【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 第八章 解析几何 第六节 双曲线(含详解).ppt，共(37)页，647.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做_____________，两焦点间的距离叫做．第六节双_曲_线距离的差的绝对值等于非零双曲线的焦点双曲线的焦距集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c

，其中a、c为常数且a>0，c>0．(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．标准方程图形x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)2．双曲线的标

准方程和几何性质标准方程性质范围x≤－a或x≥a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：______对称中心：____顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线x2a2－y2b2＝1

(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)y＝±baxy＝±abx坐标轴原点标准方程性质离心率e＝，e∈_________a，b，c的关系c2＝______实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2

|＝___；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝___；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)(1，＋∞)a2＋b22a2bca1．双曲线x23－y22＝1的焦距为________．[小题体验]

解析：由双曲线x23－y22＝1，易知c2＝3＋2＝5，所以c＝5，所以双曲线x23－y22＝1的焦距为25．答案：252．(教材习题改编)以椭圆x24＋y23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，由椭圆x

24＋y23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－y23＝1．答案：x2

－y23＝13．(2016·北京高考)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(5，0)，则a＝________，b＝________．解析：因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b

＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，即y＝－2x，所以ba＝2．①又双曲线的一个焦点为(5，0)，所以a2＋b2＝5．②由①②得a＝1，b＝2．答案：121．双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|，则轨迹是以F1，F2为端点的两条射线

，若2a＞|F1F2|，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a，b的要求只是a＞0，b＞0，易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，2)；若a＝b＞0，则双曲线的离心率e＝2；若0＜a＜b，

则双曲线的离心率e∈(2，＋∞)．3．注意区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2．4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当

焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab．1．设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于________．[小题纠

偏]解析：由题意知|PF1|＝9＜a＋c＝10，所以P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，故|PF2|＝|PF1|＋8＝17．答案：172．离心率为3，且经过(－3，2)的双曲线的标准方程为_____．解析：当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为

x2a2－y2b2＝1．则有ca＝3，3a2－4b2＝1，a2＋b2＝c2.当双曲线焦点在y轴上时，设方程为y2a2－x2b2＝1．则有ca＝3，4a2－3b2＝1，a2＋b2＝c2.解得

a2＝52，b2＝5.∴所求双曲线的标准方程为y252－x25＝1．答案：x2－y22＝1或y252－x25＝1解得a2＝1，b2＝2.∴所求双曲线的标准方程为x2－y22＝1．考点一双曲线的标准方程[题组练透]1．(2016·天津高考)已知双曲线x2a2－y2

b2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为()A．x24－y2＝1B．x2－y24＝1C．3x220－3y25＝1D．3x25－3y220＝1解析：由焦距为25，得c＝5．因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝

0垂直，所以ba＝12．又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为x24－y2＝1．答案：A2．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为()A．x24－y25＝1(y>0)B．x24－y25＝1(x>0)C．y24－x2

5＝1(y>0)D．y24－x25＝1(x>0)解析：由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为x2a2－y2b2＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4

＝5，所以点P的轨迹方程为x24－y25＝1(x>0)．答案：B3．(2016·广西第一次质量检测)若以F1(－3，0)，F2(3，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为________．解析：依题意，设题中的双曲线方程是x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则有

4a2－1b2＝1，a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1．因此该双曲线的标准方程是x22－y2＝1．答案：x22－y2＝14．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线y24－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准

方程为y24－x2＝－λ(λ>0)，即x2λ－y24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x25－y220＝1．答案：x25－y220＝1[谨记通法]求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b

，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．考

点二双曲线的定义[典例引领]已知双曲线x2－y224＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝43|PF2|，则△F1PF2的面积为()A．48B．24C．12D．6解析：由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝13|PF2

|＝2a＝2，解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|＝24．答案：B[由题悟法]应用双曲线的定义需注

意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．[即时应用]1

．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A．14B．35C．34D．45解析：双曲线方程可化为x22－y22＝1，∴a＝b＝2，∴c＝2．由|

PF1|－|PF2|＝22，|PF1|＝2|PF2|得|PF1|＝42，|PF2|＝22，由余弦定理得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝34．答案：C2．设双曲线x24－y22＝1的左、右焦点分别为F1，F

2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为________．解析：由双曲线的标准方程为x24－y22＝1，得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8

．因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当|AB|是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝2b2a＋8＝10．答案：10考点三双曲线的几何性质双曲线的几何性质是每年高考命题的热点．常见的命题角度有：(1)求双曲线

的离心率(或范围)；(2)求双曲线的渐近线方程；(3)求双曲线方程．[锁定考向][题点全练]角度一：求双曲线的离心率(或范围)1．(2016·山东高考)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，若矩形

ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB|＝2b2a，|BC|＝2c．又2|AB|＝3|BC|，∴2×2b2a＝3×2c，即2b2＝3ac，∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2并

整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程2．(2017·广州模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为()A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．4x±3y＝0D．3x±4y

＝0解析：双曲线的右焦点到左顶点的距离等于a＋c，右焦点到渐近线y＝±bax的距离为bca2＋b2＝b，即a＋c＝2b，c＝2b－a，a2＋b2＝c2＝(2b－a)2，所以3b＝4a，ba＝43，所以所求渐近线方程为

4x±3y＝0．答案：C角度三：求双曲线方程3．(2016·天津高考)已知双曲线x24－y2b2＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A．x24－3y24＝1B．x24

－4y23＝1C．x24－y24＝1D．x24－y212＝1解析：由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±b2x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立x2＋y2＝4，y＝b2x，解得x＝44＋b2，y＝2b4＋b2或x＝－4

4＋b2，y＝－2b4＋b2，即圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为44＋b2，2b4＋b2．由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b2，故8×4b4＋b2＝2b，得b2＝12．故双曲线的方程为x24－y212＝1．

故选D．答案：D[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而

得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线的方程．依据题设条件，求出a，b的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a，b，c之间的关系求解．[演练冲关]1．点F是双曲线x2a2－y2b2＝1

(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(1,1＋2)D．(2,1＋2)解析：如图，由题意知A点的纵坐标为b2a，若△

ABE是锐角三角形，则必有∠AEF<45°，∴tan∠AEF＝b2aa＋c<1，则c2－ac－2a2<0，∴e2－e－2<0，∴－1<e<2．又e>1，∴1<e<2．答案：B2．(2017·武汉调研)双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为54，焦点

到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于________．解析：因为e＝ca＝54，所以c＝54a，设双曲线的一条渐近线方程为y＝abx，即ax－by＝0，焦点为(0，c)，所以bca2＋b2＝b＝3，所以a＝c2－b2＝2516a2－9，所以a2＝16，即a＝4，故2a

＝8．答案：83．(2017·广州测试)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，点B(0，b)，且BA―→·BF―→＝0，则双曲线C的离心率为________．解析：依题意，B(

0，b)，A(－a,0)，F(c,0)，∵BA―→·BF―→＝0，∴(－a，－b)·(c，－b)＝0，∴b2＝ac＝c2－a2，∴e2－e－1＝0，又e>1，∴e＝1＋52．答案：1＋524．已知双曲线x2－y23

＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1―→·PF2―→的最小值为________．解析：由题可知A1(－1,0)，F2(2,0)．设P(x，y)(x≥1)，则PA1―→＝(－1－x，－y)，PF2―→＝(2－x，－y)，PA1―→·PF2―→＝(－1－x)(2－x

)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5．因为x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝18，所以当x＝1时，PA1―→·PF2―→取得最小值－2．答案：－2考点四直线与双曲线的位置关系[典例引领]设A，B分别为双曲

线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为3．(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y＝33x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使OM―→＋ON―→＝tOD―→，求t

的值及点D的坐标．解：(1)由题意知a＝23，∵一条渐近线为y＝bax，即bx－ay＝0．∴由焦点到渐近线的距离为3，得|bc|b2＋a2＝3．又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，∴双曲线的方程为x212－y23＝1．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2

)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0．将直线方程y＝33x－2代入双曲线方程x212－y23＝1得x2－163x＋84＝0，则x1＋x2＝163，y1＋y2＝33(x1＋x2)－4＝12．∴x0y0＝433，x201

2－y203＝1.解得x0＝43，y0＝3.∴t＝4，点D的坐标为(43，3)．[由题悟法]直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧(1)判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注

意二次项系数是否为0的判断．(2)技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．[即时应用]已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C经过A(－7,5)，B(－1，－1)两点．(1)求双曲线C的方程；(2)设直线l：y＝x＋m交双曲线C于M，N两点，且线段MN被圆E：x2＋y2－12

x＋n＝0(n∈R)三等分，求实数m，n的值．解：(1)设双曲线C的方程是λx2＋μy2＝1，依题意有49λ＋25μ＝1，λ＋μ＝1，解得λ＝－1，μ＝2，所以所求双曲线的方程是2y2－x2＝1．(2)将l：y＝x＋m代入2y2－x2＝1，得x2＋

4mx＋(2m2－1)＝0，①Δ＝(4m)2－4(2m2－1)＝8m2＋4＞0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x1＋x2＝－4m，x1x2＝2m2－1，所以x0＝x1＋x22＝－2m，y0＝x0＋m＝－m，所以P(－2m，－m)．又圆心E(6,0)，依题意

kPE＝－1，故m6＋2m＝－1，即m＝－2．将m＝－2代入①得x2－8x＋7＝0，解得x1＝1，x2＝7，所以|MN|＝1＋12|x1－x2|＝62．故直线l截圆E所得弦长为13|MN|＝22．又E(6,0)到直线l的距离d＝22，所以圆

E的半径R＝222＋22＝10，所以圆E的方程是x2＋y2－12x＋26＝0．所以m＝－2，n＝26．