【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第六章 数列 第三节 等比数列及其前n项和 (含详解).ppt，共(46)页，575.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第三节等比数列及其前n项和本节主要包括3个知识点：1.等比数列基本量的计算；2.等比数列的性质；3.等比数列的判定与证明.突破点(一)等比数列基本量的计算基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第__项起，每一项与它的前一项的比等于

(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的，通常用字母q表示，定义的表达式为_______.(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中

项⇔a，G，b成等比数列⇒.2同一常数公比an＋1an＝qGG2＝ab2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝.(2)前n项和公式：Sn＝，q＝1，_________＝________，q≠1.3．运用方程的思想求解等比数列的基本量(1)若已知n，a

n，Sn，先验证q＝1是否成立，若q≠1，可以通过列方程(组)an＝a1qn－1，Sn＝a11－qn1－q，求出关键量a1和q，问题可迎刃而解．a1qn－1na1a11－qn1－qa1－anq1－q(2)若已知数列{

an}中的两项an和am，可以利用等比数列的通项公式，得到方程组an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，计算时两式相除可先求出q，然后代入其中一式求得a1，进一步求得Sn.另外，还可以利用公式an＝am·qn－m直接求得q，可减少运算量．考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求首项

a1，公比q或项数n[例1](1)(2017·太原模拟)已知等比数列{an}单调递减，若a3＝1，a2＋a4＝52，则a1＝()A．2B．4C.2D．22[解析]设等比数列{an}的公比为q，q>0，则a23＝

a2a4＝1，又a2＋a4＝52，且{an}单调递减，所以a2＝2，a4＝12，则q2＝14，q＝12，所以a1＝a2q＝4，故选B.[答案]B[解析]根据已知条件得a1q2＝7，a1＋a1q＋a1q2＝2

1，消去a1得1＋q＋q2q2＝3，整理得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－12.[答案]C(2)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项之和S3＝21，则公比q的值为()A．1B．－12C．1或－12D．－1或12求通项或特定项[例2](1)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a

8＝a6＋2a4，则a6的值是________．(2)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.[解析](1)设等比数列{an}的公比为q，q>0，则a8＝a6＋2a4即为a4q4

＝a4q2＋2a4，解得q2＝2(负值舍去)，又a2＝1，所以a6＝a2q4＝4.(2)由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1，所以等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝4n－1.[答案]

(1)4(2)4n－1[方法技巧]求等比数列通项公式的方法与策略求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用an＝a1qn－1求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形an＝amqn－m可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列设项问题，常用的设

项方法为：(1)通项法设数列的通项公式an＝a1qn－1(n∈N*)来求解．[方法技巧](2)对称设元法与有穷等差数列设项方法类似，有穷等比数列设项也要注意对称设元．一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为„，xq，x，xq，„；连续偶数个

项成等比数列，可设为„，xq3，xq，xq，xq3，„(注意：此时公比q2>0，并不适合所有情况)．这样既可以减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．求等比数列的前n项和[例3]设数列{an}的前n项和Sn满足6Sn＋1＝9an(n∈N*)．(1)求数列{a

n}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝1an，求数列{bn}的前n项和Tn.[解](1)当n＝1时，由6a1＋1＝9a1，得a1＝13.当n≥2时，由6Sn＋1＝9an，得6Sn－1＋1＝9an－1，两式相减

得6(Sn－Sn－1)＝9(an－an－1)，即6an＝9(an－an－1)，所以an＝3an－1.所以数列{an}是首项为13，公比为3的等比数列，其通项公式为an＝13×3n－1＝3n－2.[解]因为bn＝1an＝13n－2，所以{bn}是首项为

3，公比为13的等比数列，所以Tn＝b1＋b2＋„＋bn＝31－13n1－13＝92[1－13n](2)若数列{bn}满足bn＝1an，求数列{bn}的前n项和Tn.能力练通抓应用体验的“得”与“

失”1.[考点二]已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝()A．4×32nB．4×32n－1C．4×23nD．4×23n－1解析：由题意得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，

故a1＝4，a2＝6，所以q＝32，则an＝4×32n－1.答案：B2.[考点一]已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a1·a3＝4，a4＝8，则a1＋q的值为()A．3B．2C．3或－2D．3或－3解析：由a1·a3＝4，a4＝8，得a21q2＝4，a1q3＝8，解

得q＝±2.当q＝2时，a1＝1，此时a1＋q＝3；当q＝－2时，a1＝－1，此时a1＋q＝－3.故选D.答案：D3．[考点二、三](2017·唐山模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a

3＝52，a2＋a4＝54，则Snan＝()A．4n－1B．4n－1C．2n－1D．2n－1解析：设{an}的公比为q，∵a1＋a3＝52，a2＋a4＝54，∴a1＋a1q2＝52，①a1q＋a1q3＝54，②由①②可得1＋q2q＋q3＝2，∴q＝12，将q＝

12代入①得a1＝2，∴an＝2×12n－1＝42n，Sn＝2×1－12n1－12＝41－12n，∴Snan＝41－12n42n＝2n－1，选D.答案：D4．[考点三](2

017·枣庄模拟)已知等比数列{an}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是()A．(－∞，－1]B．(－∞，0)∪(1，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：设等比数列{an}的公比为q，则S3＝a1＋a2＋a3＝a2

1＋q＋1q＝1＋q＋1q，当q>0时，S3＝1＋q＋1q≥1＋2q·1q＝3(当且仅当q＝1时取等号)；当q<0时，S3＝1－－q－1q≤1－2－q·－1q＝－1(当且仅当q＝－1时取等号)．所以S3∈(－

∞，－1]∪[3，＋∞)，故选D.答案：D5.[考点二、三]已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．(1)求an及Sn；(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a

4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.解：(1)因为{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.故Sn＝na1＋an2＝n1＋2n－12＝n2.解：由(1)得a4＝7，S4＝16.因为q2

－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，所以(q－4)2＝0，从而q＝4.又b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，所以bn＝b1qn－1＝2·4n－1＝22n－1.从而{bn}的前n项和Tn＝b11－q

n1－q＝23(4n－1)．(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.突破点(二)等比数列的性质基础联通抓主干知识的“源”与“流”(1)通项公式的推广：an

＝am·(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝＝.(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn(λ≠0)仍然是等比数列．qn－map

·aqa2k(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，„为等比数列，公比为qk.(5)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为.qn考点贯通

抓高考命题的“形”与“神”等比数列项的性质[例1](1)(2017·广州综合测试)已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为()A．10B．20C．100D．200[解析](1)a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a

3＋a3a9＝a24＋2a4a6＋a26＝(a4＋a6)2＝102＝100.[答案]C[解析]因为1a7＋1a10＝a7＋a10a7a10，1a8＋1a9＝a8＋a9a8a9，由等比数列的性质知a7a10＝a8a9，所以1a7＋1a8＋1a9＋1a10＝

a7＋a8＋a9＋a10a8a9＝158÷－98＝－53.[答案]－53(2)(2017·石家庄模拟)在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝158，a8a9＝－98，则1a7＋1a8＋1a9＋1a10＝________.[易错提醒]在应用等比数列的性质解题时，要注意

性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．等比数列前n项和的性质[例2](1)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于()A.18B．－18C.5

78D.558[解析]因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，在等比数列中S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以有8(S9－S6)＝1，则S9－S6＝18，即a7＋a8＋a9＝18.[答案]A[解析]由S10S5＝3132，a1＝－1知公比q≠－1，S10－S

5S5＝－132.由等比数列前n项和的性质知S5，S10－S5，S15－S10成等比数列，且公比为q5，故q5＝－132，q＝－12.[答案]－12(2)等比数列{an}的首项a1＝－1，前n项和为Sn，若S10S5＝3132，则公比q＝________.

能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]在等比数列{an}中，a3和a5是二次方程x2＋kx＋5＝0的两个根，则a2a4a6的值为()A．±55B．55C．－55D．25解析：由根与系数的关系，得a3a5＝5，又因为a24＝a

2a6＝a3a5＝5，所以a4＝±5，所以a2a4a6＝±55.答案：A2.[考点一]等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝()A．31B．36C．42D．48解析：由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，

于是由a3＋a5＝20，a3a5＝64，且an>0，q>1，得a3＝4，a5＝16，所以a1q2＝4，a1q4＝16，解得a1＝1，q＝2.所以S5＝1×1－251－2＝31，故选A.答案

：A3.[考点二]已知各项均为实数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝10，S30＝70，则S40＝()A．150B．140C．130D．120解析：在等比数列{an}中，由S10＝10，S30＝70可知q≠－1，所以S10，S20－S10，S30－S20，S40

－S30构成公比为q′的等比数列．所以(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，即(S20－10)2＝10·(70－S20)，解得S20＝30(负值舍去)．所以S20－S10S10＝30－1010＝2＝q′，所以S40－S30＝2(S30－S20)＝80，S40＝S30＋80＝15

0.答案：A4.[考点一](2017·兰州诊断)数列{an}的首项为a1＝1，数列{bn}为等比数列且bn＝an＋1an，若b10b11＝2017110，则a21＝________.解析：由bn＝an＋1an，且a1＝1，得b1＝a2a1＝a2.b2＝a3a2，a3＝a2b2＝b1b

2.b3＝a4a3，a4＝a3b3＝b1b2b3，„，an＝b1b2„bn－1，所以a21＝b1b2„b20.因为数列{bn}为等比数列，所以a21＝(b1b20)(b2b19)„(b10b11)＝(b10b11)1

0＝201711010＝2017.答案：2017突破点(三)等比数列的判定与证明基础联通抓主干知识的“源”与“流”等比数列的四种常用判定方法定义法若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列中项公

式法若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k

(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列能力练通抓应用体验的“得”与“失”等比数列的判定与证明[典例]设数列an的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝32，a3＝54，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－

1.(1)求a4的值；[解]当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即41＋32＋54＋a4＋51＋32＝81＋32＋54＋1，解得a4＝78.[解]证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4

Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．∵4a3＋a1＝4×54＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1，(2)证明：an＋1－12an为等比数列．∴an＋2－12an＋1an＋1－12an＝4an＋2－2

an＋14an＋1－2an＝4an＋1－an－2an＋14an＋1－2an＝2an＋1－an22an＋1－an＝12，∴数列an＋1－12an是以a2－12a1＝1为首项，12为公比的等比数列．[

易错提醒](1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．对任意等比数列

{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列解析：由等比数列的性质得，a3·a9＝a26≠0，因此a3，a6，

a9一定成等比数列，选D.答案：D2．在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，„”是“{an}是公比为2的等比数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当an＝0时，也有an＝2an－1，

n＝2,3,4，„，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有anan－1＝2，n＝2,3,4，„，即an＝2an－1，n＝2,3,4，„，所以必要性成立．故选B.答案：B3．已知一列非零向量an满足a1＝(x1，y1)，an＝(xn，

yn)＝12(xn－1－yn－1，xn－1＋yn－1)(n≥2，n∈N*)，则下列命题正确的是()A．{|an|}是等比数列，且公比为22B．{|an|}是等比数列，且公比为2C．{|an|}是等差数列，且公差为22D．{|an|}是等差数列，且公差为2解析：∵|an|＝12xn－1－

yn－12＋xn－1＋yn－12＝22·x2n－1＋y2n－1＝22|an－1|(n≥2，n∈N*)，|a1|＝x21＋y21≠0，|an||an－1|＝22为常数，∴{|an|}是等比数列，且公比为22，选A.答案：A4．已知数列{an}的前n

项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．证明：∵an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，∴bn＋1bn＝an＋2－2an＋1an＋1－2an＝4an＋1－4an－2an＋

1an＋1－2an＝2an＋1－4anan＋1－2an＝2.∵S2＝a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝5.∴b1＝a2－2a1＝3.∴数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2015·

新课标全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84解析：∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.∴1＋

q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.答案：B2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(

)A.13B．－13C.19D．－19解析：由题知q≠1，则S3＝a11－q31－q＝a1q＋10a1，得q2＝9，又a5＝a1q4＝9，则a1＝19，故选C.答案：C3．(2016·全国乙卷)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2„an的最大值

为________．解析：设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝12.又a1＋a1q2＝10，所以a1＝8.故a1a2„an＝an1q1＋2＋„＋(n－1)＝23n·1212nn－－＝

23n－n22＋n2＝2－n22＋72n.记t＝－n22＋7n2＝－12(n2－7n)＝－12n－722＋498，结合n∈N*可知n＝3或4时，t有最大值6.又y＝2t为增函数，从而a1a2

„an的最大值为26＝64.答案：644．(2016·全国丙卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝3132，求λ.解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋

λa1，故λ≠1，a1＝11－λ，故a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以an＋1an＝λλ－1.因此

{an}是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是an＝11－λλλ－1n－1.解：由(1)得Sn＝1－λλ－1n.由S5＝3132得1－λλ－15＝3132，即λλ－15＝132.解得λ＝－1.(2)若S5

＝3132，求λ.