【文档说明】高考数学(文数)一轮复习习题 课时跟踪检测 （四十八）　双曲线 (含解析).doc，共(7)页，97.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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课时跟踪检测(四十八)双曲线一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m的值是()A．4B．14C．－14D．－4解析：选C依题意得m＜0，双曲线方程是x2－y2－1m＝1，于是有－1m

＝2³1，m＝－14．2．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±12xD．y＝±22x解析：选B由条件e＝3，即ca＝3

，得c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝3，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x．故选B．3．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，且C上点P满足PF1―→²PF2―→＝0，|PF1―

→|＝3，|PF2―→|＝4，则双曲线C的离心率为()A．102B．5C．52D．5解析：选D依题意得，2a＝|PF2|－|PF1|＝1，|F1F2|＝|PF2|2＋|PF1|2＝5，因此该双曲线的离心率e＝|F1F2||PF2|－|PF1|＝5．4．(2017²西安质检)过双曲线x2－y2

3＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________．解析：双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－y23＝0，将x＝2代入x2－

y23＝0，得y2＝12，y＝±23，∴|AB|＝43．答案：435．如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若|AB|＝4，|BC|＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>

0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，∴4＝a2＋b2，4a2－9b2＝1，解得a2＝1，b2＝3，∴双曲线的标准方程为x2－y23＝1．答案：x2－y23＝1二保高考，全练题型做到高考达标1．“k＜9”是“方程x225－k＋y2k－9＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条

件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵方程x225－k＋y2k－9＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)＜0，∴k＜9或k＞25，∴“k＜9”是“方程x225－k＋y2k－9＝1表示双曲

线”的充分不必要条件，故选A．2．(2017²合肥质检)若双曲线C1：x22－y28＝1与C2：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为45，则b＝()A．2B．4C．6D．8解析：选B由题意得，ba＝2⇒b＝2a，C2的焦距2

c＝45⇒c＝a2＋b2＝25⇒b＝4，故选B．3．(2016²石家庄教学质量检测)已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的

面积为()A．12B．1C．2D．4解析：选C由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，∴AB中点坐标为x1＋x22，x1－x22，∴x1＋x222－x1－x222＝2，即x1x2＝2，∴S△A

OB＝12|OA|²|OB|＝12|2x1|²|2x2|＝x1x2＝2，故选C．4．(2017²河南六市第一次联考)已知点F1，F2分别是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|∶|BF2|∶|A

F2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为()A．2B．4C．13D．15解析：选C由题意，设|AB|＝3k，|BF2|＝4k，|AF2|＝5k，则BF1⊥BF2，|AF1|＝|AF2|－2a＝5k－2a，∵

|BF1|－|BF2|＝5k－2a＋3k－4k＝4k－2a＝2a，∴a＝k，∴|BF1|＝6a，|BF2|＝4a，又|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2，即13a2＝c2，∴e＝ca＝13．5．(2017²长春质检)过双曲线x2－y215＝1的右支上一点P，分别向

圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为()A．10B．13C．16D．19解析：选B由题可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)

，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13．6．已知双曲线的一个焦点F(0，5)，它的渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的标准方程为_______

_________．解析：设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，由题意得c＝5，ab＝2⇒a2＋b2＝5，a＝2b⇒a2＝4，b2＝1，所以双曲线的标准方程为y24－x2＝1．答案：y24－x2＝17．若

点P是以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则|PA|＋|PB|＝________．解析：不妨设点P在双曲线的右支上，则|PA|＞|PB|．因为点P是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定

义知，|PA|－|PB|＝25，①又|PA|2＋|PB|2＝36，②联立①②化简得2|PA|²|PB|＝16，所以(|PA|＋|PB|)2＝|PA|2＋|PB|2＋2|PA|²|PB|＝52，所以|PA|＋|P

B|＝213．答案：2138．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则双曲线的离心率e的最大值为________．解析：由双曲线定义知|PF1|－|PF2|

＝2a，又已知|PF1|＝4|PF2|，所以|PF1|＝83a，|PF2|＝23a，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝649a2＋49a2－4c22²83a²23a＝178－98e2，要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的

最小值，∵cos∠F1PF2≥－1，∴cos∠F1PF2＝178－98e2≥－1，解得e≤53，即e的最大值为53．答案：539．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，

－10)，点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：MF1―→²MF2―→＝0；(3)求△F1MF2的面积．解：(1)∵e＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等．∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ．∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ

＝6．∴双曲线方程为x2－y2＝6．(2)证明：设MF1―→＝(－23－3，－m)，MF2―→＝(23－3，－m)．∴MF1―→²MF2―→＝(3＋23)³(3－23)＋m2＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴MF1―→²

MF2―→＝0．(3)∵△F1MF2的底边长|F1F2|＝43．由(2)知m＝±3．∴△F1MF2的高h＝|m|＝3，∴S△F1MF2＝12³43³3＝6．10．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双

曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|．解：(1)∵双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴ca＝3，a＝3，解得c＝3，b＝6，∴双曲线的方程为x23－y26＝1．(2)双曲

线x23－y26＝1的右焦点为F2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝33(x－3)．联立x23－y26＝1，y＝33x－，得5x2＋6x－27＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－65

，x1x2＝－275．所以|AB|＝1＋13³－652－4³－275＝1635．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017²三明质检)已知P是双曲线x23－y2＝1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的

垂线，垂足分别为A，B，则PA―→²PB―→的值是()A．－38B．316C．－38D．不能确定解析：选A令点P(x0，y0)，因为该双曲线的渐近线分别是x3－y＝0，x3＋y＝0，所以可取|PA|＝x03－

y013＋1，|PB|＝x03＋y013＋1，又cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2∠AOx＝－cosπ3＝－12，所以PA―→²PB―→＝|PA―→|²|PB―→|²cos∠APB＝x203－y2043

²－12＝34³－12＝－38．2．已知椭圆C1的方程为x24＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．(

1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA―→²OB―→＞2，求k的取值范围．解：(1)设双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，故双曲线C2的方程为x23

－y2＝1．(2)将y＝kx＋2代入x23－y2＝1，得(1－3k2)x2－62kx－9＝0．由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得1－3k2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2＞0，∴k2＜1且k2≠13．①设A(x1，y1)，B(x2，y2

)，则x1＋x2＝62k1－3k2，x1x2＝－91－3k2．∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(k2＋1)x1x2＋2k(x1＋x2)＋2＝3k2＋73k2－1．又∵OA―→²OB―→＞2，即x1x2＋y1y2＞2，∴

3k2＋73k2－1＞2，即－3k2＋93k2－1＞0，解得13＜k2＜3．②由①②得13＜k2＜1，故k的取值范围为－1，－33∪33，1．