【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第五章 数列 第三节 等比数列及其前n项和(含详解).ppt，共(27)页，421.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于______(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的，通常用字母q表示，定义的表达式为_________.第三节等比数列及其前n项和2同一常数公比an＋

1an＝qGG2＝aba1qn－1na12．等比数列的有关公式qn－map·aqa2k3．等比数列的常用性质1．(教材习题改编)将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4，„依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，„．此数列是()A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等

比数列C．公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列答案：B[小题体验]2．等比数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则a6＝________．解析：法一：由a3＝12，a4＝18，得a1q2＝12，

a1q3＝18，解得a1＝163，q＝32，∴a6＝a1q5＝163×325＝812．法二：由等比数列性质知，a23＝a2a4，∴a2＝a23a4＝12218＝8，又a24＝a2a6，∴a6＝a24a2＝1828＝812．答案：8123．(教材习

题改编)在等比数列{an}中，已知a1＝－1，a4＝64，则公比q＝________，S4＝________．答案：－4511．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0．3．在运用等比数列的前n

项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，

Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立．1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于()A．5B．±5C．4D．±4[小题纠偏]解析：a25＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4，

又∵a5＝a3q2>0，∴a5＝4．答案：C2．设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q＝________．答案：－12或1考点一等比数列的基本运算[典例引领]1．(2017·武汉调研)若等比数列{a

n}的各项均为正数，a1＋2a2＝3，a23＝4a2a6，则a4＝()A．38B．245C．316D．916解析：由题意，得a1＋2a1q＝3，a1q22＝4a1q·a1q5，解得a1＝32，q＝12，所以a4＝a1q3＝32×

123＝316．答案：C2．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，

∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．又∵Sn＝126，∴21－2n1－2＝126，∴n＝6．答案：6[由题悟法]解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可

以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解分类讨论的思想等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq

1－q[即时应用]1．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝()A．13B．－13C．19D．－19解析：设等比数列{an}的公比为q，∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，∴a1

＋a1q＋a1q2＝a1q＋10a1，a1q4＝9，解得q2＝9，a1＝19.答案：C2．(2017·洛阳统考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋8a4＝0，则S4S3＝()A．－53B．157C．56D．1514解析：在等比数列{an}中，因为a1＋8a4＝0，所以q＝－

12，所以S4S3＝a11－q41－qa11－q31－q＝1－－1241－－123＝151698＝56．答案：C3．(2015·安徽高考)已知数列an是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列

an的前n项和等于________．解析：设等比数列的公比为q，则有a1＋a1q3＝9，a21·q3＝8，解得a1＝1，q＝2或a1＝8，q＝12.又an为递增数列，∴

a1＝1，q＝2，∴Sn＝1－2n1－2＝2n－1．答案：2n－1考点二等比数列的判定与证明[典例引领](2016·全国丙卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0．(1)证明{an}是等比数列，并求其通项

公式；(2)若S5＝3132，求λ．解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝11－λ，故a1≠0．由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan．由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以an＋1an

＝λλ－1．因此{an}是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是an＝11－λλλ－1n－1．(2)由(1)得Sn＝1－λλ－1n．由S5＝3132得1－λλ－15＝3132，

即λλ－15＝132．解得λ＝－1．[由题悟法]等比数列的4种常用判定方法定义法若an＋1an＝q(q为非零常数，n∈N*)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等

比数列中项公式法若数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列通项公式法若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列前n项和公式法若数列{an}的前n

项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列[提醒](1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可

．[即时应用]设数列an的前n项和为Sn，n∈N*．已知a1＝1，a2＝32，a3＝54，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1．(1)求a4的值；(2)证明：an＋1－12an

为等比数列．解：(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即41＋32＋54＋a4＋51＋32＝81＋32＋54＋1，解得a4＝78．(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋

2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．∵4a3＋a1＝4×54＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1，∴an＋2－12an＋1an＋1－12an＝4an＋2－2an＋14an＋1－2an＝4an＋1

－an－2an＋14an＋1－2an＝2an＋1－an22an＋1－an＝12，∴数列an＋1－12an是以a2－12a1＝1为首项，12为公比的等比数列．考点三等比数列的性质[典例引领]1．(2017·

湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a27＋a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11＝()A．1B．2C．4D．8解析：由等差数列的性质，得a6＋a8＝2a7．由a6－a27＋a8

＝0，可得a7＝2，所以b7＝a7＝2．由等比数列的性质得b2b8b11＝b2b7b12＝b37＝23＝8．答案：D2．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4S2＝5，则S8S4＝________．解析：设数列{an}的公比为q，由已知得S4

S2＝1＋a3＋a4a1＋a2＝5，即1＋q2＝5，所以q2＝4，S8S4＝1＋a5＋a6＋a7＋a8a1＋a2＋a3＋a4＝1＋q4＝1＋16＝17．答案：17[由题悟法]等比数列的性质可以分为3类通项公式的变形等比中项的变形前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可

找出解决问题的突破口[即时应用]1．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋„＋log3a10＝()A．5B．9C．log345D．10解析：由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，则

原式＝log3(a1a2„a10)＝log3(a5a6)5＝10．答案：D2．(2017·长春调研)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________．解析：设数列{an}的公比为q，由

a1a2a3＝4＝a31q3与a4a5a6＝12＝a31q12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝a31q3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，即n＝14．答案：14