【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第八章 解析几何 第五节 椭圆(含详解).ppt，共(34)页，643.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第五节椭圆等于常数焦点2a＞|F1F2|2a＝|F1F2|2a＜|F1F2|1．椭圆的定义标准方程图形x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程性质范围x∈，y∈______

__________x∈______________，y∈_________________对称性对称轴：______；对称中心：____顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B

2(b，0)离心率e＝，且e∈____a，b，c的关系c2＝________x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)[－a，a][－b，b][－b，b][－a，a]坐标轴原点ca(0,1)a2－b21．椭圆C：x225＋y21

6＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，则△F1AB的周长为()A．12B．16C．20D．24[小题体验]解析：△F1AB的周长为|F1A|＋|F1B|＋|AB|＝|F1A|＋|F2A|＋|F

1B|＋|F2B|＝2a＋2a＝4a．在椭圆x225＋y216＝1中，a2＝25，a＝5，∴△F1AB的周长为4a＝20，故选C．答案：C2．设e是椭圆x24＋y2k＝1的离心率，且e＝23，则实数k的取值是________

．解析：当k＞4时，有e＝1－4k＝23，解得k＝365；当0＜k＜4时，有e＝1－k4＝23，解得k＝209．故实数k的值为209或365．答案：209或3653．(教材习题改编)已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为__

______．解析：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝12，所以c＝1，ca＝12，a2＝b2＋c2，解得a＝2c＝2，b2＝3，故椭圆的标准方程为x24＋y23＝1．

答案：x24＋y23＝11．椭圆的定义中易忽视2a＞|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a＜|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1

(a＞b＞0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上点的坐标为P(x，y)时，|x|≤a，|y|≤b，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．1．已知椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2

，椭圆C上的点A满足AF2⊥F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则F1P―→·F2A―→的最大值为()A．32B．332C．94D．154[小题纠偏]解析：由椭圆方程知c＝4－3＝1，所以F1(－1,0)，F2(1,0)．因为椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方

程可得y20＝94，所以y0＝±32．设P(x1，y1)，则F1P―→＝(x1＋1，y1)，F2A―→＝(0，y0)，所以F1P―→·F2A―→＝y1y0．因为点P是椭圆C上的动点，所以－3≤y1≤3，故

F1P―→·F2A―→的最大值为332．答案：B2．若方程x25－k＋y2k－3＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．解析：由已知得5－k>0，k－3>0，5－k≠k－3.解得3<k

<5且k≠4．答案：(3,4)∪(4,5)考点一椭圆的标准方程[题组练透]1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A．x25＋y2＝1B．x24＋y25＝1C．x25＋y2＝1或x24＋y25＝1D．以上答案

都不对解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为x25＋y2＝1．当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为y25＋x

24＝1．答案：C2．(易错题)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的标准方程为()A．x28＋y26＝1B．x216＋y

26＝1C．x24＋y22＝1D．x28＋y24＝1解析：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由点P(2，3)在椭圆上知4a2＋3b2＝1．又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×

2c，ca＝12，又c2＝a2－b2，联立4a2＋3b2＝1，c2＝a2－b2，ca＝12得a2＝8，b2＝6，故椭圆方程为x28＋y26＝1．答案：A3．椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线x2＝83y的焦点

，则椭圆C的标准方程为______________．解析：由题意设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由题设知抛物线的焦点为(0,23)，所以椭圆中b＝23．因为e＝ca＝12，所以a＝2c，

又a2－b2＝c2，联立解得c＝2，a＝4，所以椭圆C的标准方程为x216＋y212＝1．答案：x216＋y212＝1[谨记通法]求椭圆标准方程的2种常用方法定义法根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程待定系数法若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件

求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)考点二椭圆的定义及其应用[典例引领]1．设P是椭圆x225＋y29＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2

＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为()A．9,12B．8,11C．8,12D．10,12解析：如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝10，易知|PM|＋

|PN|＝(|PM|＋|MF1|)＋(|PN|＋|NF2|)－2，则其最小值为|PF1|＋|PF2|－2＝8，最大值为|PF1|＋|PF2|＋2＝12．答案：C2．F1，F2是椭圆x29＋y27＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为()A．7B．74

C．72D．752解析：由题意得a＝3，b＝7，c＝2，∴|F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6．∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1

|2－4|AF1|＋8．∴|AF1|＝72．∴△AF1F2的面积S＝12×72×22×22＝72．答案：C[由题悟法]椭圆定义的应用技巧求方程通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程求焦点三角形利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三

角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧求最值抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值[即时应用]1．

已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为()A．x23＋y22＝1B．x23＋y2＝1C．x212＋y28＝1D．x212

＋y24＝1解析：由题意及椭圆的定义知4a＝43，则a＝3，又ca＝c3＝33，∴c＝1，∴b2＝2，∴C的方程为x23＋y22＝1，选A．答案：A2．已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1―→⊥PF2―→．若

△PF1F2的面积为9，则b＝________．解析：由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1―→⊥PF2―→，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，所以(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||

PF2|＝4c2，所以2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2．所以|PF1||PF2|＝2b2，所以S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝b2＝9．所以b＝3．答案：3考点三椭圆的几何性质椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，常见的命题角

度有：(1)求离心率的值或范围；(2)根据椭圆的性质求参数的值或范围．[锁定考向][题点全练]角度一：求离心率的值或范围1．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点

，直线y＝b2与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：将y＝b2代入椭圆的标准方程，得x2a2＋b24b2＝1，所以x＝±32a，故B－32a，b2，C32a，b2．又因为F(c,0

)，所以BF―→＝c＋32a，－b2，CF―→＝c－32a，－b2．因为∠BFC＝90°，所以BF―→·CF―→＝0，所以c＋32ac－32a

＋－b22＝0，即c2－34a2＋14b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝32c2，所以e2＝c2a2＝23，所以e＝63(负值舍去)．答案：63角度二：根据椭圆的性质求参数的值或范围2．

(2017·泉州质检)已知椭圆x2m－2＋y210－m＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于()A．8B．7C．6D．5解析：∵椭圆x2m－2＋y210－m＝1的长轴在x轴上，∴m－2＞0，10－m＞0，m－2＞

10－m，解得6＜m＜10．∵焦距为4，∴c2＝m－2－10＋m＝4，解得m＝8．答案：A[通法在握]1．应用椭圆几何性质的2个技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如－a≤x≤a，

－b≤y≤b,0＜e＜1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．2．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2

消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．[演练冲关]1．已知椭圆x29＋y24－k＝1的离心率为45，则k的值为()A．－21B．21C．－1925或21D．1925或－21解析：当9＞4－k＞0，即－5<k<4时，a＝3，c2＝9－(4－k)＝5＋k

，∴5＋k3＝45，解得k＝1925．当9＜4－k，即k＜－5时，a＝4－k，c2＝－k－5，∴－k－54－k＝45，解得k＝－21，所以k的值为1925或－21．答案：D2．过椭圆x2a2＋y2b2＝1

(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A．22B．33C．12D．13解析：由题意，可设P－c，b2a．因为在Rt△PF1F2中，|PF1|＝b2a，|F1F2|＝2c，

∠F1PF2＝60°，所以2acb2＝3．又因为b2＝a2－c2，所以3c2＋2ac－3a2＝0，即3e2＋2e－3＝0，解得e＝33或e＝－3，又因为e∈(0,1)，所以e＝33．答案：B3．已知F1，F2分别是椭圆C：x2a2＋y2b2＝

1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C离心率的取值范围是()A．23，1B．13，22C．13，1D．0，13解析：如图所示，∵线段PF1的中垂线经过F2，∴|PF2|＝|F1

F2|＝2c，即椭圆上存在一点P，使得|PF2|＝2c．∴a－c≤2c≤a＋c．∴e＝ca∈13，1．答案：C考点四直线与椭圆的位置关系[典例引领](2017·贵州省适应性考试)已知椭圆G：x2a2＋y2

b2＝1(a>b>0)在y轴上的一个顶点为M，两个焦点分别是F1，F2，∠F1MF2＝120°，△MF1F2的面积为3．(1)求椭圆G的方程；(2)过椭圆G长轴上的点P(t,0)的直线l与圆O：x2＋y2＝1相切于点Q(Q

与P不重合)，交椭圆G于A，B两点．若|AQ|＝|BP|，求实数t的值．解：(1)由椭圆性质，知|MF2|＝a，于是c＝asin60°＝32a，b＝acos60°＝12a．所以△MF1F2的面积S＝12·(2c)·b

＝12·(3a)·12a＝3，解得a＝2，b＝1．所以椭圆G的方程为x24＋y2＝1．(2)显然，直线l与y轴不平行，可设其方程为y＝k(x－t)．由于直线l与圆O相切，则圆心O到l的距离d＝|kt|k2＋1＝1，即

k2t2＝k2＋1，①联立x2＋4y2＝4，y＝kx－t，化简得(1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8tk21＋4k2．设Q(x0，y0)，有y0＝kx0－t，y0x0＝－1k，解得x0＝tk2

1＋k2．由已知可得，线段AB，PQ中点重合，即有x1＋x2＝t＋x0．因此8tk21＋4k2＝t＋tk21＋k2，化简得k2＝12，将其代入①式，可得t＝±3．[由题悟法]1．直线与椭圆的位置关系的解题策略(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把

直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋1k2[y1＋y22－4y1y2](k为直线斜率)．2．直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法涉及问题处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式(直线与椭圆有两

交点)中点弦或弦的中点点差法(结果要检验)[即时应用](2016·郑州市第二次质量检测)已知曲线C的方程是mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，且曲线过A24，22，B66，33两点，O为坐标原点．(1)求曲线C的方程；(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2

)是曲线C上两点，向量p＝(mx1，ny1)，q＝(mx2，ny2)，且p·q＝0，若直线MN过点0，32，求直线MN的斜率．解：(1)由题可得：18m＋12n＝1，16m＋13n＝1，解得m＝4，n

＝1．∴曲线C的方程为y2＋4x2＝1．(2)设直线MN的方程为y＝kx＋32，代入椭圆方程y2＋4x2＝1，得(k2＋4)x2＋3kx－14＝0，∴x1＋x2＝－3kk2＋4，x1x2＝－14k2＋4，∵p·q＝

(2x1，y1)·(2x2，y2)＝4x1x2＋y1y2＝0，∴－1k2＋4＋－14k2k2＋4＋32k·－3kk2＋4＋34＝0，即k2－2＝0，k＝±2．故直线MN的斜率为±2．