1](1)下列四个散点图中，变量x与y之间具有负的线性相关关系的是()[解析]观察散点图可知，只有D选项的散点

图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系．[答案]D(2)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是()A．r2<r4<0<r3<r1B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r

2<0<r3<r1D．r2<r4<0<r1<r3[解析]由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知r2<r4<0<r3<r1.[答案]A[方法技巧]判断相关关系的两种方法(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本

点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强．线性回归分析1．求回归直线方程的步骤2．利用回归直线方程进行预测是对总体的估计，此估计值不是准确值．进行预测时，把自变量代入回归直

线方程即可对因变量进行估计．[例2](2017·山西四校联考)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地某银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：年份x20112012201320142015储蓄存款y(千亿元)567810为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2

010，z＝y－5得到下表2：时间代号t12345z01235(1)求z关于t的线性回归方程；(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；(3)用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？(附：对于线性回归方程y^＝b^x＋a^，其中b^＝i＝

1nxiyi－nx－y－i＝1nx2i－nx－2，a^＝y－－b^x－)[解](1)t－＝3，z－＝2.2，i＝15tizi＝45，i＝15t2i＝55，b^＝45－5×3×2.255－5×9＝1.2，a^＝z－－b^t－＝2.2

－1.2×3＝－1.4，∴z^＝1.2t－1.4.(2)将t＝x－2010，z＝y－5，代入＝1.2t－1.4，得y－5＝1.2(x－2010)－1.4，即＝1.2x－2408.4.(3)∵＝1.2×2020－2408.4＝15.6，∴预测到2020年年底，该地储蓄存款

额可达15.6千亿元．[方法技巧]1．回归直线方程中系数的两种求法(1)公式法：利用公式，求出回归系数b^，a^.(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(x－，y－)求系数．2．回归分析的两种策略(1)利用回归方程进

行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值．(2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数b^.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]两个变量的相关关系有①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图从左到右分别反映的变量间的相关关系

是()A．①②③B．②③①C．②①③D．①③②解析：第一个散点图中，散点图中的点是从左下角区域分布到右上角区域，则是正相关；第三个散点图中，散点图中的点是从左上角区域分布到右下角区域，则是负相关；第二个散点图中，散点图中的点的分布没有什么规律，则

是不相关，所以应该是①③②.答案：D2.[考点一]为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x轴，y轴的单位长度相同)，用回归直线方程y^＝b^x＋a^

近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A．线性相关关系较强，b^的值为1.25B．线性相关关系较强，b^的值为0.83C．线性相关关系较强，b^的值为－0.87D．线性相关关系较弱，无研究价值解析：由散点图可以看出两个变量所构成的点在一条直线附近，所以线性

相关关系较强，且应为正相关，所以回归直线方程的斜率应为正数，且从散点图观察，回归直线方程的斜率应该比y＝x的斜率要小一些，综上可知应选B.答案：B3.[考点一]四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.3

47x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D

．①④解析：正相关指的是y随x的增大而增大，负相关指的是y随x的增大而减小，故不正确的为①④.答案：D4.[考点二]已知x，y的取值如下表：x2345y2.23.85.56.5从散点图分析，y与x线性相关，且回归方程为y^＝1.46x＋a^，则实数a^

的值为________．解析：x＝2＋3＋4＋54＝3.5，y＝2.2＋3.8＋5.5＋6.54＝4.5，回归方程必过样本的中心点(x，y)．把(3.5,4.5)代入回归方程，计算得a^＝－0.61.答案：－0.615.[考点二]为了解某地区某种农产品的年产量x(

单位：吨)对价格y(单位：千元/吨)和年利润z的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：x12345y7.06.55.53.82.2(1)求y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；(2)若每吨该农产

品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z取到最大值？(保留两位小数)参考公式：b^＝i＝1nxi－x－yi－y－i＝1nxi－x－2＝i＝1nxiyi－nx－y－i＝1nx

2i－nx－2，a^＝y－－b^x－解：(1)由题知x－＝3，y－＝5，i＝15xiyi＝62.7，i＝15x2i＝55，b^＝i＝15xiyi－5x－y－i＝15x2i－5x－2＝62.7－5×3×555－5×3

2＝－1.23，＝－＝5－(－1.23)×3＝8.69，所以y关于x的线性回归方程为＝－1.23x＋8.69.(2)年利润z＝x(－1.23x＋8.69)－2x＝－1.23x2＋6.69x＝－1.23

x－6.692.462＋1.23×6.692.462即当x＝6.692.46≈2.72时，年利润z最大．突破点(二)独立性检验基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为

分类变量．2．列联表列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b

＋c＋dK2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d(其中n＝a＋b＋c＋d为_________)，可利用独立性检验判断表来判断“X与Y的关系”．样本容量考点贯通抓高考命题的“形”与“神”独立性检验的实际应用[典例](2017·沈阳模拟)为考查

某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为25.未发病发病总计未注射疫苗20xA注射疫苗30yB总计5050100(1)求2×2列联表中的数据x，y，A，B的值；[解]设“从所有

试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件A，由已知得P(A)＝y＋30100＝25，所以y＝10，则B＝40，x＝40，A＝60.(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否影响到了发病率？[解]未注射疫苗发病率为4060＝23≈0.67，注射疫苗发病率为1040＝1

4＝0.25.发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到了发病率．(3)能够有多大把握认为疫苗有效？附：K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，n＝a＋b＋c＋dP(K2≥k0)0.05

0.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828[解]K2＝100×20×10－40×30260×40×50×50＝503≈16.67>10.828.所以至少有99.9%的把握认为疫苗有效．[易错提醒](1)独立性检验的关键是正确列

出2×2列联表，并计算出K2的值．(2)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对它们是否有关系的判断．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．通过随机询问110名性别不同的行人，对过马路是愿意走斑马线还是愿意走人行天桥进行抽

样调查，得到如下所示的2×2列联表：男女总计走天桥402060走斑马线203050总计6050110由K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d，算得K2＝110×40×30－20×20260×50×60×5

0≈7.8.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别有关”B．有99%以上的把握认为“选择过马路的方式与性别无关”C．在犯错

误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“选择过马路的方式与性别无关”解析：由K2≈7.8.得P(K2≥6.635)＝0.01＝1－99%，所以有99%以上的把握认为“选择过马路

的方式与性别有关”．答案：A2．已知某班n名同学的数学测试成绩(单位：分，满分100分)的频率分布直方图如图所示，其中a，b，c成等差数列，且成绩在[90,100]内的有6人．(1)求n的值；(2)规定60分以下为不及格，若不及格的人中女

生有4人，而及格的人中，男生比女生少4人，借助独立性检验分析是否有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”？附：P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879K2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d解：

(1)依题意得100.035＋0.025＋c＋2b＋a＝1，2b＝a＋c，解得b＝0.01.因为成绩在[90,100]内的有6人，所以n＝60.01×10＝60.(2)规定60分以下为不及格，若不及格的人中女生有4人，而及格

的人中，男生比女生少4人，借助独立性检验分析是否有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”？(2)由于2b＝a＋c，而b＝0.01，可得a＋c＝0.02，则不及格的人数为0.02×10×60＝12，及格的人数为60－12＝48，设及格的人中，女生有x人

，则男生有x－4人，于是x＋x－4＝48，解得x＝26，故及格的人中，女生有26人，男生有22人．于是本次测试的及格情况与性别的2×2列联表如下：及格不及格总计男22830女26430总计481260结

合列联表计算可得K2＝60×22×4－8×26230×30×48×12＝1.667<2.706，故没有90%的把握认为“本次测试的及格情况与性别有关”．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国丙卷)

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理

量．参考数据：i＝17yi＝9.32，i＝17tiyi＝40.17,i＝17yi－y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r＝i＝1nti－tyi－yi＝1nti－t2i＝1nyi－y2，回归方

程y^＝a^＋b^t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^＝i＝1nti－tyi－yi＝1nti－t2，a^＝y－b^t.解：(1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得t＝4，i＝17(ti－t)2＝28,i＝17yi－y2＝0.55，i＝17(ti－t

)(yi－y)＝i＝17tiyi－ti＝17yi＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．解：由y＝9.327≈1.331及(1)得b^

＝i＝17ti－tyi－yi＝17ti－t2＝2.8928≈0.103.a^＝y－b^t≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y关于t的回归方程为y^＝0.92＋0.10t.将2016年对应的t＝9代入回归方程得y^＝0.92＋0.10×9＝1.8

2.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和

年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，„，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xywi＝18(xi－x)2i＝18(wi－w)2i＝18(xi－x)(yi－y)i＝18(wi－w)(yi

－y)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝xi，w＝18i＝18wi.(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dx哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1

)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最

大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，„，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝i＝1nui－uvi－vi＝1nui－u2，α^＝v－β^u.解：(1)由散点图可以判断，y＝c＋dx适宜作为年销售量y

关于年宣传费x的回归方程类型．解：令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程．由于d^＝i＝18wi－wyi－yi＝18wi－w2＝108.81.6＝68，c^＝y－d^w＝563－68×6.8＝100.6，所以y关于w的线性回归方程y^＝100.

6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程．解：①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值y^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z的预报值z^＝576.6×0.2

－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z的预报值z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.所以当x＝13.62＝6.8，即x＝46.24时，z^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．(3)已知这种产品

的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)某地区2

007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位：千元)的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9(1

)求y关于t的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b^＝i＝1nti－tyi－yi＝1nt

i－t2，a^＝y－b^t解：(1)由所给数据计算得t＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，i＝17(ti－t)2＝9＋4＋

1＋0＋1＋4＋9＝28，(1)求y关于t的线性回归方程；i＝17(ti－t)(yi－y)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b^＝i

＝17ti－tyi－yi＝17ti－t2＝1428＝0.5，a^＝y－b^t＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y^＝0.5t＋2.3.解：由(1)知，b^＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增

加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t＝9代入(1)中的回归方程，得y^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．(2)利用(1)中的回归方程，

分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．