【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第九章 解析几何 第八节 直线与圆锥曲线 (含详解).ppt，共(53)页，602.500 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-34109.html

以下为本文档部分文字说明：

第八节直线与圆锥曲线本节主要包括2个知识点：1.直线与圆锥曲线的位置关系；2.圆锥曲线中弦的问题.突破点(一)直线与圆锥曲线的位置关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥

曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式为Δ，

则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C_____；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C_____；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C_____.(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线_____；

若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴____________．相交相切相离平行平行或重合考点贯通抓高考命题的“形”与“神”直线与圆锥曲线位置关系的判定[例1](1)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D

．不确定[解析]直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．[答案]A[解析]因为直线y＝bax＋3与双曲线的渐近线y＝bax平行，所以它与双曲线只有1个交点．[答案

]A(2)直线y＝bax＋3与双曲线x2a2－y2b2＝1的交点个数是()A．1B．2C．1或2D．0由直线与圆锥曲线的位置关系求参数[例2]若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合

．[解]因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组y＝a＋1x－1，y2＝ax有唯一一组实数解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，整理得(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0①.(1)当a＋1＝0，即a＝－1时，方程①是关于x的一元一次方

程，解得x＝－1，这时，原方程组有唯一解x＝－1，y＝－1.(2)当a＋1≠0，即a≠－1时，方程①是关于x的一元二次方程，判别式Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)，令Δ＝0，解得a＝0或a＝－45.当a＝0时，原方程组有唯一

解x＝1，y＝0，当a＝－45时，原方程组有唯一解x＝－5，y＝－2.综上，实数a的取值集合是－1，－45，0.能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直

线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：结合图形分析可知(图略)，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线y＝1，以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线y＝x＋1.答案：C2.[考点一]若直线mx＋ny＝4和圆O：

x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()A．至多一个B．2C．1D．0解析：∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离d＝4m2＋n2＞2，∴m2＋n2＜4.∴m29＋n24＜m29＋4－m24＝1－536m2＜1

，∴点(m，n)在椭圆x29＋y24＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点有2个．答案：B3.[考点二]若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A.－153，153B.

0，153C.－153，0D.－153，－1解析：由y＝kx＋2，x2－y2＝6得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1－k2≠

0，Δ＝16k2－41－k2×－10＞0，x1＋x2＝4k1－k2＞0，x1x2＝－101－k2＞0，解得－153＜k＜－1.即k的取值范围是－153，－1.答案：D4.已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24＋y22＝1.试问当m取何

值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y＝2x＋m，①x24＋y22＝1，②将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m

)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m<32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．[考点二]解：(2)当Δ

＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m<－32或m>32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．(2)有且只有

一个公共点；(3)没有公共点．突破点(二)圆锥曲线中弦的问题基础联通抓主干知识的“源”与“流”圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x

2|＝_________________________＝1＋1k2·|y1－y2|＝________________________.1＋k2·x1＋x22－4x1x21＋1k2·y1＋y22－4y1y2考点贯通抓高考命题的“形”与“神”弦长问题求解弦长的四种方法(1)当弦

的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与

系数的关系得到(x1－x2)2，(y1－y2)2，代入两点间的距离公式．(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．[例1]如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB＝

4.(1)求椭圆的方程；[解]由题意知e＝ca＝12，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1.[解]①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，

不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝－1k(x－1)．将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝

8k23＋4k2，x1·x2＝4k2－123＋4k2，(2)若|AB|＋|CD|＝487，求直线AB的方程．所以|AB|＝k2＋1|x1－x2|＝k2＋1·x1＋x22－4x1x2＝12k2＋13＋4k2.同

理，|CD|＝121k2＋13＋4k2＝12k2＋13k2＋4.所以|AB|＋|CD|＝12k2＋13＋4k2＋12k2＋13k2＋4＝84k2＋123＋4k23k2＋

4＝487，解得k＝±1，所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.[易错提醒](1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，若k不存在，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应

用．中点弦问题处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：考法(一)由中点弦确定直线或曲线方程[例2](1)(2017·福州质检)抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线x－y＝0与

抛物线C交于A，B两点，若P(1,1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()A．y＝2x2B．y2＝2xC．x2＝2yD．y2＝－2x[解析](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y2＝

2px，则y21＝2px1，y22＝2px2，两式相减可得2p＝y1－y2x1－x2×(y1＋y2)＝kAB×2＝2，即可得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x.[答案]B[解析]法一：易知此弦所在直线的斜率

存在，所以设其方程为y－1＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y－1＝kx－1，x24＋y22＝1消去y得，(2k2＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k2－2k－1)＝0，(2)(2017·江西九校联考)已知P(1,1)为椭圆x24＋y22＝1内一定点，

经过P引一条弦交椭圆于A，B两点，且此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为________．∴x1＋x2＝4kk－12k2＋1.又∵x1＋x2＝2，∴4kk－12k2＋1＝2，解得k＝－12.故此弦所在的直线方程为y－1＝－12(x

－1)，即x＋2y－3＝0.法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214＋y212＝1，①x224＋y222＝1，②①－②得x1＋x2x1－x24＋y1＋y2y1－y22＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴x1－x22＋y

1－y2＝0，∴k＝y1－y2x1－x2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y－1＝－12(x－1)，即x＋2y－3＝0.[答案]x＋2y－3＝0考法(二)对称问题[例3]已知抛物线y＝x2上存在两个不同的点M，N关于直线l：y＝

－kx＋92对称，求k的取值范围．[解]法一：由题意知k≠0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线上关于直线l对称的两点，则MN的方程可设为y＝1kx＋b(b>0)，代入y＝x2，得x2－1kx－b＝0，所以Δ＝1k2＋4b>0，①x1＋x2＝1k.设MN中点的

坐标为(x0，y0)，则x0＝12k，y0＝12k2＋b，因为(x0，y0)在直线l：y＝－kx＋92上，所以12k2＋b＝－k·12k＋92，所以b＝4－12k2.②将②代入①，得1k2＋16－2k2>0.所以1k2<16，即k2>116，所以k>14或k<－14.故k的取值范围为

－∞，－14∪14，＋∞.法二：设M(x1，x21)，N(x2，x22)关于直线l对称，因为MN⊥l，所以x21－x22x1－x2＝1k，即x1＋x2＝1k.又MN的中点在l上，所以x21＋x222＝－k·x1＋x22＋92＝－k·12k＋92＝4，因为MN的中点必在抛物线内，所以x

21＋x222>x1＋x222，即4>12k2，所以k2>116，即k>14或k<－14.故k的取值范围为－∞，－14∪14，＋∞.[方法技巧]解决对称问题除掌握解决中点弦问题的方法外，还要注意：如果点A，B关于直线l

对称，则l垂直于直线AB且A，B的中点在直线l上的应用．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点二·考法一](2017·运城模拟)已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方

程为()A．x2＝32yB．x2＝6yC．x2＝－3yD．x2＝3y解析：设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x2＝ay，y＝2x－2消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以x1＋x22＝2a2

＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x2＝3y.答案：D2.已知椭圆：y29＋x2＝1，过点P12，12的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A．9x－y－4＝0B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋y－5＝0[考点二·

考法一]解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆y29＋x2＝1上，所以y219＋x21＝1，y229＋x22＝1，两式相减得y21－y229＋x21－x22＝0，即y1－y2y1＋y29＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB

被点P12，12平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得y1－y29＋x1－x2＝0，即y1－y2x1－x2＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－12＝－9x－12，即9x＋y－5＝0.答案：B3.[考点一]设抛物线C：y2＝2px(p

>0)，A为抛物线上一点(A不同于原点O)，过焦点F作直线平行于OA，交抛物线于P，Q两点．若过焦点F且垂直于x轴的直线交直线OA于B，则|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|＝________.解析：设OA所在的直线的

斜率为k，则由y＝kx，y2＝2px得到A2pk2，2pk，易知Bp2，kp2，P，Q的坐标由方程组y＝kx－p2，y2＝2px得到，消去x得，ky22p－

y－kp2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系得，y1y2＝－p2，根据弦长公式，|FP|·|FQ|＝1＋1k2·|y1|·1＋1k2·|y2|＝1＋1k2|y1y2|＝1＋1k2p2，而|OA|·|OB|＝2pk22＋2

pk2·p22＋kp22＝1＋1k2p2，所以|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|＝0.答案：04.椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)过点1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F1，

F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；解：因为椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)过点1，32，所以1a2＋94b2＝1.①又因为离心率为12，所以ca＝12，所以b2a2＝34.②解①②得a2＝4，b2＝3.所以

椭圆C的方程为x24＋y23＝1.[考点一]解：当直线的倾斜角为π2时，A－1，32，B－1，－32，S△ABF2＝12|AB|·|F1F2|＝12×3×2＝3≠1227.当直线的倾斜角不为π2时，设直线方程

为y＝k(x＋1)，代入x24＋y23＝1得(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3，(2)

当△F2AB的面积为1227时，求直线的方程．所以S△ABF2＝12|y1－y2|·|F1F2|＝|k|x1＋x22－4x1x2＝|k|－8k24k2＋32－4·4k2－124k2＋3＝12|

k|k2＋14k2＋3＝1227，所以17k4＋k2－18＝0，解得k2＝1k2＝－1817舍去，所以k＝±1，所以所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0.5.已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称．求实数m的取值范

围．解：由题意知m≠0，可设直线AB的方程为y＝－1mx＋b.由x22＋y2＝1，y＝－1mx＋b消去y，得12＋1m2x2－2bmx＋b2－1＝0.[考点二·考法二]因为直线y＝－

1mx＋b与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋4m2＞0.①将线段AB中点2mbm2＋2，m2bm2＋2代入直线方程y＝mx＋12解得b＝－m2＋22m2.②由①②得m＜－63或m＞63.故m的取值范围为－∞，－63∪6

3，＋∞.[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点．若|AF|＝3|BF|，则l的方程为()A．y＝x－1或y＝－x＋1B．y＝33(x－1)或y＝－33(x－1)C．y＝3(x－1)或y＝－3(

x－1)D．y＝22(x－1)或y＝－22(x－1)解析：法一：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A，B到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线l交准线于点M.设|BF|＝m，由抛物线的定义可知|BB1|＝m，|AA1|＝|AF|＝3m.由

BB1∥AA1可知|BB1||AA1|＝|MB||MA|，即m3m＝|MB||MB|＋4m，所以|MB|＝2m，则|MA|＝6m.故∠AMA1＝30°，得∠AFx＝∠MAA1＝60°，由抛物线的对称性可知∠AFx＝120°

时也符合题意．结合选项知选C项．法二：由|AF|＝3|BF|可知AF＝3FB，易知F(1,0)，设B(x0，y0)，则1－xA＝3x0－1，－yA＝3y0，从而可解得A的坐标为(4－3x0，－3y

0)．因为点A，B都在抛物线上，所以y20＝4x0，－3y02＝44－3x0，解得x0＝13，y0＝±23，所以kl＝y0－0x0－1＝±3.故直线l的方程为y＝3(x－1)或y＝－3(x－1)．答案：C2．(2016·全国甲

卷)已知椭圆E：x2t＋y23＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．解：设M(x1，y1)，则由题意知y1>0.(1)当t＝4

时，E的方程为x24＋y23＝1，A(－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为π4.因此直线AM的方程为y＝x＋2.将x＝y－2代入x24＋y23＝1得7y2－12y＝0.解得y＝0或y＝127，所以y1＝127.因此△AMN的面积S△AMN＝2×12×127×127＝1444

9.解：由题意t>3，k>0，A(－t，0)．将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入x2t＋y23＝1得(3＋tk2)x2＋2t·tk2x＋t2k2－3t＝0.由x1·(－t)＝t2k2－3t3＋tk2，得x1＝t3

－tk23＋tk2，故|AM|＝|x1＋t|1＋k2＝6t1＋k23＋tk2.由题设，直线AN的方程为y＝－1k(x＋t)，故同理可得|AN|＝6kt1＋k23k2＋t.(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．由2|AM|＝|

AN|，得23＋tk2＝k3k2＋t，即(k3－2)t＝3k(2k－1)．当k＝32时上式不成立，因此t＝3k2k－1k3－2.t>3等价于k3－2k2＋k－2k3－2＝k－2k2＋1k3－2<0，即k－2k3－2<0.因此得k－2>0，k3－2<0

或k－2<0，k3－2>0，解得32<k<2.故k的取值范围是(32，2)．3．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P

的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.(1)求|OH||ON|；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．解：(1)如图，由已知得M(0，t)，Pt22p，t.又N为M关于点P的对称点，故Nt2p，t，故直线ON的方程为y＝ptx，将其

代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝2t2p.因此H2t2p，2t.所以N为OH的中点，即|OH||ON|＝2.解：直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：直线MH的方程为y－t＝p

2tx，即x＝2tp(y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．4．(2012

·新课标全国卷)设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与

m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解：(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝|FB|＝|FD|＝2p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA

|＝|FB|＝|FD|＝2p.因为△ABD的面积为42，所以12|BD|·d＝42，即12·2p·2p＝42，解得p＝2或p＝－2(舍去)．所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.解：因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90

°.由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝12|AB|，所以∠ABD＝30°，m的斜率为33或－33.(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．当m的斜率为33时，由已知可设n：y＝33x＋b，代入x2＝2py得x2－233px－2pb

＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝43p2＋8pb＝0，解得b＝－p6.因为m的纵截距b1＝p2，|b1||b|＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.