【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第六章 数列 第二节 等差数列及其前n项和 (含详解).ppt，共(45)页，534.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第二节等差数列及其前n项和本节主要包括3个知识点：1.等差数列的性质及基本量的计算；2.等差数列前n项和及性质的应用；3.等差数列的判定与证明.突破点(一)等差数列的性质及基本量的计算基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一

个数列从起，每一项与它的前一项的都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是__________，其中A叫做a，b的．第2项an＋1－an＝d差等差中项A＝a＋b22．等

差数列的有关公式(1)通项公式：an＝.(2)前n项和公式：Sn＝_______________＝__________.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且

k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为.a1＋(n－1)d(n－m)dam＋an2dna1＋nn－12dna1＋an2(4)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，

ak＋m，ak＋2m，„(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(5)若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.考点贯

通抓高考命题的“形”与“神”差数列的基本运算[例1](1)(2016·东北师大附中摸底考试)在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为()A．1B．2C．3D．4(2)(2016·惠州调研)已知等差数列{an}的前

n项和为Sn，若S3＝6，a1＝4，则公差d等于()A．1B.53C．－2D．3[解析](1)∵a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5，则公差d＝a4－a3＝2，故选B.(2)由S3＝3a1＋a32＝6，且a1＝4，得a3＝0，则d＝a3－a13－1

＝－2，故选C.[答案](1)B(2)C[方法技巧]1．等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知

其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．[方法技巧]2．等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a－d，a，a＋d；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数

列的定义进行对称设元．等差数列的性质[例2](1)在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝()A．18B．99C．198D．297(2)已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b

6＝________.[解析](1)因为a3＋a9＝27－a6,2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝112(a1＋a11)＝11a6＝99.(2)因为{an}，{bn}都是等差数列，所

以2a3＝a1＋a5,2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.[答案](1)B(2)21能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有

如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱

？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为()A.54钱B.53钱C.32钱D.43钱解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意有2a1＋d＝3a1＋9d，2a1＋d＝52，解得a1＝43，d＝－16，即甲得43钱，故选D.

答案：D2.[考点一]设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝()A．5B．6C．7D．8解析：由题意知Sn＋2－Sn＝an＋1＋an＋2＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋2(2n＋1)＝36，解得n＝

8.答案：D3.[考点二]已知数列{an}为等差数列，且a1＋a7＋a13＝π，则cos(a2＋a12)的值为()A．32B．－32C．12D．－12解析：在等差数列{an}中，因为a1＋a7＋a13＝π，所以a7＝π3，所以a2＋a12＝2π3，所以cos(a2＋a12)＝－12.故选

D.答案：D4.[考点一]设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知，得a12＝a1＋11

d＝－8，S9＝9a1＋9×82d＝－9，解得a1＝3，d＝－1.所以S16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.答案：－725.[考点二]设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36

，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，求数列{an}的项数及a9＋a10.解：由题意知a1＋a2＋„＋a6＝36，①an＋an－1＋an－2＋„＋an－5＝180，②①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋„＋(a6＋a

n－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，又Sn＝na1＋an2＝324，∴18n＝324，∴n＝18.∵a1＋an＝36，n＝18，∴a1＋a18＝36，从而a9＋a10＝a1＋a18＝36.突破

点(二)等差数列前n项和及性质的应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”等差数列前n项和的性质(1)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.(2)S2n－1＝(2n－1)an，S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋a

n＋1)．(3)当项数为偶数2n时，S偶－S奇＝nd；项数为奇数2n－1时，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)．(4){an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则anbn＝S2n－1T2n

－1.(5)若{an}是等差数列，则Snn也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的12.考点贯通抓高考命题的“形”与“神”等差数列前n项和的性质[例1]已知{an}为等差数列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝

10，则a19＋a20＋a21＝________.[解析]法一：设数列an的公差为d，则a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12

d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20.法二：由等差数列的性质，可知S3，S6－S3，S9－S6，„，S21－S18成等差数列，设此数列公差为D.所以5＋2D＝10，所以D＝52.所以a19＋a20＋a21＝S21－

S18＝5＋6D＝5＋15＝20.[答案]20等差数列前n项和的最值[例2]等差数列{an}的首项a1>0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？[解]设等差数列{an}的公差为d，由S5＝S12得5a1＋10d＝12a1＋66d，d＝－18a1<0.法一

：Sn＝na1＋nn－12d＝na1＋nn－12·－18a1＝－116a1(n2－17n)＝－116a1n－1722＋28964a1，因为a1>0，n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．法二：设此数列的前n项

和最大，则an≥0，an＋1≤0，即a1＋n－1·－18a1≥0，a1＋n·－18a1≤0，解得n≤9，n≥8，即8≤n≤9，又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．法三：由于Sn＝na1＋nn－12d＝d2n2＋

a1－d2n，设f(x)＝d2x2＋a1－d2x，则函数y＝f(x)的图象为开口向下的抛物线，由S5＝S12知，抛物线的对称轴为x＝5＋122＝172(如图所示)，由图可知，当1≤n≤8时，Sn单调递增；当n≥

9时，Sn单调递减．又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn最大．[方法技巧]求等差数列前n项和Sn最值的三种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解．(2)邻

项变号法：①a1>0，d<0时，满足am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.[方法技巧](3)通项公式法：求使an≥0(an

≤0)成立时最大的n值即可．一般地，等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，则：①若p＋q为偶数，则当n＝p＋q2时，Sn最大；②若p＋q为奇数，则当n＝p＋q－12或n＝p＋q＋12时，Sn最大．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]在等差数

列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为()A．S15B．S16C．S15或S16D．S17解析：∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋10×92d＝20a1＋20×192d，解得d＝－2，∴Sn＝29

n＋nn－12×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.∴当n＝15时，Sn取得最大值．答案：A2.[考点二]设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若a8a7＜

－1，则()A．Sn的最大值是S8B．Sn的最小值是S8C．Sn的最大值是S7D．Sn的最小值是S7解析：由(n＋1)Sn＜nSn＋1得(n＋1)na1＋an2＜nn＋1a1＋an＋12，整理得an＜an＋1，所以等

差数列{an}是递增数列，又a8a7＜－1，所以a8＞0，a7＜0，所以数列{an}的前7项为负值，即Sn的最小值是S7.答案：D3.[考点一]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.解

析：∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，∴S30－30＝20×2－10＝30，∴S30＝60.答案：604.[考点一]已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项

和分别为An和Bn，且AnBn＝7n＋45n＋3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是________．解析：由等差数列前n项和的性质知，anbn＝A2n－1B2n－1＝14n＋382n＋2＝7n＋19n＋1＝7＋1

2n＋1，故当n＝1,2,3,5,11时，anbn为整数，故使得anbn为整数的正整数n的个数是5.答案：55.[考点一]一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d＝________.解析：设等差数列的前12项中奇数项的和

为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得S奇＋S偶＝354，S偶∶S奇＝32∶27，解得S偶＝192，S奇＝162.又S偶－S奇＝6d，所以d＝192－1626＝5.答案：5突破点(三)等差数列的判定与证明基础联通抓主干知识的“

源”与“流”等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列等差中项法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列解答题中的证明问题通项公式法an

＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列前n项和公式法验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题考点贯通抓高考命题的“

形”与“神”等差数列的判定与证明[典例]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N*)，a1＝12，判断{an}是否为等差数列，并说明你的理由．[解]因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0，所以Sn－Sn－1＋2

SnSn－1＝0(n≥2)．所以1Sn－1Sn－1＝2(n≥2)．又S1＝a1＝12，所以1Sn是以2为首项，2为公差的等差数列．所以1Sn＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝12n.所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－1

2n－1＝－12nn－1，所以an＋1＝－12nn＋1，而an＋1－an＝－12nn＋1－－12nn－1＝－12n1n＋1－1n－1＝1nn－1n＋1.所以当n≥2时，an＋1－an的

值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是等差数列．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是()A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列解析

：令bn＝a2n－1＋2a2n，则bn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，故bn＋1－bn＝a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2d＋4d＝6d＝6×1＝6.即{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差

数列．答案：C2．已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－1an－1(n≥2，n∈N*)，设bn＝1an－1(n∈N*)．求证：数列{bn}是等差数列．证明：∵an＝2－1an－1，∴an＋1＝2－1an.∴bn＋1－bn＝1an＋1

－1－1an－1＝12－1an－1－1an－1＝an－1an－1＝1，∴{bn}是首项为b1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．3．已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a

2＋a5＝22.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列bn满足bn＝Snn＋c，是否存在非零实数c使得{bn}为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵数列an为等差数列，∴a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，∴a3，a4

是方程x2－22x＋117＝0的两实根，又公差d＞0，∴a3＜a4，∴a3＝9，a4＝13，∴a1＋2d＝9，a1＋3d＝13，解得a1＝1，d＝4.∴数列{an}的通项公式为an＝4n－3.(2)由(1)知a1＝

1，d＝4，∴Sn＝na1＋nn－12×d＝2n2－n，∴bn＝Snn＋c＝2n2－nn＋c，∴b1＝11＋c，b2＝62＋c，b3＝153＋c，其中c≠0.∵数列bn是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，即

62＋c×2＝11＋c＋153＋c，∴2c2＋c＝0，∴c＝－12或c＝0(舍去)，故c＝－12.即存在一个非零实数c＝－12，使数列{bn}为等差数列．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a1

0＝8，则a100＝()A．100B．99C．98D．97解析：∵{an}是等差数列，设其公差为d，∴S9＝92(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.又∵a10＝8，∴a1＋4d＝3，a1＋9d＝8，∴

a1＝－1，d＝1.∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C.答案：C2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()A.172B.192C．10D．12解析：∵数列{an}的公差为1，

∴S8＝8a1＋8×8－12×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝12，∴a10＝a1＋9d＝12＋9＝192.答案：B3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}

的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝()A．3B．4C．5D．6解析：由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1，由am＝a1＋m－1d

＝2，Sm＝a1m＋12mm－1d＝0，得a1＋m－1＝2，a1m＋12mm－1＝0，解得a1＝－2，m＝5，选C.答案：C4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________

．解析：由已知S10＝10a1＋10×92d＝0，S15＝15a1＋15×142d＝25，解得a1＝－3，d＝23，则nSn＝n2a1＋n2n－12d＝n33－10n23.由于函数f(x)＝x33－1

0x23在x＝203处取得极小值，因而检验n＝6时，6S6＝－48，而n＝7时，7S7＝－49<6S6，所以当n＝7时，nSn取最小值，最小值为－49.答案：－495．(2016·全国甲卷)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过

x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{bn}的前1000项和．解：(1)设数列{an}的公差为d，由已知得7＋21d＝28，解得d＝1.所以数列{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]

＝1，b101＝[lg101]＝2.(2)因为bn＝0，1≤n＜10，1，10≤n＜100，2，100≤n＜1000，3，n＝1000，所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.6．(2014·新课标全国卷Ⅰ)

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1.两式相减得

an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等

差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，则an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．