【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第九章 解析几何 第七节 曲线与方程 (含详解).ppt，共(29)页，424.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第七节曲线与方程本节重点突破1个知识点：轨迹方程的求法.突破点轨迹方程的求法基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是．(2)以这

个方程的解为坐标的点都是．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做．这个方程的解曲线上的点方程的曲线2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标．(2)写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}

．(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程.(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．f(x，y)＝03．曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组_____________

的实数解．若此方程组，则两曲线无交点．无解F1x，y＝0，F2x，y＝0考点贯通抓高考命题的“形”与“神”直接法求轨迹方程[例1](1)已知点F(0,1)，直线l：y＝－1，P为平面上的动点，过点P作

直线l的垂线，垂足为Q，且QP·QF＝FP·FQ，则动点P的轨迹C的方程为()A．x2＝4yB．y2＝3xC．x2＝2yD．y2＝4x[解析]设点P(x，y)，则Q(x，－1)．∵QP·QF＝FP·FQ，∴(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋

1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.[答案]A[解析]因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1)．设点P的坐标为(x，y)，由题意得y－1

x＋1·y＋1x－1＝－13，化简得x2＋3y2＝4(x≠±1)．故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．[答案]x2＋3y2＝4(x≠±1)(2)在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称

，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－13.则动点P的轨迹方程为________．[方法技巧]直接法求轨迹方程的思路直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系

设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．定义法求轨迹方程[例2](1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与

圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解]如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，则有|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.又|MA|＝|MB|，所

以|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2，即动点M到两定点C2，C1的距离的差是常数2，且2＜|C1C2|＝6，|MC2|＞|MC1|，故动圆圆心M的轨迹为以定点C2，C1为焦点的双曲线的左支，则2a＝2，所以a＝1

.又c＝3，则b2＝c2－a2＝8.设动圆圆心M的坐标为(x，y)，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．(2)如图，已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1,0)，圆E是△ABC的内切圆，在边A

C，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.求曲线M的方程．[解]由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，所以曲线M是以A，B

为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)．设曲线M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0，y≠0)，则a2＝4，b2＝a2－|AB|22＝3，所以曲线M的方程为：x24＋y23＝1(y≠0)．[方法技巧]定义法求轨迹方程的思路应用定义法求轨迹方程的关键在于由已知条件推出关于动点的等

量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解．代入法求轨迹方程[例3]设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且MN＝2MP，PM⊥PF，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．[解]设M

(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，∵PM⊥PF，PM＝(x0，－y0)，PF＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y20＝0.由MN＝2MP得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，∴

x－x0＝－2x0，y＝2y0，即x0＝－x，y0＝12y，∴－x＋y24＝0，即y2＝4x.故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.[方法技巧]代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动点坐标P(x，

y)．(2)寻找所求动点P(x，y)与已知动点Q(x′，y′)的关系．(3)建立P，Q两坐标间的关系，并表示出x′，y′.(4)将x′，y′代入已知曲线方程中化简求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[

考点三]已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0

解析：由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.即Q点的轨迹方程为2x－y＋5＝0.答案：D2.[考点二]已知A(0,7)，B(0，－

7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是()A．y2－x248＝1(y≤－1)B．y2－x248＝1C．y2－x248＝－1D．x2－y248＝1解析：由题意，得|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14

，又|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2.故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．∵c＝7，a＝1，∴b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－x248＝1(y≤－1)．答案：A3.[考点一

]在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足向量OP在向量OA上的投影为－5，则点P的轨迹方程是________________．解析：由OP·OA|OA|＝－5，知x＋2y＝－5，即点P的轨迹方程为

x＋2y＋5＝0.答案：x＋2y＋5＝04.[考点三]设过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且AB的中点为M，求点M的轨迹方程．解：由题意知F(1,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，则y1＋y2＝2y①，y21＝4

x1②，y22＝4x2③，②③式相减并将①式代入，得(y1－y2)y＝2(x1－x2)．当x1≠x2时，y1－y2x1－x2y＝2，④又A，B，M，F四点共线，所以y1－y2x1－x2＝yx－1，⑤将⑤式代入④式，得y2＝2(x－1)；当x1＝x2时

，M(1,0)也满足这个方程，即y2＝2(x－1)是所求的轨迹方程．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国乙卷)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆

A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；解：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，所以∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|

＝|EA|＋|ED|＝|AD|.又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24＋y23＝1(y≠0)．解：当l与x

轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由y＝kx－1，x24＋y23＝1得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k

2＋3.所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝12k2＋14k2＋3.(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．过点B

(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－1k(x－1)，点A到直线m的距离为2k2＋1，所以|PQ|＝242－2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.故四边形MPNQ的面积S＝12|MN||PQ|＝121＋14k2＋3.可得当l与x轴不垂直时，四

边形MPNQ面积的取值范围为(12,83)．当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，故四边形MPNQ的面积为12.综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83)．2．(2016·全国丙卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线

l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．解：由题意知F12，0，设直线l1的方程为y＝a，直线l2的方程为y＝b，则

ab≠0，且Aa22，a，Bb22，b，P－12，a，Q－12，b，R－12，a＋b2.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k

1，FQ的斜率为k2，则k1＝a－b1＋a2＝a－ba2－ab＝1a＝－aba＝－b＝b－0－12－12＝k2.所以AR∥FQ.解：设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝12|a－b|·|FD|＝12|a－b|x1

－12，S△PQF＝|a－b|2.由题意可得|a－b|x1－12＝|a－b|2，所以x1＝1或x1＝0(舍去)．设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得2a＋b＝yx－1(x≠1)．而a＋b2＝y，所以y2＝x

－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2＝x－1.所以所求的轨迹方程为y2＝x－1.(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．3．(2013·新课标

全国卷Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.解：由已知得

圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可

知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x24＋y23＝1(x≠－2)．解：对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)

时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23.若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则|QP||

QM|＝Rr1，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)，由l与圆M相切得|3k|1＋k2＝1，解得k＝±24.当k＝24时，y＝24x＋2代入x24＋y23＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，解得

x1,2＝－4±627.(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.所以|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝187.当k＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187.综上，|AB|＝23或|AB|＝187.