【文档说明】02021年高中数学人教版必修第一册：3.2《函数的性质》精品讲义(含解析).doc，共(16)页，741.000 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-31165.html

以下为本文档部分文字说明：

3.2函数的性质思维导图常见考法考法一性质法求单调性（单调区间）【例1】（2020·全国高一课时练习）函数6yx的减区间是（）A．[0,)B．(,0]C．(,0)，(0,)D．(,0)(0,)【答案】C【解析】由图象知单调减区间为(,0)，

(0,)【一隅三反】1.函数2fxx2x3的单调递减区间为()A．,1B．,2C．1,D．2,【答案】A【解析】函数2fxx2x3的二次项的系数大于零，抛物线的开口向上，二次函数

的对称轴是x1，函数的单调递减区间是,1故选：A．2．下列函数在区间(－∞，0)上为增函数的是()A.y＝1B.y＝－1x＋2C.y＝－x2－2x－1D.y＝1＋x2【答案】B【解析】y=1在区间（－∞,0）上不增不减;y=－1x+2在区间（－∞,0）上单调递增;y=－x2－2x－1在

区间（－∞,0）上有增有减;y=1+x2在区间（－∞,0）上单调递减;所以选B.3．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是()A.递减函数B.递增函数C.先递减再递增D.先递增再递减【答案】C【解析】由于二次函数的开口向上，并且对称轴方程为

x=3,所以函数在(2,4)上是先减后增.考法二定义法求单调性（单调区间）【例2】（2020·全国高一课时练习）求证：函数f(x)＝x＋1x在[1，＋∞)上是增函数.【答案】证明见详解.【解析】证明：在区间1,上任取12xx，则12

121211fxfxxxxx121211xxxx1212121xxxxxx因为12xx，故可得120xx；又因为121,1xx，故可得121211,0xxxx.单调区间只能用区间表示，不能用集合或

不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“”连接，也不能用“或”连接故120fxfx，即12fxfx.故fx在区间1,上单调递增.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）证明fxx在其定义域上是增函数

.【答案】证明见解析；【解析】证明：函数fxx的定义域为0,设12,0,xx且12xx，12121212121212xxxxxxfxfxxxxxxx因为120xx，所以120xx，所以120fx

fx，即12fxfx所以fxx在其定义域0,上是增函数.2．（2020·浙江高一课时练习）用定义法证明函数21fxxx在定义域内是减函数．【答案】见解析【解析】设在R上任取两个数x1，x2，

且x1>x2；则f（x1）–f（x2）=211x–x1–（221x–x2）=211x–221x+（x2–x1）=1212221211xxxxxx+（x2–x1）=（x1–x2）（12221211xxxx–

1）∵x1>x2，∴x1–x2>0，12221211xxxx–1<0，则f（x1）–f（x2）<0，∴函数21fxxx在R上是减函数．考法三图像法求单调性（单调区间）【例3】（2020·全国高一）求下列函数的单调区间．（1）f（x）＝3|x|；（2）f（x）＝|

x2＋2x－3|．【答案】（1）减区间为(－∞，0]，增区间为[0，＋∞)；直接利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；减区间是(－∞，－3]，[－1

，1]．【解析】（1）由题意，函数3,033,0xxfxxxx，图象如图所示，所以函数f（x）的单调递减区间为(－∞，0]，单调递增区间为[0，＋∞)．（2）令2223(1)4gxxxx，作出gx的图象，

保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方，即可得到函数223fxxx的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)；函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]．【一隅三反】1．

（2020·全国高一专题练习）求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．（1）f（x）＝－1x；（2）f（x）＝21,15,1xxxx（3）f（x）＝－x2＋2|x|＋

3.【答案】（1）单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数；（2）单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f（x）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；（3）单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f（x）在(－∞，1)上是减函数，

在[1，＋∞)上是增函数．【解析】（1）函数f（x）＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．（2）当x≥1时，f（x）是增函数，当x<1时，f（x）是减函数，所以f（x）的单调区间为(－∞，1)，[1

，＋∞)，并且函数f（x）在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．（3）因为f（x）＝－x2＋2|x|＋3＝2223,023,0xxxxxx根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f（x）的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋

∞)．f（x）在(－∞，－1]，[0，1)上是增函数，在(－1，0)，[1，＋∞)上是减函数．考法四利用单调性求参数【例4】（1）（2020·浙江高一课时练习）若函数22fxxax与1agxx在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围（）A．1,00,

1UB．1,00,1UC．0,1D．0,1（2）（2020·辽阳市第四高级中学高三月考）已知奇函数fx是定义域22,上的减函数，若21430fafa，求实数a的取值范围.【答案】（1）D（2）11,43.【解析】对于，开口向下

，对称轴为x=a若函数在区间1,2上都是减函数，则区间1,2在对称轴的右侧，所以可得：a<=1；对于，其相当于将的图象向左平移1个单位，得到如下函数图像：此时我们可以判断，当a>0时，则函数在第一象限为单调

递减，而在单调递减，故a的取值范围是(0,1]（2）由21430fafa，得2143fafa，又fx为奇函数，得4334fafa，∴2134fafa

，又fx是定义域22,上的减函数，所以2343421212aaaa，所以141332aaa，所以实数a的取值范围为11,43.【一隅三反

】1．（2020·开鲁县第一中学高二期末（文））函数(21)ymxb在R上是减函数．则（）A．12mB．12mC．12mD．12m【答案】B【解析】根据题意，函数(21)ymxb在R上是减函数，则有210m＜，解可得12m，故

选B．2．（2020·浙江高一课时练习）已知22(2)5yxax在区间(4,)上是增函数，则a的范围是（）A．2aB．2aC．6aD．6a【答案】B【解析】∵函数f（x）＝x2+2（a﹣2）x+5的图象是开口方向朝上，以x＝2﹣a为对称轴的抛物线，若函数f

（x）＝x2+2（a﹣2）x+5在区间[4，+∞）上是增函数，则2﹣a≤4，解得a≥﹣2．故选：B．3．（2020·全国高一课时练习）若函数(31)4,1,1axaxfxaxx，是定义在R上的

减函数，则a的取值范围为（）A．11,83B．10,3C．1,8D．11,,83【答案】A【解析】因为函数fx是定义在R上的减函数，所

以3100314aaaaa，解得1183a.故选：A.考法五奇偶性的判断【例5】（2020·全国高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．（1）f(x)＝2x＋1x；（2）f(x)＝2－|x|；（3）f(x)＝21x＋21x；（4）f(x)＝1xx.【答案】

（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）非奇非偶函数.【解析】（1）函数的定义域为0xx，由1122fxxxfxxx，所以函数fx为奇函数（2）函数的定义

域为R由22fxxxfx所以函数fx为偶函数（3）由2210110xxx，所以函数的定义域为1,1又110ff，所以函数fx既是奇函数又是偶函数（4）由101xx，所以函数的定

义域为1xx因为定义域不关于原点对称，所以函数fx为非奇非偶函数.【一隅三反】首先判断函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的情况下，判断f(x)与f(－x)之间的关系1（2020·全国）判断下列函数的奇偶性:(1)32()1xx

fxx;(2)31()fxxx;(3)23()fxxx;(4)()|2||2|fxxx.【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数.(2)奇函数.(3)既不是奇函数也不是偶函数.(4)偶函数.【解析】(1

)函数32()1xxfxx的定义域为{|Rxx且1x},定义域不关于原点对称,∴该函数既不是奇函数也不是偶函数.(2)31()fxxx的定义域是(,0)(0,).当(,0)(0,)x时,显然,(,0)(0,)x

.333111()()()()fxxxxfxxxx,31()fxxx是奇函数.(3)23()fxxx的定义域为R.23(1)(1)(1)112f,23(1)110f

,(1)(1)ff.()fx不是偶函数.又(1)(1)ff,()fx不是奇函数.23()fxxx既不是奇函数也不是偶函数.(4)()|2||2|fxxx的定义域为R.()|2||2||2||2|()fxxxxxfx

,()|2||2|fxxx是偶函数.2．（2020·浙江高一课时练习）判断下列函数的奇偶性：（1）()11fxxx．（2）22()11fxxx．（3）2()2||1,[1,1]fxxxx．（4）22(0

)()(0).xxxfxxxx，【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数；（2）既是奇函数又是偶函数；（3）偶函数；（4）奇函数.【解析】（1）由10,10xx……得1x，∴函数(

)fx的定义域为{1}，不关于原点对称．故()fx既不是奇函数也不是偶函数．（2）由2210,10xx……得21x，即1x．∴函数()fx的定义域是{1,1}，关于原点对称．又()0fx，∴()fx既是奇函数又是偶函数．（3）函数的定

义域为[1,1]，关于原点对称．又∵22()()2||12||1()fxxxxxfx，∴()fx是偶函数．（4）当0x时，0x，则22()()()fxxxxxfx，当0x时，0x，则22()()()fxxxxxfx

综上，对(,0)(0,)x，都有()()fxfx．∴()fx为奇函数．考法六利用奇偶性求解析式【例6】（1）（2020·陕西渭滨.高二期末（文））已知()fx是R上的奇函数，且当0x时，2()321f

xxx，则当0x时，()fx。（2）已知函数yfx在R上为偶函数，且当0x时，22fxxx，则当0x时，fx的解析式是______．【答案】（1）232+1xx（2）f（x）＝x2+2x【解析】由题意，设0x，则0x，则2()321fxxx

，因为函数fx为R上的奇函数，则()()fxfx，得()()fxfx232+1xx，即当0x时，232+1xxfx.（2）当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝x2+2x，又f

（x）是偶函数，∴当x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x．故答案为：f（x）＝x2+2x．【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上

的表达式为________．【答案】2223,00,023,0xxxfxxxxx【解析】因为fx是奇函数，且定义域为R，故当0x时，0fx；则当0x时，222323fxfxxxxx.故答案为：

2223,00,023,0xxxfxxxxx.2．（2018·上海市澄衷高级中学高一期中）已知偶函数fx在0x时的解析式为32fxxx，则0x时，fx的解式为_______.【答案】32xx

【解析】当0x时，0x，则3232fxxxxx.函数yfx为偶函数，此时32fxfxxx.故答案为：32xx.考法七利用奇偶性求参数【例7】（1）（2020·全国高一课时练习）函数y＝f(x)在区间[2a－3，a]上具

有奇偶性，则a＝________.（2）（2020·全国高一课时练习）若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为。（3）（2019·浙江高二期末）若函数f(x)=21xax(a∈R)是奇函数，则a的值为（）A．1B．0C

．－1D．±1【答案】（1）1（2）1或（3）B【解析】（1）由题意知，区间[2a－3，a]关于原点对称，∴2a－3＝－a，∴a＝1.（2）：∵函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，∴f（﹣x）＝f（

x），即f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1，即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a，（3）由题意，函数21xafxx是定义域R上的奇函数，根据奇函数的性质，

可得00f，代入可得200001af，解得0a，故选B.【一隅三反】1．如果定义在区间上的函数为奇函数，则___．【答案】8【解析】因为为奇函数由奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点中心对称即解得2．（2019·江苏沭阳.高三期中

）已知函数2()fxxbxbR为偶函数，则12f的值为__________.【答案】14【解析】因为函数2()fxxbxbR为偶函数,故22fxxbxxbx,故22xbxxbx恒成立

.故0b.故2fxx,则1124f.故答案为：143．（2020·全国高一课时练习）判断函数f(x)＝x＋ax(a为常数)的奇偶性，并证明你的结论．【答案】fx为奇函数，证明见解析.【解析】fx为奇函数，证明如下：fx的定义域为{x|x≠0}．

对于任意x≠0，aafxxxfxxx，∴fx为奇函数．考法八单调性与奇偶性的综合运用【例8-1】（2020·宁夏兴庆.银川一中高二期末（文））已知定义在R上的函数fx

满足fxfx，且在(0,)上是增函数，不等式21faxf对于1,2x恒成立，则a的取值范围是A．3,12B．11,2C．1,02D．0,1【答案】A【解析】fxfxfx为定义在R上的偶函数，图象

关于y轴对称又fx在0,上是增函数fx在,0上是减函数21faxf21ax，即121ax121ax对于1,2x恒成立31axx在1,2上恒成立312a，即a的取值范围为：3,12本题正

确选项：A【例8-2】（2020·浙江高一课时练习）函数111fxxx的最大值是：（）A．43B．34C．45D．54【答案】A【解析】111fxxx22114=0+1313+24xxx

，故函数的最大值为：43.故答案为：A.【一隅三反】1．（2020·四川成都高一月考（理））已知函数4()2(0)fxxxx，则函数()fx的最小值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】在区间0,2上任取12,xx，且12xx，

121212121212121244441xxfxfxxxxxxxxxxxxx，12,0,2xx，1204xx，则12401xx，12410xx，又12xx

，1212410xxxx，即12fxfx，函数()fx在0,2上单调递减，同理可证函数在2,上单调递增，所以函数()fx在2x处取得最小值，最小值为22226f.故选：C2．（2020·吉林公主岭.高一期末（理））已知1()

fxaxbx是定义在{|0}xxR上的奇函数,且(1)5f.（1）求()fx的解析式；（2）判断()fx在1,2上的单调性,并用定义加以证明.【答案】(1)1()4(0)fxxxx(2)()fx在1,2

上单调递增.见解析【解析】（1）∵()fx为奇函数,∴()()0fxfx-+=,∴0b.由(1)5f,得4a,∴1()4(0)fxxxx.（2）()fx在1,2上单调递增.证明如下:设1212xx,则

121212114fxfxxxxx12121241xxxxxx∵1212xx,∴120xx,12410xx,∴121212410xxxxxx,∴

120fxfx,∴()fx在1,2上单调递增.3．（2020·浙江高一课时练习）设函数()fx是R上的奇函数，当0x…时，2()4fxxx．（1）求()fx的表达式．（2）求证()fx在区间(0,)上是增函数．【答案】

（1）224,0,()4,0.xxxfxxxx…；（2）证明见解析.【解析】（1）当0x时，0x，∴22()()4()4fxxxxx．∵()fx是奇函数，∴()()fxfx，

∴22()()44(0)fxfxxxxxx，∴224,0,()4,0.xxxfxxxx…（2）设任意的1x，2(0,)x，且12xx，则222122112121444fxfxxxxxxxxx

．∵120xx，∴210xx，2140xx，∴210fxfx，∴12fxfx，∴()fx是(0,)上的增函数．