【文档说明】(新高考数学)高考一轮复习核心考点讲与练考点21双曲线》(解析版） .doc，共(42)页，1.988 MB，由MTyang资料小铺上传

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考点21双曲线（核心考点讲与练）1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集

合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.

双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：

原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长

度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b21.（1）在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．（2）在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使

用的知识点．另外，还经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．2.与双曲线几何性质有关问题的解题策略在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角

三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e＞1．3.圆锥曲线的弦长

（1）圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫作圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．（2）圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|

＝222121()()xxyy＝21k|x1－x2|＝211k·|y1－y2|．(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝22sinp，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．双曲线的定义一、单选题1．（2022·广东潮

州·二模）若点P是双曲线22114:12xyC上一点，1F，2F分别为1C的左、右焦点，则“25PF”是“19PF”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据双曲线的定义和充分不必要条件的定义可得答案.【详解】由题意可知，2a

，4124c，12PFca，若25PF，则154PF，19PF或1（舍去），若19PF，294PF，25PF或13，故“25PF”是“19PF”的充分不必要条件．故选

：A．2．（2022·天津河西·一模）已知双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，c是双曲线C的半焦距，点A是圆222:Oxyc上一点，线段2FA交双曲线C的右支于点B，2FAa，223FFAB，则双曲线C的离心率为

（）．A．62B．332C．362D．6【答案】A【分析】根据已知及双曲线的定义，可把21,,FBFBAB用a表示，再用勾股定理推出1FA，在12RtAFF△中，利用勾股定理建立a，c的关系式即可求出离心率.【详解】如下图，由题意可知22,33aaFBAB，由双曲线定义可知17233aaBFa

，易得1290FAF，由勾股定理可得15AFa，在12RtAFF△中，再由勾股定理得222(5)(2)aac，所以62e.故选：A.3．（2022·辽宁沈阳·二模）已知双曲线2222:10,0xyCabab的两个焦点为1F、2F，

点M，N在C上，且123FFMN，12FMFN，则双曲线C的离心率为（）A．622B．32C．22D．52【答案】D【分析】根据123FFMN，12FMFN，由双曲线对称性可知，直线1FM与2FN交于y轴上一点P，且

12PFF△为等腰直角三角形，可得N的坐标，分别求出12,NFNF，再根据双曲线的定义即可得出答案.【详解】解：因为123FFMN，12FMFN，由双曲线对称性可知，直线1FM与2FN交于y轴上一点P，且12PF

F△为等腰直角三角形，所有1OPOFc，如图，则2,33ccN，1,0Fc，2,0Fc，所以2214225333NFccc，2222222333NFcc

c，则122522233NFNFcca，即523ac，则35252cea．故选：D.4．（2022·湖南永州·三模）已知双曲线2222:1xyCab的左、右焦点分别为1F、2F，O

为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，OPc（c为双曲线C的半焦距），直线2PF与双曲线C右支交于另一个点Q，123tan4FQF，则双曲线C的离心率为（）A．3B．2C．52D．102【答案】D【分析】根据双曲线

的定义，结合直角三角形的相关性质可得解.【详解】如图所示，由OPc，122FFc，得1290FPF，1123tan4PFFQFPQ，设2PFm，由双曲线定义得12PFam，所以1484333PQPFam，28133QFam

，114133QFam，又11213sin5PFFQFQF，即14132533amam，解得ma，所以2PFa，13PFa，又2221212PFPFFF，即22232aac，即2252ca，所以离心率102cea，故选：D.

二、多选题5．（2022·山东泰安·二模）已知双曲线C：222210,0xyabab的离心率为32，且其右顶点为2,0A，左，右焦点分别为1F，2F，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是（）A．双曲线C的

方程为22145xyB．点A到双曲线C的渐近线的距离为253C．若16PF，则22PFD．若10PFPA，则1PFA△的外接圆半径为52【答案】ABD【分析】由离心率为32，右顶点为2,0A求出双曲线方程，再利用点到直线的距离，双曲线的定义及性质依次判断4个选项即可

.【详解】由离心率为32，右顶点为2,0A可得2,3ac，5b，故双曲线C的方程为22145xy，A正确；双曲线的渐近线为52yx，故点A到双曲线C的渐近线的距离为5253514，B正确；由双曲线的定义122P

FPFa，16PF，则22PF或10，C错误；10PFPA，则1PFPA，1PFA△的外接圆半径为1522FA，D正确.故选：ABD.6．（2022·河北唐山·二模）双曲线具有如下光学性质：如图1F，2F是

双曲线的左、右焦点，从右焦点2F发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点1F．若双曲线C的方程为221916xy，下列结论正确的是（）A．若mn，则1216PFPFB．当n过7,5Q

时，光由2FPQ所经过的路程为13C．射线n所在直线的斜率为k，则40,3kD．若1,0T，直线PT与C相切，则212PF【答案】CD【分析】对于A：判断出1290FPF，由定义和勾股定理联立方程组即可求得；对于B：利用双曲线的定义直

接求得；对于C：先求出双曲线的渐近线方程，由P在双曲线右支上，即可得到n所在直线的斜率的范围；对于D：设直线PT的方程为1,0ykxk.利用相切解得2k，进而求出9,82P.即可求出2FP.【详解】对于A：若mn，则1290FPF.因为P在双曲线右支上，所以126F

PFP.由勾股定理得：2221212FPFPFF二者联立解得：22121122100363222PFPFFFFPFP.故A错误；对于B：光由2FPQ所经过的路程为222111222755067FPPQFPaPQFPPQ

aFQa.故B错误；对于C：双曲线221916xy的方程为43yx.设左、右顶点分别为A、B.如图示：当m与2FB同向共线时，n的方向为2FB，此时k=0，最小.因

为P在双曲线右支上，所以n所在直线的斜率为43k.即40,3k.故C正确.对于D：设直线PT的方程为1,0ykxk.2211916ykxxy，消去y可得：2222169

1891440kxkxk.其中222218416991440kkk，即211522304k，解得2k代入22221691891440kxkxk，有22361620xx

，解得：x=9.由P在双曲线右支上，即2291916y，解得：82y（82y舍去），所以9,82P.所以2229582012FP.故D正确故选：CD7．（2022·重庆八中模拟预测）已知点2,0M

，2,0N，若某直线上存在点P，使得2PMPN，则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线”的是（）A．0xyB．30xyC．20xyD．230xy【答案】BD【分析】由题意，点P应该是在双曲线221xy上

，即“好直线”就是与双曲线有交点的直线.【详解】由题意，2222,22,1,1caabca，双曲线的方程为221xy，“好直线”就是与双曲线有交点的直线，对于A，联立方程2210xyxy，解得221xx无解，故A不是“好直线”；

对于B，联立方程22130xyxy，解得53x，43y，故B是“好直线”；对于C，联立方程22120xyxy，解得231x，无解，故C不是“好直线”；对于D，联立方程221230xyxy

，解得2312100xx，2124310240＞，即直线230xy与双曲线有交点，故D是“好直线”；故选BD.三、填空题8．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知双曲线G的方程221169xy

，其左、右焦点分别是1F，2F，已知点P坐标为4,2，双曲线G上点00,Qxy，000,0xy满足11211121QFPFFFPFQFFF，则12FPQFPQSS△△______．【答案】

8【分析】设12QFF的内切圆与三边分别相切于,,DEG，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为a，又由11211121QFPFFFPFQFFF得P在12QFF的平分线上，进而得到P即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可.【详解】如图，设12QFF的内切圆与三边分别相切于,,

DEG，可得1122,,QDQGFDFEFEFG，又由双曲线定义可得1228QFQFa，则1212122QDDFQGGFDFGFEFEFa，又122EFEFc，解得1EFac，则E点横坐标为a，即内切圆圆心横坐标为a.又11211121QFPFFFPF

QFFF，可得11121112121coscosQFPFPFQFFPFPFFQFFF，化简得112coscosPFQPFF，即112PFQPFF，即1PF是12QFF的平分线，由于4,2P，4a，可得P即为12QFF的内心，且半径

r为2，则121211()28822FPQFPQSSrQFQF△△.故答案为：8.【点睛】本题关键点在于先利用切线长定理求得12QFF内切圆圆心横坐标为a，再由11211121QFPFFFPFQFFF得到P在12QFF的平分线上，结合P的横坐标为a进而得到P即为内心，利用双曲

线定义及面积公式即可求解.四、解答题9．（2022·全国·模拟预测）双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，焦距等于8，点M在双曲线C上，且12MFMF，12FMF△的面积为12.(1)求双曲线

C的方程；(2)双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过2F的斜率不为0的直线l与双曲线C交于P，Q两点，连接AQ，BP，求证：直线AQ与BP的交点恒在一条定直线上.【答案】(1)221412xy(2)证明见解析

【分析】（1）根据直角三角形的面积公式以及双曲线的定义求出,ab可得双曲线的标准方程；（2）设直线l的方程为4xmy，联立直线l与椭圆方程，消去x得关于y的一元二次方程，利用韦达定理得到12yy和12yy，用点斜式表示出直线AQ与直线BP的方程，联立求解交点，然后结合根与系数的关系求得交点

的横坐标为定值即可得解.(1)依题意28c，由双曲线的对称性不妨设11MFr，22MFr，因为12MFMF，所以有122221211228rrrr,则22221212122822416rrrr

rr，12||4rr，所以122||4arr，得2a，所以22212bca，所以双曲线C的方程为221412xy.(2)由题意得2,0A，2,0B，2(4,0)F，易知直线l的斜率不等于3.设直线l的方程

为4xmy，11,Pxy，22,Qxy，则33m.由2241412xmyxy消去x整理得223124360mymy，则214410m，则1222431myy

m，1223631yym.（用点斜式表示出直线AQ与直线BP的方程，联立求解交点，然后结合根与系数的关系求得交点的横坐标）直线AQ的方程：2222yyxx，直线BP的方程：1122yyxx，令2

1212222yyxxxx，得21122222yxxyxx.因为114xmy，224xmy，所以21122262ymyxymyx，展开整理得2112123223yyxmyyyy，即1211211

24222yyyxmyyyyy，即112222436244222313131mmyxmymmm,即2211244317243148mymxmymm，即22112443124431mymxm

ym，所以1x.所以直线AQ与BP的交点恒在定直线1x上.【点睛】关键点点睛：用点斜式表示出直线AQ与直线BP的方程，联立求解交点，然后结合根与系数的关系求得交点的横坐标是解题关键.10．（

2022·福建漳州·一模）已知双曲线222:1(0)xyaa的左､右焦点分别为1(,0)Fc，2(,0)Fc，点00,Pxy是右支上一点，若I为12PFF△的内心，且121232IPFIPFIFFSSS△△△.(1)求的方程；(2)点A是

在第一象限的渐近线上的一点，且2AFx轴，在点P处的切线l与直线2AF相交于点M，与直线32x相交于点N.证明：无论点P怎么变动，总有2232NFMF.【答案】(1)2213xy；(2)证明见解析.【分析

】（1）根据三角形面积公式及双曲线定义化简可得2322ac，求出a即可得出方程；（2）利用导数的几何意义求出切线斜率并化简可得003xky，求出切线及切线与直线的交点，利用两点间距离公式并结合双曲线方程化简可

得2232NFMF.(1)设12PFF△的内切圆半径为r，则12121212111||,||,||222IPFIPFIFFSPFrSPFrSFFr，因为121232IPFIPFIFFSSS△△△，所以1

2121131||||||2222PFrPFrFFr，即12123||||||2PFPFFF，可得12123||||||2PFPFFF，所以1212||||3||2PFPFFF，由双曲线的定义和几何性

质，得2322ac，又221ac，解得23a，所以的方程为2213xy.(2)由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为00()yykxx.由2213xy可得22231.33xxy由题意知00y

.若点P在双曲线右支的上半支上，则23,3xy所以22223333xxyxx，故020.33xkx因为20013xy,所以220033xy,00200;333xxkyy若点P在双曲

线右支的下半支上，则233xy同理可得00200.333xkyxy综上，003xky，代入直线l的方程得0000()3xyyxxy,即22000033xxyyxy，由220013xy，可得220033xy，所以直线l的方程为0033x

xyy,即0003(3)3xxyxy因为直线2AF的方程为x=2，所以直线l与直线2AF的交点0023(2,)3xMy,直线l与直线32x的交点003332(,)23xNy所以22002002323||(22)(0)33||

xxMFyy,022203332(2)(0)23xNFy202011(2)44xy22000014413.2||xxxy2000200412923333||23||23

||2xxxMFyy，即223||||2NFMF得证.双曲线的几何性质1．（2021“四省八校”高三上学期期中质量检测）过双曲线22221xyab（0a，0b）的右焦点F作双

曲线渐近线的垂线段FM，垂足为M，线段FM与双曲线交于点A，且满足2FAAM，则双曲线离心率e等于（）A．2B．3C．5D．312【答案】C【分析】利用渐近线的斜率，求出MFb，OMa，进而利用相

似和OMFS求出点点A的坐标，代入到双曲线方程中，得到关于e的方程，求出离心率即可【详解】因为双曲线渐近线方程为byxa，所以tanbFOMa，如图，在直角三角形OMF中，OFc，tanbFOMa，又因为222cab故MFb，OMa，过M、A分别作OF的

垂线，垂足分别为N、B，则由1122OMFSOMMFOFMN得：abMNc，又2FAAM，故2233abABMNc，22sin2sin33BFAFBAFbbMOFc，故可得点A的坐标为222,33babccc，所以2222222331babcccab

，整理得22241339eee，解得5e，故选：C．2.（2021安徽省安庆市怀宁中学高三上学期模拟）若双曲线22:14xyCm的一条渐近线与直线:3220lx

y相互垂直，则双曲线C的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为（）A.25B.213C.6D.8【答案】B【分析】先求出m，再求出焦点坐标和短轴顶点坐标，直接求面积即可.【详解】因为双曲线22:14xyCm的一条渐近线与直线:3220lxy相互

垂直，所以2312m，解得：m=9.双曲线C的两个焦点为13,0,13,0，虚轴的一个端点0,2.所以三角形的面积为121322132.故选：B直线与双曲线的位置关系1.．（江西省

南昌市湾里区第一中学等六校联考）已知双曲线C：22221xyab（a>0，b>0）的离心率为3，实轴长为2．（1）求双曲线的焦点到渐近线的距离；（2）若直线y=x+m被双曲线CC截得的弦长为42，求m的值．【答案】（1）2（2）1m【分析】（

1）根据已知计算双曲线的基本量，得双曲线焦点坐标及渐近线方程，再用点到直线距离公式得解．（2）直线方程代入双曲线方程，得到关于x的一元二次方程，运用韦达定理弦长公式列方程得解．（1）双曲线离心率为3，实轴长为2，3ca，22a，解得1a，3c，2222

bca，所求双曲线C的方程为2212yx；∴双曲线C的焦点坐标为3,0，渐近线方程为2yx，即为20xy，∴双曲线的焦点到渐近线的距离为23221d．（2）设11,Axy，22,Bxy，联立2212yxmyx

，22220xmxm，210Vm，122xxm，2122xxm．222121224244242ABxxxxmm，21m，解得1m．2.（2021河北省部分名校高二上学期期中）在

①双曲线E的焦点在x轴上，②双曲线E的焦点在y轴上这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．已知双曲线C的对称轴为坐标轴，且C经过点()0,6A，()1,3B．（1）求双曲线C的方程；（2）若双

曲线E与双曲线C的渐近线相同，______，且E的焦距为4，求双曲线E的实轴长．注：若选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）22162yx（2）答案不唯一，具体见解析【分析】(1)设双曲线C的方程为221mxny，将

点A、B的坐标代入计算即可；(2)由(1)可得双曲线C的渐近线方程，若选①则设双曲线E的标准方程为22221()00axyabb，，进而可得a、b、c的关系式，计算即可；若选②则设双曲线E的标准方程为22221(00)yxaba

b，，同理计算即可.【小问1详解】设双曲线C的方程为221mxny，则6191nmn，解得1216mn，所以双曲线C的方程为22162yx；【小问2详解】双曲线C的渐近线方程为3yx．选①，设双曲线E的

标准方程为22221()00axyabb，，所以222324baccab解得1a，3b．所以双曲线E的实轴长为2．选②，设双曲线E的标准方程为22221(00)yxabab，所以222324abccab，解得3a，1b，所以

双曲线E的实轴长为23．1.（2021年全国高考甲卷）点3,0到双曲线221169xy的一条渐近线的距离为（）A.95B.85C.65D.45【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由

题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169xy，即340xy，结合对称性，不妨考虑点3,0到直线340xy的距离：9095916d.故选：A.2.（2021年全国高考乙卷）已知双曲线22:1(0)xCymm的一条渐近线为30xmy，则C的焦距为_______

__．【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,ab的关系，再结合双曲线中22,ab对应关系，联立求解m，再由关系式求得c，即可求解.【详解】由渐近线方程30xmy化简得3yxm，即3bam，同时平方得2223bam，又双曲线中22

,1amb，故231mm，解得3,0mm（舍去），2223142cabc，故焦距24c.故答案为：4.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.3.（2020年全国统

一高考（新课标Ⅰ））设12,FF是双曲线22:13yCx的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且||2OP，则12PFF△的面积为（）A.72B.3C.52D.2【答案】B【分析】由12FFP是以P为直角直角三角形

得到2212||||16PFPF，再利用双曲线的定义得到12||||2PFPF，联立即可得到12||||PFPF，代入12FFPS△121||||2PFPF中计算即可.【详解】由已知，不妨设12(2,0

),(2,0)FF，则1,2ac，因为12122OPFF，所以点P在以12FF为直径的圆上，即12FFP是以P为直角顶点的直角三角形，故2221212||||||PFPFFF，即2212||||16

PFPF，又12||||22PFPFa，所以2124||||PFPF2212||||2PFPF12||||162PFPF12||||PFPF，解得12||||6PFPF，所以12FFP

S△121||||32PFPF故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）在平面直角坐标系xOy中

，已知点117,0F、21217,02FMFMF，，点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线12x上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，且TATBTPTQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.【答案】（1）2

21116yxx；（2）0.【分析】(1)利用双曲线的定义可知轨迹C是以点1F、2F为左、右焦点双曲线的右支，求出a、b的值，即可得出轨迹C的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的

斜率，最后化简计算可得12kk的值.【详解】(1)因为12122217MFMFFF，所以，轨迹C是以点1F、2F为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C的方程为222210,0xyabab，则22a，可得1a，2174

ba，所以，轨迹C的方程为221116yxx.（2）[方法一]【最优解】：直线方程与双曲线方程联立如图所示，设1(,)2Tn,设直线AB的方程为112211(),,(2,(),)ynkxAxyB

xy．联立1221()2116ynkxyx,化简得22221111211(16)(2)1604kxkknxknkn.则22211112122211111624,1616k

nknkknxxxxkk．故221112,11||1()||1()22TAkxTBkx．则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216nkTATBkxxk．设PQ的方程为21()2yn

kx，同理22222(12)(1)||||16nkTPTQk．因为TATBTPTQ，所以22122212111616kkkk，化简得22121717111616kk，所以22121616kk，即2212kk．因为11kk，所以120kk．

[方法二]：参数方程法设1(,)2Tm．设直线AB的倾斜角为1，则其参数方程为111cos2sinxtymt，联立直线方程与曲线C的方程2216160(1)xyx，可得222221111cos116(cos)(sin2sin)16

04tmttmt，整理得22221111(16cossin)(16cos2sin)(12)0tmtm．设12,TAtTBt，由根与系数的关系得2212222111(12)12||||

16cossin117costmmTATBt．设直线PQ的倾斜角为2，34,TPtTQt，同理可得2342212||||117cosmTTtPQt由||||||||TATBTPTQ，

得2212coscos．因为12，所以12sooscc．由题意分析知12．所以12tantan0，故直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0．[方法三]：利用圆幂定理因为TATBTPTQ，由圆幂定理知A，B，P，Q

四点共圆．设1(,)2Tt,直线AB的方程为11()2ytkx，直线PQ的方程为21()2ytkx,则二次曲线1212()()022kkkxytkxyt．又由22116yx，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：221212()()(1)0(

0)2216kkykxytkxytx，整理可得：2212121212()()()()16kxykkxytkkkkkx12(2)02ykktm，其中21212()

42kktmtkk．由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即120kk.【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题

的通性通法，也是最优解；方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.一、单选题1．（2022·重庆八中模拟预测）某中心接到其正东、正西、正北方

向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s，已知各观测点到该中心的距离是680m，则该巨响发生在接报中心的（）处(假定当时声音传播的速度为340m/s，相关各点均在同一平面上)A．西偏北45°方向，距离3403mB．东偏南45°

方向，距离3403mC．西偏北45°方向，距离1703mD．东偏南45°方向，距离1703m【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.【详解】如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系．设、、ABC

分别是西、东、北观测点，则680068000680.ABC（，），（，），（，）设Pxy（，）为巨响为生点，由AC、同时听到巨响声，得PAPC，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为yx，因B点比A

点晚2s听到爆炸声，故，3402680PBPA由双曲线定义知P点在以AB、为焦点的双曲线左支22221(0)xyxab＝上，依题意得2222223406806803403340,acbca

，，故双曲线方程为22221?3403340xy＝，将yx代入上式，得1706017061706xxxy=，，=，=，即(17061706)P，，故3403PO＝.故巨响发生在接报中心的西偏北045距中心3403m处．故选：A.2．（2

022·山东淄博·模拟预测）双曲线2215yx的离心率为（）A．265B．265C．255D．305【答案】D【分析】由方程已知a、b，再结合222abc求c，代入离心率cea．【详解】∵双

曲线2215yx，则5,1ab可得：226cab∴305cea故选：D．3．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线E：222104xyaa的离心率为2，若有一直线过E的右顶点A且与一条渐近线平行，交y轴于点B，则△OAB的面积是（）A．2B．22C．4D．42【

答案】A【分析】由离心率先求出a的值，得出渐近线的方程，得出过点A与渐近线平行直线，从而得出点B的坐标，求出三角形的面积【详解】双曲线E：222104xyaa的离心率为2242caeaa，解得2a所以E的右顶点A2,0，双曲线E的渐近线方程为

yx设过点A的直线与渐近线yx平行，则其方程为2yx，则0,2B所以1122222AOBSOAOBV故选：A4．（2022·山东济宁·二模）过双曲线C：222210,0xyabab的左焦点F作

圆222xya的切线，设切点为A，直线FA交直线0bxay于点B，若2BAAF，则双曲线C的渐近线方程为（）A．yxB．2yxC．2yxD．3yx【答案】B【分析】根据题意得到直线FA的方

程，和直线0bxay联立求出点B的横坐标，再利用等面积得到点A的纵坐标，由2BAAF求得点B的纵坐标，利用点B的纵坐标相等即可计算【详解】因为直线FA交直线0bxay于点B，直线FA与圆222xya切于

点A，所以,,OAFAOAaOFc，因为222abc，所以FAb，在RtFAO中，sin,tanaaOFAOFAcb，所以直线FA的方程为()ayxcb，由()0ayxcbbxay，得22222acabacxbbaba即

点B的横坐标为222acba，在RtFAO中，根据等面积可得Aabyc，因为2BAAF，所以33BAabyyc，因为22222BBbbacabcyxaababa所以223abcabbac，所以22233cba，所以222

233abba，所以2242ab，所以22ab，所以2ba，所以渐近线方程为2byxxa，故选：B5．（2022·天津南开·一模）已知双曲线22214xyb的0b与抛物线24yx的一个交点为M．

若抛物线的焦点为F，且5FM，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A．3B．2C．23D．433【答案】D【分析】根据题意求出为M的坐标代入双曲线求出433b，利用点到直线距离公式可求双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】根据题意，设00

,Mxy，因为052pFMx，且2p，所以04x，代入到抛物线24yx中，得04y，所以4,4M，将M代入到双曲线22214xyb中，得2163b，即433b，设双曲线的焦点,0F

c，渐近线为byxa，即0bxay，所以双曲线的焦点到渐近线的距离为22433bcbcdbcab，故选：D.6．（2022·天津河东·一模）已知双曲线22122:10,0yxCabab的焦点为10,Fc，20,Fc，抛物线221:4

Cyxc的准线与1C交于M，N两点，且三角形2MNF为正三角形，则双曲线1C的离心率为（）A．3B．62C．153D．102【答案】A【分析】由题意可得22bMNa，因为三角形2MNF为正三角形，可得：22tan603cba

，即可求出双曲线1C的离心率.【详解】抛物线221:4Cyxc化为标准方程得：24xcy，所以2C的准线方程为yc，焦点坐标为0,c，由22221yxabyc，解得：2bxa，则22bMNa，因为三角形2MNF为正三角形，所

以22tan603cba，所以222233acbca，即2231ee，解得：3e.故选：A.二、多选题7．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知1F､2F分别为双曲线2222:10,0xyCabab的左､右焦

点，点M为双曲线右支上一点，设12FMF，则下列说法正确的是()A．线段1FM长度的最小值为acB．线段2FM长度的最小值为2baC．若当2时，2OMF△(O为坐标原点)恰好为等边三角形，则双曲线C的离心率为31D

．当6时，若直线1FM与圆222xya相切，则双曲线C的渐近线的斜率的绝对值为33【答案】ACD【分析】根据双曲线焦半径和通径的性质可判断AB；根据121222FFcceaaMFMF可判断C；设1FM与圆

相切于A，连接OA，则OA⊥1FM；过2F作21FBFM于点B，根据几何关系求出1FB、BM，从而求出1FM，再求出2FM，根据122aFMFM可求ba，从而可求双曲线渐近线的斜率绝对值，从而判断D．【详

解】当M为双曲线右顶点时，线段1FM长度的最小值为ac，故A正确；当2FMx轴时，线段2FM长度的最小值为2ba或ca(与离心率有关)，故B错误；对于C，若当2时，2OMF△为等边三角形，则2160MFF，22MFOFc，13MFc，∴离心率1212223123FFc

cceaaMFMFcc，故C正确；对于D，如图，设1FM与圆相切于A，连接OA，则OA⊥1FM；过2F作21FBFM于点B，则126FMF，OAa，222FBOAa，21223tanFBBMaFMF，22124sinFBFMaFMF，

2211222FBFFFBb．∵M在双曲线上，∴1222324aFMFMaba，即33baa，∴33ba，则双曲线渐近线斜率的绝对值为33ba，故D正确．故选：ACD．8．（2022

·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，M为OA的中点，P为双曲线C右支上一点且212PFFF，且123tan4PFF，则()A．C的离心率为2B．C的渐近线方程为30xyC．P

M平分12FPFD．121344PAPFPF【答案】ACD【分析】在直角三角形12PFF中，利用123tan4PFF列出关于a、b、c的齐次式求出离心率，从而判断A；根据离心率求出渐近线方程，从而判断B；根据1122PFFMPFFM、是否相等即可判断PM是否平分1

2FPF，从而判断C；根据2FA、12FF的比例关系，利用平面向量的线性运算即可表示用12PFPF、表示PA，从而判断D.【详解】由212PFFF可知22bPFa，由22212123tan224bPFbaPFFFFcac得，232acb，

即2232acca，即22320ee，即2120ee，∴2e，故A正确；由2213bbeaa，∴双曲线渐近线为3yx，故B错误；由22ccaa，3ba﹒则22233baPFaaa，12125PFPFaPFa

，∴125533PFaPFa；∵152222aaaFMca，232222aaaFMca，∴12552332aFMaFM，∴112253PFFMPFFM，∴根据角平分线的性质可知PM平分12FPF，故C正确；22FAcaaaa

，1224FFca，222212121211134444PAPFFAPFFFPFPFPFPFPF，故D正确；故选：ACD．【点睛】本题主要考察与双曲线的焦半径和焦点三角形有关的性质，考察构造关于a、b、c的齐次式求离心率的方法，考察利用角平分线的性质，考察

了向量的线性运算，解题时需数形结合，合理运用图形的几何关系.9．（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）已知直线y=kx（k≠0）与双曲线22221(0,0)xyabab交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的

右焦点F，若三角形ABF的面积为24a，则以下正确的结论有（）A．双曲线的离心率为2B．双曲线的离心率为5C．双曲线的渐近线方程为y=±2xD．43k【答案】BCD【分析】设出,AFmBFn，得到方程

组，求出2,4mana，或4,2mana，从而得到离心率，及渐近线方程，利用余弦定理及同角三角函数关系得到倾斜角的正切值，从而求出斜率.【详解】以AB为直径的圆过右焦点F，以AB为直径的圆：222xyc设,AF

mBFn，则2mna，2142ABFSmna△，22224mnABc∴2222284mnamnamnc解得：2,4mana，或4,2mana，所以225ca，即5,eA错误，B正确.22

12,bcaa渐近线方程:2,yxC正确.D选项，不妨设0k，且点B在第一象限，则25,2,5BOOFcBFac222435cos,25cccBOFcc44sin

,tan53BOFBOF，此时4,3k同理可得：当0k时，43k4,3kD正确，故选：BCD.10．（2022·重庆·二模）已知双曲线2222:10,0xyCabab

的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为1F，2F，点P是双曲线C的右支上一点，且三角形2OPF为正三角形（O为坐标原点），记PA，PB的斜率分别为1k，2k，设I为12PFF△的内心，记1IPF△，2IPF△

，12IFF△的面积分别为1S，2S，3S，则下列说法正确的是（）A．120PFPFB．双曲线C的离心率为31C．12223kkD．123312SSS【答案】ABD【分析】对于A，先求出P点坐标，求出1PF和2PF的坐标，即可计算12

PFPF；对于B，将P点坐标代入双曲线的方程，建立a与c的齐次方程即可求出离心率；对于C，代斜率的坐标计算公式化简可求12kk，对于D，分别化简1S，2S，3S，结合a与c的数量关系即可判断【详解】因为2OPF为正

三角形，所以3,22cPc所以133,22ccPF，23,22ccPF所以1233302222ccccPFPF故A正确将

P点坐标代入双曲线方程可得22223144ccab即22222234bcacab即2222222234cacacaca即4224840caca即42840ee设2te（1t），则28

40tt解之得：423t或4231t（舍）所以2242313e，所以13e故B正确2221222222333003322432344224ccccekkccccaeaaa故C错误31132ceaca设12PFF△的内切圆半径

为r，则1112SrPF，2212SrPF，31212SrFF121211312222SSrPFPFrararc31211222SrFFrcrc所以123312SSS，即123312SSS，故D正确故选：ABD三

、填空题11．（2022·广东韶关·二模）过双曲线221xy的一个焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于P，Q两点，则|PQ|=_________．【答案】22【分析】由题意可知曲线为等轴双曲线，结合等

轴双曲线的性质可得答案.【详解】由题意可知，1a，1b，2c，双曲线是等轴双曲线，则两条渐近线的夹角是90°，因为在直角三角形中，斜边中线是斜边一半，故22PQ．故答案为：2212．（2022·湖北武汉·二模）

如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为202米，则该双曲线的离心率为___________.【答案】5【分析】以冷却塔的轴截面的

最窄处所在的直线为x轴，垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为222210,0xyabab，由题意求出ac、可得答案.【详解】如图，以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为x轴，垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设双曲线的

方程为222210,0xyabab，由题意知220CDa，所以20a，25,Am，202,70Fm，所以222222222512020270120mbmb，解得4030bm，所以222160040020

00cab，所以2000e520ca.故答案为：5.13．（2022·海南海口·模拟预测）在直角坐标系xOy中，抛物线C：28yx的焦点为F，双曲线E：22221,0xyabab的右顶点

为线段OF的中点，E与C交于A，B两点．若F是△ABO的重心，则E的离心率为______．【答案】2【分析】由题意求出抛物线的焦点为F，得到则E的右顶点为（1，0），即a＝1，根据F是△ABO的重心，可得直线AB的方程为x＝3，进一步求出A，B坐标，代入双曲线得到

22491b，解得23b，最终求出离心率．【详解】设双曲线E的半焦距为c（c>0）．由题意可知：抛物线的焦点为F（2，0），则E的右顶点为（1，0），所以a＝1，由F是△ABO的重心，可得直线AB

的方程为x＝3，可知3,26A，3,26B，代入双曲线方程得到22491b，解得23b，所以2224cab，所以离心率2cea．故答案为：2.14．（2022·江西·二模（理））已知双曲线C：222210,0xyabab的左焦点为

,0Fc，点P在圆F：2220xycx上，若线段FP恰好被C的一条渐近线垂直平分，则C的离心率为___________.【答案】2【分析】先求得圆F的圆心和半径，根据三角形OPF是等边三角形求得直线PF的斜率，从而求得渐近线的斜率，进而求得双曲线C的离心率.【详解】2220

xycx,222xcyc，圆心为,0c，半径为c，圆心,0Fc为C的右焦点，OFOPOFPFc，不妨设点P在第一象限，三角形OPF是等边三角形，则π6PFF

，所以直线PF的斜率π3tan63k，从而3ba，3ba，故C的离心率2221132ccbeaaa.故答案为：215．（2022·内蒙古通辽·二模（理））双曲线2222:10,0

yxEabab的渐近线与圆22:21Cxy相切，则双曲线E的离心率为______．【答案】2【分析】列方程得到关于双曲线E的a、c的等式，即可求得双曲线E的离心率.【详解】圆22:21Cxy的圆心（2，0），半径为1双曲线2222:10,0

yxEabab的渐近线ayxb因为双曲线E的渐近线与圆C相切，所以22221aacab，则2cea．故答案为：2四、解答题16．（2022·山东潍坊·二模）已知M，N为椭圆2212:10xCyaa

和双曲线2222:1xCya的公共顶点，1e，2e分别为1C和2C的离心率．(1)若12154ee．（ⅰ）求2C的渐近线方程；（ⅱ）过点4,0G的直线l交2C的右支于A，B两点，直线MA，MB与直线1x相交于1A，1B两点，记A，B，1A，1B的坐标分别为11,

xy，22,xy，33,xy，44,xy，求证：12341111yyyy；(2)从2C上的动点000,Pxyxa引1C的两条切线，经过两个切点的直线与2C的两条渐近线围成三

角形的面积为S，试判断S是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】(1)（ⅰ）12yx；（ⅱ）证明见解析(2)是定值，Sa【分析】（1）（ⅰ）根据椭圆和双曲线的离心率公式求得2a，即可求出

双曲线的渐近线方程；（ⅱ）直线AB的方程为4xty，与双曲线方程联立，利用韦达定理求得1212,yyyy，从而可求出1211yy，再根据直线12,AAAA的方程可求出,yy34，从而可求得3411yy，整理即可得证；（2）设两个切点155,Pxy，266,Pxy，直线1P

P的方程为1155:lykxxy，与椭圆方程联立，根据0求出1k，同理可求得直线2PP的斜率2k，求出直线12PP的方程，然后可求出直线12PP与两条渐近线的交点坐标，计算整理即可得出结论.

(1)解：由题意得211aea，221aea，所以41221154aeea，又0a，解得24a，（ⅰ）故双曲线2C的渐近线方程为12yx，（ⅱ）设直线AB的方程为4xty，则22

4,1,4xtyxy消元得，2248120tyty，0，且2t，所以1221228,412,4tyytyyt，故1212121123yytyyyy，又直线1AA的方程为1122yyxx，所以13132y

yx，同理24232yyx，所以12123412122266111133xxtytyyyyyyy12121212121226222112422333333tyyyyyytttttyyyyyy

，故12341111yyyy；(2)解：设两个切点155,Pxy，266,Pxy，由题意知1PP，2PP斜率存在，直线1PP的方程为1155:lykxxy，联立2221551,,xyaykxxy

由0得1121xkay，所以5152:1xxlyya，同理直线2PP方程为6262:1xxlyya，由1l，2l过P点可得50502606021,1,xxyyaxxyya可得直线12PP的方程为0021xxyya，不妨设，直线1

2PP与双曲线两渐近线1yxa交于两点210000,aaPxayxay，220000,aaPxayxay，则围成三角形的面积223222000000000012aaaaaSxayxa

yxayxayxay，因P在双曲线2C上，222200xaya，则32aSaa为定值.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的综合问题，考查了椭圆和双曲线的性质，考查了椭圆和双曲线中的定值问题，及椭圆中三角形的面积问题，计算量很大，

对数据分析处理能力要求很高，属于难题.17．（2022·江苏·南京市第一中学三模）双曲线C：22220,01xyabab经过点3,1，且渐近线方程为yx．(1)求,ab的值；(2)若抛物线22(0)xpyp与C的右支交于点,AB，证明：直线AB过定点．【答案】(1)

2ab(2)证明见解析【分析】（1）由双曲线过点3,1，且渐近线方程可求得答案；（2）抛物线与双曲线联立，并设出,AB,求出线AB的方程即可证明.(1)由双曲线过点3,1，有22311ab，由渐近线方程为yx，有1ba，可解得2ab.(2)由题意，抛物线与

双曲线联立，22221220222xyypyxpy，因为抛物线与双曲线的右支相交，因此要满足2480p.设1122(,),(,)AxyBxy，即221212(,),(,)22xxAxBxpp，且1212,0,0xxxx，所以有222121212

2()2224xxxxyyppp，可得1222xxp.而直线AB的斜率为22121212222ABxxxxppkxxp，所以直线AB的方程为21121()22xxxyxxpp，即121222xxxxyxpp，又因为1222xxp，

所以直线AB的方程化简为1222xxyxp，所以其过定点(0,2).18．（2022·河北秦皇岛·二模）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左､右焦点分别为1F，2F，虚轴长为23，离心率为

62，过2F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点.(1)求双曲线C的方程；(2)已知(230)P，，若ABP△的外心Q的横坐标为0，求直线l的方程.【答案】(1)22163xy(2)2320xy或2320xy【分析】（1）根据虚轴

长为23，离心率为62，由362bca求解；（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为3x，根据ABP△外接圆的圆心Q的横坐标为0，得到0,0Q判断.当直线l的斜率存在时，设直线l

的方程为3ykx，与双曲线方程联立，根据直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，求得k的范围，设线段AB的中点为M，利用弦长公式和2221||||4QAQMAB求解.(1)由题知3,6,2bca因为222c

ab，所以226,3ab，故双曲线C的方程为22163xy.(2)由（1）知23,0F.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为3x，则63,2A，63,2B

.因为ABP△为等腰三角形，且ABP△外接圆的圆心Q的横坐标为0，所以0,0Q.因为342922QA，23QP，所以QAQP，故此时不合题意.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为3ykx

，联立方程组223,26,ykxxy得222221121860kxkxk，由24222222210,1444211860,120,211860,21kkkkkkkk解得212k，即22k

或22k.设11,Axy，22,Bxy，则12221221xkxk，212218621kxxk，因为121226612ykyxkkx，所以线段AB的中点为2221236,12kkMkk，且22222212

22224312611211212121kkkABkxxkkkk.设00,Qy，因为Q在线段AB的垂直平分线上，所以02223116221kkkykk

，得02291kyk，即290,21kQk，故2229||1212kQPk.因为2221||||4QAQMAB，且QAQP，所以22222222222619661211122212kkkkkkkk

，化简得422520kk，得2k或22k（舍去），所以直线l的方程为23yx，即直线l的方程为2320xy或2320xy.19．（2022·河北·模拟预测）已知双曲线2222:10,0xyCab

ab的左，右焦点分别为16,0F，26,0F．且该双曲线过点22,2P．(1)求C的方程；(2)如图．过双曲线左支内一点,0Tt作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直线AB，CD均不平行于坐标轴时，直

线AC，BD分别与直线xt相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关于x轴对称．【答案】(1)22142xy(2)证明见解析【分析】（1）根据已知条件，建立关于,ab的方程组，求解方程组即可得答案；（2）由题意，设直线AB的方程为xmyt，直

线CD的方程为1xytm，点11223344,,,,,,,AxyBxyCxyDxy，联立22142xyxmyt，由韦达定理可得212122224,22mttyyyymm

，同理可得2234342242,1212tmmtyyyymm，由直线AC的方程133111yyyyxxxx可得2132131,myyPtmyy，同理可得224

2241,myyQtmyy，然后计算0PQyy即可得证.(1)解：由已知可得22226821abab，解得224,2ab，所以双曲线C的方程为22142xy；(

2)证明：由题意，设直线AB的方程为xmyt，直线CD的方程为1xytm，点11223344,,,,,,,AxyBxyCxyDxy，由22142xyxmyt，得2222240mymtyt，则222

22(2)424168320mtmtmt，得2224mt，所以212122224,22mttyyyymm，同理可得2234342242,1212tmmtyyyymm，其中,mt满足

2224tm，直线AC的方程为133111yyyyxxxx，令xt，得131113yyytxyxx,又11331,xmytxytm，所以2121331myyymyy，即2132131,m

yyPtmyy，同理可得2242241,myyQtmyy，因为2222123412341324222213241324111mmyyyyyyyymyymyymyymyymyy

myy222222222221324442212122120mttmmtmtmmmmmmyymyy，所以,PQ两点关于x轴对称.