【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第九章 解析几何 第二节 圆的方程 (含详解).ppt，共(39)页，458.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第二节圆的方程本节主要包括2个知识点：1.圆的方程；2.与圆的方程有关的综合问题.突破点(一)圆的方程基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．圆的定义及方程定义平面内到_____的距离等于_____的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2

＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：_______半径：r圆心：___________一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)半径：r＝_____________定点定长(a，b)－D2，

－E2D2＋E2－4F22.点与圆的位置关系点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.理论依据___与______的距离与半径的大小关系(x0－a)2＋(y0－b)2___r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2___r2

⇔点在圆外三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2___r2⇔点在圆内点圆心＝><考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求圆的方程1．求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径

，进而写出方程．(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出

关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心位置的三种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[例1](1)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为___

_____________．[解析]依题意，设圆心坐标为C(a,0)，则|CA|＝|CB|，即a－52＋0－12＝a－12＋0－32，则a＝2.故圆心为(2,0)，半径为10，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.[答案](x－2)2＋y2＝10[解析]过切点且与x＋y－1

＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r＝3－12＋－2＋42＝22，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.[答案](x－1)2＋(y＋4)2＝8(2)已知圆心在直线y＝－4x上，且圆与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2

)，则该圆的方程是________________．[解析]设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则22＋－12＋2D－E＋F＝0，52＋02＋5D＋0＋F＝0，62＋12

＋6D＋E＋F＝0，解得D＝－4，E＝－8，F＝－5，故所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－8y－5＝0.[答案]x2＋y2－4x－8y－5＝0(3)经过三点(2，－1)，(5,0)，(6,1)的圆的一般方程为____

____________．[方法技巧]1．确定圆的方程必须有三个独立条件不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的

方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．[方法技巧]2．几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．3．A(x1，y1)，B(x2，

y2)，以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.与圆有关的对称问题1．圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称．2．圆关于点对称(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置．(2)两

圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．3．圆关于直线对称(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置．(2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．[例2]已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2

与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝1B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1D．(x－2)2＋(y－2)2＝1[解析]

圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径为1，设圆C2的圆心坐标为(a，b)，由题意得a－12－b＋12－1＝0，b－1a＋1＝－1，解得a＝2，b＝－2，所以圆C2的圆心坐标为(2，－2)，又两圆的半径相等，故圆C2的方程为(x－2

)2＋(y＋2)2＝1.[答案]B能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]已知点A(－1，3)，B(1，－3)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝2C．x2＋y2＝1D．x2＋y2＝4解析：

由题意知，AB的中点为(0,0)，即所求圆的圆心坐标为(0,0)，设圆的方程为x2＋y2＝r2，因为|AB|＝[1－－1]2＋－3－32＝4，所以圆的半径为2，所以圆的方程为x2＋y2＝4.答案：D2．[考

点一]若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()A．(x－2)2＋y－12＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．x－32＋(y－1)2＝1解析：由于圆

心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a,1)(a>0)，又由圆与直线4x－3y＝0相切可得|4a－3|5＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.答案：A3.[考点二]已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围

是()A.－∞，14B.0，14C.－14，0D.－14，＋∞解析：将圆的方程化成标准形式得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝

－a－122＋14≤14，故选A.答案：A4.[考点二]若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．解析：根据题意得，点(1,0)关于直线y＝x对称的点(0,1)为圆心，又半径r＝1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝

1.答案：x2＋(y－1)2＝15.[考点二]若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上的相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________．解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1,3)，由题设知，直线kx＋

2y－4＝0过圆心，则k×(－1)＋2×3－4＝0，解得k＝2.答案：26.[考点一]求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．解：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(2a＋3，a)．又该圆经过A，B两点

，所以|CA|＝|CB|，即2a＋3－22＋a＋32＝2a＋3＋22＋a＋52，解得a＝－2，所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝10.故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.突破点(二)与

圆的方程有关的综合问题圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题.解决此类问题的关键是数形结合思想的运用.考点贯通抓高

考命题的“形”与“神”与圆有关的轨迹问题[例1]已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[解](1)设AP的中

点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.[解]设PQ的中点为N(x，

y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方

程为x2＋y2－x－y－1＝0.(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．[方法技巧]求与圆有关的轨迹问题的四种方法与圆有关的最值问题处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与

圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如μ＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解．(3)形如m

＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题．[例2]已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点．(1)求m＋2n的最大值；(2)求n－3m＋2的最大值和

最小值．[解](1)法一：因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2，7)，半径r＝22，设m＋2n＝t，将m＋2n＝t看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d＝|1×2＋2×7－t|12＋22≤22，解上式

得：16－210≤t≤16＋210，所以m＋2n的最大值为16＋210.法二：由x2＋y2－4x－14y＋45＝0，得(x－2)2＋(y－7)2＝8.因为点M(m，n)为圆上任意一点，故可设m－2＝22c

osθ，n－7＝22sinθ，即m＝2＋22cosθn＝7＋22sinθ∴m＋2n＝2＋22cosθ＋2(7＋22sinθ)＝16＋22cosθ＋42sinθ＝16＋8＋32sin(θ＋φ)＝16＋210sin(θ＋φ)，其中tanφ＝12故m＋

2n的最大值为16＋210.[解]记点Q(－2,3)．因为n－3m＋2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，则n－3m＋2＝k.由直线MQ与圆C有公共点，所以|2k－

7＋2k＋3|k2＋1≤22.可得2－3≤k≤2＋3，所以n－3m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－3.(2)求n－3m＋2的最大值和最小值．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上

运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，线段MN的中点坐标为x0－32，y0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，所以x2＝x0－32，y2＝y0＋42，整理得

x0＝x＋3，y0＝y－4.又点N(x＋3，y－4)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，因为O，M，P三点不共线，所以应除去两点－95，125和－215，285.2.[考点二]已知实数x，y满足

方程x2＋y2－4x＋1＝0，(1)求yx的最大值和最小值；解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．(1)yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即

y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±3.所以yx的最大值为3，最小值为－3.解：y－x可看成是直线y＝x＋b在y轴上的截距．当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取

得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6.所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.(2)求y－x的最大值和最小值；解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心的连线

与圆的两个交点A，B处分别取得最小值，最大值．因为圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43.(3)求x2＋y2的最大值和最小值．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(201

5·新课标全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．26B．8C．46D．10解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则D＋3E＋F＋10＝0，4D＋2E＋F＋20＝0，D

－7E＋F＋50＝0，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋26或y＝－2－26，∴M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)，∴|MN

|＝46，故选C.答案：C2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______．解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴

的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0<m<4，r>0)，则m2＋4＝r2，4－m2＝r2，解得m＝32，r2＝254.所以圆的标准方程为x－322＋y2＝254.

答案：x－322＋y2＝2543．(2013·新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y2＋

2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.解：设P(x0，y0)．由已知得|x0－y0|2＝22.又P点在双曲线y2－x2＝1上，从而得|x0－y0|＝1，y20－x20＝1.由x0－y0＝1，y20－x20

＝1，得x0＝0，y0＝－1.此时，圆P的半径r＝3.由x0－y0＝－1，y20－x20＝1，得x0＝0，y0＝1.此时，圆P的半径r＝3.故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．