【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示 (含详解).ppt，共(42)页，531.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第一节数列的概念与简单表示本节主要包括2个知识点：1.数列的通项公式；2.数列的单调性.第六章数列突破点(一)数列的通项公式基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．数列的定义按照排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和它的序号有

关，排在第一位的数称为这个数列的第一项(通常也叫做首项)．2．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．一定顺序项序号n3．数列的递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项)

，且任何一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，即an＝f(an－1)(或an＝f(an－1，an－2)等)，那么这个式子叫做数列{an}的递推公式．4．Sn与an的关系已知数列{an}

的前n项和为Sn，则an＝，n＝1，，n≥2，这个关系式对任意数列均成立．S1Sn－Sn－1考点贯通抓高考命题的“形”与“神”由数列的前几项求数列的通项公式[例1]写出下面各数列的一个通项公式：

(1)3,5,7,9，„；(2)12，34，78，1516，3132，„；[解](1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，„，所以an＝2n－12n.[解]奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因式(

－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，„；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为an＝－1n，n为正奇数，

3n，n为正偶数.(3)－1，32，－13，34，－15，36，„；[解]将数列各项改写为93，993，9993，99993，„，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，„，所以an＝13(10n－1)．(4)

3,33,333,3333，„.[方法技巧]由数列的前几项求通项公式的思路方法给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系，主

要从以下几个方面来考虑：(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系．[方法技巧](2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控．(3)熟悉一

些常见数列的通项公式．(4)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳

．利用an与Sn的关系求通项[例2]已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；[解]a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，所以{an}

的通项公式为an＝4n－5.[解]a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2×3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式．当b≠－1时，a1不适合此等式．所以当b

＝－1时，an＝2×3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2×3n－1，n≥2.(2)Sn＝3n＋b.[方法技巧]已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1

(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．利用递推关系求通项[例3](1)已知数列{an}满足a1＝12，an＋1＝an＋1n2＋n，则

an＝________；[解析]由条件知an＋1－an＝1n2＋n＝1nn＋1＝1n－1n＋1，则(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋„＋(an－an－1)＝1－12＋12－13

＋13－14＋„＋1n－1－1n，即an－a1＝1－1n，又∵a1＝12，∴an＝1－1n＋12＝32－1n.[答案]32－1n[解析]由an＋1＝nn＋1an(an≠0)，得an＋

1an＝nn＋1，故an＝anan－1·an－1an－2·„·a2a1·a1＝n－1n·n－2n－1·„·12·23＝23n.[答案]23n(2)若数列{an}满足a1＝23，an＋1＝nn＋1an，则通项an＝________；[解析]设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an

＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，则t＝－3.故an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，bn≠0，且bn＋1bn＝an＋1＋3an＋3＝2.所以{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列．所以bn＝4×2n－1＝2n＋1，即a

n＝2n＋1－3.[答案]2n＋1－3(3)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋3，则an＝________；[解析]∵an＋1＝2anan＋2，a1＝1，∴an≠0，∴1an＋1＝1an＋12，即1an＋1－1an＝12，又a1＝1，则1a1＝1，∴1an是以1为首项，

12为公差的等差数列．∴1an＝1a1＋(n－1)×12＝n2＋12，∴an＝2n＋1.[答案]2n＋1(4)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2anan＋2，则an＝________.[方法技巧]由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“

累加法”求an.(2)已知a1且anan－1＝f(n)，可用“累乘法”求an.(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，则an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为等比数列{an＋k}．[方法技巧](4)形如an＋1＝AanB

an＋C(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．(5)形如an＋1＋an＝f(n)的数列，可将原递推关系改写成an＋2＋an＋1＝f(n＋1)，两式相减即得an＋2－an＝f(n＋1)－f(n)，然后按奇偶分类讨论即可．能力练

通抓应用体验的“得”与“失”1.已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝0，n为奇数，1，n为偶数，②an＝1＋－1n2，③an＝1＋cosnπ2，④an＝sinnπ2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，„的通项公式的是()A．①②③B．①②④

C．②③④D．①③④解析：检验知①②③都是所给数列的通项公式．答案：A[考点一]2．数列1，－58，715，－924，„的一个通项公式是()A．an＝(－1)n＋12n－1n2＋n(n∈N*)B．an＝(－1)n－12n＋1n3＋3n

(n∈N*)C．an＝(－1)n＋12n－1n2＋2n(n∈N*)D．an＝(－1)n－12n＋1n2＋2n(n∈N*)解析：所给数列各项可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，„，通过对比各选项

，可知选D.答案：D[考点一]3．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为()A．an＝2n－3B．an＝2n＋3C．an＝1，n＝1，2n－3，n≥2D．an＝

1，n＝1，2n＋3，n≥2解析：当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1时a1的值不适合n≥2的解析式，故{an}的通项公式为an＝1，n

＝1，2n－3，n≥2.答案：C[考点二]4.[考点三]设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1，求数列{an}的通项公式．解：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，„，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式

相加，得an－a1＝2＋3＋„＋n＝n－12＋n2＝n2＋n－22.又∵a1＝1，∴an＝n2＋n2(n≥2)．∵当n＝1时也满足此式，∴an＝n2＋n2(n∈N*)．5.[考点三]若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，

求数列{an}的通项公式．解：由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋„＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.又因为当n＝1时满足此式，所以an＝2n－1.突破点(二)数列

的单调性基础联通抓主干知识的“源”与“流”数列的分类分类标准类型满足条件有穷数列项数按项数分类无穷数列项数有限无限分类标准类型满足条件按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1an其中n∈N*递减数列an＋1an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数

列存在正数M，使|an|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项＞＜考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用数列的单调性研究最值问题[例1]已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ>0，且λa1an＝S1＋Sn对

一切正整数n都成立．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列lg1an的前n项和最大？[解](1)取n＝1，得λa21＝2S1＝2a1，即a1(λa1－2)＝0.若a1＝0，则Sn＝0，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝0－0＝0，所以an＝

0.若a1≠0，则a1＝2λ，当n≥2时，2an＝2λ＋Sn,2an－1＝2λ＋Sn－1，两式相减得2an－2an－1＝an，所以an＝2an－1(n≥2)，从而数列{an}是等比数列，所以an＝a1·2n－1＝2λ·2n－1＝2nλ.综上，当a1＝0时，an＝0；当a1≠0时，

an＝2nλ.[解]当a1>0且λ＝100时，令bn＝lg1an，由(1)知bn＝lg1002n＝2－nlg2.所以数列{bn}是单调递减的等差数列(公差为－lg2)．则b1>b2>„>b6＝lg10026＝lg10064>lg

1＝0，当n≥7时，bn≤b7＝lg10027＝lg100128<lg1＝0，故当n＝6时，数列lg1an的前n项的和最大．(2)设a1>0，λ＝100.当n为何值时，数列lg1a

n的前n项和最大？[方法技巧]1．判断数列单调性的两种方法(1)作差比较法an＋1－an>0⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1－an<0⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1－an＝0⇔数列{an}是常数

列．(2)作商比较法①当an>0时，an＋1an>1⇔数列{an}是单调递增数列；an＋1an<1⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1an＝1⇔数列{an}是常数列．[方法技巧]②当an<0时，an＋1an>1⇔数列{an}是单调递减数列；an＋1an<1⇔数列

{an}是单调递增数列；an＋1an＝1⇔数列{an}是常数列．2．求数列最大项或最小项的方法(1)可以利用不等式组an－1≤an，an≥an＋1(n≥2)找到数列的最大项；(2)利用不等式组an－1≥an，an≤an＋1(n≥2)找

到数列的最小项．利用数列的单调性求参数的取值范围[例2]已知函数f(x)＝3－ax＋2，x≤2，a2x2－9x＋11，x>2(a>0，且a≠1)，若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是()A．(0,1)B．83，3C．

(2,3)D．(1,3)[解析]因为{an}是递增数列，所以3－a>0，a>1，3－a×2＋2≤a，解得83≤a＜3，所以实数a的取值范围是83，3.[答案]B[方法技巧]已知数列的单调

性求参数取值范围的两种方法(1)利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其转化为最值问题处理．(2)利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数的取值范

围，但要注意数列通项中n的取值范围．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]设an＝－3n2＋15n－18，则数列{an}中的最大项的值是()A．163B．133C．4D．0解析：an＝－3n－522＋34，由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an取最大值，最大值为a2＝a3

＝0.故选D.答案：D2.[考点一]若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为()A．6B．7C．8D．9解析：∵a1＝19，an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋

(n－1)×(－3)＝22－3n，则an是递减数列．设{an}的前k项和数值最大，则有ak≥0，ak＋1≤0，即22－3k≥0，22－3k＋1≤0，∴193≤k≤223，∵k∈N*，∴k＝7.∴满足条件的n的值为7.答案：B3.[考点二]已知{an

}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析：∵对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，∴an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ.又∵{an}是递增数列，∴an＋1－an>0，且当n＝1时

，an＋1－an最小，∴an＋1－an≥a2－a1＝3＋λ>0，∴λ>－3.答案：(－3，＋∞)4.已知数列{an}中，an＝1＋1a＋2n－1(n∈N*，a∈R，且a≠0)．(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；(2)若对任

意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．[考点一、二]解：(1)∵an＝1＋1a＋2n－1(n∈N*，a∈R，且a≠0)，又∵a＝－7，∴an＝1＋12n－9.结合函数f(x)＝1＋12x－9的单调性

，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>„>an>1(n∈N*)．∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.(2)an＝1＋1a＋2n－1＝1＋12n－2－a2.∵对任意的n∈N*，都有an≤a6成立

，结合函数f(x)＝1＋12x－2－a2的单调性，知5<2－a2<6，∴－10<a<－8.故a的取值范围为(－10，－8)．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2015·新课标全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an

＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.解析：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.∵Sn≠0，∴1Sn－1Sn＋1＝1，即1Sn＋1－1Sn＝－1

.又1S1＝－1，∴1Sn是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1Sn＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－1n.答案：－1n2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝11－an,a8＝2，则a1＝_

_______.解析：将a8＝2代入an＋1＝11－an，可求得a7＝12；再将a7＝12代入an＋1＝11－an，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝11－an，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝12.答案：123．(201

3·新课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________.解析：当n＝1时，由已知Sn＝23an＋13，得a1＝23a1＋13，即a1＝1；当n≥2时，由已知得到Sn－1＝23an－1＋13，所以an＝Sn－Sn－1＝23

an＋13－23an－1＋13＝23an－23an－1，所以an＝－2an－1，所以数列{an}为以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以an＝(－2)n－1.答案：(－2)n－14．(2016·全国丙卷)已知各项都为正数的数列

{an}满足a1＝1，a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通项公式．解：(1)由题意可得a2＝12，a3＝14.(2)由a2n－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．因此

{an}的各项都为正数，所以an＋1an＝12.故{an}是首项为1，公比为12的等比数列，因此an＝12n－1.