【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第八章 立体几何 第五节 空间向量及其运算和空间位置关系 (含详解).ppt，共(48)页，828.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第五节空间向量及其运算和空间位置关系本节主要包括2个知识点：1.空间向量及其运算；2.利用空间向量证明平行与垂直问题.突破点(一)空间向量及其运算基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念①空间向量：在空间中，具有_____和_____的量叫做空间向量．②

相等向量：方向_____且模____的向量．③共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相__________的向量．④共面向量：________________的向量．大小方向相同相等平行或重合平行于同一个平面(2)空间向量中的有关定理①共线向量定理：对空间任意两个向

量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝___.②共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝________.③空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存

在有序实数组{x，y，z}使得p＝____________.λbxa＋ybxa＋yb＋zc2．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．空间向量的运算及其坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，向量表示坐标表示数量积a·b________________共线a＝λb(b≠0)a1＝λb1，a2＝λb2，a

3＝λb3垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)__________________模|a|____________夹角〈a，b〉(a≠0，b≠0)cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3a21＋a22＋a23·b21＋b22＋b23a1b1＋a2b2＋a3b3a1b

1＋a2b2＋a3b3＝0a21＋a22＋a23考点贯通抓高考命题的“形”与“神”空间向量的线性运算[例1]如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设1AA＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP；(2)1A

N；(3)MP＋1NC.[解](1)∵P是C1D1的中点，∴AP＝1AA＋11AD＋1DP＝a＋AD＋1211DC＝a＋c＋12AB＝a＋c＋12b.[解]∵N是BC的中点，∴1AN＝1AA＋AB＋BN＝－

a＋b＋12BC＝－a＋b＋12AD＝－a＋b＋12c.(2)1AN；[解]∵M是AA1的中点，∴MP＝MA＋AP＝121AA＋AP＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c，又1NC＝NC＋1CC＝12BC＋1AA＝12AD＋1AA＝12c＋a，∴MP＋1NC＝

12a＋12b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.(3)MP＋1NC.[方法技巧]用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向

量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．共线、共面向量定理的应用[例2]已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH

.[证明](1)如图，连接BG，则EG＝EB＋BG＝EB＋12(BC＋BD)＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，由共面向量定理知：E，F，G，H四点共面．[证明]因为EH＝AH－AE＝12AD－12AB＝12(AD－AB)＝12BD，因为E，H，B，D

四点不共线，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(2)BD∥平面EFGH.[方法技巧]1．证明空间三点P，A，B共线的方法(1)PA＝λPB(λ∈R)；(2)对空间任

一点O，OP＝OA＋tAB(t∈R)；(3)对空间任一点O，OP＝xOA＋yOB(x＋y＝1)．[方法技巧]2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法(1)MP＝xMA＋yMB；(2)对空间任一点O，OP

＝OM＋xMA＋yMB；(3)对空间任一点O，OP＝xOM＋yOA＋zOB(x＋y＋z＝1)；(4)PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM)．空间向量数量积的应用[例3]如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和

对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．[解](1)证明：设AB＝p，AC＝q，AD＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量两两夹角均为60°.MN＝A

N－AM＝12(AC＋AD)－12AB＝12(q＋r－p)，∴MN·AB＝12(q＋r－p)·p＝12(q·p＋r·p－p2)＝12(a2cos60°＋a2cos60°－a2)＝0.∴MN⊥AB.即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD

.[解]由(1)可知MN＝12(q＋r－p)，∴|MN|2＝14(q＋r－p)2＝14[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p)]＝14a2＋a2＋a2＋2a22－a22－a22＝14×2a2＝a22.∴|

MN|＝22a.∴MN的长为22a.(2)求MN的长；[解]设向量AN与MC的夹角为θ.∵AN＝12(AC＋AD)＝12(q＋r)，MC＝AC－AM＝q－12p，∴AN·MC＝12(q＋r)·q－12p＝12

q2－12q·p＋r·q－12r·p＝12a2－12a2cos60°＋a2cos60°－12a2cos60°＝12a2－a24＋a22－a24＝a22.(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．又∵|A

N|＝|MC|＝32a，∴AN·MC＝|AN||MC|cosθ＝32a×32a×cosθ＝a22，∴cosθ＝23，∴向量AN与MC的夹角的余弦值为23，从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为23.[方法技巧]空间向量数量积的三个应用(1)求夹角，设向量a，b所成的角

为θ，则cosθ＝a·b|a||b|，进而可求两异面直线所成的角．(2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题．(3)解决垂直问题，利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积

的计算问题．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点二]已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D

．既不充分也不必要条件解析：当x＝2，y＝－3，z＝2时，即OP＝2OA－3OB＋2OC.则AP－AO＝2OA－3(AB－AO)＋2(AC－AO)，即AP＝－3AB＋2AC，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设A

P＝mAB＋nAC(m，n∈R)，即OP－OA＝m(OB－OA)＋n(OC－OA)，即OP＝(1－m－n)OA＋mOB＋nOC，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3,2.故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．答案：B2．[

考点二]已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，12B．－13，12C．－3,2D．2,2解析：∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴6＝kλ＋1，2μ－1＝0

，2λ＝2k，解得λ＝2，μ＝12或λ＝－3，μ＝12.答案：A3．[考点一]已知空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN＝()A.12a－23b＋12cB．－23a＋12b＋12cC.12a＋12

b－12cD.23a＋23b－12c解析：如图所示，MN＝MA＋AB＋BN＝13OA＋(OB－OA)＋12BC＝OB－23OA＋12(OC－OB)＝－23OA＋12OB＋12OC＝－23a＋12b＋12c.答案：

B4．[考点三]已知P(－2,0,2)，Q(－1,1,2)，R(－3,0,4)，设a＝PQ，b＝PR，c＝QR，若实数k使得ka＋b与c垂直，则k的值为________．解析：由题意知，a＝PQ＝(1,1,0)，b＝

PR＝(－1,0,2)，c＝QR＝(－2，－1,2)，故ka＋b＝(k－1，k,2)．又ka＋b与c垂直，所以(ka＋b)·c＝－2(k－1)－k＋4＝0，所以k＝2.答案：25．[考点三]如图所示，在平行四边形ABC

D中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长．解：∵AB与CD成60°角，∴〈BA，CD〉＝60°或120°.又∵AB＝AC＝CD＝1，

AC⊥CD，AC⊥AB，∴|BD|＝BD2＝BA＋AC＋CD2＝BA2＋AC2＋CD2＋2BA·AC＋2AC·CD＋2BA·CD＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos〈BA，CD〉＝3＋2cos〈BA，CD〉，∴|BD

|＝2或2.∴BD的长为2或2.突破点(二)利用空间向量证明平行与垂直问题基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线____________的非零向量，一条直线的方向向量有个．(2)

平面的法向量直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有个，它们是共线向量.无数无数平行(或重合)2．空间位置关系的向量表示位置关系向量表示l1∥l2n1∥

n2⇔n1＝λn2直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0l∥αn⊥m⇔m·n＝0直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml⊥αn∥m⇔n＝λmα∥βn∥m⇔n＝λm

平面α，β的法向量分别为n，mα⊥βn⊥m⇔n·m＝0考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用空间向量证明平行与垂直[例1]已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，且AB＝AA1，D，E，F分别为B1A，

C1C，BC的中点．求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B1F⊥平面AEF.[证明]以A为原点，AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，令AB＝AA1＝4，则A(0,0,0)，E

(0,4,2)，F(2,2,0)，B1(4，0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)．(1)DE＝(－2,4,0)，平面ABC的法向量为1AA＝(0,0,4)，∵DE·1AA＝0，DE⊄平面AB

C，∴DE∥平面ABC.[证明]1BF＝(－2,2，－4)，EF＝(2，－2，－2)，AF＝(2,2,0)，1BF·EF＝(－2)×2＋2×(－2)＋(－4)×(－2)＝0，∴1BF⊥EF，∴B1F⊥EF，1BF·AF＝(－2)×2＋2×2＋(－4)×0＝0，∴1BF⊥AF，∴B1F⊥A

F.∵AF∩EF＝F，∴B1F⊥平面AEF.(2)B1F⊥平面AEF.[方法技巧]1．利用空间向量证明平行的方法(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直

；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．[方法技巧]2．利用空间向量证明垂直的方法(1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零．(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量

共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示．(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．[提醒]运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直

来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．向量法解决垂直、平行关系中的探索性问题[例2]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若

不存在，说明理由．[解]以A为原点，AB，AD，1AA的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a.(1)证明：A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，Ea2，1，0，B1(a,0,1)，故1AD＝

(0,1,1)，1BE＝－a2，1，－1，因为1BE·1AD＝－a2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以B1E⊥AD1.[解]假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE，此时DP＝(0，－1，z0)，再设平面B1AE的一个法向量为n＝(x，y，z)

，1AB＝(a,0,1)，AE＝a2，1，0.因为n⊥平面B1AE，所以n⊥1AB，n⊥AE，得ax＋z＝0，ax2＋y＝0，(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若

不存在，说明理由．取x＝1，得y＝－a2，z＝－a，得平面B1AE的一个法向量n＝1，－a2，－a.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，有a2－az0＝0，解得z0＝12.又DP⊄平面B1AE，所以存在点P，满足

DP∥平面B1AE，此时AP＝12.[方法技巧]向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示．(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系

，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一](2016·开封模拟)如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB.(1)求证：平面BCE⊥平面C

DE；(2)若点M是CD的中点，证明AM∥平面BCE.解：(1)证明：设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0，0，a)，D(a，3a,0)，E(a，3a,2a)．所以BE＝(a，

3a，a)，BC＝(2a,0，－a)，CD＝(－a，3a,0)，ED＝(0,0，－2a)．设平面BCE的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1·BE＝0，n1·ED＝0可得ax1＋3ay

1＋az1＝0，2ax1－az1＝0，即x1＋3y1＋z1＝0，2x1－z1＝0.令z1＝2，可得n1＝(1，－3，2)．设平面CDE的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n2·CD＝0，n2·ED＝0可得－

ax2＋3ay2＝0，－2az2＝0，即－x2＋3y2＝0，z2＝0.令y2＝1，可得n2＝(3，1,0)．因为n1·n2＝1×3＋(－3)×1＋2×0＝0.所以n1⊥n2，所以平面BCE⊥平面CDE.解：易得M32a，32a，0，则

AM＝32a，32a，0，又平面BCE的一个法向量为n1＝(1，－3，2)，则AM·n1＝3a2×1＋32a×(－3)＋0×2＝0.所以AM⊥n1，又AM⊄平面BCE，所以AM∥平面BCE.(2)若点M是C

D的中点，证明AM∥平面BCE.2．[考点二]如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，点M是BD的中点，AE＝12CD，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)

求证：EM∥平面ABC；(2)试问在棱CD上是否存在一点N，使MN⊥平面BDE？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．解：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(－2,0,0)，D(－2,0,4)，E(0,0,2)

，M(－1,1,2)，AE＝(0,0,2)，DB＝(2,2，－4)，DE＝(2,0，－2)，DC＝(0,0，－4)，DM＝(1,1，－2)，EM＝(－1,1,0)．(1)由所建空间直角坐标系易知，AE·AB＝0，AE·AC＝0，故AE为平面ABC的一个法向量，∵AE·EM＝0×(－

1)＋0×1＋2×0＝0，∴AE⊥EM，即AE⊥EM，又EM⊄平面ABC，故EM∥平面ABC.解：假设在DC上存在一点N满足题意，设DN＝λDC＝(0,0，－4λ)，λ∈[0,1]，则NM＝DM－DN＝(1,1，－2)－(0,0，－4λ)＝(1,1，

－2＋4λ)，所以NM·DB＝0，NM·DE＝0，即2＋2＋8－16λ＝0，2＋4－8λ＝0，解得λ＝34∈[0,1]．所以棱DC上存在一点N，满足NM⊥平面BDE，此时，DN＝34DC.(2)试问在棱CD上是否存在一点N，使MN⊥平面BDE？若存在，确

定点N的位置；若不存在，请说明理由．