【文档说明】2021年高中数学人教版必修第一册：2.2《第1课时 基本不等式的证明》同步精选练习（含答案详解）.doc，共(6)页，61.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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2.2第1课时基本不等式的证明基础练巩固新知夯实基础1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2abC.1a＋1b>2abD.ba＋ab≥22．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是()A．a＝±1B．a＝1C．a＝－1D．a＝03．对x∈R

且x≠0都成立的不等式是()A．x＋1x≥2B．x＋1x≤－2C.|x|x2＋1≥12D.x＋1x≥24．已知x>0，y>0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是()A.1x＋yB.141x＋1yC.12x2＋y2D.12x

y5．给出下列不等式：①x＋1x≥2；②x＋1x≥2；③x2＋y2xy≥2；④x2＋y22>xy；⑤|x＋y|2≥|xy|.其中正确的是________(写出序号即可)．6．若a>0，b>0，a＋b＝2，

则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(填序号)．①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2.7．设a，b，c都是正数，求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.能力练综合应用核心素养8．若0<a<b，a

＋b＝1，则a，12，2ab中最大的数为()A．aB．2abC.12D．无法确定9．已知a>0，b>0，则a＋b2，ab，a2＋b22，2aba＋b中最小的是()A.a＋b2B.abC.a2＋b22D.2aba＋b10．设a>0，b>0

，则下列不等式中不一定成立的是()A．a＋b＋1ab≥22B.2aba＋b≥abC.a2＋b2ab≥a＋bD．(a＋b)1a＋1b≥411．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是()A

.1ab≥8B.1a＋1b≥4C.ab≥12D.1a2＋b2≤1212．若a＜1，则a＋1a－1与－1的大小关系是________．13．给出下列结论：①若a>0，则a2＋1>a.①若a>0，b>0，则1a＋ab＋1b≥4.③若a>0，b>0，则(a＋b)1a＋1b

≥4.④若a∈R且a≠0，则9a＋a≥6.其中恒成立的是________．14．已知x＞0，y＞0，z＞0.求证：yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8.15．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证1＋1a1＋1b≥9.【参考答

案】1.D解析：选D.对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以ba>0，ab>0，所以ba＋ab≥2ba·ab，即ba＋ab≥2成立．2.B[解析]a2＋1－2a

＝(a－1)2≥0，∴a＝1时，等号成立．3.D[解析]因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x＋1x≥2；当x<0时，－x>0，所以x＋1x＝－－x＋1－x≤－2，所以A、B都错误；又因为x2

＋1≥2|x|，所以|x|x2＋1≤12，所以C错误，故选D.4.C[解析]解法一：∵x＋y>2xy，∴1x＋y<12xy，排除D；∵141x＋1y＝x＋y4xy＝14xyx＋y>1x＋y2x＋y＝1x＋y，∴排除B；∵(x＋y)2＝

x2＋y2＋2xy<2(x2＋y2)，∴1x＋y>12x2＋y2，排除A.解法二：取x＝1，y＝2.则1x＋y＝13；141x＋1y＝38；12x2＋y2＝110；12xy＝122＝18.其中110最小．5.②解析：当x>0时，

x＋1x≥2；当x<0时，x＋1x≤－2，①不正确；因为x与1x同号，所以x＋1x＝|x|＋1|x|≥2，②正确；当x，y异号时，③不正确；当x＝y时，x2＋y22＝xy，④不正确；当x＝1，y＝－1时，⑤不正确

．6.①③⑤[解析]令a＝b＝1，排除②④；由2＝a＋b≥2ab⇒ab≤1，①正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，③正确；1a＋1b＝a＋bab＝2ab≥2，⑤正确．7.[证明]因为a，b，c都是正数，所以bca

，acb，abc也都是正数．所以bca＋acb≥2c，acb＋abc≥2a，bca＋abc≥2b，三式相加得2bca＋acb＋abc≥2(a＋b＋c)，即bca＋acb＋abc≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．8.C解析：选C.因为0<a<b，a＋b＝1，所以a<1

2，因为ab<a＋b22＝14，所以2ab<12，则a，12，2ab中最大的数为12，故选C.9.D[解析]因为a>0，b>0，所以2aba＋b≤2ab2ab＝ab，a＋b2≥ab，a2＋b22＝2a2＋b24≥a＋b

24＝a＋b2(当且仅当a＝b>0时，等号成立)．所以a＋b2，ab，a2＋b22，2aba＋b中最小的是2aba＋b，故选D.10.B解析：选B.因为a>0，b>0，所以a＋b＋1ab≥2ab＋1ab≥22，当且仅当a

＝b且2ab＝1ab即a＝b＝22时取等号，故A一定成立．因为a＋b≥2ab>0，所以2aba＋b≤2ab2ab＝ab，当且仅当a＝b时取等号，所以2aba＋b≥ab不一定成立，故B不成立．因为2aba＋b≤2ab2ab＝ab，当且仅当a＝b

时取等号，所以a2＋b2a＋b＝（a＋b）2－2aba＋b＝a＋b－2aba＋b≥2ab－ab，当且仅当a＝b时取等号，所以a2＋b2a＋b≥ab，所以a2＋b2ab≥a＋b，故C一定成立．因为(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥4，当且仅当a

＝b时取等号，故D一定成立，故选B.11.B[解析]∵当a，b∈(0，＋∞)时，a＋b≥2ab，又a＋b＝1，∴2ab≤1，即ab≤12.∴ab≤14.∴1ab≥4.故选项A不正确，选项C也不正确．对于选项D，

∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，当a，b∈(0，＋∞)时，由ab≤14可得a2＋b2＝1－2ab≥12.所以1a2＋b2≤2，故选项D不正确．对于选项B，∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1a＋1b＝1a＋1b(a＋b

)＝1＋ba＋ab＋1≥4，当且仅当a＝b时，等号成立．故选B.12.a＋1a－1≤－1解析:因为a＜1，即1－a>0,所以－a－1＋1a－1＝(1－a)＋11－a≥2（1－a）·11－a＝2.即a＋1a－1≤－1.13.①②③[解析]因为(a2＋1)－

a＝a－122＋34>0，所以a2＋1>a，故①恒成立．因为a>0，所以a＋1a≥2，因为b>0，所以b＋1b≥2，所以当a>0，b>0时，a＋1ab＋1b≥4，故②恒成立．因为(

a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab，又因为a，b∈(0，＋∞)，所以ba＋ab≥2，所以(a＋b)1a＋1b≥4，故③恒成立．因为a∈R且a≠0，不符合基本不等式的条件，故9a＋a≥6是错误的．14.证明：因为x＞0，y＞0，z＞0，所以yx

＋zx≥2yzx＞0，xy＋zy≥2xzy＞0，xz＋yz≥2xyz＞0，所以yx＋zxxy＋zyxz＋yz≥8yz·xz·xyxyz＝8，当且仅当x＝y＝z时等号成立．15.[证明]证法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1，所以1＋

1a＝1＋a＋ba＝2＋ba，同理1＋1b＝2＋ab，故1＋1a1＋1b＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.所以1＋1a1＋1b≥9(当且仅当a＝b＝12时取等号)．证法二：因为a，b为正数，

a＋b＝1.所以1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab＝1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，ab≤a＋b22＝14，于是1ab≥4，2ab≥8，因此1＋1a1

＋1b≥1＋8＝9当且仅当a＝b＝12时等号成立.