【文档说明】(新高考数学)高考一轮复习核心考点讲与练考点25《 二项式定理及其应用》(解析版） .doc，共(20)页，854.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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考点25二项式定理及其应用（核心考点讲与练）1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n∈N+)；(2)通项公式：Tr＋1＝Crnan－rbr，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项

的系数C0n，C1n，…，Cnn.2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ckn＝Cn－kn增减性二项式系数Ckn当k＜n＋12(n∈N+)时，是递增的当k＞n＋12(n∈N+)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的

一项2Cnn取得最大值当n为奇数时，中间的两项12Cnn与12Cnn取得最大值3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.(2)偶数项的二项式系数

的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.1.与二项展开式有关问题的解题策略（1）求展开式中的第n项，可依据二项式的通项直接求出第n项．（2）求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．（3）已知展开

式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．2.（1）二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．（2）二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b

设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．3.一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝(1)(1)2ff，

偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝(1)(1)2ff．4.二项式定理及通项的应用(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝Cknan－k

bk，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.(3)在通项Tk＋1＝Cknan－kbk(n∈N+)中，要注意有n∈N+，k∈N，k≤n，即k＝0，1，2，…，n.2.因为二项式定理中的

字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.求展开式的指定项1.（2021山东师范大学附属中学

高三上期中）在12nxx的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为65，则常数项为______.【答案】60【分析】由题设可得2165n求n，再写出二项式展开式的通项，确定常数项对应的r值，即可求常数项.【详解】由题设

，令1x，则各项系数和为1，而二项式系数和为2n，∴2165n，可得6n.∴二项式展开式通项为366621661(2)()(1)2rrrrrrrrTCxCxx，当4r时，常数项为42456(1)241560TC

.故答案为：602.（2021吉林省桦甸市四中高三上10月月考）若二项式12nx的展开式中所有项的系数和为164，则展开式中二项式系数最大的项为（）A.352xB.4154xC.32

0xD.415x【答案】A【分析】令1x可求得n的值，再根据二项式系数的性质结合展开式的通项可求得二项式系数最大的项.【详解】令1x可得61111122642nn，所以6n，展开式有7项，所以二项式612x

展开式中二项式系数最大的为第4项，3436333611C252Txx，故选：A.3.（2021新疆克拉玛依市高三第三次模拟检测）若二项式12Nnxn的展开

式中所有项的二项式系数和为128，则该二项式展开式中含有5x项的系数为（）A.1344B.672C.336D.168【答案】B【分析】先求出n，再写出二项式展开式的通项，令x的指数等于5即可求解.【详解】因为二项式12Nnxn的展开式中所有项的二项式系数和为128所以2128n

，解得7n，所以712x的展开式通项为：71712kkkkTCx，令5k可得5555672672TCxx，所以该二项式展开式中含有5x项的系数为672.故选：B.4．（2021安徽省怀宁中学高三上模拟测试）2

7(35)(1)xx的展开式中6x项的系数为（）A.140B．1120C．140D.1120【答案】B【分析】利用二项式定理求7(1)x的展开式中4x，5x和6x项的系数，从而可求27(35)(1)xx

的展开式中6x项的系数．【详解】2772(35)(1)(9051)32xxxxx，7(1)x的展开式的通项公式为7171,0,1,,7rrrrTCxr…，令74r，得3r，

所以33447135Cxx；令75r，得2r，所以22557121Cxx；令76r，得1r，所以166717Cxx，所以27(35)(1)xx的展开式中6x项的系数

35921302571120．故选：B．5.（2021北京市第十三中学高三上期中）在52()xx的展开式中，x的系数为（）A.10B.10C.5D.5【答案】A【分析】首先求出展开式的通项，再令53122r，即可求出r，再代入计算可得

；【详解】解：二项式52xx展开式的通项为5352215522rrrrrrrTCxCxx令53122r，解得1r，所以1125210TCxx，所以展开式中x的系数为10，故

选：A二项式系数的性质或各项系数1．若二项式12nx的展开式中所有项的系数的绝对值的和为72964，则展开式中二项式系数最大的项为（）A．352xB．4154xC．320xD．415x【答案】A【分析】令1x，根据展开式中系数的绝对值的和得到6n．再判断二项式

系数最大的项为第4项，根据二项式定理计算得到答案．【详解】令1x，可得展开式中系数的绝对值的和为3729264n，解得6n．展开式有7项，二项式612x展开式中二项式系数最大的为第4项，333334615C(1)22T

xx．故选A．2.（2022年高考数学一轮复习）已知63212xaxx的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（）A.80B.160C.240D.320【答案】D【分析】令1x解得2a

，再求得6212xx展开式的通项公式求解.【详解】令1x得6(1)(21)3a，解得2a，则6212xx展开式的通项为666316621C(2)(1)2CrrrrrrrrTxxx，则632122xx

x展开式中常数项为26223633662(1)2C(1)2C320．故选：D二项式系数的性质及各项系数和1.．（多选题）若522100121022xxaaxaxax，则下列选项正确的是（）A．032aB．

2320aC．121032aaaD．12103093aaa【答案】AD【分析】令0x，求出0a，可判断选项A；根据多项式乘积运算法则，结合组合知识求出2a，可判断选项B；令1x，求出01210aaaa结合0a值，可判断

选项C；利用5222xx展开式所有项系数和为01210||aaaa，结合0a值，可判断选项D．【详解】令0x，50232a，所以A正确；五项相同的因式相乘，要得到含2x的项，可以是五个因式中，一个取2x其他四个因式取2，或两个因式取2x其他三个因式取2，所以

214232551222400aCC，所以B不正确；令1x，则01210...1aaaa，所以1210...13231aaa，所以C不正确；5222xx展开式所有项系数和为01210...aa

aa，令1x，得501210...53125aaaa，所以1210...3125323093aaa，所以D正确．故选：AD．2.已知202123202101232021(1)xaaxaxaxax，则202020192018201710234

20202021aaaaaa（）A.202120212B.202020212C.202120202D.202020202【答案】B【分析】根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项(2021),,2021kkakNk，再借助二项式

性质即可得解.【详解】依题意，2021,,2021kkaCkNk，当1k³时，2021202120212021!(2021)(2021)20212021(2021)!!kkkkkakCCkCkk

1202120202020!20212021()[2020(1)]!(1)!kkCCkk，于是得2021202020192018201710012342020202120212021kkaaaaaakaa2021

2021202110120212020202120212020101[2021]20212021kkkkkkkCCCCC2021202020202021(22)20212

.故选：B1.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））25()()xxyxy的展开式中x3y3的系数为（）A.5B.10C.15D.20【答案】C【分析】求得5()xy展开式的通项公式为515rrrrTCxy（rN且5r），即可求得2yxx与5(

)xy展开式的乘积为65rrrCxy或425rrrCxy形式，对r分别赋值为3，1即可求得33xy的系数，问题得解.【详解】5()xy展开式的通项公式为515rrrrTCxy（rN且5r）所以2yxx

的各项与5()xy展开式的通项的乘积可表示为：56155rrrrrrrxTxCxyCxy和22542155rrrrrrrTCxyxCyyyxx在615rrrrxTCxy中，令3r，可得：33345xTCxy，该项中33xy的系数为10，在42152r

rrrTCxxyy中，令1r，可得：521332TCyxxy，该项中33xy的系数为5所以33xy的系数为10515故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属

于中档题.2.（2020年全国统一高考（新课标Ⅲ））262()xx的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【答案】240【分析】写出622xx二项式展开通项，即可求得常数项.【详解】622xx其二项式展开通项：6261

2rrrrCxxT1226(2)rrrrxCx1236(2)rrrCx当1230r，解得4r622xx的展开式中常数项是：664422161516240CC

.故答案为：240.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握nab的展开通项公式1CrnrrrnTab，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.一、单选题1.（2022·全国·模

拟预测）在51212axya的展开式中，记mnxy项的系数为,fmn，若2,11,2220ff，则展开式中所有项的系数和为（）A.648B.1296C.1944D.3888【答案】D【分析】先根据2,11,2220ff及二项式定理的有关知识得关于a的方

程，解方程求得a的值，再利用赋值法求展开式中所有项的系数和即可.【详解】由题意知2112552,11,2424051220aaffCCCCaaa，即27440aa，解得4a或11a（舍去），∴4a，令1xy，得

展开式中所有项的系数和为54323888.故选：D.2.（2022·山东淄博·一模）若82801281111xaaxaxax，则6a（）A.-448B.-112C.112D.448【答案】C【分析】888(1)

(1)[12]xxx，然后根据二项式展开式项的系数计算即可.【详解】888280128(1)(1)[12]1(xxxaaxaxa，2268(2)112aC.故选：C.3.（2022·福建漳州·一模）已知二项式5()()

axyaR的展开式的所有项的系数和为32，则210()axx的展开式中常数项为（）A.45B.45C.1D.1【答案】A【分析】根据赋值法以及二项展开式的通项公式即可求出．【详解】令11xy，，可得展开式的所有项的系

数之和5(1)32a，得1a，所以1010221axxxx，其通项251010210201()()11kkkkkkkTCxCxx，令52002k，得8k=，所以展开式中常数项为10(1)45kkC

．故选：A．二、多选题4.（2022·福建龙岩·一模）已知二项式12nxx的展开式中各项系数之和是1128，则下列说法正确的有（）A.展开式共有7项B.二项式系数最大的项是第4项C.所有二项式系数和为128D.展开式的有理项共有4项【

答案】CD【分析】运用代入法，结合二项式系数和公式、通项公式以及二项式系数性质逐一判断即可.【详解】因为二项式12nxx的展开式中各项系数之和是1128，所以令1x可得：111117211282128nnn.A：因为7n，所以展开

式共有8项，因此本选项说法不正确；B：因为7n，所以二项式系数最大的项是第4项和第5项，因此本选项说法不正确；C：因为7n，所以所有二项式系数和为72128，所以本选项说法正确；D：由B可知：83218(1)2rrrrrTCx，当0,2,4,6r时，对应的项是有

理项，故本选项说法正确，故选：CD5.（2022·全国·模拟预测）若*,52,,nnfxyxynxyNR，则下列结论正确的是（）A.若1,15nnnfab，na、nb为整数，则3321abB.1,11,1nnff

是正整数C.211,1nf是211,1nf的小数部分D.设1,15nnnfcd，若nc、nd为整数，则12215nnncd【答案】ACD【分析】求出3a、3b，可判断A的正误；取2n可判断B的正误；利用二项式定理可

判断C的正误；分n为偶数和n为奇数两种情况分析讨论，结合二项式定理可判断D的正误.【详解】对于A，33212233331,1525C52C52238175f，所以，338a，317b，则33381721ab，A对；对于B，1,11

,15252nnnnff，因为22221,11,1525285ff，不是正整数，B错；对于C，因为212121211,11,15252nnnnff22241332121212C25

C252nnnnn是正整数，而212101,1521nnf，所以211,1nf是211,1nf的小数部分，C对；对于D，因为1,1525nnnnfcd，当

n为偶数时，2424024C5C52C52C2nnnnnnnnnnc，13311315C52C52C52nnnnnnnnd，所以1232301235C5

C52C52C52nnnnnnnnnndc11C52C252nnnnnnn，所以55525252521nnnnnnndcdc，即2215nncd

；当n为奇数时，13313C52C52C2nnnnnnnnc，2210215C5C52C52nnnnnnnnd，所

以1220125C5C52C52nnnnnnnndc33131C52C52C252nnnnnnnnn，所以55525252521nnnnnnn

dcdc，即2215nncd，D对.故选：ACD.6.（2022·河北·模拟预测）已知232nxx的展开式的常数项为16，则（）A.4nB.8nC.展开式中各项的系数之和为216D.展开式中7x的系数为12【答案】AD【分析】

根据232nxx的展开式的常数项为16，求得4n，再由424432(1)(2)xxxx，利用通项公式及赋值法求解.【详解】依题意，216n，∴4n.∴424432(1)(2)xxxx，∴展开式中7x的系数为10014444212CCCC，展开式

中各项系数之和为461296，故选：AD.7.（2022·浙江·模拟预测）已知16760123...0nxaxaaxaxa，则（）A.6nB.128aC.67176073333aaa

D.1262664aaa【答案】BC【分析】比较等式两侧x的最高次知7n且777077723(1)0CaC判断A、B；将C中等式两侧乘73，再令3x验证即可；对已知等式两侧求导，将1x代入求值判

断D.【详解】由等式右边最高为6x项，且不含7x项，则7n且777077723(1)0CaC，即128a，故A错误，B正确；所以167760121283...xxaaxax.C：等式两边同乘73，原等式等价于607163

...37aaa，令3x，则6771603...3(123)07aaa，正确；D：176067[121283[...]]xxaaxax，可得：66512614(12)7128(3)2...6xxaax

ax，令1x，则126662...61437128247138aaa，错误；故选：BC三、填空题8.（2022·海南·模拟预测）在812xx的展开式中，1x的系数是___________.【答案】112【分析】由二项式定理

求解【详解】由二项式定理知812xx的展开式的通项为388821881221rrrrrrrrTCxCxx令3812r得6r故7112Tx故答案为：1129.（202

2·福建漳州·二模）已知262xy的展开式中82xy的系数为____________【答案】240【分析】写出二项式262xy展开式的通项公式，根据其通项公式可求得答案.【详解】262xy展开式的通项公式为：662661221(2)2,0,1,2,3,4,5,6rrrrrrrrT

CxyCxyr，令2r，则6428232TCxy，故82xy的系数为2462240C，故答案为：24010.（2022·天津·一模）在6312xx的展开式中，2x的系数是___________.【答案】60【分析】利用二项式定理通项公式求出答

案.【详解】6312xx的展开式通项公式63618416622rrrrrrrTCxxCx，令1842r得：4r，故422256260TCxx，所以2x的系数是60.故答案为：6011.（2022·北京·模拟预测）在3

22xx的展开式中，常数项为______.（用数字作答）【答案】12【分析】由二项式写出展开式的通项，进而确定常数项对应的r值，即可求常数项.【详解】由题设，23631332()()2rrrrrrrTCxCxx

，当2r时，常数项为2233212TC.故答案为：12.12.（2022·湖南·雅礼中学一模）10634111xx展开式中的常数项为______.【答案】4246【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.【详解】63(1)

x的展开式的通项:133166,0,1,2,3,4rrrrrTCxCxr,5,6.10411x的展开式的通项：14411010,0,1,2,3kkkkkTCxCxk,4,,10.两通项相乘得:343461

0610rkrkrkrkCxCxCCx，令034rk，得43rk，所以满足条件的,rk有三组:0,0,3,4,6,8，故常数项为346861061014246CCCC.故答案为：4246.13.（2022·

全国·模拟预测）已知4250125()(2)xmxaaxaxax，若016a，则12345aaaaa___________.【答案】14【分析】令0x，即可求得m，再令1x，结合0

16a，即可求得结果.【详解】令0x，可得40(2)16am，所以1m，令1x，得0152aaa，得1234521614aaaaa.故答案为：14.14．（2022·北京·二模）二项式*1nx

nN的展开式中2x的系数为21，则n__________.【答案】7【分析】写出二项式展开式通项，根据已知条件有2C21n，即可求n值.【详解】由题设，展开式通项为1CrrrnTx，而2x的系数为21，所以2C21n，即(1)212nn且*Nn，可得7n.故答

案为：715．（2022·广东湛江·二模）511813xx的展开式中常数项为___________.【答案】2281【分析】先求得513x展开式的通项公式，再分别用81乘以5

13x的展开式中的常数项和1x乘以513x的展开式中含x的一次项的两种情况求解.【详解】513x展开式的通项公式为551551C13C3rrrrrrrrTxx，当81

乘以513x时，令50r，解得=5r，常数项为555518113C3；当1x乘以513x时，令51r，解得4r，常数项为44451513C81xx；所以51

1813xx的展开式中的常数项为2281故答案为：228116．（2022·广东潮州·二模）设4432432102xaxaxaxaxa，则0124aaaa___

___．【答案】9【分析】令1x，可求得432101aaaaa，再根据二项式定理可求出3a的值，进而求出结果.【详解】在4432432102xaxaxaxaxa中，令1x得，432101aaaaa，13428aC，所以，01

24189aaaa．故答案为：9.17．（2022·浙江·模拟预测）若12nxnNx的二项展开式中各项的二项式系数和为64，则n___________；展开式中常数项为___________.【答案】652【分析】根据二项式系数和求出6n，再由二项展开

式的通项公式求出常数项即可.【详解】由于264n，则6n，所以612xx的展开式的通项公式66216611CC22rrrrrrrTxxx，令620r，解得3r，故常数项为33346115C20282Txx

.故答案为：6；5218．（2022·江苏无锡·模拟预测）(1)若数列na的通项公式为7nann，则该数列中的最小项的值为__________．(2)若3612nxxxx的展

开式中含有常数项，则n的最小值等于__________．(3)如图所示的数阵中，用,Amn表示第m行的第n个数，则以此规律8,2A为__________．(4)ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知sin:sin:sin

ln2:ln4:lnABCt，且2·CACBmc，有下列结论：①28t；②229m；③4t，ln2a时，ABC的面积为215ln28；④当528t时，ABC为钝角三角形．其中正确的是__________.(填写所有正确结论的编号)【答案

】12143##1431221122①②④【分析】(1)令7fxxx(0)x，求导判断单调性，根据f(x)单调性即可求na单调性和最小项的值；(2)求61nxxx的通项，令其通项x的次数为0或－3，求出对应的n的最小值，比较即可得出n的最小值；(3)规

律：①设第n行第1个分数的分母为na，则有121323,3,4aaaaa，4315,,1nnaaaan；②从第三行起，每一行的第二个数的分母都等于上一行的第一个数的分母和第二个数的分母之和﹒根据这两个规律即

可求出8,2A；(4)①根据bacba即可求出t的范围；②结合余弦定理和2·CACBmc即可求出m的范围；③求出b、c，根据三角形面积公式即可求面积；④利用余弦定理判断cosC的正负即可判断三角形为钝角三角形.【详解】(1)令7fxxx(0)x，

则712fxx，令0fx，解得494x，490,,0,4xfxfx单调递减，49,,0,4xfxfx单调递增，∴数列na在1≤n≤12时递减，在n≥13时递增，∵n＝12离494更近，故当12

n时，数列na取得最小值12143；(2)61nxxx的展开式的通项为63215621CCrnrnrrrrnnTxxx，由题意，令15602nr得54nr，则r＝4时，n取最小

值5；令15632nr得n＝524r，则r＝2时，n取最小值2.综上，n的最小值为2.(3)由题可知，设第n行第1个分数的分母为na，则有121323,3,4aaaaa，4315,,1nna

aaan，累加可得122nnna，故第6、7行第一个分数分母分别为28、36.观察数阵，不难发现，从第三行起，每一行的第二个数的分母都等于上一行的第一个数的分母和第二个数的分母之和，据此可求出第6行第

二个分数分母为21＋37＝58，第7行第2个分数分母为28＋58＝86，第8行第2个分数分母为36＋86＝122，如图所示.故8,2A为：1122.(4)对于①，根据题意，若sin:sin:sinln2:ln4:lnABCt，则::ln2:ln4:lnabct，故可设ln2ln42l

n2ln0akbkkcktk，，，.则有bacba，则ln2ln3ln2t，变形可得28t，故①正确；对于②，2222222225ln2cos222abcabckcCACBabCabab，又2CACBmc，∴2222222

225ln25ln215ln2122(ln)22ln2kcCACBkmccktt，ln2ln3ln2t，∴1ln213lnt，∴22511512,1,2232229m，故②正确；对于

③，当4ln2ta，时，ln4lnln4bct，，则有2bca==，则a边上的高为2222ln215(ln4)ln2222ahb，∴2111515ln2ln2ln22224ABCSah，故③错误；对于④，当528t时，5lnlnl

n8t，则2225ln2(ln)9ln2t，则22222222(ln2)(ln4)(ln)5ln2(ln)cos0222abcttCkkababab，故C为钝角，ABC为钝角三角形，故④正确.故正确的

有：①②④.故答案为：12143；2；1122；①②④.