【文档说明】高考数学(文数)一轮复习习题 专题训练 简化解析几何运算的5个技巧 (含解析).doc，共(8)页，102.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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升级增分训练简化解析几何运算的5个技巧1．(2016·四川高考)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A．33B．23C．2

2D．1解析：选C如图所示，设P(x0，y0)(y0＞0)，则y20＝2px0，即x0＝y202p．设M(x′，y′)，由PM―→＝2MF―→，得x′－x0＝2p2－x′，y′－y0＝－y，化

简可得x′＝p＋x03，y′＝y03.∴直线OM的斜率为k＝y03p＋x03＝y0p＋y202p＝2p2p2y0＋y0≤2p22p2＝22(当且仅当y0＝2p时取等号)．2．设双曲线x2a＋y2b＝1的一条渐近线为y＝－

2x，且一个焦点与抛物线y＝14x2的焦点相同，则此双曲线的方程为()A．54x2－5y2＝1B．5y2－54x2＝1C．5x2－54y2＝1D．54y2－5x2＝1解析：选D因为x2＝4y的焦点为(0,1)，所以双曲线的焦点在y轴上．因为双

曲线的一条渐近线为y＝－2x，所以设双曲线的方程为y2－4x2＝λ(λ＞0)，即y2λ－x2λ4＝1，则λ＋λ4＝1，λ＝45，所以双曲线的方程为54y2－5x2＝1，故选D．3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)

，F2(c,0)，P为双曲线上任一点，且PF1―→·PF2―→最小值的取值范围是－34c2，－12c2，则该双曲线的离心率的取值范围为()A．(1，2]B．[2，2]C．(0，2]D．．4．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为43的直线交抛物线于A，B

两点，若AF―→＝λFB―→(λ＞1)，则λ的值为()A．5B．4C．43D．52解析：选B根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AF―→＝λFB―→，得p2－x1，－y1＝λx2－p2，y2，故－y1＝λy2，即λ＝－y1y2．设直线AB的方程为y＝43

x－p2，联立直线与抛物线方程，消元得y2－32py－p2＝0．故y1＋y2＝32p，y1y2＝－p2，y1＋y22y1y2＝y1y2＋y2y1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94．又λ＞1，解得λ＝4．5．(20

15·四川高考)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A．(1,3)B．(1,4)C．(2,3)D．(2,4)解析：选D设Ay214，y1，B

y224，y2，My21＋y228，y1＋y22，C(5,0)为圆心，当y1≠－y2时，kAB＝4y1＋y2，kCM＝y1＋y2y21＋y22－40，由kAB·kCM＝－1⇒y21＋y22＝24，所以M3，y1＋y2

2，又r2＝|CM|2＝4＋y1＋y222＝10＋12y1y2，所以(2r2－20)2＝y21y22，所以y21，y22是方程t2－24t＋(2r2－20)2＝0的两个不同的正根，由Δ＞0得2＜r＜4．综上，r的取值范围是(2,4)．6．中心为原点，一个焦点为F(0,52

)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为()A．2x275＋2y225＝1B．x275＋y225＝1C．x225＋y275＝1D．2x225＋2y275＝1解析：选C由已知得c＝52，设椭圆的方程为x2a2－50＋y2a2＝1，联立x2a

2－50＋y2a2＝1，y＝3x－2，消去y得(10a2－450)x2－12(a2－50)x＋4(a2－50)－a2(a2－50)＝0，设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根

与系数关系得x1＋x2＝a2－10a2－450，由题意知x1＋x2＝1，即a2－10a2－450＝1，解得a2＝75，所以该椭圆方程为y275＋x225＝1．7．已知双曲线C：x22－y2＝1，点M的坐标为(0,1)．设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝MP―→·MQ―→，则λ的

取值范围是________．解析：设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，λ＝MP―→·MQ―→＝(x0，y0－1)·(－x0，－y0－1)＝－x20－y20＋1＝－32x20＋2．因为|x0|≥2，所以λ的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]8．(2017·长春质

检)已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则PA―→·PB―→的最小值为________．解析：由题意，设A(cosθ，sinθ)，P(x，x＋2)，则B(－cosθ，－

sinθ)，∴PA―→＝(cosθ－x，sinθ－x－2)，PB―→(－cosθ－x，－sinθ－x－2)，∴PA―→·PB―→＝(cosθ－x)(－cosθ－x)＋(sinθ－x－2)(－sinθ－x－2)＝x2＋(x＋2)2－cos2θ－sin2θ＝2x2＋4x＋3＝2

(x＋1)2＋1，当且仅当x＝－1，即P(－1，1)时，PA―→·PB―→取最小值1．答案：19．设抛物线x＝2pt2，y＝2pt(t为参数，p＞0)的焦点为F，准线为l．过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设C72p，0，AF与BC相交于点

E．若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为32，则p的值为________．解析：由x＝2pt2，y＝2pt(p＞0)消去t可得抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，∴Fp2，0，|AB|＝|AF|＝12|CF|＝32p，可得A

(p，2p)．易知△AEB∽△FEC，∴|AE||FE|＝|AB||FC|＝12，故S△ACE＝13S△ACF＝13×3p×2p×12＝22p2＝32，∴p2＝6．∵p＞0，∴p＝6．答案：610．(2016·河北三市二联)已知离心率为63的椭圆x2a2

＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|＝233．(1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y＝kx＋2与椭圆交于C，D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(－1,0)，求k的值．解：(1)设焦距为2c，∵e＝ca＝63，a2＝b2＋

c2，∴ba＝33，由题意可知b2a＝33，∴b＝1，a＝3，∴椭圆的方程为x23＋y2＝1．(2)将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)

＞0，解得k2＞1．设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－12k1＋3k2，x1x2＝91＋3k2，若以CD为直径的圆过E点，则PB―→―→·ED―→＝0，即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，而y1y

2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，则(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝k2＋1＋3k2－12kk＋1＋3k2＋5＝0，解得k＝76，满足k2＞1．11．(2016·山

东高考节选)平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率是32，抛物线E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．(1)求椭圆C的方程．(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交于不同的两点A，

B，线段AB的中点为D．直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．求证：点M在定直线上．解：(1)由题意知a2－b2a＝32，可得a2＝4b2．因为抛物线E的焦点为F0，12，所以b＝12，a＝1．所

以椭圆C的方程为x2＋4y2＝1．(2)证明：设Pm，m22(m＞0)．由x2＝2y，可得y′＝x，所以直线l的斜率为m．因此直线l的方程为y－m22＝m(x－m)，即y＝mx－m22．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(

x0，y0)，联立方程x2＋4y2＝1，y＝mx－m22，得(4m2＋1)x2－4m3x＋m4－1＝0．由Δ＞0，得0＜m2＜2＋5．(*)由根与系数的关系得x1＋x2＝4m34m2＋1，因此

x0＝2m34m2＋1．将其代入y＝mx－m22，得y0＝－m2m2＋．因为y0x0＝－14m，所以直线OD的方程为y＝－14mx．联立方程y＝－14mx，x＝m，得点M的纵坐标yM＝－14，所以点M在定

直线y＝－14上．12．(2016·合肥质检)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为32．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b

2＝1(a＞b＞0)，由题意可知2a＝4，ca＝32，又a2＋b2＝c2，解得a＝2，c＝3，b＝1，故椭圆C的方程为y24＋x2＝1．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2＋y24＝1，y＝kx＋

1得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，故x1＋x2＝－2kk2＋4，x1x2＝－3k2＋4，①设△OAB的面积为S，由x1x2＝－3k2＋4＜0，知S＝12(|x1|＋|x2|)＝12|x1－x2|＝12x1＋x22－4x1x2＝2k2＋3k2＋2，

令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝21t＋1t＋2．对函数y＝t＋1t(t≥3)，知y′＝1－1t2＝t2－1t2＞0，∴y＝t＋1t在t∈[3，＋∞)上单调递增，∴t＋1t≥103，∴0＜1t＋1t＋2≤316，∴0＜S≤32，即△OAB面积的取值范围是

0，32．