【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第九章 解析几何 第一节 直线与方程 (含详解).ppt，共(71)页，881.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第九章解析几何第一节直线与方程本节主要包括3个知识点：1．直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系；2．直线的方程；3．直线的交点、距离与对称问题.突破点(一)直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．直线的倾斜角(1)定义

：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l_________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴____________时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是______．向上方向平

行或重合[0，π)2．斜率公式(1)定义式：直线l的倾斜角为α≠π2，则斜率k＝______.(2)两点式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝______.3．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行：

①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔.tanαy2－y1x2－x1k1＝k2②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.(2)两条直线垂直：①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔.②当其中一条直线的斜率

不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.k1·k2＝－1考点贯通抓高考命题的“形”与“神”直线的倾斜角与斜率1．直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，二者的关系具体如下：斜率kk＝tanα>0k＝0k＝tanα<0不存在倾斜角α锐

角0°钝角90°2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tanα的单调性，如图所示：当α取值在0，π2内，由0增大到π2α≠π2时，k由0增大并趋向于正无穷大；当α取值在

π2，π内，由π2α≠π2增大到π(α≠π)时，k由负无穷大增大并趋近于0.解决此类问题，常采用数形结合思想．[例1](1)直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π)B．0，π4∪3π4，πC．

0，π4D．0，π4∪π2，π[解析](1)因为直线xsinα＋y＋2＝0的斜率k＝－sinα，又－1≤sinα≤1，所以－1≤k≤1.设直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tanθ≤1，而θ∈[0，

π)，故倾斜角的取值范围是0，π4∪3π4，π.[答案]B[解析]如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，kQA＝32，kPA＝－2，kl＝－1m.∴－1m≤－2或－1m≥32.解得0<m≤12或－23≤m

<0；当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点．∴实数m的取值范围为－23，12.[答案]－23，12(2)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取

值范围是________．[易错提醒]直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分0，π2与π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看

出，当α∈0，π2时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈π2，π时，斜率k∈(－∞，0)．两直线的位置关系两直线平行或垂直的判定方法(1)已知两直线的斜率存在①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距

不相等；②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1.(2)已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直线重合．(3)已知两直线的一般方程设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B

1＝0且B1C2－B2C1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.该方法可避免对斜率是否存在进行讨论．[例2](1)若直线ax＋2y－6＝0与x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________.[解析]因为两直线平行，所以有

a(a－1)－2＝0，且2(a2－1)＋6(a－1)≠0，即a2－a－2＝0，且a2＋3a－4≠0，解得a＝2或a＝－1.[答案]2或－1[解析]l1的斜率k1＝3a－01－－2＝a.当a≠0时，l2的斜率k2＝－2a－－1a－0＝1－2aa.因为l1⊥l2，所以k1k2＝－

1，即a·1－2aa＝－1，解得a＝1.当a＝0时，P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l2为y轴，A(－2，0)，B(1,0)，直线l1为x轴，显然l1⊥l2.综上可知，实数a的值为1或0.[答案]1或0(2)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点

Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．[易错提醒]当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.直线2xcosα－y－3

＝0（α∈[π6，π3]）的倾斜角的取值范围是()A.π6，π3B.π4，π3C.π4，π2D.π4，2π3解析：直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα，因为α∈π6，π3，所以12≤co

sα≤32，[考点一]因此k＝2·cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的取值范围是π4，π3.2．[考点一]直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是()A．33B．3C．－3D．－

33解析：设直线l的斜率为k，则k＝－sin30°cos150°＝33.答案：A3.[考点二]若直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，则实数m的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：∵直线l1：

mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，∴－m＋2－m＝0，m＋22－m≠0，解得m＝1.故选C.答案：C4．[考点二]已知直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，则a＝()A．2或12B．1

3或－1C．13D．－1解析：因为直线l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，l1⊥l2，所以2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0，解得a＝13或a＝－1.故选B.答案：B5.[考点一]直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1

)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．解析：如图，∵kAP＝1－02－1＝1，kBP＝3－00－1＝－3，∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞)6.[考点二](2016·苏北四市一

模)已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0平行，则2a＋3b的最小值为_____．解析：由两直线平行可得，a(b－3)－2b＝0，即2b＋3a＝ab，2a＋3b＝1.又a，b为正数，所以2a＋3b＝(2a＋3b)·2a＋3b＝13＋

6ab＋6ba≥13＋26ab·6ba＝25，当且仅当a＝b＝5时取等号，故2a＋3b的最小值为25.答案：25突破点(二)直线的方程基础联通抓主干知识的“源”与“流”直线方程的五种形式形式几何条件方程适用

范围点斜式过一点(x0，y0)，斜率k_______________与x轴不垂直的直线斜截式纵截距b，斜率k_________与x轴不垂直的直线y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b形式几何条件方程适用范围两点式过两点(x1，y1)，(x2，

y2)______________与x轴、y轴均不垂直的直线截距式横截距a，纵截距b__________不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面直角坐标系内所有直线y－

y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求直线方程[例1](1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的13的直线方程．[解](1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×13＝－43.

又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝0.[解]当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y

＝kx，则－5k＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．[解]①当m＝2时，直线l的方程为x＝2；②当m≠2时，直线l的方程为y

－13－1＝x－2m－2，即2x－(m－2)y＋m－6＝0.因为m＝2时，代入方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，即为x＝2，所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0.(3)求过A(2,1)，B(m,3)两点的直线l的方程．[易错

提醒](1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．与直线方程有关的最值问题[例2]过

点P(4,1)作直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点．(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程．(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．[解]设直线l：xa＋yb＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以4a＋

1b＝1.(1)4a＋1b＝1≥24a·1b＝4ab，所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，所以当a＝8，b＝2时，S△AOB＝12ab最小，此时直线l的方程为x8＋y2＝1，即x＋4y－8＝0.[解]因为4a＋1b＝

1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·4a＋1b＝5＋ab＋4ba≥5＋2ab·4ba＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋2y－6＝0.(2)

当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．[方法技巧]1．给定条件求直线方程的思路(1)考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况．(2)在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程．(3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用

性．2．与直线有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y表示x或用x表示y.(2)将问题转化成关于x(或y)的函数．(3)利用函数的单调性或基本不等式求最值．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[

考点一]倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0解析：直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.答案：D2.[考点一]已知直线l过点

(1,0)，且倾斜角为直线l0：x－2y－2＝0的倾斜角的2倍，则直线l的方程为()A．4x－3y－3＝0B．3x－4y－3＝0C．3x－4y－4＝0D．4x－3y－4＝0解析：由题意可设直线l0，l的倾斜角分别为α

，2α，因为直线l0：x－2y－2＝0的斜率为12，则tanα＝12，所以直线l的斜率k＝tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×121－122＝43，所以由点斜式可得直线l的方程为y－0＝43(x－1)，即4x－3y－4＝0.答案：D3．[考点二]若直线ax＋by＝ab(a

>0，b>0)过点(1,1)，则该直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为()A．1B．2C．4D．8解析：∵直线ax＋by＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，∴a＋b＝ab，即1a＋1b＝1，∴a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2

＋2ba·ab＝4，当且仅当a＝b＝2时上式等号成立．∴直线在x轴，y轴上的截距之和的最小值为4.答案：C4.[考点二]若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．解

析：根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为xa＋yb＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故－2a＋－2b＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0.根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4ab，从而ab≤0(舍去)或ab≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b

＝－4时取等号．即ab的最小值为16.答案：165.[考点一]△ABC的三个顶点分别为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：(1)BC边所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．解：(1)因为直线BC经过B(

2,1)和C(－2,3)两点，由两点式得BC的方程为y－13－1＝x－2－2－2，即x＋2y－4＝0.解：设BC边的中点D的坐标为(x，y)，则x＝2－22＝0，y＝1＋32＝2.BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线的方程为

x－3＋y2＝1，即2x－3y＋6＝0.(2)BC边上中线AD所在直线的方程；解：由(1)知，直线BC的斜率k1＝－12，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2.由(2)知，点D的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE的方程为y－2＝2(

x－0)，即2x－y＋2＝0.(3)BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．突破点(三)直线的交点、距离与对称问题基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．两条直线的交点2．三种距离类型条件距离公式两点间的距离点P1(x1，y1)，P2

(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝___________________点到直线的距离点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝______________两平行直线间的距离两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝____

______x2－x12＋y2－y12|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B2考点贯通抓高考命题的“形”与“神”直线的交点问题[例1](1)当0<k<12时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在()A．第一象限B．第二象限C．第三

象限D．第四象限[解析](1)由kx－y＝k－1，ky－x＝2k得x＝kk－1，y＝2k－1k－1.又∵0<k<12，∴x＝kk－1<0，y＝2k－1k－1>0，故直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：k

y－x＝2k的交点在第二象限．[答案]B[解析]若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别为A′(3，－4)，B′(3，－9)，截得的线段A′B′的长|A′B′|＝|－4＋9|＝5，符合题意．若直线

l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1.解方程组y＝kx－3＋1，x＋y＋1＝0，得A3k－2k＋1，－4k－1k＋1，解方程组y＝kx－3＋1，x＋y＋6＝0，得B3k－7k＋1，－9k－1k＋1.由|AB|＝5，得

3k－2k＋1－3k－7k＋12＋－4k－1k＋1＋9k－1k＋12＝52.解得k＝0，即所求的直线方程为y＝1.综上可知，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.[答案]x＝3或y＝1(2)已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和

l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为________．[方法技巧]1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程联立组成的方程组，得到的方程组的解，即交点的坐标．2．求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两

直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．距离问题[例2](1)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A.95B.185C.2910D.29

5[解析]因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ|的最小值为2910.[答案]C[解析]设点P的坐

标为(a，b)．∵A(4，－3)，B(2，－1)，∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．而AB的斜率kAB＝－3＋14－2＝－1，∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.(2)已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，若在坐标平

面内存在一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2，则P点坐标为________．∵点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，∴a－b－5＝0.①又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，∴|4a＋3b－2|42＋32＝2，即4a＋3b

－2＝±10，②由①②联立可得a＝1，b＝－4或a＝277，b＝－87.∴所求点P的坐标为(1，－4)或277，－87.[答案](1，－4)或277，－87[易错提醒](1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0

－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x，y的系数化为相等．对称问题1．中心对称问题的两种类型及求解方法(1)点关于点对称：若点M(x1，y1)及

N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得x＝2a－x1，y＝2b－y1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直

线平行，由点斜式得到所求直线方程．2．轴对称问题的两种类型及求解方法(1)点关于直线的对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组Ax1＋x22＋By1＋y22＋C＝0，y2－y1x2－x1·

－AB＝－1，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．(2)直线关于直线的对称：①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．②若直线

与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解．[例3](1)点P(3,2)关于点Q(1,4)的对称点M为()A．(1,6)B．(6,1)C．(1，－6)D．(－1,6)[解析](1)设M

(x，y)，则3＋x2＝1，2＋y2＝4，∴x＝－1，y＝6，∴M(－1,6)．[答案]D[解析]设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由x＋x02－y＋y02＋

2＝0，x－x0＝－y－y0，得x0＝y－2，y0＝x＋2，由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.[答案]A(2)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线

方程是()A．x－2y＋3＝0B．x－2y－3＝0C．x＋2y＋1＝0D．x＋2y－1＝0[解析]设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以b－4a－－3

·1＝－1，－3＋a2－b＋42＋3＝0，解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为y－06－0＝x－12－1，即6x－y－6＝0.[答案]6x－y－6＝0(3)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反

射光线所在直线的方程为________．[方法技巧]解决两类对称问题的关键点解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与

对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．[考点三](2016·东城期末)如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，

那么直线l的方程为()A．x－y＋1＝0B．x＋y＋1＝0C．x－y－1＝0D．x＋y－1＝0解析：因为直线AB的斜率为a＋1－aa－1－a＝－1，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点2a－12，2a＋12，所以2a＋12＝2a－12＋b，解得

b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.选A.答案：A2．[考点二]若直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离是5，则m＋n＝()A．0B．1C．－1D．2解析：∵直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与直线l2：x＋ny－3＝0之间的距离为

5，∴n＝－2，|m＋3|5＝5，∴n＝－2，m＝2(负值舍去)．∴m＋n＝0.答案：A3.[考点一]已知定点A(1,0)，点B在直线x－y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是()A.12，12B.22，22C.

32，32D.52，52解析：因为定点A(1,0)，点B在直线x－y＝0上运动，所以当线段AB最短时，直线AB和直线x－y＝0垂直，设直线AB的方程为x＋y＋m＝0，将A点代入，解得m＝－1，所以直线AB

的方程为x＋y－1＝0，它与x－y＝0联立解得x＝12，y＝12，所以B的坐标是12，12.答案：A4.[考点三]若m>0，n>0，点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点在直线x－y＋2＝0上，那么1m＋4n的最小值等于________

．解析：由题意知(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为(1－n,1＋m)．则1－n－(1＋m)＋2＝0，即m＋n＝2.于是1m＋4n＝12(m＋n)1m＋4n＝12×5＋nm＋4mn≥12×(5＋2×2)＝92，当且仅当m＝23，

n＝43时等号成立．答案：925.[考点一]经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________________．解析：由方程组x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0，得

x＝0，y＝2，即P(0,2)．∵l⊥l3，直线l3的斜率为34，∴直线l的斜率k1＝－43，∴直线l的方程为y－2＝－43x，即4x＋3y－6＝0.答案：4x＋3y－6＝06.[考点二]已知点P(2，－1)．(1)求过点P且与原点的距离为2的直线l的方程．(2)求过点P且与原点的

距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．解：(1)过点P的直线l与原点的距离为2，而点P的坐标为(2，－1)，显然，过P(2，－1)且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程

为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知得|－2k－1|k2＋1＝2，解得k＝34.此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，可得直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.解：作图可得过点P与原点O的距离

最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．由l⊥OP，得klkOP＝－1，因为kOP＝－12，所以kl＝－1kOP＝2.由直线方程的点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.所以直线2x－y－

5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5.(2)求过点P且与原点的距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？解：由(2)可知，过点P不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P且到原点的距离为6的直

线.(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．[全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国甲卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－3

4C.3D．2解析：因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43.答案：A2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>

0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是()A．(0,1)B．1－22，12C．1－22，13D．13，12解析：法一：(1)当直线y＝ax＋b与AB，BC相交时，如图①所示．易求得：xM＝－ba，yN＝a

＋ba＋1.由已知条件得：1＋ba·a＋ba＋1＝1，∴a＝b21－2b.∵点M在线段OA上，∴－1<－ba<0，∴0<b<a.∵点N在线段BC上，∴0<a＋ba＋1<1，∴b<1.由b21－2b>b，b21－2b>0，b>0，解得1

3<b<12.(2)当直线y＝ax＋b与AC，BC相交时，如图②所示．设MC＝m，NC＝n，则S△MCN＝12mn＝12，∴mn＝1.显然，0<n<2，∴m＝1n>22.又0<m≤2且m≠n.∴22<m≤2且m≠1.设D到AC，BC的距离为t，则tm

＝DNMN，tn＝DMMN，∴tm＋tn＝DNMN＋DMMN＝1.∴t＝mnm＋n，∴1t＝1m＋1n＝1m＋m.而f(m)＝m＋1m22<m≤2且m≠1的值域为2，322，即2<1t≤322，∴23≤t＜12.∵b＝1－CD＝1－2t，∴1－22＜b≤1

3.综合(1)、(2)可得：1－22<b<12.法二：由x＋y＝1，y＝ax＋b消去x，得y＝a＋ba＋1，当a＞0时，直线y＝ax＋b与x轴交于点－ba，0，结合图形知12×a＋ba＋1×1＋ba＝12，化简得(a＋b)2＝a(a＋

1)，则a＝b21－2b.∵a＞0，∴b21－2b＞0，解得b＜12.考虑极限位置，即a＝0，此时易得b＝1－22，故答案为B.