【文档说明】高考数学(文数)一轮复习习题 课时跟踪检测 （五十八） 坐标系 (含解析).doc，共(5)页，64.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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课时跟踪检测(五十八)坐标系1．求双曲线C：x2－y264＝1经过φ：x′＝3x，2y′＝y，变换后所得曲线C′的焦点坐标．解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将x＝13x′，y＝2y′代入x2－y264＝1得x′29－4y′264＝1，化简得x′2

9－y′216＝1，即x29－y216＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．2．(1)把化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)化为极坐标方程；(2)把曲线的极坐标方程ρ＝8sinθ化为直角坐标方程．解：(

1)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＝r2，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，ρ2(cos2θ＋sin2θ)＝r2，ρ＝r．所以，以极点为圆心、半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r(0≤θ＜2π)．(2)法一：把ρ＝x2＋y2，sinθ＝yρ代入ρ＝

8sinθ，得x2＋y2＝8·yx2＋y2，即x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16．法二：方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝8ρsinθ，即x2＋y2－8y＝0．3．在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝31＋2sin2θ，点R22，π4．(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建

立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．解：(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2

3＋y2＝1，点R的直角坐标为R(2,2)．(2)设P(3cosθ，sinθ)，根据题意可得|PQ|＝2－3cosθ，|QR|＝2－sinθ，∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)，当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，∴矩形PQRS周长的最小值为4，此时点P的直角坐标为

32，12．4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中

点为P，求直线OP的极坐标方程．解：(1)由ρcosθ－π3＝1得ρ12cosθ＋32sinθ＝1．从而C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y＝2．当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2．(2

)由(1)知M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为0，233．所以P点的直角坐标为1，33，则P点的极坐标为233，π6，所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．5．(2017·成都模拟)在直角坐

标系xOy中，半圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ＋3cosθ)＝53，射线OM：θ＝π3与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长

．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以半圆C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，θ∈0，π2．(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，则有ρ1＝2cosθ1，θ1＝π3，解得ρ1＝1，θ1＝π3，设(ρ2，θ2)为点Q

的极坐标，则有ρ2θ2＋3cosθ2＝53，θ2＝π3，解得ρ2＝5，θ2＝π3，由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ的长为4．6．在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3，求：(1

)直线的极坐标方程；(2)极点到该直线的距离．解：(1)如图，由正弦定理得ρsin2π3＝1sinπ3－θ．即ρsinπ3－θ＝sin2π3＝32，∴所求直线的极坐标方程为ρsinπ3－θ＝32．(2)

作OH⊥l，垂足为H，在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝π2，∠OAH＝π3，则OH＝OAsinπ3＝32，即极点到该直线的距离等于32．7．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝acost，y＝1＋asint(t为参数，a>0)．在以坐标原点

为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cosθ．(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tanα0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．解：(1)消去参数t得

到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0．(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标

满足方程组ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，ρ＝4cosθ.若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sinθcosθ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcosθ＝0，从而1－a2＝0，解得a

＝－1(舍去)或a＝1．当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．所以a＝1．8．(2017·广州五校联考)在极坐标系中，圆C是以点C2，－π6为圆心，2为半径的圆．(1)求圆C的极坐标方程；(2)求圆C被直线l：θ＝－5π12(ρ∈R)所截得的弦长．解：法一

：(1)设所求圆上任意一点M(ρ，θ)，如图，在Rt△OAM中，∠OMA＝π2，∠AOM＝2π－θ－π6，|OA|＝4．因为cos∠AOM＝|OM||OA|，所以|OM|＝|OA|·cos∠AOM，即ρ＝4cos2π－θ－π6＝4cosθ＋π6，验证可

知，极点O与A4，－π6的极坐标也满足方程，故ρ＝4cosθ＋π6为所求．(2)设l：θ＝－5π12(ρ∈R)交圆C于点P，在Rt△OAP中，∠OPA＝π2，易得∠AOP＝π4，所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝22．法二：(

1)圆C是将圆ρ＝4cosθ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆，所以圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ＋π6．(2)将θ＝－5π12代入圆C的极坐标方程ρ＝4cosθ＋π6，得ρ＝22

，所以圆C被直线l：θ＝－5π12(ρ∈R)所截得的弦长为22．