【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第八章 解析几何 第三节 圆的方程(含详解).ppt，共(25)页，490.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第三节圆的方程定义平面内与____的距离等于____的点的集合(轨迹)标准方程_______________________圆心：_____，半径：_一般方程_____________________，(D2＋E2－4F＞0)圆心：___________，半径：___

___________(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)定点x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0定长(a，b)r－D2，－E212D2＋E2－4F1．圆的定义及方程(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2(x0－a)2＋(y0－

b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2＜r22．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则___________________.(2)若M(x0，y0)在圆上，则.(3)若

M(x0，y0)在圆内，则.1．(2016·全国甲卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C．3D．2[小题体验]解析：因为圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax

＋y－1＝0的距离d＝|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43．答案：A2．(教材习题改编)圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．解析：设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝－1＋12＝0

，b＝2＋42＝3，故圆心C(0,3)．半径r＝12|AB|＝12[1－－1]2＋4－22＝2．∴圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2．答案：x2＋(y－3)2＝23．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a

)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．解析：因为点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4．即a2＜1，故－1＜a＜1．答案：(－1,1)对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视

D2＋E2－4F＞0这一成立条件．(2016·浙江高考)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．[小题纠偏]解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或

－1．当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋52＝0，配方得x＋122＋(y＋1)2＝－54＜0，不表示圆；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)

2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5．答案：(－2，－4)5考点一圆的方程[题组练透]1．(2017·石家庄质检)若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为()A．x2＋y2＝1B．

(x－3)2＋y2＝1C．(x－1)2＋y2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2＋y2＝1．答案：A

2．圆心在y轴上且经过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()A．x2＋y2＋10y＝0B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0D．x2＋y2－10x＝0解析：设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，所以圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2．因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1

－b)2＝b2，解得b＝5．所以圆的方程为x2＋y2－10y＝0．答案：B3．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．26B．8C．

46D．10解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则D＋3E＋F＋10＝0，4D＋2E＋F＋20＝0，D－7E＋F＋50＝0.解得D＝－2，E＝4，F＝－20.∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－

20＝0．令x＝0，得y＝－2＋26或y＝－2－26，∴M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)，∴|MN|＝46，故选C．答案：C4．(2016·天津高考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线

2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为________________．解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝2a5＝455，解得a＝2，所以圆C的半径r

＝|CM|＝4＋5＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9．答案：(x－2)2＋y2＝9[谨记通法]1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定

系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．2．确定圆心位置的3种

方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上．(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒]解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．考点二与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．常见的命题角度有

：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题．[锁定考向][题点全练]角度一：斜率型最值问题1．(2016·抚顺模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求yx的最大值和最小值

．解：原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx．当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时|2k－0|k2＋1＝3，解得k＝±

3．所以yx的最大值为3，最小值为－3．角度二：截距型最值问题2．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求y－x的最大值和最小值．解：y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b

取得最大值或最小值，此时|2－0＋b|2＝3，解得b＝－2±6．所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6．角度三：距离型最值问题3．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求x2＋y2的最大值和最小值．解：如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知

识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2－02＋0－02＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x2＋y2的最小值是(2－3)2＝7－43．[通法在握]与圆有关的

最值问题的3种常见转化法(1)形如μ＝y－bx－a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．(2)形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．[演练冲关]1

．设点P是函数y＝－4－x－12图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．解析：函数y＝－4－x－12的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4的下半圆．令点Q的坐标为(x，y)，则x＝2a，y＝a－3，得y＝x2－3，即x

－2y－6＝0，作出图象如图所示．由于圆心(1,0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝|1－2×0－6|12＋－22＝5＞2，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是5－2．答案：5－22．已知m＞0，n

＞0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是________．解析：因为m＞0，n＞0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离为半径1，所以|m＋1＋n＋1－2

|m＋12＋n＋12＝1，即|m＋n|＝m＋12＋n＋12．两边平方并整理得mn＝m＋n＋1．由基本不等式mn≤m＋n22可得m＋n＋1≤m＋n22，即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，解得m＋n≥2＋22．当且仅当m＝n时等号成立．答案：[2

＋22，＋∞)考点三与圆有关的轨迹问题[典例引领]已知A(2,0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－

2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4．故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1．(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥

PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．[由题悟法]与圆有关的轨迹问题的4种求法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方

程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．[即时应用]设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，点O是坐标原点，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求动点P的轨迹．

解：∵四边形MONP为平行四边形，∴OP―→＝OM―→＋ON―→．设点P(x，y)，点N(x0，y0)，则ON―→＝OP―→－OM―→＝(x，y)－(－3,4)＝(x＋3，y－4)＝(x0，y0)，∴

x0＝x＋3，y0＝y－4．又点N在圆x2＋y2＝4上运动，∴x20＋y20＝4，即(x＋3)2＋(y－4)2＝4．又当OM与ON共线时，O，M，N，P构不成平行四边形，故动点P的轨迹是以(－3,4)

为圆心，2为半径的圆且除去两点－95，125和－215，285．