【文档说明】(新高考数学)高考一轮复习核心考点讲与练考点19《 直线和圆的方程》(解析版） .doc，共(39)页，1.834 MB，由MTyang资料小铺上传

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考点19直线和圆的方程（核心考点讲与练）一、直线与方程1.直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定

它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).2.直线的斜率(1)定义：直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，

则k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2).若直线的倾斜角为θ(θ≠π2)，则k＝tan__θ.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过

两点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距xa＋yb＝1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线二、两条直线的位置关系1.两条直线平行与垂

直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，

则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.2.两直线相交直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应.相交⇔方程组有唯

一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解.3.距离公式(1)两点间的距离公式平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1

）2.特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.(2)点到直线的距离公式平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l

2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.三、圆的方程1.圆的定义和圆的方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a

，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F2.点与圆的位置关系平面上的一点M(

x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(

y0－b)2＜r2⇔M在圆内.四、直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由（x－a）2＋（y－b）2＝r2，Ax＋By＋C＝0消去y(或x)，得到关于x

(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ<02.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征d＞R＋

rd＝R＋rR－r＜d＜R＋rd＝R－rd＜R－r代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数432101.求倾斜角的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tanα的取值范围．(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是

否存在．2.已知两直线的一般方程两直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关系：A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2；A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0⇔l1∥l2.3.判断直线与圆的位置

关系常见的方法：(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适

用于动直线问题．4.求圆的弦长的常用方法(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则()2＝r2－d2.(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：设直线与圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝.5.(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆

圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．(2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．6.在解决直线与圆的位置关

系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错．直线的倾斜角与斜率一、单选题1．（2022·山东淄博·模拟预测）若圆22:2410Cxyxy

的弦MN的中点为2,3A，则直线MN的方程是（）A．270xyB．50xyC．10xyD．280xy【答案】B【分析】由题可知CAMN，则可求得MN斜率，进而求得直线方程.【详解】由圆

方程可知圆心1,2C，则1CAk，由题可知CAMN，所以1MNk，又MN过点2,3A，根据点斜式公式可知直线MN的方程是50xy.故选：B.2.（2021天津市第七中学月考）已知直线l的方程为340xy，则直线l的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．1

50°【答案】D【分析】由直线方程可得斜率33k，根据斜率与倾斜角的关系即可求倾斜角大小.【详解】由题设，直线l斜率33k，若直线l的倾斜角为，则3tan3，∵[0,)，∴56.故选：D3．（2022·天津南开·一模）已知函数23,0,2

63,0,xxfxxxx1gxkx．若函数hxfxgx的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是（）A．12,3B．10,2C．2,D．1,10,3【答

案】A【分析】作出函数()fx的图象，作出直线1ykx，由图象知只要直线1ykx与()yfx的图象在y轴左右两侧各有两个交点，则()()()hxfxgx的图象就经过四个象限（0x时，()hx的函数值有正有负，0

x时，()hx的函数值有正有负），因此求得直线PM的斜率，再求得直线与2263yxx相切的切线斜率（注意取舍）即可得结论．【详解】作出函数()fx的图象，如图，作出直线1ykx，它过定点(0,1)P，由图可得，只要直线1ykx与()yfx

的图象在y轴左右两侧各有两个交点，则()()()hxfxgx的图象就经过四个象限（0x时，()hx的函数值有正有负，0x时，()hx的函数值有正有负），0x时，()3fxx与x轴的公共点为(3,0)M，1010(3)3PMk，0x

时，2()263fxxx，由21263ykxyxx得22(6)20xkx，2(6)160k，解得2k或10k，由图象知，切线PN的斜率为2，所以123k时满足题意．故选

：A．4．（2022·山东潍坊·二模）已知直线1:30lxy，2:20lxay，若12ll，则a()A．13B．13C．3D．－3【答案】A【分析】两直线斜率均存在时，两直线垂直，斜率相乘等于－1，据此即可列式求出a的值．【详解】∵12ll

，∴111()133aa．故选：A．5．（2022·北京丰台·二模）已知双曲线C：22221xyab（0a，0b）的左、右顶点分别为1A，2A，左、右焦点分别为1F，2F．以线段12AA为直径的圆与双曲线C的一条

渐近线交于点M，且点M在第一象限，2AM与另一条渐近线平行．若121FM，则22MAF△的面积是（）A．332B．732C．334D．734【答案】C【分析】求得以线段12AA为直径的圆的方程为222xya，与渐近线byxa

联立求出点M的坐标，根据2AM与另一条渐近线平行可求出,,abc的关系，然后根据121FM，即可求出,,abc的值，从而可得出答案.【详解】解：由题意12,0,,0AaAa，12,0,,0FcFc，则以线段12AA为直径的圆的方程为222xya，联立222x

yabyxa，解得2axcabyc或2axcabyc，又因点M在第一象限，所以2,aabMcc，因为2AM与直线byxa平行，所以2abbcaaac，即bbac

a，所以2ca，则22223bcaa，因为222121aabFMccc，所以22252122aba，即222225253214444abaa，所以23a，则2212,9cb，所以33,22M

，223,0,23,0AF，所以221333233224MAFS.故选：C.二、多选题6．（2022·湖南衡阳·二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，

经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知1F、2F分别是双曲线22:12yCx的左、右焦点，点P为C在第一象限上的点，点M在1FP延长线上，点Q的坐

标为3,03，且PQ为12FPF的平分线，则下列正确的是（）A．122PFPFB．1223PFPFC．点P到x轴的距离为3D．2FPM的角平分线所在直线的倾斜角为150【答案】AD【分析】证明出双曲线22:12yCx在其上一点00,

Pxy的切线的方程为0012yyxx，将点Q的坐标代入切线方程，求出点P的坐标，可判断ABC选项的正误；计算出PQ的斜率，可计算出2FPM的角平分线所在直线的斜率，可判断D选项的正误.【详解】先证明结论双曲线22:12yCx在其上一点

00,Pxy的切线的方程为0012yyxx，由已知220012yx，联立00221212yyxxyx可得220020xxxx，即200xx，解得0xx，所以，双曲线22:12yCx在其上一点00,Pxy的切线的方程为

0012yyxx.本题中，设点00,Pxy，则直线PQ的方程为0012yyxx，将点3,03Q代入切线方程可得03x，所以3,2P，即点P到x轴的距离为2，C错；在双曲线C中，1a，2b，则223cab，则1

3,0F、23,0F，所以，2212324PF，222022PF，所以，122PFPF，A对；123,2PF，20,2PF，所以，1223,4PFPF，则221223427P

FPF，B错；因为2FPM的角平分线交x轴于点N，则221221902QPFNPFFPFFPM，所以，PNPQ，23333PQk，则133PNPQkk，故2FPM的角平分线所

在直线的倾斜角为150，D对.故选：AD.三、填空题7.（2021年1月新高考八省联考卷）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为______．【答案】13和3.【分

析】根据题意，设正方形一边所在直线的倾斜角为，得到tank，得出对角线所在直线的斜率为tan()4，结合两角和的正切公式，求得1tan3，再结合两直线的位置关系，即可求解.【详解】设正方形

一边所在直线的倾斜角为，其斜率tank，则其中一条对角线所在直线的倾斜角为4，其斜率为tan()4，根据题意值tan()24，可得tantantan1421tan1tantan4

，解得1tan3，即正方形其中一边所在直线的斜率为13，又由相邻边与这边垂直，可得相邻一边所在直线的斜率为3.故答案为：13和3.8．（2022·广东潮州·二模）设函数2464xxxfx

，点,nAnfnnN在fx图象上，点0A为坐标原点，设向量1,0i，若向量01121nnnaAAAAAA，且n是nauur与i的夹角，则tann的最大值是______．【答案】116【分析】先利用平面向量的线性运算化简nauur，再利用

直线的斜率公式求出tann的表达式，再利用基本不等式求其最值.【详解】由向量的线性运算，得011210nnnnaAAAAAAAA，因为点2,464nnnnAn在函数2464xxxfx的图象上，0A为坐标原点，向量1,0i，n是nau

ur与i的夹角，所以0202464tan0464nnnnnAAnnkn111641626422nn，（当且仅当6422nn，即3n时取等号），即tann的最大值是116．故答案为：116.四、解答题9．（2022·北京丰台·二模）已知椭圆C：222210xy

abab经过点2,1P，P到椭圆C的两个焦点的距离和为42．(1)求椭圆C的方程；(2)设4,0Q，R为PQ的中点，作PQ的平行线l与椭圆C交于不同的两点A，B，直线AQ与椭圆C交于另一点M，直线BQ与椭圆C交于另一点N，求证：M，N，R三点共线．【答案】

(1)22182xy(2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆定义，可求得a值，将P点坐标代入，即可求得2b，即可得答案.（2）由题意可得R点坐标和直线PQ的斜率，即可设直线l的方程为12yxm，1122(,),(,),(,),(,)mmnnAxyBxyMxyNxy，可得直线

AQ的方程为1144yyxx，与椭圆联立，即可求得,mmyx表达式，同理可得,nnyx表达式，即可求导直线MN的斜率，再求得直线MR的斜率，分析即可得证.(1)根据椭圆的定义可得242a，解得22a，又过点2,1P，所以22411ab，解得22b，所以椭圆

C的方程为22182xy.(2)因为2,1P，4,0Q，所以13,2R，101242PQk，设直线l的方程为12yxm，1122(,),(,),(,),(,)mmnnAxyBxyMxyNxy，所以1212,44AQBQ

yykkxx，所以直线AQ的方程为1144yyxx，直线BQ的方程为2244yyxx，联立直线AQ与椭圆112244182yyxxxy，消去x可得22111148(4)480xxyyyy，

所以1112118(4)44mxyyyxy，又2211182xy代入，整理可得1111118(4)2483mxyyyyxx，代入直线AQ，可得11833mxxx同理可得223nyyx，2283

3nxxx，所以211221211212212121212111333()332283832233MNyyxxmxxmxxyyxyxykmxxxxxxxx又1

111111111113323222833833(3)233mMRMNmyxmxyxkmkxxxxx，所以M，N，R三点共线两直线的位置关系1.（20

21黑龙江省实验中高三检测）已知直线1:70lxmy和2:(2)320lmxym互相平行，则实数m（）A.3B.1C.1或3D.1或3【答案】C【分析】根据题意，结合两直线的平行，得到13(2)0mm

且2730m，即可求解.【详解】由题意，直线1:70lxmy和2:(2)320lmxym互相平行，可得13(2)0mm且2730m，即2230mm且212m，解得1m或3m.故选：C.直线与圆的位置关系一、单选题1

．（2022·河南河南·三模（理））已知M，N为圆C：22240xyxy上两点，且4MN，点P在直线l：30xy上，则PMPNuuuruuur的最小值为（）A．222B．22C．222D．225【答案】A【分析】先求得线段M

N中点D的轨迹，结合向量的模、圆与直线的位置关系等知识求得PMPNuuuruuur的最小值.【详解】设线段MN的中点为D，圆222:40Cxyxy的圆心为1,2C，半径为5.C到直线MN的距离为22451

2，所以1CD，故D点的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，设D点的轨迹为圆D，圆D上的点到直线l的最短距离为1231212t.所以222222PMPNPDPDtu

uuruuuruuuruuur.故选：A2．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆C：22230xyx，若直线l：ax－y＋1－a＝0与圆C相交于A，B两点，则AB的最小值为（）A．22B．23

C．3D．52【答案】B【分析】求出直线所过定点，当直线与定点和圆心连线垂直时，弦长最小，由此可得结论．【详解】易知直线10axya，过定点P(1,1)，圆的标准方程是22(1)4xy，圆心为(1,0)C，半径为2r，而12CP，所以

2222min222123ABrCP．故选：B．3.（2021内蒙古赤峰二中高三第一次月考）圆221xy与直线3ykx有公共点的充要条件是（）A．22k或22kB．22kC．2kD．22k或2k【答案】A【

分析】先根据直线与圆的位置关系求得k得取值范围，即可得答案．【详解】若直线与圆有公共点，则圆心0,0到直线30kxy的距离2|3|11dk，即213k，∴219k，即28k，∴22k或22k，∴圆221xy与直线3ykx有公共

点的充要条件是22k或22k．故选：A4.（2022广西南宁市高三摸底测试）已知直线yxm与圆22(2)(3)2xy相切，则m的值为（）A.3或1B.1或3C.0或4D.4或0【答案】A【分析】利用圆

的切线性质结合点到直线的距离公式列式计算即得.【详解】圆22(2)(3)2xy的圆心为(2,3)，半径为2，因直线yxm与圆22(2)(3)2xy相切，则点(2,3)到直线0xym的距离为|23|22md，整理得|1|2m，解得3m

或1m，所以m的值为3或1.故选：A5.（2022年（新高考）数学高频考点）圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则2a＋6b的最小值是（）A．22B．

203C．323D．163【答案】C【分析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标，由题意可得圆心在直线ax－by＋6＝0上，从而可得a＋3b＝3，所以2a＋6b＝23(a＋3b)13()ab，化简后利用基本不等可求得答案【详解】由圆

x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，∴该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，∴2a＋6b＝23(a＋3b)13()ab

＝233(19)3abba≥233(102)3abba＝323，当且仅当3ba＝3ab，即a＝b时取等号，故选：C.二、多选题6．（2022·辽宁鞍山·二模）已知M为圆C：2212xy上的动点，P为直线l：40xy上的动点，则下列结论正确的是（）A．直线l与圆C相切B．

直线l与圆C相离C．|PM|的最大值为322D．|PM|的最小值为22【答案】BD【分析】根据圆心C到直线l得距离dr>，可知直线l与圆C相离；∵P、M均为动点，对|PM|先固定点P可得PMPCr，再看PC不难发现PCd，即

PMPCrdr．【详解】圆C：2212xy得圆心1,0C,半径2r∵圆心1,0C到直线l：40xy得距离2210432211dr∴直线l与圆C相离A不正确，B正确；22PMPCrdrC不正确，D正确；故选：BD．7．（2022

·海南海口·模拟预测）已知a>0，圆C：22ln1xaya，则（）A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等C．存在2个不同的a，使

得圆C过坐标原点D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线exy平分【答案】ACD【分析】本题考查圆的方程与性质以及函数图象．当圆心纵(横)坐标的绝对值等于半径时，圆与x(y)轴相切，可判定A；当圆心到x轴或y轴距离相等时，在轴上截得的线段相等，可判定B；对于C，只要圆心到

原点距离等于半径即可；当直线过圆心时，平分圆的面积，可判定D.【详解】由条件可知，圆C的半径为1，圆心坐标为（a，lna），即圆心在曲线y＝lnx上运动．对于A，当a＝1时，圆C与y轴相切，当ln1a，即a＝e或1e时，圆C与x轴相切，所以满足要求的a有3个，A

正确；对于B，若圆C在x轴和y轴上截得的线段相等，则圆心到x轴和y轴的距离相等，故圆心在yx上，又圆心在y＝lnx上，作图可知曲线y＝lnx与y＝x没有公共点，与y＝-x有一个交点，所以满足要求的a仅有一个

，B错误；对于C，若圆C过坐标原点，则22ln1aa，如下图可知，曲线y＝lnx与221xy有两个交点，所以满足要求的a有2个，C正确；对于D，若圆C的面积被直线exy平分，则直线exy经过圆心（a，lna），计算

可知曲线y＝lnx在x＝e处的切线恰好为exy，即满足要求的a仅有一个，故D正确．故选：ACD.【点睛】已知圆C：222xaybr，有如下结论：(1)当ar或br时，圆C与y轴或x轴相切；(

2)当ab时，圆心到两轴距离相等，若与两轴相交，则截得的线段相等；(3)若圆C过原点，则222abr；(4)若直线过圆心，则平分圆的面积.8．（2022·重庆·二模）已知点0,0,4,4OA，过直线OA上一点B作圆22:(4)4Cxy的切线

，切点分别为,PQ，则（）A．以线段PQ为直径的圆必过圆心CB．以线段PQ为直径的圆的面积的最小值为2C．四边形BPCQ的面积的最小值为4D．直线PQ在,xy轴上的截距的绝对值之和的最小值为4【答案】BC【分析】利用直线与圆之间的关系，列出点到直线距离公式，逐个选项进行判断即可【详解】由题知，

可设点00,Bxx，则以BC为直径的圆方程为0040xxxyxy，两圆做差可得直线00:444PQxxxy，易得直线PQ过定点3,1M，故圆心C到直线PQ的距离不是定值，PC

CQ不恒成立，故A选项不正确；因为直线PQ过定点3,1M，故当PQCM时PQ最小，min||24222PQ，故最小半径为2，所以线段PQ为直径的圆的最小面积为2，B选项正确；四边形BPCQ的面积222||4SBPPCBPBC，

min||BC22，故min2844S，C选项正确；当03x时，直线:30PQxy过原点O，两截距均为0，故D选项不正确.故选：BC三、填空题9.（2021浙江省高三高考数学预测卷（二））已知直线:1lmxy，若直线l

与直线10xmy平行，则实数m的值为______，动直线l被圆22:2240Cxyx截得弦长的最小值为______．【答案】①.1②.223【分析】根据两直线的一般方程，利用直线平行的公式，代入即可求解m；首先判断直线l过

定点0,1，利用直线与圆的位置关系，判断当过点P0,1且与PC垂直的弦的弦长最短.【详解】由题意得110mm，所以1m．当1m时，两直线重合，舍去，故1m．因为圆C的方程222240xyx可化为22125xy，即圆心

为1,0C，半径为5．由于直线:10lmxy过定点0,1P，所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短，且最短弦长为22252223．故答案为：1；223四、解答题10．（2022·江西南昌·二模（文））

在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为22cossin2xy（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos04a.(1)求曲线C的极坐标方

程及直线l的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且4AOB，求a.【答案】(1)2cos，20xya(2)2a【分析】（1）首先利用二倍角公式及同角三角函数的基本关

系将曲线C的参数方程化为普通方程，再根据222cossinxyxy化为极坐标方程，根据公式将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据圆心角的性质得到2ACB，即可得到圆心到直线的距离为22，利用点到直线的距离公式得到方程，解得a，再检验即可；(1)解：因为曲

线C的参数方程为22cossin2xy（为参数）所以1cos2sin2xy，所以曲线C的普通方程为22(1)1xy，即2220xyx，又222cossinxyxy，所以22cos0

，所以曲线C的极坐标方程为2cos.因为直线l的极坐标方程为cos04a，所以cossin20a，即直线l的直角坐标方程为20xya.(2)解：设曲线C的圆心为(1,0)C，半径1r，因为点O在圆上，且4AOB

，所以2ACB，则点(1,0)C到直线l的距离为22，所以12222ad，则0a或2a，当0a时，直线l过原点O，不符合题意；所以2a.圆与圆的位置关系1.（2021云南省玉溪市普通高中高三第一

次教学质量检测）已知圆1O：2200xyaxa截直线0xy所得线段的长度是22，则圆1O与圆2O：2224xy的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】C【分析】由题可知圆1O的圆心为

1(,0)2aO，半径为12ar，点1O到直线0xy的距离为24ad，因为弦长为22，则由弦长公式可求得4a，即可得圆心1(2,0)O，半径12r.又因为圆2O的圆心2(2,0)O，半径22r，则两圆的圆心距为12124OOrr，故两圆外切.【详解】由题可知圆1O的圆心

为1(,0)2aO，半径为12ar，则1O到直线0xy的距离22(0)42aada则弦长222212222224162aaard，解得4a，则1(2,0)O，12r，又因为2(2,0)O，22r，所以圆心距12124OOrr

，两圆外切.故选：C.2.（2021江苏省盐城市伍佑中学高三第一次阶段考试）已知AM，BN分别为圆1O：22(1)1xy与2O：22(2)4xy的直径，则ABMN的取值范围为________．【答案】[0,8]【分析】根据平面向量的加法法则可知1122ABAOOOOB

，1122MNMOOOON，代入ABMN中化简整理后得2129||AOBBANOM，将平面向量进行平移后运算可推出12||[1AOOB，3]，从而得解．【详解】解：根据题意，

作出如下所示的图形，11221122()()ABAOOOOBMOOOOMNN12121212[()][()]OOAOOBOOAOOB222212121212()9()9|

|OOAOOBAOOBAOOB．而12||[21AOOB，21][1，3]，[0ABMN，8]．故答案为：[0,8]直线与圆的综合问题1.过x轴上一

点P向圆22:(2)1Cxy作圆的切线，切点为A、B，则PAB△面积的最小值是（）A．334B．332C．3D．33【答案】A【分析】解法一由点P离原点越远趋向无穷远处时，ABP△的面积趋向于无穷大；当点P趋近于原点时，ABP

△的面积逐渐变小，利用极限法，由点P与原点重合求解；解法二设(,0)Px，CPA，由21||sin22PABSPA求解.【详解】解法一（极限法）：如图所示，若点P离原点越远趋向无穷远处时，CP越来越长，AP、BP也随着越来越长，显然ABP△的面积趋向于无穷大；当点P趋

近于原点时，ABP△的面积逐渐变小，当点P与原点重合时，3OA，且此时的ABP△为正三角形，面积最小，其最小面积为21333(3)224，解法二（直接解法）：设(,0)Px，则22||4PCx，222||||3PAPBx，设CPA，则有21si

n4x，223cos4xx，于是22222331||sin2224PABxxSPAx222111333xxx，显然上式是2x的单调递增函数，当0x时，P

ABS取最小值334，故选：A.2.（2020北京市北京二中高三12月份月考）动点P与给定的边长为1的正方形在同一平面内，设此正方形的顶点为A，B，C，D（逆时针方向），且P点到A，B，C的距离分别为a，b，c．若222abc，则点P的轨迹是________；P点到D点的最大距离为_

_______．【答案】①.圆；②.22【分析】以B为原点，建立平面直角坐标系，根据222abc，得出点P的轨迹是圆，结合图象可得P点到D点的最大距离.【详解】以B为原点，建立如图所示的坐标系，∵

0,1A，0,0B，1,0C，1,1D，不妨设,Pxy，则2221axy，222bxy，2221cxy，又∵222abc，∴22222211xyxyxy，整理

，可得22112xy，所以点P的轨迹是圆，其方程为22112xy（注：坐标系建立的不同，圆的方程的形式不同）.结合图象可得，P点到D点的最大距离为22，故答案为：圆22112xy；22.1.（202

0年全国统一高考（新课标Ⅲ））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=1ACBC，则点C的轨迹为（）A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线【答案】A【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【详解】设20ABaa，以AB中点为坐标原

点建立如图所示的平面直角坐标系，则：,0,,0AaBa，设,Cxy，可得：,,,ACxayBCxay，从而：2ACBCxaxay，结合题意可得：21xaxay，整理可得：2221xya，即点C的轨迹是

以AB中点为圆心，21a为半径的圆.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））已知圆2260xyx，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4【答案】B【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260xyx化为22(3)9xy，所以圆心C坐标为(3,0)C，半径为3，设(1,2)P，当过点P的直线和直线C

P垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP根据弦长公式得最小值为229||2982CP.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法

求弦长，属于基础题.3.（2020年全国统一高考（新课标Ⅲ））若直线l与曲线y=x和x2+y2=15都相切，则l的方程为（）A.y=2x+1B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+12【答案】D【分析】根据导数的几何意义设出直线l的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.

【详解】设直线l在曲线yx上的切点为00,xx，则00x，函数yx的导数为12yx，则直线l的斜率012kx，设直线l的方程为00012yxxxx，即0020xxyx，

由于直线l与圆2215xy相切，则001145xx，两边平方并整理得2005410xx，解得01x，015x（舍），则直线l的方程为210xy，即1122yx.故选：D.【

点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.4.（2021年全国高考甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：1x交C于P，Q两点，且OPOQ．已知点2,0

M，且M与l相切．（1）求C，M的方程；（2）设123,,AAA是C上的三个点，直线12AA，13AA均与M相切．判断直线23AA与M的位置关系，并说明理由．【答案】（1）抛物线2:Cyx，M方程为22(2)1xy；（2）相切，理由见解析【分析】（1）根据已知抛

物线与1x相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出,PQ坐标，由OPOQ，即可求出p；由圆M与直线1x相切，求出半径，即可得出结论；（2）方法一：先考虑12AA斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若121323,,AAAAAA斜率存在，由12

3,,AAA三点在抛物线上，将直线121223,,AAAAAA斜率分别用纵坐标表示，再由1212,AAAA与圆M相切，得出2323,yyyy与1y的关系，最后求出M点到直线23AA的距离，即可得出结论.【

详解】（1）依题意设抛物线200:2(0),(1,),(1,)CypxpPyQy，20,1120,21OPOQOPOQypp，所以抛物线C的方程为2yx，(0,2),MM与1x相切，所以半径为1，所以M的方程为

22(2)1xy；（2）[方法一]：设111222333(),(,),(,)AxyAxyAxy若12AA斜率不存在，则12AA方程为1x或3x，若12AA方程为1x，根据对称性不妨设1(1,1)A，则过1A与圆M相切的另一条直线方程为1y，此时该直线与抛

物线只有一个交点，即不存在3A，不合题意；若12AA方程为3x，根据对称性不妨设12(3,3),(3,3),AA则过1A与圆M相切的直线13AA为33(3)3yx，又1313313133113,033AAyykyxxyyy

，330,(0,0)xA，此时直线1323,AAAA关于x轴对称，所以直线23AA与圆M相切；若直线121323,,AAAAAA斜率均存在，则121323121323111,,AAAAAAkkkyy

yyyy，所以直线12AA方程为11121yyxxyy，整理得1212()0xyyyyy，同理直线13AA的方程为1313()0xyyyyy，直线23AA的方程为2323()

0xyyyyy，12AA与圆M相切，12212|2|11()yyyy整理得22212121(1)230yyyyy，13AA与圆M相切，同理22213131(1)230yyyyy所以23,yy为方程222111(1)230yyyyy

的两根，2112323221123,11yyyyyyyy，M到直线23AA的距离为：21223122123213|2||2|121()1()1yyyyyyyy22112222111|1|111(1)4yyyyy

，所以直线23AA与圆M相切；综上若直线1213,AAAA与圆M相切，则直线23AA与圆M相切.[方法二]【最优解】：设222111113333322222,,,,,,,,AxyyxAxyyxAxyyx．当12xx时，同解法1．当

12xx时，直线12AA的方程为211121yyyyxxxx，即121212yyxyyyyy．由直线12AA与M相切得12122122111yyyyyy，化简得

121212130yyxxx，同理，由直线13AA与M相切得131312130yyxxx．因为方程1112130yyxxx同时经过点23,AA，所以23AA的直线方程

为1112130yyxxx，点M到直线23AA距离为11122211121311411xxxyxx．所以直线23AA与M相切．综上所述，若直线1213,AAAA与M相切，则直线23AA与M相切．【整体

点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用1213,AAAA的对称性，抽象出2323,yyyy与1y关系，把23,yy的关系转化为用1y表示，法二是利用相切等条件得到23AA的直

线方程为1112130yyxxx，利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路一、单选题1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知抛物线C：24yx的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点.若MFx轴，则以AF为直径的圆

截直线AM所得的弦长为()A．2B．2C．1D．22【答案】B【分析】求出M坐标及直线AM的方程，根据圆的弦长公式即可求解．【详解】由题知，1,0F，1lx：，1,0A，∵MFx轴，∴

1,2M，根据抛物线对称性，不妨取1,2M，则20011011AMyxxy：，原点O到直线AM的距离为：12d，∴以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为：2212122﹒故选：B﹒2．（2022·江

西南昌·二模（文））已知直线210xy与直线20xmy垂直，则m=（）A．-2B．12C．2D．12【答案】C【分析】根据两直线垂直，直接列出方程求解，即可得出结果.【详解】当0m时，202xmyx，由210xy知21yx，斜率为2，所以

直线210xy与2x不垂直，不符合题意；当0m时，1220xmyyxmm，因为直线210xy与直线20xmy垂直，所以121m，解得2m.故选：C.3．

（2022·天津河西·一模）抛物线24yx的准线与圆222xy相交于A，B两点，则AB（）．A．2B．2C．4D．22【答案】A【分析】准线为1x，圆心为0,0，2r，设圆心到直线1x的距离为d，则222ABrd，即可求解.【详

解】由题，抛物线24yx的准线为1x，圆222xy的圆心为0,0，2r，设圆心到直线1x的距离为d，易得1d，所以2222212ABrd，故选：A4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知直线:20lkxy恒过定点M，

点N在曲线22:2680Cxyxy上，若OMON（O为坐标原点），则MON△的面积为（）A．65B．2C．22D．255【答案】A【分析】先由直线过定点求出(0,2)M，再结合OMON以及N在曲线22:2680Cxyxy上求出

68(,)55N，直接计算面积即可.【详解】易知直线:20lkxy过定点0,2，即(0,2)M，可得2OMON，设(,)Nxy，则222222680xyxyxy，解得02xy或6585xy

，故68(,)55N，故MON△的面积为1662255.故选：A.5．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））直线40xy平分圆222:2250Cxybxbyb的周长，过点1,Pb作圆C的一条

切线，切点为Q，则PQ（）A．5B．4C．3D．2【答案】B【分析】由条件求出参数b，再根据切线的性质PQ.【详解】圆222:2250Cxybxbyb的圆心为(,)Cbb，半径为25rb，因为直线40xy平分圆222:2250Cxybxbyb的周长，所以直

线40xy经过(,)Cbb，所以40bb，故2b，由已知1,2P，(2,2)C，22||=3+4=5PC，圆的半径为3，所以224PQPCr，故选：B.6．（2022·山西临汾·三

模（理））已知直线l过圆2220xxy的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则l的方程为（）A．x－2y＋1＝0B．x＋2y－1＝0C．2x＋y－2＝0D．x－2y－1＝0【答案】D【分析】利用配方法求出圆心坐标，结合垂直直线之间斜率的关系进

行求解即可.【详解】由222220(1)1xxyxy，所以圆心坐标为(1,0)，因为直线2x＋y－3＝0的斜率为2，所以与直线2x＋y－3＝0垂直的直线l的斜率为1122，所以l的方程为：1(1)

2102yxxy，故选：D二、多选题7．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知直线l过点3,4，点2,2A，4,2B到l的距离相等，则l的方程可能是()A．220xy-+=B．220xy

C．23180xyD．2360xy【答案】BC【分析】分直线l斜率存在和不存在进行讨论﹒当l斜率存在时，设其方程为43ykx，根据点到直线的距离公式列出关于k的方程，解方程即可求直线l的方程．【详解】当直线l的斜

率不存在时，直线l的方程为3x，此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，此时不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为43ykx，即430kxyk，∵点2,24,2AB，到直线的距离相等，222243424311kkkkkk，解

得23k，或2k，当23k时，直线l的方程为2433yx，整理得23180xy，当2k时，直线l的方程为423yx，整理得220.xy综上，直线l的方程可能为23180xy或220xy故

选：BC．8．（2022·江苏南通·模拟预测）已知直线l过点（3，4），点A（－2，2），B（4，－2）到l的距离相等，则l的方程可能是（）A．x－2y＋2＝0B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0D．2x－3y＋6＝0【答案】BC【

分析】分A，B在直线l同侧和A，B在直线l异侧两种情况讨论，从而可得出答案.【详解】解：A，B在直线l同侧时，222423lABkk，2:(3)43lyx，即23180xy，A，B在直线l异侧时，l过AB中点(1,

0)M，∴04213lk，:2(3)4lyx，即220xy，故选：BC．9．（2022·江苏南通·模拟预测）已知Р是圆22:4Oxy上的动点，直线1:cossin4lxy与2:sincos1lxy交于点Q，则（）A．12llB．直线1l与圆O相

切C．直线2l与圆O截得弦长为23D．PQ长最大值为172【答案】ACD【分析】由两直线垂直的条件判断A，由圆心O到直线1l的距离判断B，由O到直线2l的距离结合勾股定理求弦长判断C，求出Q到圆心O的距离

的最大值加圆O半径判断D．【详解】圆O半径为2，cossinsin(cos)0，所以12ll，A正确；圆心O到1l的距离为22442cossind，1l与圆O相离，B错误；圆心O到直线2l的距离为2211sin(cos)d，所以弦长为2222

123，C正确；由cossin4sincos1xyxy，得4cossin4sincosxy，即(4cossin,4sincos)Q，所以22(4cossin)(4sincos)17OQ，

所以PQ长最大值为172，D正确故选：ACD．10．（2022·湖北·二模）设动直线:230()lmxymmR交圆22:(4)(5)12Cxy于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（）A．直线l过定点(2,3)B．当||AB取得最小值时，1mC．当ACB

最小时，其余弦值为14D．ABACuuuruuur的最大值为24【答案】AD【分析】对A：将原方程转化为230mxy，从而即可求解；对B：当||AB取得最小值时，ABCD，从而即可求解；对C：当ACB最小，即||AB取得最小值时，CDAB，从而即

可求解；对D：由2ABACCACBCAuuuruuuruuruuruur，从而即可求解.【详解】解：由题意，圆心坐标为4,5C，半径23r，对A：直线:l230mxym，即230mxy，由2030xy，可得直线l过定点(

2,3)D，故选项A正确；对B：当||AB取得最小值时，ABCD，所以1ABCDkk，即53142m，所以1m，故选项B错误；对C：当ACB最小，即||AB取得最小值时，CDAB，此时22CD

，从而可得AB4，所以222232341cos322323ACB，故选项C错误；对D：2222323cos,ABACCBCACACACBCACBCAuuuruuuruuruuruuruuruuruuruuruur，所以当||AB取得最

大值，即为直径时，,CBCAuuruur，此时22max2323cos24ABACuuuruuur，故选项D正确.故选：AD.11．（2022·广东深圳·二模）P是直线2y上的一个动点，过点P作圆221x

y的两条切线，A，B为切点，则（）A．弦长||AB的最小值为3B．存在点P，使得90APBC．直线AB经过一个定点D．线段AB的中点在一个定圆上【答案】ACD【分析】设ABOPC，则C为AB的中点，且OPAB，再根据勾股定理、等

面积法及锐角三角函数得到2121ABOP、1sin2APBOP，根据OP的范围，即可判断A、B，设,2Pt，求出以OP为直径的圆的方程，两圆方程作差，即可得到切点弦方程，从而判断C，再根据圆的定义判断D；【详解

】解：依题意222OPAPAO，即221OPAP，设ABOPC，则C为AB的中点，且OPAB，所以APAOAPACOPOP，所以21221ABACOP，1sin2OAAPBOPOP，又2,O

P，所以1sin0,22APB，3,2AB，所以min3AB，max60APB，故A正确，B不正确；设,2Pt，则24OPt，所以以OP为直径的圆的方程为22211

124txyt，则22222111124xxytyt，即21txy，所以直线AB的方程为21txy，所以直线AB过定点10,2M，故C正确；又OCMC，12OM，所以AB的中点C在以OM为直径的圆上，故D正确；故

选：ACD三、填空题12．（2022·河北唐山·二模）若圆22:20CxyDxy的圆心在直线210xy上，则C的半径为______．【答案】10【分析】先求得参数D，再去求C的半径即可解决.【详解】圆22:20Cxy

Dxy的圆心为,12D则有21102D，则6D，则C的半径为22162102故答案为：1013．（2022·上海宝山·二模）已知直线250xy与直线1150xdy互相平行且距离为

m.等差数列{}na的公差为d，且7841035,0aaaa，令123||||||||nnSaaaa，则mS的值为__．【答案】52【分析】根据平行线的距离求出d和m的值，利用等差数列的定义和性质求出通项公式，进而求和即可.【详解】由题意知，0d，因为两直

线平行，所以1251115d，解得2d，由两平行直线间距离公式得2|1155|1012m，由78aa77(2)35aa，解得75a或77a.又410720aaa，所以75a，即7165aad，解得17a，所以1(1)29naandn

.所以1012310Saaaa|7||5||3||1||1||3||5||7||9||11|52．故答案为：52.14．（2022·重庆八中模拟预测）已知点A为圆221:2Oxy和222:35Oxy在第一象限内的公共

点，过点A的直线分别交圆1O，2O于C，D两点（C，D异于点A），且2ACAD，则直线CD的斜率是___________.【答案】1或5【分析】先求出1,1A.设直线CD为：11ykx.过1O作1OFCD于F，过2O作2OECD于E.由垂径定理表示出2212

222121kAOFkC，22222112525AkDkOE.根据2ACAD列方程，解出k的值.【详解】因为点A为圆221:2Oxy和222:35Oxy在第一象

限内的公共点，所以由2222235xyxy解得：11xy（y=-1舍去）故1,1A.由题意可知，直线CD的斜率存在，设其为k，则直线CD为：11ykx.过1O作1OFCD于F，过2O作2OECD于E.则1

211kOFk，22211kOEk由垂径定理得：2212222121kAOFkC，22222112525AkDkOE.因为2ACAD，所以22222512112122kkkk

，解得：1k或5k.故答案为：1或5.四、解答题15．（2022·山东淄博·模拟预测）已知抛物线2:20Cxpyp的焦点为F，点2,Mm在抛物线C上，且2MF．(1)求实数m的

值及抛物线C的标准方程；(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为-2，试判断直线l能否与圆22280xym相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由．【答案】(1)24xy；(2)能与圆相切；1102yx.【分析】

(1)根据点在抛物线上和抛物线的定义列出关于m、p的方程组，解之即可；(2)设点1212,,44xxAxBx、和直线AB方程ykxb，根据两点坐标表示直线斜率和韦达定理求得29bk，可知直线AB恒过定点且

该定点在圆上M上，根据点M、N坐标求出k即可.(1)由题意得，因为点(2,)Mm在抛物线上，所以222pm，由抛物线的定义，得22pm，则22222pmpm，解得12mp，所以抛物线C的标准方程为24xy；(2)由(1)得(2,1)

M，设点1212,,44xxAxBx，，则122244MAMBxxkk，，所以1222244MAMBxxkk，得12122()360xxxx；设直线AB方程为ykxb，有224404ykxbxkxbxy，所以12124

4xxkxxb，，所以48360bk，得29bk，所以直线AB方程为29ykxk，即直线AB恒过抛物线内部的定点(2,9)N，又圆22(2)(1)80Mxy：正好经过点(2,9)N

，当且仅当直线AB与半径MN垂直时直线AB与圆M相切，此时112MMkk，所以直线AB方程为1102yx.16．（2022·安徽·安庆一中模拟预测（文））已知椭圆22:1164xyC的左、右焦点分别为1F、2F，动直线l过2F与

C相交于A，B两点．(1)当lx轴时，求1ABF的内切圆的方程；(2)求1ABF内切圆半径的最大值．【答案】(1)223360xyx(2)1【分析】（1）易求A，B的坐标，进而求得内切圆的圆心和半径（2）设直线l的方程为：2

3xmy，以m为参数，运用等面积法将1ABF内切圆半径表示为m的函数，求其最值即可(1)由22:1164xyC，可得4a，23c，123,0F，223,0F，由已知直线:23lx，

则由22231164xxy1y不妨设23,1A，23,1B设1ABF内切圆的半径为r，则114222arABc．解得32r因为1ABF为等腰三角形，故圆心坐标为33,02

，所以1ABF的内切圆的方程为：2233324xy化简得：223360xyx(2)设1ABF内切圆半径为R，面积为S，11,Axy，22,Bxy，则1482SaRR，又1212121232S

FFyyyy．所以1234Ryy设直线l的方程为：23xmy，与椭圆22:416Cxy联立整理得2244340mymy，则122434myym，12244yym由120yy，所以2212121212221484myy

yyyyyym所以2221234mRm，令21tm，则1t，223231(3)96tRttt当且仅当3t即22m时取等号故1ABF内切圆半径的最大值为1