【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第五章 平面向量 第二节 平面向量基本定理及坐标表示 (含详解).ppt，共(32)页，484.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第二节平面向量基本定理及坐标表示本节主要包括2个知识点：1.平面向量基本定理；2.平面向量的坐标表示.突破点(一)平面向量基本定理基础联通抓主干知识的“源”与“流”平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，

一对实数λ1，λ2，使a＝___________.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组．不共线有且只有基底λ1e1＋λ2e2考点贯通抓高考命题的“形”与“神”基底的概念[例1]如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为

平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1[解析]选项A中，设e1＋e2＝λe1，则1＝λ，1＝0无解；选项B中，设

e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则1＝λ，－2＝2λ无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则1＝λ，1＝－λ无解；选项D中，e1＋3e2＝12(6e2＋2e1)，所以两

向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．[答案]D[易错提醒]某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量．平面向量基本定理的应用[例2](2016·江西南昌二模)如图，在△AB

C中，设AB＝a，AC＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则AP＝()A.12a＋12bB.13a＋23bC.27a＋47bD.47a＋27b[解析]如图，连接BP，则AP＝AC＋CP＝b＋PR，①AP＝AB＋BP＝a＋RP－RB，②①＋

②，得2AP＝a＋b－RB，③又RB＝12QB＝12(AB－AQ)＝12a－12AP，④将④代入③，得2AP＝a＋b－12a－12AP，解得AP＝27a＋47b.[答案]C[易错提醒]平面向量基本定理的实质及解题思路(

1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.

[考点二](2017·潍坊模拟)在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝13AB，BQ＝13BC，若AB＝a，AC＝b，则PQ＝()A.13a＋13bB．－13a＋13bC.13a－13bD．－13a－13b解析：由题意知PQ＝PB＋BQ＝23AB＋13BC＝23AB＋13(

AC－AB)＝13AB＋13AC＝13a＋13b，故选A.答案：A2.[考点一](2016·泉州调研)若向量a，b不共线，则下列各组向量中，可以作为一组基底的是()A．a－2b与－a＋2bB．3a－5b与6a－10bC．a－2b与5a＋7b

D．2a－3b与12a－34b解析：不共线的两个向量可以作为一组基底．因为a－2b与5a＋7b不共线，故a－2b与5a＋7b可以作为一组基底．答案：C3．[考点二]如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝2PA，则

()A．x＝23，y＝13B．x＝13，y＝23C．x＝14，y＝34D．x＝34，y＝14解析：由题意知OP＝OB＋BP，又BP＝2PA，所以OP＝OB＋23BA＝OB＋23(OA－OB)＝23OA＋13OB，所以x＝23，y＝13.答案：A

4.(2017·绵阳诊断)在△ABC中，AN＝12AC，P是BN上一点，若AP＝mAB＋38AC，则实数m的值为________．解析：∵B，P，N三点共线，∴AP＝tAB＋(1－t)AN＝tAB＋12(1－

t)AC，又∵AP＝mAB＋38AC，∴m＝t，121－t＝38，解得m＝t＝14.答案：14[考点二]突破点(二)平面向量的坐标表示基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模设a＝(x1，y1)

，b＝(x2，y2)，则：a＋b＝______________，a－b＝______________，λa＝_________，|a|＝________.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)x21＋y21(2)向

量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝．2．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔.(x2－x1，y2－y1)x1y2－x2y1＝0考点贯

通抓高考命题的“形”与“神”平面向量的坐标运算[例1]已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b，(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．[解]由已知得a＝(5，－5

)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－

1，n＝－1.即所求实数m的值为－1，n的值为－1.[解]设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c，∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，即M(0,20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b，∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,

2)，即N(9,2)．∴MN＝(9，－18)．(3)求M，N的坐标及向量MN的坐标．[方法技巧]平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题

过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解．平面向量共线的坐标表示[例2]已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；[解]∵a＝(1,0)，b＝(2,1)，∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1

)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，∴k＝－12.[解]AB＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)．∵A，B，C三点共线，∴A

B∥BC，∴8m－3(2m＋1)＝0，∴m＝32.(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb，且A，B，C三点共线，求m的值．[方法技巧]向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，这是代数运算，用它解

决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．(2)当x2y2≠0时，a∥b⇔x1x2＝y1y2，即两个向量的相应坐标成比例，这

种形式不易出现搭配错误．(3)公式x1y2－x2y1＝0无条件x2y2≠0的限制，便于记忆；公式x1x2＝y1y2有条件x2y2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.若向量a

＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝0，52，则c可用向量a，b表示为()A.12a＋bB.－12a－bC.32a＋12bD.32a－12b解析：设c＝xa＋yb，则0，52＝(2x－y，x＋2y)，所以2x－y＝

0，x＋2y＝52，解得x＝12，y＝1，则c＝12a＋b.答案：A[考点一]2.[考点一]已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)解析：MN＝－3

a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则MN＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，所以x－5＝－3，y＋6＝6，解得x＝2，y＝0，即N(2,0)．答案：A3．[考点二]已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(－k,10

)，且A，B，C三点共线，则k的值是()A．－23B．43C．12D．13解析：AB＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴AB，AC共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.答案：A4.[考点二]

已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴DC＝2AB.设点D的坐标为(x，y)，则DC＝(

4－x，2－y)，AB＝(1，－1)，∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)，∴4－x＝2，2－y＝－2，解得x＝2，y＝4，故点D的坐标为(2,4)．答案：(2,4)5.[考点二]已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，O

E＝e，设t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t为何值时，C，D，E三点共线？解：由题设知，CD＝OD－OC＝d－c＝2b－3a，CE＝OE－OC＝e－c＝t(a＋b)－3a＝(t－3)a＋tb.C，D，E三点共线的充要条件是存在实数k，使

得CE＝kCD，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.若a，b共线，则t可为任意实数；若a，b不共线，则有t－3＋3k＝0，2k－t＝0，解得t＝65.综上，可知a，b共线时，t可为任意实数；a，b不共线时，t＝65.[全

国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝()A．(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)解析：

设C(x，y)，则AC＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以x＝－4，y－1＝－3，解得x＝－4，y＝－2，从而BC＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.答案：A2．(2016·全国甲卷)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝

________.解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.答案：－6