【文档说明】(新教材)高中数学人教版必修第一册期末章节复习：第4单元《指数函数与对数函数》(强化篇）（解析版）.doc，共(28)页，814.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第4单元指数函数与对数函数（强化篇）基础知识讲解1．分段函数的解析式求法及其图象的作法【基础知识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫

分段函数．已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表

达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．2．函数单调性的性质与判断【基础知识】一般

地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D

上是减函数．若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．【技巧方法】证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求

函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x

的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．第六步：明确规范地表述结论3

．复合函数的单调性【基础知识】复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．【技巧方法】求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：（1）确定

定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．4．奇函数、偶函数【奇函数】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就

叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．【技巧方法】①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于

0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2+x【偶函数】如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x）

，那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【技巧方法】①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2

）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．5．函数奇偶性的性质与判断【基础知识】①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0

）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．【技巧方法】①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解

相关的未知量；②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性

相反．6.函数解析式的求解及常用方法【基础知识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等．7.幂函数的单调性、奇偶性及其应用【基础知识】1.幂函数定

义：一般地，函数y＝xa（a∈R）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是y＝xa，其中a是常数．8.幂函数的性质【基础知识】所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都

过点（1，1）．（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）（0，0）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；d、函

数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；c、在第一象限内，当

x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．9.五个常用幂函数的图象和性质（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x

3；（4）y＝21x；（5）y＝x﹣1y＝xy＝x2y＝x3y＝21xy＝x﹣1定义域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，+∞）时，增x∈（﹣∞，0]时，减增增x∈（0，+∞）时，减

x∈（﹣∞，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）10.幂函数的奇偶性（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．（2）如果a＞0，则幂函数的图象

过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数．11．函数最值的应用【基础知识】函数的最值顾名思义就是

指函数在某段区间内的最大值和最小值．在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题．另外，最值可分为最大值和最小值．【技巧方法】这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为

函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视．这里我们以具体的例题来讲解．12．根据实际问题选择函数类型【基础知识】1．实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着

广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．【技巧方法】常用到的五种函数模型：①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观

地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．②反比例函数模型：y＝xk（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．③指数函数模型：y＝a•bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0

），常形象地称为指数爆炸．④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．⑤幂函数模型，即y＝a•xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0

），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．习题演练一．选择题（

共12小题）1．若,abR，则“1a且1b”是“1ab且2ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】因为1a且1b，所以根据同向正数不等式相乘得1ab，根据同向不等式相加得2ab，即2

ab成立，因此充分性成立；当1,2ab时满足1ab且2ab，但不满足1a且1b，即必要性不成立；从而“1a且1b”是“1ab且2ab”的充分不必要条件，故选：A2．已知二次函数，满足：对任意实数，都

有，且当时，有成立，又，则为（）A．1B．C．2D．0【答案】B【解析】由条件对任意实数x，都有f（x）≥x，知f（2）≥2成立∵当x∈（1，3）时，有成立，∴取x=2时，21(2)(22)28f成立，∴f（2）=2

．∴4a+2b+c=2①∵f（－2）=0∴4a－2b+c=0②由①②可得，∴4a+c=2b=1，∴b=，故选B．3．已知函数22,0()ln(1),0xxxfxxx，若|()|fxkx，

则k的取值范围是（）A．(,0]B．1]（，C．21，D．20，【答案】D【解析】当0x时,因为220xx，所以22xxkx，即22kxk;当0x时00，即kR;当0x时，ln

(1)xkx，由图可知0k;综上k的取值范围是20，，故选：D.4．函数412xxfx的图象A．关于原点对称B．关于直线y=x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【答案】D【解析】，因为，所以为偶函数．所以的图象关于y轴对称．故选D.5．函数2()ln(28)fxxx

的单调递增区间是A．(,2)B．(,1)C．(1,)D．(4,)【答案】D【解析】由228xx>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t=228xx，则y=lnt，∵x∈(−∞,−2)时,t=228

xx为减函数；x∈(4,+∞)时,t=228xx为增函数；y=lnt为增函数，故函数f(x)=ln(228xx)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.6．已知奇函数fx在R上是增函数，若21log5af

，2log4.1bf，0.82cf，则,,abc的大小关系为()A．abcB．bacC．cbaD．cab【答案】C【解析】由题意：221loglog55aff，且：0.822log5log4.12,122，据此

：0.822log5log4.12，结合函数的单调性有：0.822log5log4.12fff，即,abccba.本题选择C选项.7．若函数212log45fxxx在区间32,

2mm内单调递增，则实数m的取值范围为（）A．4,33B．4,23C．4,23D．4,3【答案】C【解析】解不等式2450xx，即2450xx

，解得15x，内层函数245uxx在区间1,2上单调递增，在区间2,5上单调递减，而外层函数12logyu在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数212log45fxxx的单调递增区间为2,5，由于函数212log45fxxx

在区间32,2mm上单调递增，所以，32232225mmmm，解得423m.因此，实数m的取值范围是4,23.故选：C.8．已知函数3,02,0xxfxxx则（）A．对任意实数t，方程

0ffxt无解B．存在实数t，方程0ffxt有2个根C．存在实数t，方程0ffxt有3个根D．对任意实数t，方程0ffxt有1个根【答案】B【解析】由题意，函数3,02,0xxfxxx，作出函数fx的图象，如图所示:设

fxm，则方程0ffxt，即为()fmt，结合图象，可得①当1t时，此时方程()fmt有两个根12,mm，其中120,0mm，此时方程fxm有1个根或2个根；②当1t时，此

时方程()fmt有两个根123,02mm，此时方程fxm没有实数根；③当01t时，此时方程()fmt只有一个根1m，其中1102m，此时方程fxm没有实数根；④当0t时，此时方程

()fmt没有实数根，此时方程fxm没有实数根.综合可得，存在实数t，方程0ffxt有2个根.故选：B.9．已知函数()gx为一次函数，若,mnR，有()()()3gmngmgn，当[2,2]x

时，函数22()log(241)()fxxxgx的最大值与最小值之和是（）A．10B．8C．7D．6【答案】D【解析】由题意，设一次函数()gxaxb，因为()()()3gmngmgn，可得()3amn

bambanb，解得3b，所以()3gxax，故()gx的图象关于(0,3)对称，又设22()log(241)hxxx，可得函数hx为单调递增函数，且22221()log(24()1)log()241hxxxhxxx，即hxhx

，所以()hx是奇函数，则minmax()()0hxhx，则minminmin()()fxhxgx，maxmaxmax()()fxhxgx，所以minmaxminmaxminmax(()())()()066fxfx

hxhxgxgx即为()gx的最大值与最小值之和6.故选：D.10．在直角坐标系中，函数3xxxyee的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令3()xxxfxee，()()fxfx，()fx为奇函数可排除B，当x时，()0fx，且()0fx

，故选：A.11．若1ab，lglgPab，1(lglg)2Qab，lg()2abR，则（）A．RPQB．PQRC．QPRD．PRQ【答案】B【解析】由于函数lgyx在(0,)上是增函数1ab，则lglg0ab由基本不

等式可得11lglg(lglg)lg()lglg222abPababababR因此，PQR12．方程125xx的解所在的区间是（）A．()0,1B．()1,2C．2,3D．

3,4【答案】C【解析】设1()25xfxx，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数12xy与yx的R上都是递增函数，所以()fx在R上单调递增，故函数1()25xfxx最多有一个零点，而21

(2)22510f，31(3)23520f，根据零点存在定理可知，1()25xfxx有一个零点，且该零点处在区间(2,3)内，故选答案C.二．填空题（共6小题）13．已知

函数2,1log1,1xxfxxx，则函数yffx的所有零点所构成的集合为________.【答案】0,2,5【解析】令tfx，由0ft，即0x或2log(1)0x，解得0t或2t，当()0fx=时，解

得0x或2x；当由2fx，解得5x，即函数yffx的所有零点所构成的集合为0,2,5.故答案为：0,2,5.14．已知12512.51000xy，则yxxy________．

【答案】13【解析】解：因为12512.51000xy，所以125log1000x，12.5log1000y，10001000100011125log125log12.5log12.5yxxyxy10001log103．故答案为：13.

15．已知函数2ln11fxxx，4fa，则fa________．【答案】2【解析】因为2222fxfxln1x1ln1x1ln122xxxx，fafa2，且fa4，则fa2

.故答案为-216．已知函数若42log,04()1025,4xxfxxxx„，abcd，，，是互不相同的正数，且()()()()fafbfcfd，则abcd的取值范围是_____．【答案】24,25【解析】先画出函数42log,04()1025,

4xxfxxxx„的图象，如图所示：因为abcd,,,互不相同，不妨设abcd，且()()()()fafbfcfd，而44loglogb，即有44loglog0ab，

可得1ab，则abcdcd，由10cd＝，且cd，可得2252cdcd，且2(10)(5)25cdccc，当4c时，6d，此时24cd，但此时b，c相等，故abcd的范围为(2

4,25)．故答案为2425（，）．17．已知函数2log1fxx，若关于x的方程2[]0fxafxb有6个不同的实数解，且最小实数解为3，则ab的值为______．【答案】2【解析】由题意，作出函数2log1fxx图象，如图所示：令

2log1tfxx，根据图象可知，关于x的方程2[]0fxafxb有6个不同的实数解，可转化为关于t的方程20tatb有2个不同的实数解，且必有一个解为0，另一个解大于0，所以0b．

则20tat，解为1ta，20t．所以123log312taf，即2a．所以2ab．故答案为：2．18．已知函数1222xxafxaR为奇函数，且yfx的图象和函数2xym的图象交于不同两

点A、B，若线段AB的中点M落在直线12y=-上，则实数m的值为______.【答案】52【解析】fx为奇函数，11ff，即111111222222aa，解得1a，经检验12122xxfx为奇函数，设1122,

,,AxyBxy，联立两个函数的方程，消去2x得到关于y的二次方程222310ymym，12322myy，因为AB中点M纵坐标为12，所以121yy，3212m，解得52m.故答案为：52.三．解析题（共

6小题）19．已知函数()22xaxbfx，且5(1)2f，17(2)4f．（1）求a，b的值．（2）判断()fx的奇偶性．（3）试判断函数在(,0]上的单调性，并证明．（4）求函数()fx的最小值．【答案】（1）10ab；（2）()fx为偶函数；（3）()fx在(,0

]上为减函数，证明见解析；（4）2.【解析】解：（1）由已知，得2522217424abab，解得10ab．（2）由（1）可知()22xxfx．任取x

R，则()()2222()xxxxfxfx，又()fx的定义域为R，所以()fx为偶函数．（3）()fx在(,0]上为减函数，证明如下：任取12,(,0]xx，且12xx，则11221222

22xxxxfxfx1212112222xxxx1212122222122xxxxxx．因为12,(,0]xx，且12xx，所以120221xx，从而12220xx，122210xx，12220xx，

故120fxfx，即12fxfx.所以函数()fx在(,0]上为减函数．（4）因为()fx在(,0]上为减函数，且()fx为偶函数，所以()fx在[0,)上是增函数，所

以当0x时，()(0)fxf．又因为()fx在(,0]上为减函数，所以当0x时，()(0)fxf，从而对于任意的xR，都有00()(0)222fxf，所以()fx的最小值为2．20．已知定义域为R的函数2()2xxbfxa是奇

函数．（1）求a，b的值；（2）用定义证明()fx在(,)上为减函数；（3）若对于任意tR，不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，求k的范围．【答案】（1）1a，1b；（2）证明见解析；（3）1(,)3.【解析】解：（1）()fx为R上的奇函数，(0)0f，

可得1b又(1)ff（1）11121222aa，解之得1a经检验当1a且1b时，12()21xxfx，满足()()fxfx是奇函数．（2）由（1）得122()12121xxxfx

，任取实数1x、2x，且12xx则21121212222(22)()()2121(21)(21)xxxxxxfxfx12xx，可得1222xx，且12(21)(21)0xx12()()

0fxfx，即12()()fxfx，函数()fx在(,)上为减函数；（3）根据（1）（2）知，函数()fx是奇函数且在(,)上为减函数．不等式22(2)(2)0fttftk恒成立，即222(

2)(2)(2)fttftkftk也就是：2222tttk对任意的tR都成立．变量分离，得232ktt对任意的tR都成立，2211323()33ttt，当13t时有最小值为1313k，

即k的范围是1(,)3．21．（1）已知函数2110xgxaa的图像恒过定点A，且点A又在函数3logfxxa的图像上，求不等式3gx的解集；（2）已知121log1x，求函数1114242xxy

的最大值和最小值.【答案】（1）3,；（2）min1y，max54y.【解析】（1）由题意知定点A的坐标为2,2，∴32log2a解得1a.∴221xgx.∴由3gx得，2213x.∴222

x.∴21x.∴3x.∴不等式3gx的解集为3,.（2）由121log1x得122x令12xt，则1242t，221442412yttt.∴当12t，即1122x，1x时，min1y，当14t，即1

124x，2x时，max54y.22．若函数f(x)满足f(logax)＝21aa·(x－1x)(其中a＞0且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数

，求a的取值范围．【答案】（1）见解析．（2）[2－3，1)∪(1,2＋3]．【解析】(1)令logax＝t(t∈R)，则x＝at，∴f(t)＝(at－a－t)．∴f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)．∵f(－x)＝(a

－x－ax)＝－(ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且＞0，∴f(x)为增函数．当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且＜0，∴

f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．(2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，只需f(2)－4≤0，即(a2－a－2)≤4.∴()≤4，∴a2＋

1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，∴2－≤a≤2＋.又a≠1，∴a的取值范围为[2－，1)∪(1,2＋]．23．已知函数2()7fxxmxm，mR.（1）若fx在区间2,4上单调递增，求m的取值范围；（2）求fx在区间1,

1上的最小值gm；（3）讨论fx在区间3,3上的零点个数.【答案】（1）4m；（2）226,27(),2246,2mmmmgmmm；（3）当112m≤≤时，函数有2个零点，当m1或12m时，函数fx有1个零点.【解析】（1）由

题意，函数2()()7fxxmxmmR开口向上，对称轴的方程为2mx，若使得函数fx在2,4上单调递增，则满足122m，解得4m，即实数m的取值范围[4,).（2）①当112m即2m时，函数yfx在区间

1,1单调递增，所以函数yfx的最小值为16gmf；②当1112m，即22m时，函数yfx在区间11,2m单调递减，在区间1,12m

上单调递增，所以函数yfx的最小值为21()724mgmfmm；③当112m即2m时，函数yfx在区间1,1单调递减，所以函数yfx的最小值为

126gmgm，综上可得，函数的最小值为226,27(),2246,2mmmmgmmm.（3）因为函数yfx的对称轴方程为12xm，且24280mm恒成

立，①当133232203420mfmfm，即112m≤≤时，函数fx在区间3,3上有2个零点；②当1323220mfm，此时m不存在；③当1323420mfm

，此时m不存在；④当330ff，即22420mm，解得m1或12m时，函数fx在区间3,3上有1个零点.综上可得：当112m≤≤时，函数fx在区间3,3上有2个零点，当m1或12m时，函

数fx在区间3,3上有1个零点.24．设a为实数，函数21fxxaxaaa.（I）若01f≤，求实数a的取值范围；（II）当2a时，讨论方程0fxx在R上的解的个数.【答案】（I）1(,]2；（II）2个.【解析】（I）因为

01f≤，即200011faaaaaa，当0a时，不等式为01恒成立，满足条件，当0a时，不等式为1aa，解得102a，综上所述a的取值范围是1(,]2.（II

）由题意，函数222(22),22,0(22)2,0xaxxagxfxxxaxaxaxaxax，可得当xa≥时，函数gx的对称轴方程为1xa；当0xa时，函数gx的对称轴方程为xa；当0x时，函数gx的对称轴方程

为1xa，所以函数gx在,0上单调递减，在(0,)a上单调递减，在,a上单调递增，因为222020,()(22)2(1)1gagaaaaaaa，又由2a，所以2()(1)1gaa在2,上单调递减，所以()(2)0gag

，所以fx在(0,)a和,a上各有一个零点，综上所述2a时，函数0fxx在R上有两个解.