【文档说明】高考数学(文数)一轮复习习题 课时跟踪检测 （六十一）　不等式的证明 (含解析).doc，共(4)页，51.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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课时跟踪检测(六十一)不等式的证明1．如果x＞0，比较(x－1)2与(x＋1)2的大小．解：(x－1)2－(x＋1)2＝＝－4x．因为x＞0，所以x＞0，所以－4x＜0，所以(x－1)2＜(x＋1)2．2．设不

等式|2x－1|＜1的解集为M．(1)求集合M．(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解：(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1．所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,

0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0．故ab＋1＞a＋b．3．(2017·重庆第一次适应性测试)设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1．(1)求证：2ab＋bc＋ca＋c22≤12；(2)求证：a2＋c2b＋b2＋a2c＋c2＋b

2a≥2．证明：(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，所以2ab＋bc＋ca＋c22＝12(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤12．(2)因为a2＋c2b≥2

acb，b2＋a2c≥2abc，c2＋b2a≥2bca，所以a2＋c2b＋b2＋a2c＋c2＋b2a≥acb＋abc＋abc＋bca＋acb＋bca＝acb＋bc＋bac＋ca＋cab＋ba

≥2a＋2b＋2c＝2．4．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab．(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．解：(1)由ab＝1a＋1b≥2ab，得ab≥2，且当a＝b＝2时等号成立．故a3＋b3≥2a3b3≥42，且

当a＝b＝2时等号成立．所以a3＋b3的最小值为42．(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥43．由于43>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6．5．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a．(1)求a的值；(2)若p，

q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3．解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3．(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数

，所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3．6．(2016·海口调研)设函数f(x)＝|x－a|．(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥7－|x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为，1m＋12n＝a(m

＞0，n＞0)，求证：m＋4n≥22＋3．解：(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥7，∴x＜1，2－x＋1－x≥7或1≤x≤2，2－x＋x－1≥7或x＞2，x－2＋x－1≥7

，解得x≤－2或x≥5，∴不等式的解集为(－∞，－2]∪，∴a－1＝0，a＋1＝2，解得a＝1，∴1m＋12n＝1(m＞0，n＞0)，∴m＋4n＝(m＋4n)1m＋12n＝3＋4nm＋m2n≥22＋3(当且仅当m＝22n时取等号)．7．已知函数f(x)＝

|x－1|．(1)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；(2)若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：fab|a|＞fba．解：(1)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|＝－3x－2，x

＜－3，－x＋4，－3≤x＜12，3x＋2，x≥12，当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－103；当－3≤x＜12时，－x＋4≥8无解；当x≥12时，由3x＋2≥8，解得x≥2．所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为

xx≤－103或x≥2．(2)证明：fab|a|＞fba等价于f(ab)＞|a|fba，即|ab－1|＞|a－b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－

1)(b2－1)＞0，所以|ab－1|＞|a－b|．故所证不等式成立．8．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1．记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N．(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x2≤14．解：(1)f(x)＝

3x－3，x∈[1，＋，1－x，x∈－∞，当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤43，故1≤x≤43；当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1．所以f(x)≤1的解集为M＝x0≤x≤43

．(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，得16x－142≤4，解得－14≤x≤34．因此N＝x－14≤x≤34，故M∩N＝x0≤x≤34．当x∈M∩N时，f(x)＝

1－x，于是x2f(x)＋x·2＝xf(x)＝x·f(x)＝x(1－x)＝14－x－122≤14．