【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第八章 解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程(含详解).ppt，共(27)页，474.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第八章解析几何1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是_____

_．向上方向平行或重合[0，π)2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.3．直线方程的五种形式tanαy2－y1x2－x1名称方程适用范围点斜式______________不含直线x

＝x0斜截式_________不含垂直于x轴的直线y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b名称方程适用范围两点式_______________不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式________不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式_

_____________，__________平面内所有直线都适用y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1Ax＋By＋C＝0A2＋B2≠01．(教材习题改编)若过两点A(－m,6)，B(1,3m)的直线的斜率为12，则m＝________．答案：－2[小题体验]2

．(教材习题改编)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为________．答案：x＋13y＋5＝03．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝________．解析：令x＝0，则l在y轴的截距为2＋

a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋2a．依题意2＋a＝1＋2a，解得a＝1或a＝－2．答案：1或－21．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直

于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．1．经过点A(2，－3)，倾斜角等于直线

y＝x的2倍的直线方程为________．[小题纠偏]解析：直线y＝x的斜率k＝1，故倾斜角为π4，所以所求的直线的倾斜角为π2，则所求的直线方程为x＝2．答案：x＝22．过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________．解析：①若直线过原点，则k＝－43，所以

y＝－43x，即4x＋3y＝0．②若直线不过原点．设xa＋ya＝1，即x＋y＝a．则a＝3＋(－4)＝－1，所以直线的方程为x＋y＋1＝0．答案：4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0考点一直线的倾斜角与斜率[题组练透]1．(2016·绥化一模)直线xs

inα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是()A．[0，π)B．0，π4∪3π4，πC．0，π4D．0，π4∪π2，π解析：因为直线xsinα＋y＋2＝0的斜率k＝－s

inα，又－1≤sinα≤1，所以－1≤k≤1．设直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tanθ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是0，π4∪3π4，π．答案：B2

．若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．解析：∵kAC＝5－36－4＝1，kAB＝a－35－4＝a－3．由于A，B，C三点共线，所以a－3＝1，即a＝4．答案：43．若直线l经

过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－2k．令－3＜1－2k＜3，解得k＜－1或k＞12．故其

斜率的取值范围为(－∞，－1)∪12，＋∞．答案：(－∞，－1)∪12，＋∞[谨记通法]1．倾斜角与α斜率k的关系当α∈0，π2且由0增大到π2α≠π2时，k的值由0增大到＋∞．当α∈π2，π时，k

也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2α≠π2增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．2．斜率的2种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般

根据斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率．考点二直线的方程[典例引领](1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截

距的2倍的直线方程．解：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×13＝－43．又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－43(x－1)，即4x＋3y－13＝0．(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1

，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0．故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0．[由题悟法]求直线

方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A且

在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)设直线在x轴，y轴上的截距均为a．①若a＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)．∴直线的方程为y＝43x，即4x－3y＝0．②若a≠0，设所求直线的方程为xa＋ya＝1，又点(3,4)在直线上，∴3a＋4a＝

1，∴a＝7．∴直线的方程为x＋y－7＝0．综合①②可知所求直线的方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0．(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1．又过点(3,4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．故所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0．考点三直线方程的综合应用直线方程的综合

应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数的几何意义相结合的问题；(3)与圆相结合求直线方程的问题．[锁定考向][题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P(4,1)作直线l分

别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程．(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．解：设直线l：xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以4a＋1b＝1．(1)4a＋1b＝1≥24a·1b＝4ab，所以a

b≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，此时直线l的方程为x8＋y2＝1，即x＋4y－8＝0．(2)因为4a＋1b＝1，a＞0，b＞0，所以|OA|＋|

OB|＝a＋b＝(a＋b)4a＋1b＝5＋ab＋4ba≥5＋2ab·4ba＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x6＋y3＝1，即x＋2y－6＝0．角度二

：与导数的几何意义相结合的问题2．设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，则点P横坐标的取值范围为()A．－1，－12B．－1，0C．[0,1]D．12，1解析：由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，

y0)，则k＝2x0＋2．因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为0，π4，所以0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－12．答案：A角度三：与圆相结合求直线方程的问题3．在平面直角坐标系xOy中，设A是半圆O：x2＋y2＝2(x≥0)上一点，直线OA的倾斜角

为45°，过点A作x轴的垂线，垂足为H，过H作OA的平行线交半圆于点B，则直线AB的方程是____________________．解析：直线OA的方程为y＝x，代入半圆方程得A(1,1)，∴H(1,0)，直线HB的方程为y＝x－1，代入半圆方程得B

1＋32，－1＋32．所以直线AB的方程为y－1－1＋32－1＝x－11＋32－1，即3x＋y－3－1＝0．答案：3x＋y－3－1＝0[通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的

直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|P

A|·|PB|的最大值是________．解析：易求定点A(0,0)，B(1,3)．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤|PA|2＋

|PB|22＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝5时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5．答案：52．(2017·衡阳一模)已知点P在直线x＋3y－2＝0上，点Q在直线x＋3y＋6＝0上，

线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0<x0＋2，则y0x0的取值范围是________．解析：依题意可得|x0＋3y0－2|10＝|x0＋3y0＋6|10，化简得x0＋3y0＋2＝0，又y0<x0＋2，kOM＝y0x0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M位于线段AB

(不包括端点)上时，kOM>0，当点M位于射线BN上除B点外时，kOM<－13．所以y0x0的取值范围是－∞，－13∪(0，＋∞)．答案：－∞，－13∪(0，＋∞)