【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第八章 立体几何 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系 (含详解).ppt，共(35)页，638.500 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-34126.html

以下为本文档部分文字说明：

第二节空间点、直线、平面之间的位置关系本节主要包括2个知识点：1.平面的基本性质；2.空间两直线的位置关系.突破点(一)平面的基本性质基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．公理1～3表示公理文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的_____在一个平面内，那么这条直线在此平

面内A∈lB∈lA∈αB∈α⇒l⊂α两点表示公理文字语言图形语言符号语言公理2过________________的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈

α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l不在一条直线上一条2．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；

推论2：经过两条直线有且只有一个平面；推论3：经过两条直线有且只有一个平面．相交平行考点贯通抓高考命题的“形”与“神”点、线、面的位置关系1．证明点共线问题的常用方法(1)公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在

交线上；(2)同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．2．证明线共点问题的方法先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点．3．证明点、直线共面问题的常用方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再

证明有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．[典例]已知：空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝13BC，CH＝13DC.求证：(1)E，F，

G，H四点共面；[证明]连接EF，GH，∵E，F分别是AB，AD的中点，∴EF∥BD.又∵CG＝13BC，CH＝13DC，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．[证明]易知FH与直线AC不平行，

但共面，∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，∴M∈EG，∴FH，EG，AC共点．(2)三直线FH，EG，AC共点．[方法技巧]平面的基本性质的应用公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据

，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()解析：A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面．答案：D2．若空间中n个不

同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A．至多等于3B．至多等于4C．等于5D．大于5解析：n＝2时，可以；n＝3时，为正三角形，可以；n＝4时，为正四面体，可以；n＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，这种情

况不可能出现，所以正整数n的取值至多等于4.答案：B3．以下四个命题中，正确命题的个数是()①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段

必共面．A．0B．1C．2D．3解析：①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b，c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确

．答案：B4.如图所示，四边形ABEF和四边形ABCD都是梯形，BC綊12AD，BE綊12FA，G，H分别为FA，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；解：(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綊12AD.又∵BC綊12AD，∴GH綊BC，∴四边形BCHG为平行四边形．

解：C，D，F，E四点共面，证明如下：由BE綊12AF，G为FA的中点知BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH.∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．(2)C，D，F，

E四点是否共面？为什么？突破点(二)空间两直线的位置关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系共面直线__________异面直线：不同在一个平面内(2)公理4和等角定理①公理4：平行于的

两条直线互相平行．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________．平行相交任何同一条直线相等或互补2．异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的___

_________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：_______.锐角(或直角)0，π2考点贯通抓高考命题的“形”与“神”空间两直线位置关系的判定[例1](1)下列结论正确的是()①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一

条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③B．②④C．③④D．②③[解析]①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；②由公理

4可知正确；③错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④由平行直线的传递性可知正确．故选B.[答案]B(2)在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，

MN是异面直线的图形有_____．(填上所有正确答案的序号)[解析]图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与M

N共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．[答案]②④[方法技巧]判断空间两直线位置关系的思路方法(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直

观感知并准确判断．(2)异面直线的判定方法①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连

线和平面内不经过点B的直线是异面直线．异面直线所成的角[例2]空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．[解]取AC的中点G，连接EG，FG，则EG綊12AB，FG綊12CD，由AB＝CD知EG＝FG，∴

∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角．∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成

的角为15°或75°.[方法技巧]用平移法求异面直线所成的角的步骤(1)一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐

角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]下列说法正确的是()A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则

a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面解析：由异面直线的定义可知D正确．答案：D2．[考点一]l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是()A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l

2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析：若l1⊥l2，l2⊥l3，则l1，l3有三种位置关系，可能平行、相交或异面，A不正确；当l1∥l2∥l3或l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3可能共面，也可能不共面，C，D不正确

；当l1⊥l2，l2∥l3时，则有l1⊥l3，故选B.答案：B3．[考点二]如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．解析：如图，将原图补成正方体ABCD-QGHP，

连接GP，AG，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中AG＝GP＝AP，所以∠APG＝π3.答案：π34．[考点一、二]如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证A

E与PB是异面直线；解：(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE，∴P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线．解：取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的

角．∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，∴AF＝3，AE＝2，EF＝2，cos∠AEF＝AE2＋EF2－AF22·AE·EF＝2＋2－32×2×2＝14，故异面直线AE与PB所成角的余弦值为14.(2)求异面直线AE与PB所

成角的余弦值．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国乙卷)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为()A.32B.22C.33D.13解析：如图，在正方体ABCD-A1B1

C1D1的上方接一个同等大小的正方体ABCD-A2B2C2D2，则过A与平面CB1D1平行的是平面AB2D2，即平面α就是平面AB2D2，平面AB2D2∩平面ABB1A1＝AB2，即直线n就是直线AB2，由面面平行的性质定理知直线m平

行于直线B2D2，故m，n所成的角就等于AB2与B2D2所成的角，在等边三角形AB2D2中，∠AB2D2＝60°，故其正弦值为32.故选A.答案：A2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知m，n为异面直线，m⊥平面α

，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l解析：由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与

平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.答案：D3．(2016·全国甲卷)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么

m⊥n.③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)解析：对于①，α，β可能平行，也可能相交但不垂直

，故错误．对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l⊂α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m⊂α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m

∥β，故正确．对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．答案：②③④