【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第五章 数列 第二节 等差数列及其前n项和(含详解).ppt，共(25)页，406.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第二节等差数列及其前n项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从起，每一项与它的前一项的____都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母d表示．(2)等差中项

：数列a，A，b成等差数列的充要条件是________，其中A叫做a，b的．第2项公差差A＝a＋b2等差中项2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝.(2)前n项和公式：Sn＝_____________________.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n，m∈

N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为.a1＋(n－1)dna1＋nn－12d(n－m)dak＋al＝am＋an

2d＝na1＋an2(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，„(k，m∈N*)是公差为的等差数列．md1．在等差数列{an}中，若

a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________．答案：10[小题体验]2．(教材习题改编)已知等差数列{an}，a5＝－20，a20＝－35，则an＝________答案：－15－n3．(教材习题改编)已

知等差数列5,427，347，„，则前n项和Sn＝________．答案：114(75n－5n2)1．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，

那么此数列不是等差数列．2．求等差数列的前n项和Sn的最值时，需要注意“自变量n为正整数”这一隐含条件．1．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d的取值范围是()A．(－3，＋∞)B．－∞，－83C．

－3，－83D．－3，－83[小题纠偏]答案：D2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于________．解析：设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d，所以12＝3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1

＋5d＝2＋5×2＝12．答案：12考点一等差数列的基本运算[题组练透]1．(2016·郑州二检)已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，Sn是{an}的前n项和，则S12的值为______．解析：由题意得，a

25＝a3a11，即(a1＋4)2＝(a1＋2)(a1＋10)，a1＝－1，∴S12＝12×(－1)＋12×112×1＝54．答案：542．(2017·西安质检)公差不为零的等差数列{an}中，a7＝2a5，则数列{an}中第________项的值与4a5的值相等．解析：设等差数列{an}的

公差为d，∵a7＝2a5，∴a1＋6d＝2(a1＋4d)，则a1＝－2d，∴an＝a1＋(n－1)d＝(n－3)d，而4a5＝4(a1＋4d)＝4(－2d＋4d)＝8d＝a11，故数列{an}中第11项的值与4a5的值相等．答案：113．(2016·江

苏高考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________．解析：设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋5×42d＝10，得

a1＋2d＝2，即a1＝2－2d．所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a22＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4．故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20．答案：204．设Sn为等差数列{an}的前n项和，

a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________．解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知，得a12＝a1＋11d＝－8，S9＝9a1＋9×82d＝－9，解得a1＝3，d＝－1.∴S16＝16×3＋16×152×(－1)＝－

72．答案：－72[谨记通法]等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a1，d，利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解，体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题，一般是等

差数列的性质和等差数列求和公式Sn＝na1＋an2结合使用，体现整体代入的思想．考点二等差数列的判断与证明[典例引领]已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝12．

(1)求证：1Sn是等差数列；(2)求an的表达式．解：(1)证明：∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，又an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，n≥2．因此1Sn－1Sn－1＝2(n≥2)．故由等差数

列的定义知1Sn是以1S1＝1a1＝2为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1Sn＝1S1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，即Sn＝12n．由于当n≥2时，有an＝－2Sn·Sn－1＝－12nn－1，又∵a1＝12，不适合上式．∴an

＝12，n＝1，－12nn－1，n≥2.[由题悟法]等差数列的判定与证明方法方法解读适合题型定义法对于任意自然数n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列等差中项法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差

数列解答题中证明问题通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列前n项和公式法验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题[即时应用]已知数

列{an}满足a1＝1，an＝an－12an－1＋1(n∈N*，n≥2)，数列{bn}满足关系式bn＝1an(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：∵bn＝1an，且an＝an－12an－1＋1，∴bn＋1＝1an＋1＝1an2an＋

1＝2＋1an，∴bn＋1－bn＝2＋1an－1an＝2．又b1＝1a1＝1，∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又bn＝1an，∴an＝1bn＝12n－1．∴数列{an}的通项公式为an＝1

2n－1．考点三等差数列的性质及最值[典例引领]1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝()A．18B．12C．9D．6解析：由题意得S11＝11a1＋a112＝112a1＋10d2＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a1＋2d＋a1＋6d

＋a1＋7d＝3(a1＋5d)＝6．答案：D2．(2017·合肥质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝1，S16＝0，当Sn取最大值时n的值为()A．7B．8C．9D．10解析：法一：由a8＝a1＋7d＝1，S16＝16a1＋16×152d＝0，

解得a1＝15，d＝－2，则Sn＝－n2＋16n＝－(n－8)2＋64，则当n＝8时，Sn取得最大值．法二：因为{an}是等差数列，所以S16＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)＝0，则a9＝－a8＝－1，即数列{an}的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以(Sn)m

ax＝S8，选项B正确．答案：B[由题悟法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔am－anm－n＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn

为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝„＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an．2．求等差数列前n项和Sn最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借

助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1<0，d>0时，满足am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sn取

得最小值为Sm．[即时应用]1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a6a5＝911，则S11S9＝()A．1B．－1C．2D．12解析：S11S9＝11a1＋a1129a1＋a92＝11a69a5＝119×911＝1．答案：A2．设等差数列{an

}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则数列{an}的项数为_______．解：由题意知a1＋a2＋„＋a6＝36，①an＋an－1＋an－2＋„＋an－5＝180，②①＋②得(a1＋an)＋(a2

＋an－1)＋„＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，又Sn＝na1＋an2＝324，∴18n＝324，∴n＝18．答案：183．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝

________．解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，„，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d．又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝

16＋9d，解得d＝89，因此S100＝10S10＋10×92d＝10×16＋10×92×89＝200．答案：200