【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第八章 解析几何 第八节 圆锥曲线的综合问题(含详解).ppt，共(27)页，404.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．即Ax＋By＋C＝0，Fx，y＝0消去y

，得ax2＋bx＋c＝0．第八节圆锥曲线的综合问题(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C_____．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆

锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是_____；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是_____________．相交相切相离平行平行或重合2．弦长公式设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A

，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋1k2·y1＋y22－4y1y2．1．(教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()A．相交B

．相切C．相离D．不确定[小题体验]解析：直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案：A2．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F(2，0)为其右焦点，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长

为2．则椭圆C的方程为________．解析：由题意得c＝2，2b2a＝2，a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝2，所以椭圆C的方程为x24＋y22＝1．答案：x24＋y22＝11．直线与双曲线交于一点时，易误认为

直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．1．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条

D．4条[小题纠偏]解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．答案：C2．直线y＝bax＋3与双曲线x2a2－y2b2＝1的交点个数是()A．

1B．2C．1或2D．0解析：因为直线y＝bax＋3与双曲线的渐近线y＝bax平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A考点一直线与圆锥曲线的位置关系[典例引领](2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2p

x(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H．(1)求|OH||ON|；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．解：(1)如图，由已知得M(0，t)，Pt22p，t．又N为M关于点P的对称点，故Nt2p，t，故直线ON的方程为y＝pt

x，将其代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝2t2p．因此H2t2p，2t．所以N为OH的中点，即|OH||ON|＝2．(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点

．理由如下：直线MH的方程为y－t＝p2tx，即x＝2tp(y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点．[由题悟法]1．直

线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象

判断公共点个数．2．判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式Δ起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以

免产生增根．[即时应用]1．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为()A．1B．1或3C．0D．1或0解析：由y＝kx＋2，y2＝8x，得k2x2＋(4k－8)x＋4

＝0，若k＝0，则y＝2，符合题意．若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，所以直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点时，k＝0或1．答案：D2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1与直

线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1，5)B．(1，5]C．(5，＋∞)D．[5，＋∞)解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝bax，则由题意得ba>2，所以e＝ca＝1＋ba2>1＋4＝5．答案：C考点二弦长问题[典例引领](2016

·宜春中学与新余一中联考)设椭圆M：y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4．(1)求椭圆M的方程；(2)若直线y＝2x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，2)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大

值．解：(1)由题可知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率e＝ca＝22，由2a＝4，ca＝22，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝2，b＝2，故椭圆M的方程为y24＋x22＝1．(2)联立方程y＝2x＋

m，x22＋y24＝1，得4x2＋22mx＋m2－4＝0，由Δ＝(22m)2－16(m2－4)>0，得－22<m<22．且x1＋x2＝－22m，x1x2＝m2－44，所以|AB|＝1＋2|x1－x2|＝3·x1＋x22－4x1x2＝3·12m2

－m2＋4＝3·4－m22．又P到直线AB的距离为d＝|m|3，所以S△PAB＝12|AB|·d＝32·4－m22·|m|3＝124－m22·m2＝122m28－m2≤122·m2＋8－m22＝2．当且仅当m＝±2∈(－22，22)时取等号，所以(S△PAB

)max＝2．[由题悟法]弦长的3种常用计算方法(1)定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题．(2)点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长．(3)

弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的．[提醒]直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的特殊情况．[即时应用]设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(

0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．解：(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝43．(

2)设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝1－b2．A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组y＝x＋c，x2＋y2b2＝1.化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0．则x1＋x2＝－2c1＋b2

，x1x2＝1－2b21＋b2．因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝2|x2－x1|，即43＝2|x2－x1|．则89＝(x1＋x2)2－4x1x2＝41－b21＋b22－41－2b21＋b2＝8b4

1＋b22，因为0<b<1．所以b＝22．考点三圆锥曲线的综合问题[典例引领](2016·四川高考)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P3，12在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)

设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|．解：(1)由已知，a＝2b，又椭圆x2a2＋y

2b2＝1过点P3，12，故34b2＋14b2＝1，解得b2＝1．所以椭圆E的方程是x24＋y2＝1．(2)证明：设直线l的方程为y＝12x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程组x24＋y2＝1，y＝12x＋m，得x2＋2mx＋2m2－2＝0，由Δ

＝4(2－m2)＞0，解得－2＜m＜2．由根与系数的关系得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2，所以M点坐标为－m，m2，直线OM的方程为y＝－12x．所以|MC|·|MD|＝52(－m＋2)·52(2＋m)＝54(2－m2)．又|MA|·|MB|＝14

|AB|2＝14[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]＝516[(x1＋x2)2－4x1x2]＝516[4m2－4(2m2－2)]＝54(2－m2)，所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|．[由题悟法]1．圆锥曲线中的最值

问题解决方法(1)代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值．(2)几何法：从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值．2．求定点及定值问题常见的方法(1)从特殊入手，

求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．(可参阅副本压轴题命题区间六)[即时应用](2016·兰州市实战考试)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a

>b>0)的离心率为12，且经过点P1，32，过它的两个焦点F1，F2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于A，B两点，l2交椭圆于C，D两点，且l1⊥l2．(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ABCD的面积S的取值范围．解：(1)由ca＝12，得a＝2c，∴a2＝4c2，b2＝

3c2，将点P1，32的坐标代入椭圆方程得c2＝1，故所求椭圆方程为x24＋y23＝1．(2)若l1与l2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为S＝6．若l1与l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l2

的斜率为－1k．不妨设直线l1的方程为y＝k(x＋1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y＝kx＋1，x24＋y23＝1，消去y整理得，(4k2＋3)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ＝64k4－4(3＋4k2)(4k2－12)＝144k2＋144

>0，∴x1＋x2＝－8k24k2＋3，x1·x2＝4k2－124k2＋3，∴|x1－x2|＝x1＋x22－4x1x2＝12k2＋14k2＋3，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝12k2＋14k2＋

3，同理可得|CD|＝12k2＋13k2＋4，∴S＝12|AB|·|CD|＝721＋k224k2＋3·3k2＋4，令k2＝t∈(0，＋∞)，∴S＝721＋t24t＋3·3t＋4＝612t2＋25t＋12－6t

12t2＋25t＋12＝6－612t＋12t＋25≥6－649＝28849，∴S∈28849，6．综上可知，四边形ACBD面积的取值范围是28849，6．板块命题点专练（十三）点击此处