【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第九章 解析几何 第四节 椭圆 (含详解).ppt，共(41)页，622.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第四节椭圆本节主要包括2个知识点：1.椭圆的定义和标准方程；2.椭圆的几何性质突破点(一)椭圆的定义和标准方程基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_____(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的_____，两焦点间的距

离叫做椭圆的_____．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若____，则集合P为椭圆．(2)若____，则集合P为线段．(3)若____，则集合P为空集．常数焦点焦距a>ca＝ca<

c2．椭圆的标准方程(1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程是_______＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是_________

_(a＞b＞0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2.x2a2＋y2b2y2a2＋x2b2＝1考点贯通抓高考命题的“形”与“神”椭圆定义的应用椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形

．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．以椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则(1)|PF1|＋|PF2|＝2a.(2)4c2＝|PF1|2＋|PF

2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.(3)S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．[例1]已知△

ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()A．23B．6C．43D．12[解析]由椭圆的方程得a＝3.设椭圆的另一个焦点为F，则由

椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝43.[答案]C求椭圆的标准方程求椭圆标准方程的两种方法

(1)定义法．根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．(2)待定系数法．这种方法是求椭圆方程的常用方法，一般步骤是：[例2](1)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点．若

△AF1B的周长为43，则C的方程为()A.x23＋y22＝1B.x23＋y2＝1C.x212＋y28＝1D.x212＋y24＝1[解析]由题意及椭圆的定义知4a＝43，则a＝3，又e＝ca＝c3＝33，所以c＝1，则b2＝2

，故C的方程为x23＋y22＝1.[答案]A(2)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.x28＋y26＝1B.x216＋y

26＝1C.x24＋y22＝1D.x28＋y24＝1[解析]设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由点P(2，3)在椭圆上知4a2＋3b2＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|

，即2a＝2×2c，则ca＝12，又c2＝a2－b2，联立4a2＋3b2＝1，c2＝a2－b2，ca＝12得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为x28＋y26＝1.[答案]A[方法技巧]待定系数法求椭圆方程的思

路求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．能力练通抓应用体验的“得”与“失

”1．已知椭圆C：x24＋y23＝1，M，N是坐标平面内的两点，且M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝()A．4B．8C．12D．16[考点一]解析：设MN的中点为D，

椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，如图，连接DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所以F1D是△MAN的中位线，则|DF1|＝12|AN|，同理|DF2|＝12|BN|，所以|AN|＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因

为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.答案：B2.(2017·浙江金丽衢十二校联考)若椭圆C：x29＋y22＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，则∠F2PF1＝()A.π6B.π3C.2π3D

.5π6解析：由题意得a＝3，c＝7，则|PF2|＝2a－|PF1|＝2.在△F2PF1中，由余弦定理可得cos∠F2PF1＝42＋22－2722×4×2＝－12.又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝2π3.答案：C[考点一]3.[考点二]已知中心在原点，焦点坐标为(0，±2

6)的椭圆被直线3x－y－2＝0截得的弦的中点的横坐标为13，则该椭圆的方程为________．解析：根据题意可设椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，联立直线与椭圆方程可得，(9b2＋a2)x2－12b2x＋4b2－a2b2＝0，则可得弦的中点的横坐标为6b29b2＋a2

，即6b29b2＋a2＝13，又a2－b2＝24，解得a2＝27，b2＝3，所以椭圆的方程为y227＋x23＝1.答案：y227＋x23＝14.[考点二]已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为A(0，－1)，其右焦点到直线x－y＋22＝0的

距离为3，则椭圆的方程为________．解析：据题意知b＝1，故可设椭圆方程为x2a2＋y2＝1.设右焦点为(c,0)(c＞0)，它到已知直线的距离为|c＋22|2＝3，解得c＝2，所以a2＝b2＋c2＝3，故椭圆的方

程为x23＋y2＝1.答案：x23＋y2＝15.[考点一、二]已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P在第二象限，∠F2F1P

＝120°，求△PF1F2的面积．解：依题意得，c＝1，|F1F2|＝2.∵2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，∴a＝2，则b2＝3.∵椭圆焦点在x轴上，∴所求椭圆

的方程为x24＋y23＝1.解：设P点坐标为(x，y)，x<0，y>0，∵∠F2F1P＝120°，∴PF1所在直线的方程为y＝－3(x＋1)．则解方程组y＝－3x＋1，x24＋y23＝1，可得x＝－85，y＝335.∴S△PF1F2＝12|F1F2|×33

5＝335.(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．突破点(二)椭圆的几何性质基础联通抓主干知识的“源”与“流”标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(

a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)范围___≤x≤__，___≤y≤____≤x≤__，___≤y≤_对称性对称轴：_______；对称中心：_____顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b

,0)，B2(b,0)性质离心率e＝____，且e∈_____a，b，c的关系c2＝a2－b2－aa－bb－bb－aa坐标轴(0,0)(0,1)ca考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求椭圆的离心率椭圆的离心率是一个重要的基本量，在椭圆中有着极其特殊的作用，也是高考常考的知识点，主

要考查两类问题：一是求椭圆的离心率；二是求椭圆离心率的取值范围．求解方法有以下三种：(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程

求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．[例1](2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心

率是________．[解析]将y＝b2代入椭圆的标准方程，得x2a2＋b24b2＝1，所以x＝±32a，故B－32a，b2，C32a，b2.又因为F(c,0)，所以BF＝c＋

32a，－b2，CF＝c－32a，－b2.因为∠BFC＝90°，所以BF·CF＝0，所以c＋32ac－32a＋－b22＝0，即c2－34a2＋14b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝32c2，所以e2＝

c2a2＝23，所以e＝63(负值舍去)．[答案]63[易错提醒]在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．依据椭圆性质求值或范围(最值)与椭圆有关的最值或取值范围问题的求解

方法主要有以下几种：(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．(4)利用一元二次方程的判别式求

最值或取值范围．[例2]已知动点P(x，y)在椭圆x225＋y216＝1上，若A点的坐标为(3,0)，M为平面内一点，|AM|＝1，且PM·AM＝0，则|PM|的最小值为________．[解析]由|AM|＝1，A(3,0)，知点M在以A(

3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，∵PM·AM＝0且P在椭圆上运动，∴PM⊥AM，即PM为圆A的切线，连接PA(如图)，则|AM|＝|PA|2－|AM|2＝|PA|2－1，∴当|PA|min＝a－c＝5－3＝2时，|PM|min＝3.[答案]3[易错提醒]求解与椭圆几何性质有关

的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.设F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，若线段PF1的中点在y轴上，∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为

()A.33B.36C.13D.16[考点一]解析：如图，设PF1的中点为M，连接PF2.因为O为F1F2的中点，所以OM为△PF1F2的中位线．所以OM∥PF2，所以∠PF2F1＝∠MOF1＝90°.因为∠PF1F2＝30°，所以|PF1|＝2|PF2|，|F1F2|＝3|PF2|.由椭圆定义

得2a＝|PF1|＋|PF2|＝3|PF2|，即a＝3|PF2|2，2c＝|F1F2|＝3|PF2|，即c＝3|PF2|2，则e＝ca＝3|PF2|2·23|PF2|＝33.答案：A2.设F1，F2分别是

椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M为直线y＝2b上的一点，△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的离心率为()A.714B.77C.277D.3714解析：因为△F1MF2是等边三角形，故M(0,2b)，|MF1|＝|F1F2|，即4b2＋c2＝2c，即4b2＋c2＝4c2

，又b2＝a2－c2，所以4(a2－c2)＋c2＝4c2，即4a2＝7c2，则e2＝c2a2＝47，故e＝277(负值舍去)，故选C.答案：C[考点一]3.[考点二]已知点F1，F2分别是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|1PF＋2PF|的最

小值是()A．0B．1C．2D．22解析：设P(x0，y0)，由题可知F1(－1,0)，F2(1,0)，则1PF＝(－1－x0，－y0)，2PF＝(1－x0，－y0)，∴1PF＋2PF＝(－2x0，－2y0)，∴|1

PF＋2PF|＝4x20＋4y20＝22－2y20＋y20＝2－y20＋2.∵点P在椭圆上，∴0≤y20≤1，∴当y20＝1时，|1PF＋2PF|取最小值为2.答案：C4.如图，圆O与离心率为32的椭圆T：x2a2＋

y2b2＝1(a>b>0)相切于点M(0,1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)．若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则d21＋d22的最大值是()A．4B．5C.

163D.253[考点二]解析：易知椭圆C的方程为x24＋y2＝1，圆O的方程为x2＋y2＝1，设P(x0，y0)，因为l1⊥l2，则d21＋d22＝PM2＝x20＋(y0－1)2，因为x204＋y20＝1，所以d21＋d22

＝4－4y20＋(y0－1)2＝－3y0＋132＋163，因为－1≤y0≤1，所以当y0＝－13时，d21＋d22取得最大值163，此时点P±423，－13.答案：C5.已知焦点在x轴上的椭圆C：x2a2＋y2＝1(a>0)，过右焦点作

垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆x2a2＋y2＝1(a>0)的焦点在x轴上，所以c＝a2－1，又过右焦点且垂直于x轴的直线为x＝c，将其代入椭圆方程中，得c2a2＋y2＝1，则y＝±1－c2

a2，又|AB|＝1，所以21－c2a2＝1，得c2a2＝34，所以该椭圆的离心率e＝ca＝32(负值舍去)．答案：32[考点一][全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国乙卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离

为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为xc＋yb＝1，即bx＋cy－bc＝0.由题意知|－bc|b2＋c2＝14×2b，又a2＝b2＋c2，所以ca＝12

，即e＝12.故选B.答案：B2．(2016·全国丙卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，

则C的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：选A如图所示，由题意得A(－a，0)，B(a,0)，F(－c,0)．设E(0，m)，由PF∥OE，得|MF||OE|＝|AF||AO|，则|MF|＝ma－ca.①又由OE∥MF，得12|OE||MF|＝|BO||B

F|，则|MF|＝ma＋c2a.②由①②得a－c＝12(a＋c)，即a＝3c，所以e＝ca＝13.故选A.3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1

，－1)，则E的方程为()A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1解析：因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝12(x－3)，代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1消去y

，得a24＋b2x2－32a2x＋94a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为32a22a24＋b2＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b2＝9，a2＝18，即E的方程为x218＋y29＝1.答案：D4．(201

2·新课标全国卷)设F1，F2是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝3a2上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.12B.23C.34D.45解析：由题意可得|PF2|

＝|F1F2|，∠PF2x＝2∠PF1F2＝60°，所以232a－c＝2c，所以3a＝4c，所以e＝ca＝34.答案：C