【文档说明】(新高考)高考数学二轮专项复习(八)《解析几何减少运算量的常见技巧》(含详解).doc，共(5)页，106.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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解析几何减少运算量的常见技巧技巧一巧用平面几何性质已知O为坐标原点，F是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直

线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A．13B．12C．23D．34【解析】设OE的中点为N，如图，因为MF∥OE，所以有ONMF＝aa＋c，MFOE＝a－ca.又因为OE＝2ON，所以有12＝aa＋c·a－ca，解得e＝ca＝13，故选A．【答案

】A此题也可以用解析法解决，但有一定的计算量，巧用三角形的相似比可简化计算．技巧二设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“点差法”求解．已知椭圆

E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为M(1，－1)，则E的标准方程为()A．x245＋y236＝1B．x236＋y227＝1C．x227

＋y218＝1D．x218＋y29＝1【解析】通解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，x21a2＋y21b2＝1，①x22a2＋y22b2＝1，②①－②得(x1＋x2)(x1－x2)a2＋(y1＋y2)(y1－y2)b2＝0，所以kAB＝y

1－y2x1－x2＝－b2(x1＋x2)a2(y1＋y2)＝b2a2.又kAB＝0＋13－1＝12，所以b2a2＝12.又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的标准方程为x218＋y29＝1.优解：由kAB·kOM＝－b2a2得，－1－01－3×－

11＝－b2a2得，a2＝2b2，又a2－b2＝9，所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆E的标准方程为x218＋y29＝1.【答案】D本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快

速解决问题．技巧三巧用“根与系数的关系”，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算

量小，解题过程简捷．已知椭圆x24＋y2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆M，N两点．(1)当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；(2)当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定

点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．【解】(1)直线AM的斜率为1时，直线AM的方程为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0.解得x1＝－2，x2＝－65，所以M－65，45.(2)设直线A

M的斜率为k，直线AM的方程为y＝k(x＋2)，联立方程y＝k(x＋2)，x24＋y2＝1，化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.则xA＋xM＝－16k21＋4k2，又xA＝－2，则xM＝－xA－16k

21＋4k2＝2－16k21＋4k2＝2－8k21＋4k2.同理，可得xN＝2k2－8k2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P－65，0.证明如下：因为kMP＝yMxM＋65＝k2－8k21＋4k2＋22－8k21＋4k2＋

65＝5k4－4k2，同理可计算得kPN＝5k4－4k2.所以直线MN过x轴上的一定点P－65，0.本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出xM＝2－8k21＋4k2，这体现了整体思想．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．技巧四巧妙“换元”

减少运算量变量换元的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化．变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求值等问题．如图，已知椭圆C的离心率为32，

点A，B，F分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点，且S△ABF＝1－32.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，若直线l与椭圆C交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．【解】(1)由已知椭圆的焦点在x轴上，设其方程为x2a2＋y2b2＝1(a

＞b＞0)，则A(a，0)，B(0，b)，F(c，0)(c＝a2－b2)．由已知可得e2＝a2－b2a2＝34，所以a2＝4b2，即a＝2b，可得c＝3b①.S△AFB＝12×|AF|×|OB|＝12(a－c)b＝1－32②.将①代入

②，得12(2b－3b)b＝1－32，解得b＝1，故a＝2，c＝3.所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.(2)圆O的圆心为坐标原点，半径r＝1，由直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝1相切，得|m|1＋k2＝1，故有m2＝1＋k2③.由x24＋y2＝1，y＝kx＋m，消去y，得

14＋k2x2＋2kmx＋m2－1＝0.由题可知k≠0，即(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，所以Δ＝16(4k2－m2＋1)＝48k2＞0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－44k2＋1.所以|x1－x2

|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－8km4k2＋12－4×4m2－44k2＋1＝16(4k2－m2＋1)(4k2＋1)2④.将③代入④中，得|x1－x2|2＝48k2(4k2＋1)2，故|x1－x2|＝43|k|

4k2＋1.所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2×43|k|4k2＋1＝43k2(k2＋1)4k2＋1.故△OMN的面积S＝12|MN|×1＝12×43k2(k2＋1)4k2＋1×1＝23k2(k2＋1)4k2＋1

.令t＝4k2＋1，则t≥1，k2＝t－14，代入上式，得S＝23×t－14t－14＋1t2＝32(t－1)(t＋3)t2＝32t2＋2t－3t2＝32－3t2＋2t＋1＝32－1t2＋23t＋13＝32－1t－132＋

49，所以当t＝3，即4k2＋1＝3，解得k＝±22时，S取得最大值，且最大值为32×49＝1.破解此类题的关键：一是利用已知条件，建立关于参数的方程，解方程，求出参数的值，二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一函数，求得其值域，从而求得原函数的值域，

形如y＝ax＋b±cx＋d(a，b，c，d均为常数，且ac≠0)的函数常用此法求解，但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价转化，这样目标函数的值域才不会发生变化．