【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第五章 平面向量 第一节 平面向量的概念及线性运算 (含详解).ppt，共(33)页，585.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第一节平面向量的概念及线性运算本节主要包括2个知识点：1.平面向量的有关概念；2.平面向量的线性运算.第五章平面向量突破点(一)平面向量的有关概念基础联通抓主干知识的“源”与“流”名称定义备注向量既有又有的量叫做向量；向量的大小叫做向量的(或称模)平面向量是自由向量，平面向量可自由

平移零向量长度为的向量；其方向是_________记作0大小方向长度0任意的名称定义备注单位向量长度等于________的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量________________的非零向量，又叫做共线向量0与任一向量平行或共线相等向量长度_____且方向____的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度_____且方向____的向量0的相反向量为01个单位相等相同相等相反方向相同或相反考点贯通抓高考命题的“形”与“神”平面向量的有关概念[典例](1)设a，b

都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|[解析](1)因为向量a|a|的方向与向量a相同，向量b|b|的方向与向量b相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a

＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|，故a＝2b是a|a|＝b|b|成立的充分条件．[答案](1)C[解析]向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，

故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[答案]D(2)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0B．1

C．2D．3[易错提醒](1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．给出下列命题：①若|a|

＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．①④解析：①不正确

．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB∥DC

且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝

b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.答案：A2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，

若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论

λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．错误的命题有3个，故选C.答案：C3．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与OC相等的向量有________．答案：AB，ED，FO4．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的13处相交的两

个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量GH相等的向量有________；(2)与向量GH共线，且模相等的向量有________；(3)与向量EA共线，且模相等的向量有________．解析：向

量相等⇔向量方向相同且模相等．向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．答案：(1)LB，HC(2)EC，LE，LB，GB，HC(3)EF，FB，HA，HK，KB突破点(二)平面向量的线性运算基础联通抓主干知识的“源”

与“流”1．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝______；结合律：(a＋b)＋c＝__________减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)b＋aa＋(b＋c)向量运算定义法则

(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝______，当λ＞0时，λa与a的方向_____；当λ＜0时，λa与a的方向______；当λ＝0时，λa＝__λ(μa)＝_______；(λ＋μ

)a＝_______；λ(a＋b)＝________|λ||a|相同相反(λμ)aλa＋μaλa＋λb2.平面向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得_______.b＝λa0

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”平面向量的线性运算[例1](1)在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝()A.13b＋23cB.53c－23bC.23b－13cD.23b＋13c[解析]由题可知BC＝AC－AB＝b

－c，∵BD＝2DC，∴BD＝23BC＝23(b－c)，则AD＝AB＋BD＝c＋23(b－c)＝23b＋13c，故选D.[答案]D[解析]如图，因为AN＝12NC，所以AN＝13AC，所以AP＝mAB＋29AC＝mAB＋23AN.因为B，P，N三点共线，所以m

＋23＝1，则m＝13.[答案]13(2)在△ABC中，N是AC边上一点且AN＝12NC，P是BN上一点，若AP＝mAB＋29AC，则实数m的值是________．[方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧(1)不含图形

的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．[方法技巧]2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确

定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较，观察可知所求．平面向量共线定理的应用[例2]设两个非零向量a和b不共线．(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A，B，

D三点共线．[解]证明：因为AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，所以BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB，所以AB，BD共线．又AB与BD有公共点B，所以A，B，D三点共线．[解]因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在

实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即k＝λ，1＝λk，解得k＝±1.即k＝1或－1时，ka＋b与a＋kb共线．(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[方法技巧]平面向量共线定理的三个应用(1)证明向量

共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB＝λAC，AB与AC有公共点A，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条

件列方程(组)求参数的值．[提醒]证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]如图所示，下列结论正确的是()①PQ＝32a＋32b；②PT＝32a－b；③PS＝32a－12b；④PR＝32a＋b.A．①②B．③④C．①③D．②④解析：根据向量的加法法

则，得PQ＝32a＋32b，故①正确；根据向量的减法法则，得PT＝32a－32b，故②错误；PS＝PQ＋QS＝32a＋32b－2b＝32a－12b，故③正确；PR＝PQ＋QR＝32a＋32b－b＝32a

＋12b，故④错误．故选C.答案：C2．[考点二]已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋b，AC＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为()A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1解析：∵A，B，C三点共线，∴A

B∥AC，设AB＝mAC(m≠0)，则λa＋b＝m(a＋μb)，∴λ＝m，1＝mμ，∴λμ＝1，故选D.答案：D3.[考点一]在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记AB，BC分别为a，

b，则AH＝()A.25a－45bB.25a＋45bC．－25a＋45bD．－25a－45b解析：如图，过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且GF＝12EC＝14BC，∴GF＝14AD，则△AHD∽△FHG，从而HF＝14AH，∴AH＝45AF，AF＝AD＋DF＝b＋12a，∴AH＝

45b＋12a＝25a＋45b，故选B.答案：B4.[考点二]已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同．若a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则t＝________.解析：∵a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线

上，且a与b起点相同．∴a－tb与a－13(a＋b)共线，即a－tb与23a－13b共线，∴存在实数λ，使a－tb＝λ23a－13b，∴1＝23λ，t＝13λ，解得λ＝32，t＝1

2，若a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，则t＝12.答案：12[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2015·新课标全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则()A．A

D＝－13AB＋43ACB．AD＝13AB－43ACC．AD＝43AB＋13ACD．AD＝43AB－13AC解析：AD＝AC＋CD＝AC＋13BC＝AC＋13(AC－AB)＝43AC－13AB＝－13AB＋43AC，故选A.答案：A2．(2014·新课

标全国卷Ⅰ)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝()A．ADB.12ADC．BCD.12BC解析：EB＋FC＝12(AB＋CB)＋12(AC＋BC)＝12(AB＋AC)＝AD，故选A.答案：A3．(2015·

新课标全国卷Ⅱ)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.解析：∵λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)，即λa＋b＝ta＋2tb，∴λ＝t，1＝2t，解得λ＝12，t＝12.答案：12