【文档说明】(新教材)高中数学人教版必修第一册期末章节复习：第1单元《集合与常用逻辑用语》(基础篇）（解析版）.doc，共(16)页，546.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第1单元集合与常用逻辑用语（基础篇）基础知识讲解一．子集与真子集1.真子集是对于子集来说的．真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集．也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则称A是B的子集，若B中有一个元素，

而A中没有，且A是B的子集，则称A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集2、真子集和子集的区别子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元

素，有可能与另一个集合相等；真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括号括起来的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真

子集有：空集，{1}，{2}．一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n﹣1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集．【技巧点拨】注意真子集和子集的区别，不可混为一谈，A⊆B，并且B⊆A

时，有A＝B，但是A⊂B，并且B⊂A，是不能同时成立的；子集个数的求法，空集与自身是不可忽视的．二．集合的包含关系判断及应用【技巧点拨】1．按照子集包含元素个数从少到多排列．2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性质来判断

两个集合之间的关系．4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法．三．空集的定义、性质及运算1.空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点．例如：{x|x2+1＝0，x∈R}＝∅．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这

样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集．2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．【技巧点拨】解答与空集有关的问题，例如集合A∩B＝B⇔B⊆A，实际上包含3种情况：①B＝∅；②B⊂A且B≠∅；③B＝A

；往往遗漏B是∅的情形三．并集及其运算【基础知识】由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．图形语言：．运算形状：①A∪B＝B∪A．②A∪∅＝A．③A∪A＝A．④A∪B⊇A，A

∪B⊇B．⑤A∪B＝B⇔A⊆B．⑥A∪B＝∅，两个集合都是空集．⑦A∪（∁UA）＝U．⑧∁U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【技巧方法】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意

并集中元素的互异性．不能重复．四．交集及其运算【基础知识】由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．当两个集合没有公共

元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．运算形状：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（

∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．【技巧方法】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．五．补集及其运算【基础知识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元

素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．其图形表示如图所示的Venn图．．【技巧方法】常用数轴以及韦恩

图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．六．全集及其运算【基础知识】一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．全集是相对概念，元素个数可以是有限的，也可以是无限

的．例如{1，2}；R；Q等等．七．交、并、补集的混合运算【基础知识】集合交换律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合结合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B

∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求补律A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．八．Venn图表达集合的关系及运算【基础知识】用平面上一条封闭

曲线的内部来代表集合，这个图形就叫做Venn图（韦恩图）．集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化，利用Venn图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念、运算公式，而且有助于显示集合间的关系．运算公式：card（A∪B）＝c

ard（A）+card（B）﹣card（A∩B）的推广形式：card（A∪B∪C）＝card（A）+card（B）+card（C）﹣card（A∩B）﹣card（B∩C）﹣card（A∩C）+card（A∩B∩C），或利用Venn图解决．公式不易

记住，用Venn图来解决比较简洁、直观、明了．【技巧方法】在解题时，弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系，结合题目应很好地使用Venn图表达集合的关系及运算，利用直观图示帮助我们理解抽象概念．Venn图解题，就必须能正确理解题目中

的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来．九．充分条件、必要条件、充要条件【基础知识】1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p⇒q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p⇒q”等价的逆否命题是“￢q

⇒￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x∉q，则x∉p一定成立．2、充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件

，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件．【技巧方法】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，

则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．十．全称量词和全称

命题【基础知识】命题全称命题xM，p（x）特称命题xM，p（x）表述方法①所有的xM，使p（x）成立①存在xM，使p（x）成立②对一切xM，使p（x）成立②至少有一个xM，使p（x）成立③对每一个xM，使p

（x）成立③对有些xM，使p（x）成立④任给一个xM，使p（x）成立④对某个xM，使p（x）成立⑤若xM，则p（x）成立⑤有一个xM，使p（x）成立【技巧方法】要求我们会判断含有一个量词的全称命题和一个量词的特称命题的真假；正确理解含有一个量词的全称命题的否定是特称命题和含有一个量词的特称命

题的否定是全称命题，并能利用数学符号加以表示．应熟练掌握全称命题与特称命题的判定方法．十一．存在量词和特称命题【基础知识】命题全称命题x∈M，p（x）特称命题x0∈M，p（x0）表述方法①所有的x∈M，使p（x）成立①存在∃x0∈M，使

p（x0）成立②对一切x∈M，使p（x）成立②至少有一个x0∈M，使p（x0）成立③对每一个x∈M，使p（x）成立③某些x∈M，使p（x）成立④对任给一个x∈M，使p（x）成立④存在某一个x0∈M，使p（x0）成立⑤若x∈M，则p（x）成立

⑤有一个x0∈M，使p（x0）成立【技巧方法】短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词．符号：∃特称命题：含有存在量词的命题．符号：“∃”．存在量词：对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“

有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．习题演练一．选择题（共12小题）1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}AB，则UABð（）A．{3,3}B．{0,2}C．{1,1}D．{3,2,1,1,3}【答案】C【解析

】由题意结合补集的定义可知：U2,1,1Bð，则U1,1ABð.故选：C.2．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4B．–2C．2D．4【答案】B【解析

】求解二次不等式240x可得：2|2Axx，求解一次不等式20xa可得：|2aBxx.由于|21ABxx，故：12a，解得：2a.故选：B.3．设集合1,1,2,3,5A，2,3,4B，{

|13}CxRx„，则()ACBA．{2}B．{2，3}C．{-1，2，3}D．{1，2，3，4}【答案】D【解析】因为{1,2}AC，所以(){1,2,3,4}ACB.故选D．4．已知集合M＝{－1,0}，则满足M∪N＝{

－1,0,1}的集合N的个数是()A．2B．3C．4D．8【答案】C【解析】因为由M∪N={-1，0，1}，得到集合M⊆M∪N，且集合N⊆M∪N，又M={0，-1}，所以元素1∈N，则集合N可以为{1}或{0，1}或{-1，

1}或{0，-1，1}，共4个．故选C5.设xR，则“38x”是“2x>”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是

否成立即可.详解：求解不等式38x可得2x，求解绝对值不等式2x>可得2x或2x，据此可知：“38x”是“||2x”的充分而不必要条件.本题选择A选项.6．设aR，则“1a”是“2aa”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条

件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解二次不等式2aa可得：1a或0a，据此可知：1a是2aa的充分不必要条件.故选：A.7．已知集合223AxyxyxZyZ，，，，则

A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．4【答案】A【解析】223xy23,xxZ1,0,1x当1x时，1,0,1y；当0x时，1,0,1y；当1x时，1,0,1y；所以共有9个，故选：A.8．下列命题错误

的是（）A．命题“若2430xx，则3x”的逆否命题为“若3x，则2430xx”B．命题“xR，220xx”的否定是“0xR，20020xx”C．若“p且q”为真命题，则p，q均为真命题D．“1x”是“2430x

x”的充分不必要条件【答案】B【解析】对于A中，根据逆否命题的概念，可得命题“若2430xx，则3x”的逆否命题为“若3x，则2430xx”，所以A正确的；对于B中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“xR，220xx”的否定是“0xR，2002

0xx”，所以B不正确；对于C中，根据复合命题的真假判定方法，若“p且q”为真命题，则p，q均为真命题，所以C是正确的；对于D中，不等式2430xx，解得3x或1x，所以“1x”是“2430xx”的充分不必要条件，所以D正确.综上可得，命题错误为选

项B.故选：B.9．已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2}【答案】C【解析】由题意得A={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={1，2}．故

选：C10．已知集合2|340Axxx，{|()[(2)]0}Bxxmxm，若ABR，则实数m的取值范围是（）A．(1,)B．(,2)C．(1,2)D．[1,2]【答案】C【解析】集合2|340(1,4)Axxx，集合{

|()[(2)]0}(,)(2,)Bxxmxmmm，若ABR，则124mm，解得(1,2)m，故选C.11．已知全集1,0,1,2,3U，集合0,1,2A，1,0,1B，则UABð（

）A．1B．0,1C．1,2,3D．1,0,1,3【答案】A【解析】={1,3}UCA，则{1}UCAB故选：A12．设全集为R，集合A|10xx，B|||2xx，则集合RAB(ð)A．{|1}xxB．{

|2xx或1}xC．{|12}xxD．{|1xx或2}x【答案】D【解析】因为A|1xx，B{x|x2或x2}；RA{x|x1}ð；RAB{x|x1ð或x2}．故选D二．填空题（共6小题）13．已知集

合{1,0,1,6}A，{|0,}BxxxR，则AB_____.【答案】{1,6}.【解析】由题知，{1,6}AB.14．若命题“xR使2110xax”是假命题，则实数a的取值范围为_____，【答

案】1,3【解析】由题意得若命题“2R,(1)10xxax”是假命题，则命题“2R,(1)10xxax，”是真命题，则需2014013aa,故本题正确答案为1,3．15．已知命题:1px或3x

，命题:31qxm或2xm，若p是q的充分非必要条件，则实数m的取值范围是________【答案】21,32【解析】因为p是q的充分非必要条件，所以,13,是,3

12,mm的真子集，故31123mm解得：2-13m，又因为312mm，所以12m，综上可知21-32m，故填21,32.16．设集合0,1,2,3U，集

合2|0AxUxmx，若1,2UCA，则实数m_____.【答案】-3【解析】因为集合0,1,2,3U，1,2UCA，A={0,3}，故m=-3.17．已知命题“[1,3],x不等式240xax”

为真命题，则a的取值范围为_______.【答案】(,4]【解析】解：令24fxxax，则对称轴为2ax，要使[1,3],x不等式240xax恒成立，即[1,3]x，240fxxax当12ax时21140fa解得2a；当132ax

时240222aaafa解得24a；当32ax时233340fa解得a；综上可得：(,4]a故答案为：(,4]18．命题“2,(1)0xRx”的否

定是_____.【答案】200,(1)0xRx【解析】命题“2,(1)0xRx”的否定是“200,(1)0xRx”.故答案为：200,(1)0xRx.三．解析题（共6小题）19．设全集为R，集合3Axx或6x29Bxx.（1）求

AB，UAðB；（2）已知1Cxaxa，若CB，求实数a的取值范围.【答案】（1）ABR，UAð3,6B；（2）2,8.【解析】（1）因为全集为R，集合3Axx或6x29Bx

x，所以3,6UAð，利用数轴法得ABR，UAð3,6B；（2）因为1Cxaxa29Bxx，所以2a且19a，即28a，所以实数a的取值范围为2,8.20．已知2:7100pxx，22:430qxm

xm，其中0m．1若3m，且pq为真，求x的取值范围；2若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】（1）35x（2）523m【解析】解：由27100xx，解得25x，所以:25px；又22430xmxm，因为0m，解得3mx

m，所以:3qmxm．（1）当3m时，:39qx，又pq为真，p，q都为真，2539xx解得35x．所以x的取值范围为(3,5)．（2）由q是p的充分不必要条件，

即qp，pq，(表示“推不出”)其逆否命题为pq，qp，由于:25px，:3qmxm，所以2350mmm„…，523m剟．实数m的取值范围为5,23．21．己知2:253,:220pxqxaxa

（1）若p是真命题，求对应x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围.【答案】（1）1,4；（2）1,4【解析】（1）:253px为真命题，即253x，解得14x（

2）根据（1）知：:14px，2:2220qxaxaxxap是q的必要不充分条件当2a时，:2qxa，故满足4a，即24a；当2a时，:2qx，满足条件；当2a时，:2qax，故满足1a，即21a.综上所述：1,4

a22．设集合A{x|a1x2a,aR}，不等式2x2x80的解集为B．1当a0时，求集合A，B；2当AB时，求实数a的取值范围．【答案】（1）A={x|-1<x<0},B={Xx|-2<x<4}；（2）a≤2.【解析】（1）

当0a时，10Axx2280xx24Bxx（2）若AB，则有：①当A，即21aa，即1a时，符合题意，②当A，即21aa，即1a时，有1224aa

12aa解得：12a综合①②得：2a23．设集合100Mxxaxa，24430Nxxx．（Ⅰ）若322MNxx，求实数a的值；（Ⅱ）若MNRRð，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）2a；（Ⅱ）10

,2．【解析】（Ⅰ）0a，101Mxxaxxax，213443022Nxxxxx，且322MNxx，所以，2a，解得2a；（Ⅱ）0a，1Mxax

，则RMxxað或1x，又MNRRð，所以120aa，解得102a.因此，实数a的取值范围是10,2．24．已知命题：“11xxx，都有不等式2xxm成立”是真命题.（1）求实数m的取值集合B；（2）设

不等式(3)(2)0xaxa的解集为A，若xA是xB的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）(2,)；（2）2[,)3.【解析】（1）命题：“11xxx，都有不

等式2xxm成立”是真命题，得2xxm在11x时恒成立，∴2max()mxx，得2m，即2(2,)Bmm.（2）不等式(3)(2)0xaxa，①当32aa，即1a时，解集23Axaxa，若xA是xB的充分不必要条件，则A

是B的真子集，∴22a，此时1a；②当32aa，即1a时，解集A，满足题设条件；③当32aa，即1a时，解集32Axaxa，若xA是xB的充分不必要条件，则A是B的真子集，3

2a，此时213a.综上①②③可得2[,)3a