【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第九章 解析几何 第三节 直线与圆、圆与圆的位置关系 (含详解).ppt，共(48)页，707.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第三节直线与圆、圆与圆的位置关系本节主要包括2个知识点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.突破点(一)直线与圆的位置关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”(1)直线与圆的三种位置关系：_____、_____、_____．(2)两种研究方法相交相切相离考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

直线与圆的位置关系问题[例1](1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定[解析]法一：由mx－y＋1－m＝0，x2＋

y－12＝5，消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆相交．法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝|m|m2＋1<1<5，故直线l与圆相交．法三：直线l：mx

－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．[答案]A[解析]圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心C(1,1)，半径r＝1.因为直线与圆相交，所以d＝|

1＋m－2－m|1＋m2<r＝1.解得m>0或m<0.故选D.[答案]D(2)若直线x＋my＝2＋m与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相交，则实数m的取值范围为()A．(－∞，＋∞)B．(－∞，0)C．(0，＋∞)D．(－∞，0

)∪(0，＋∞)[方法技巧]直线与圆位置关系问题的求解策略(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较烦琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．(2)已知直线与圆的位置

关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．弦长问题1．圆的弦长问题在高考中多次出现，考查角度主要有两个：(1)已知直线与圆的方程求圆的弦长．(2)已知圆的弦长求解直线或圆的方程中的参数等．2．解决圆的弦长问题的方法几

何法如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2r2－d2代数法若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝1＋k2·x

A＋xB2－4xAxB＝1＋1k2·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|3．当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距所构成的直

角三角形(如图中的Rt△ADC)，在解题时要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用．[例2](1)若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为()A.12B．1C.22D.

2[解析]因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝|c|a2＋b2＝|c|2|c|＝22，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于1－222＝22，所以弦长为2.[答案]D[解析]因为已知的两条直线平行

且截圆C所得的弦长均为8，所以圆心到直线的距离d为两平行直线距离的一半，即d＝12×|2＋10|3＋1＝3.又直线截圆C所得的弦长为8，所以圆的半径r＝32＋42＝5，所以圆C的面积是25π.[答案]25π(2)(2017·泰安调研)已知直线3x－y＋2＝0及直线3x－y－10＝0截圆C所

得的弦长均为8，则圆C的面积是________．[方法技巧]求解弦长问题的常用方法直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．常用的方法有：(1)根据平面几

何知识结合坐标，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示；(2)通过联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题．切线问题1．求过圆上的一点(x0，y0)的切线方程的方法先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存

在，则结合图形可直接写出切线方程为y＝y0；若k＝0，则结合图形可直接写出切线方程为x＝x0；若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为－1k，由点斜式可写出切线方程．2．求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法几何法当斜率存在

时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程代数法当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方

程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出[例3]已知点P(2＋1,2－2)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．[解]由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2

)2＝4，∴点P在圆C上．又kPC＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k＝－1kPC＝1.∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝1×[x－(2＋1)]，即x－y＋1－22＝0.[解]∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M在圆C外部．当过点M的直线斜率不

存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝|1－3|1＝2＝r，即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝

0，则圆心C到切线的距离d＝|k－2＋1－3k|k2＋1＝r＝2，(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．解得k＝34.∴切线方程为y－1＝34(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝

0.∵|MC|＝3－12＋1－22＝5，∴过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1.[易错提醒]求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有

两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点一]直线l：x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交且过圆心D．相交但不过圆心解析：将圆C的方程化为标准方程得C：

(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为|2－1＋1|2＝2<2，所以直线l与圆相交．又圆心不在直线l上，所以直线不过圆心．故选D.答案：D2．[考点二]在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长为(

)A．33B．23C．3D．1解析：圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝|0＋0－5|32＋42＝1，因为AB22＝22－12＝3，所以|AB|＝23.答案：B3.[考点三]一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2

＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－53或－35B．－32或－23C．－54或－45D．－43或－34解析：点A(－2，－3)关于y轴的对称点为A(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)

，即kx－y－2k－3＝0.∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d＝|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1，化简得24k2＋50k＋24＝0，解得k＝－43或－34.答案：D

4.[考点一](2017·广州模拟)已知直线y＝x＋m和圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O为坐标原点，若AO·AB＝32，则实数m的值为()A．±1B．±32C．±22D．±12解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AO＝(－x1，－y1)，AB＝(x2－x1，y2－y1)，由

y＝x＋m，x2＋y2＝1得，2x2＋2mx＋m2－1＝0，故Δ＝4m2－8(m2－1)＝8－4m2>0，－2<m<2，x1＋x2＝－m，x1x2＝m2－12，y1y2＝(x1＋m)(x2＋m)＝x1x2＋m(x1＋x2)＋m2，又AO·AB＝－x1x2－y

1y2＋x21＋y21＝32，故x1x2＋y1y2＝－12，故2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝－12，即m2－1－m2＋m2＝－12，得m2＝12，m＝±22，选C.答案：C5.[考点二]已知圆C：x2＋y2－8y＋12

＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程．解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为

2.(1)若直线l与圆C相切，则有|4＋2a|a2＋1＝2，解得a＝－34.解：过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，得|CD|＝|4＋2a|a2＋1，|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＝22，|DA|＝12|AB|＝2，解得a＝－7或a

＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程．突破点(二)圆与圆的位置关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)

，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况外离______________解外切d＝r1＋r2___

___实数解相交________________________________实数解内切d＝|r1－r2|(r1≠r2)_____实数解内含_____________________________解d>r1＋r2无一组|r1－r2|<d<r1＋r2两组不同的一组0≤d<|r1－r2|(

r1≠r2)无考点贯通抓高考命题的“形”与“神”圆与圆的位置关系[例1]分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交和相切．[解]将两圆的一般方程化为标准方程，

得C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，则圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k，k<50.从而|C1C2|＝－2－12＋3－72＝5.当|50－k－1|<5<50－k＋1，

即4<50－k<6，即14<k<34时，两圆相交．当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切；当|50－k－1|＝5，即k＝14时，两圆内切．所以当k＝14或k＝34时，两圆相切．[易错提醒]圆与圆的位置关系不

能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．圆与圆位置关系的应用设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1

y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．(1)当两圆相交时，两圆方

程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．(3)求公共弦长时，几何法比代数法

简单易求．[例2]已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．[解](1)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝

11，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝11＋4，|r1－r2|＝4－11，∴|r1－r2|<d<r1＋r2，∴圆C1和C2相交．[解]圆C1和圆C2的方程左、右分别相减，得4x＋3y－23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方

程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．[方法技巧]两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距

d，半弦长l2，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相

交C．外切D．相离解析：∵两圆心距离d＝2＋22＋12＝17，R＋r＝2＋3＝5，∴d＜R＋r，∴两圆相交．答案：B2.[考点一]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21B．19C．9D．－11解析：圆C1的圆

心是原点(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心C2(3,4)，半径r2＝25－m，由两圆相外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋25－m＝5，所以m＝9.答案：C3.[考点二]两圆交于点A(

1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x－y＋c2＝0上，则m＋c的值等于________．解析：由题意可知线段AB的中点m＋12，2在直线x－y＋c2＝0上，代入得m＋c＝3.答案：34.[考点二]过圆x

2＋y2＋4x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的相交弦端点的圆中周长最小的圆的方程是________．解析：联立圆方程得x2＋y2＋4x＋y＋1＝0，x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，解得x

1＝－15，y1＝－25或x2＝－1，y2＝－2，∴两圆的两个交点分别为A－15，－25，B(－1，－2)．过两交点的圆中，以AB为直径的圆的周长最小．∴该圆圆心为－35，－65，半径为－15＋12＋－25＋222

＝255，∴所求圆的方程为x＋352＋y＋652＝45.答案：x＋352＋y＋652＝455.[考点二]过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分

别为P，Q，则线段PQ的长为________．解析：将圆的方程化为标准方程(x－3)2＋(y－4)2＝5，则圆心为(3,4)，半径为5.由题意可设切线方程为y＝kx，则圆心(3,4)到直线y＝kx的距离等于半径，即|3k－4|k2＋1＝5，解得k＝12或

k＝112，则切线方程为y＝12x或y＝112x.联立切线方程与圆的方程，解得两切点P、Q的坐标分别为(4,2)，45，225，由两点间的距离公式得|PQ|＝4.答案：4[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国乙卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2

＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为______．解析：圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝a2＋2，因为|AB|＝23，点C到直线y＝x＋2a的距离d＝|0－a＋2a|2＝|a|2，由

勾股定理得2322＋|a|22＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.答案：4π2．(2016·全国丙卷)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴

交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________.解析：由直线l：mx＋y＋3m－3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O到直线l的距离为d＝|3m－3|m2＋1.由|AB|＝23得3m－3m2＋12＋(3)2＝12，解得m＝－33.又直线l

的斜率为－m＝33，所以直线l的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝π6，|CE|＝|AB|.在Rt△CDE中，可得|CD|＝|CE|cosπ6＝|AB|cosπ6＝23×23＝4.答案：43．(20

14·新课标全国卷Ⅱ)设点M(x0,1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．解析：由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0，即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当

x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的

x0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]4．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若OM·ON＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.解：(1)由题设可知直线l的方程为y＝kx＋

1.因为直线l与圆C交于两点，所以|2k－3＋1|1＋k2<1，解得4－73<k<4＋73.所以k的取值范围为4－73，4＋73.解：设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理

得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝41＋k1＋k2，x1x2＝71＋k2.OM·ON＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝4k1＋k1＋k2＋8.由题设可得4k1＋k1＋k2＋8＝12，解得

k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1.故圆心C在直线l上，所以|MN|＝2.(2)若OM·ON＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.