【文档说明】高考数学(文数)一轮复习习题 课时跟踪检测 （五十）　圆锥曲线的综合问题 (含解析).doc，共(9)页，118.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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课时跟踪检测(五十)圆锥曲线的综合问题一保高考，全练题型做到高考达标1．过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A．有且只有一条B．有且只有两条C．有且只有三条D．有且只有四条解析：选B设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB

)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋p2＋xB＋p2＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2．所以符合条件的直线有且只有两条．2．若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是()A．－153，153B．0，153C．－15

3，0D．－153，－1解析：选D由y＝kx＋2，x2－y2＝6得(1－k2)x2－4kx－10＝0．设直线与双曲线右支交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1－k2≠0，Δ＝16k2－－k2－＞0，x1＋x2＝4k1

－k2＞0，x1x2＝－101－k2＞0，解得－153＜k＜－1．即k的取值范围是－153，－1．3．经过椭圆x22＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A，B两点．设O为坐标原点，则OA―→²OB―→等于()A．

－3B．－13C．－13或－3D．±13解析：选B依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y－0＝tan45°(x－1)，即y＝x－1，代入椭圆方程x22＋y2＝1并整理得3x2－4x＝0，解得x＝0或x＝43，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，

43，13，∴OA―→²OB―→＝－13，同理，直线l经过椭圆的左焦点时，也可得OA―→²OB―→＝－13．4．已知抛物线y2＝2px的焦点F与椭圆16x2＋25y2＝400的左焦点重合，抛物线的准线

与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|＝2|AF|，则点A的横坐标为()A．2B．－2C．3D．－3解析：选D16x2＋25y2＝400可化为x225＋y216＝1，则椭圆的左焦点为F(－3,0)，又抛物

线y2＝2px的焦点为p2，0，准线为x＝－p2，所以p2＝－3，即p＝－6，即y2＝－12x，K(3,0)．设A(x，y)，则由|AK|＝2|AF|得(x－3)2＋y2＝2，即x2＋18x＋9＋y2

＝0，又y2＝－12x，所以x2＋6x＋9＝0，解得x＝－3．5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b＞0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y＝ax2上的两点A(x1，y1)，B(

x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝－12，则m的值为()A．32B．52C．2D．3解析：选A由双曲线的定义知2a＝4，得a＝2，所以抛物线的方程为y＝2x2．因为点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y＝2

x2上，所以y1＝2x21，y2＝2x22，两式相减得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)，不妨设x1＜x2，又A，B关于直线y＝x＋m对称，所以y1－y2x1－x2＝－1，故x1＋x2＝－12，而x1x2＝－12，解得x1＝－1，x2＝12，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)的中点为M(x0，y0)，则x0＝x1＋x22＝－14，y0＝y1＋y22＝2x21＋2x222＝54，因为中点M在直线y＝x＋m上，所以54＝－14＋m，解得m＝3

2．6．已知(4,2)是直线l被椭圆x236＋y29＝1所截得的线段的中点，则l的方程是__________________．解析：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x2136＋y219＝1，且x22

36＋y229＝1，两式相减并化简得y1－y2x1－x2＝－x1＋x2y1＋y2．又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以y1－y2x1－x2＝－12，故直线l的方程为y－2＝－12(x－4)，即x＋2y－8＝0．答案：x＋2y－8＝07．如图，过抛物线y＝14x2的焦点F的直

线l与抛物线和圆x2＋(y－1)2＝1交于A，B，C，D四点，则AB―→²DC―→＝________．解析：不妨设直线AB的方程为y＝1，联立y＝1，y＝14x2，解得x＝±2，则A(－2,1)，D(2,1)，因为B(－1,1)，C(1,1)，所以

AB―→＝(1,0)，DC―→＝(－1,0)，所以AB―→²DC―→＝－1．答案：－18．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为________________．解析：因为

椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)，则a2－b2＝4，所以可设椭圆方程为y2b2＋4＋x2b2＝1，联立y＝3x＋7，y2b2＋4＋x2b2＝1，得(10b2＋4)y2－14(b2＋4)y－9

b4＋13b2＋196＝0，设直线y＝3x＋7与椭圆相交所得弦的端点为(x1，y1)，(x2，y2)，由一元二次方程根与系数的关系得：y1＋y2＝b2＋10b2＋4＝2．解得：b2＝8．所以a2＝12．则椭圆方程为x28＋y212＝1．答案：x28＋y212＝19．如图，在平面直角坐标系xOy中

，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，AB＝4．(1)求椭圆的方程；(2)若|AB|＋|CD|＝487，求直线AB的方程．解：(1)由题意知e＝ca＝12，2a＝

4．又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，所以椭圆方程为x24＋y23＝1．(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在时，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．②当两条弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B

(x2，y2)，则直线CD的方程为y＝－1k(x－1)．将直线AB方程代入椭圆方程中并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，则x1＋x2＝8k23＋4k2，x1²x2＝4k2－123＋4k2，

所以|AB|＝k2＋1|x1－x2|＝k2＋1²x1＋x22－4x1x2＝k2＋3＋4k2．同理，|CD|＝121k2＋13＋4k2＝k2＋3k2＋4．所以|AB|＋|CD|＝k2＋3＋4k2＋k2＋3k2＋4＝k2＋2＋4k2k2＋＝487，解得k＝±1，所以

直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0．10．(2016²北京高考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N

．求证：|AN|²|BM|为定值．解：(1)由题意得ca＝32，12ab＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝3.所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1．(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．设P(x0，y0)，则x20＋4

y20＝4．当x0≠0时，直线PA的方程为y＝y0x0－2(x－2)．令x＝0，得yM＝－2y0x0－2，从而|BM|＝|1－yM|＝1＋2y0x0－2．直线PB的方程为y＝y0－1x0x＋1．令y＝0，得xN＝－x0y

0－1，从而|AN|＝|2－xN|＝2＋x0y0－1．所以|AN|²|BM|＝2＋x0y0－1²1＋2y0x0－2＝x20＋4y20＋4x0y0－4x0－8y0＋4x0y

0－x0－2y0＋2＝4x0y0－4x0－8y0＋8x0y0－x0－2y0＋2＝4．当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，所以|AN|²|BM|＝4．综上，|AN|²|BM|为定值．二上台阶，自主选做志在冲刺

名校1．(2017²海口调研)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左，右顶点分别为A，B，其离心率e＝12，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是23．(1)求椭圆的方程；(2)若过椭圆C右顶点B的直线l

与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当PB―→²PD―→＝0时，求点P的坐标．解：(1)由题意可知e＝ca＝12，12³2ab＝23，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝3，所以椭圆方程是x24＋y23＝1．(2)由(1)知B(2,0)，设直线BD的方程为y＝k(

x－2)，D(x1，y1)，把y＝k(x－2)代入椭圆方程x24＋y23＝1，整理得(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，所以2＋x1＝16k23＋4k2⇒x1＝8k2－63＋4k2，则D8k2－63＋4k2，－12k

3＋4k2，所以BD中点的坐标为8k23＋4k2，－6k3＋4k2，则直线BD的垂直平分线方程为y－－6k3＋4k2＝－1kx－8k23＋4k2，得P0，2k3＋4k2．又PB―→²PD―→＝0，即2，－2k3＋4k2²8k

2－63＋4k2，－14k3＋4k2＝0，化简得64k4＋28k2－36＋4k22＝0⇒64k4＋28k2－36＝0，解得k＝±34．故P0，27或0，－27．2．如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)经过点P

1，32，离心率e＝12，直线l的方程为x＝4．(1)求椭圆C的方程．(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在

，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P1，32在椭圆上得，1a2＋94b2＝1，①依题设知a＝2c，则a2＝4c2，b2＝3c2，②将②代入①得c2＝1，a2＝4，b2＝3．故椭圆C的方程为x24＋y23＝1．(2)存在．理由如下：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程

为y＝k(x－1)，③代入椭圆方程并整理得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝k2－4k2＋3，④在方程③中

令x＝4，得M(4,3k)．从而k1＝y1－32x1－1，k2＝y2－32x2－1，k3＝3k－324－1＝k－12．因为A，F，B三点共线，则有k＝kAF＝kBF，即y1x1－1＝y2x2－1＝k．

所以k1＋k2＝y1－32x1－1＋y2－32x2－1＝y1x1－1＋y2x2－1－321x1－1＋1x2－1＝2k－32²x1＋x2－2x1x2－x1＋x2＋1，⑤将④代入⑤得k1＋k2＝2k－32²8k

24k2＋3－2k2－4k2＋3－8k24k2＋3＋1＝2k－1．又k3＝k－12，所以k1＋k2＝2k3．故存在常数λ＝2符合题意．