【文档说明】(新高考数学)高考一轮复习核心考点讲与练考点12《 等式与不等式》(解析版） .doc，共(13)页，509.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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考点12等式与不等式（核心考点讲与练）一、等式与不等式的性质1.两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b>0⇔a>b，a－b＝0⇔a＝b，a－b<0⇔a<b.(2)作商法ab>1（a∈R，b>0）⇔a>b

（a∈R，b>0），ab＝1⇔a＝b（a，b≠0），ab<1（a∈R，b>0）⇔a<b（a∈R，b>0）.2.等式的性质(1)对称性：若a＝b，则b＝a.(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c.(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c.(4

)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd.3.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c

＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2).二、均值不等式及其应用1.均值不等式：ab≤a＋b2(1)均值不

等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.(3)其中a＋b2称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(

a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.(2)ab≤a＋b22(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.3.利用均值不等式求最值已知x≥0，y≥0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积

定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是s24(简记：和定积最大).三、从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元

二次不等式.2.三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞

x2或x＜x1}x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集不等式解集a<ba＝ba>b(x－a)·(x－b)>0{x|x<a或x>b

}{x|x≠a}{x|x<b或x>a}(x－a)·(x－b)<0{x|a<x<b}∅{x|b<x<a}4.分式不等式与整式不等式(1)f(x)g(x)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0).(2)f(x

)g(x)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方

法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.3.均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式

两边的结构特点，选择好利用均值不等式的切入点.4.对于均值不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab≤a＋b22≤a2＋b22，ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b

>0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.5.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情况转化为a＞0时的情形.6.在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时

，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意.7.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来

处理，一般后者比较简单.不等式的性质1.（2021新疆乌鲁木齐市第四中学检测）下列命题正确的是（）A．若ab，则abcbacB．若ab，cd，则acbdC．若ab，cd，则acbdD．若0ab，0cd，则dcab【答案】D【分析】利用特殊值法和

不等式的性质来判断各选项的正误.【详解】对于A选项，当0c=时，abcbac，A选项错误；对于B选项，取2a，1b，0c=，2d，则2ac，3bd，acbd不成立，B

选项错误；对于C选项，取2a，1b，1c，10d，则2ac，10bd，acbd不成立，C选项错误；对于D选项，当0ab时，则110ba，由于0cd，所以，cdba，D选项正确.故选：

D.不等式的解法2.（2021陕西省西安中学检测）不等式20axbxc的解集为4,1，则不等式2130bxaxc的解集为（）A．4,13B．41,3C．

4,1,3D．41,,3【答案】B【分析】将不等式的解代入不等式对应方程，得到,,abc的关系，判断a为负数，将,,abc的关系代入后一个不等式，解得答案.【详解】由题意知：4,1是方程20

axbxc的两个解，代入方程得到413,441babacaca，0a，不等式2130bxaxc可化为：231340axaxa，即231340xx

解得41,3x.故选B.基本不等式以及应用3.（2021辽宁省葫芦岛市模拟）已知向量(,-1),(2-1,3)(0,0)manbab，若//mn则21ab的最小值为（）A．12B．1023C．15D．843【答案】D

【分析】因为//mn，所以3a+2b=1，再利用基本不等式求最小值.【详解】因为//mn，所以3a+2b=1，所以212143=8212843baababab（）(3a+2b)=8+.当且仅当3

331,64ab时取到最小值.故选：D.【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示和利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.4.（2021吉林省实验中学检测）若函数1()(2)2fxxxx在xa处取最小值，则a等于

（）A.3B.13C.12D.4【答案】A【分析】将函数yfx的解析式配凑为1222fxxx，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x值，可得出a的值.【详解】当2x时，20x，则11122222222fxxxxxxx

4，当且仅当1222xxx时，即当3x时，等号成立，因此，3a，故选A.【点睛】本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.1.（2020•新全国1山东）（多选）已知a>

0，b>0，且a+b=1，则（）A.2212abB.122abC.22loglog2abD.2ab【答案】ABD【分析】根据1ab，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.【详解】对于A，222221221abaaaa21211222a

，当且仅当12ab时，等号成立，故A正确；对于B，211aba，所以11222ab，故B正确；对于C，2222221logloglogloglog224ababab，当且仅当12ab时，等号成立，

故C不正确；对于D，因为21212ababab，所以2ab，当且仅当12ab时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养.2.（2019（新课标Ⅱ））若a>b，则A.l

n(a−b)>0B.3a<3bC.a3−b3>0D.│a│>│b│【答案】C【分析】本题也可用直接法，因为ab，所以0ab，当1ab时，ln()0ab，知A错，因为3xy是增函数，所以3

3ab，故B错；因为幂函数3yx是增函数，ab，所以33ab，知C正确；取1,2ab，满足ab，12ab，知D错．【详解】取2,1ab，满足ab，ln()0ab，知A错，排除A；因为9333ab，知B错，排除B；取1,2ab，满足ab，12ab

，知D错，排除D，因为幂函数3yx是增函数，ab，所以33ab，故选C．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．3.（2020•江苏卷）已知22451

(,)xyyxyR，则22xy的最小值是_______．【答案】45【分析】根据题设条件可得42215yxy，可得4222222114+555yyxyyyy，利用基本不等式即可求解.【详解】∵22451xyy∴0y且42215yxy∴42222222211414

4+2555555yyyxyyyyy，当且仅当221455yy，即2231,102xy时取等号.∴22xy的最小值为45.故答案为：45.【点睛】本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等

”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.一、单选题1.（2022·广东·模拟预测）已知

0a，0b，431ab，则13ba的最小值为（）A.13B.19C.21D.27【答案】D【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.【详解】114433331291524927bbaabaabab…，当且

仅当49abab，即19a，b＝6时，等号成立，故13ba的最小值为27故选：D2.（2022·福建宁德·模拟预测）已知0,0ab，且9(2)(1)2ab，则2ab的最小值为（）A.31432B.8C.9242D.10【答案】D【分析】对方程变形，再利用

基本不等式进行求解.【详解】9(2)(1)2ab整理为：2522abab，由基本不等式得：2224abab，即225224abab，解得：210ab或22ab，由于0,0ab，所以22ab

舍去，从而2ab的最小值是10故选：D3.（2022·重庆·一模）已知,mnR，且340mn，则128mn的最小值为（）A.25764B.14C.22D.12【答案】D【分析】先利用340mn消元，再利用基本不等式求

得128mn的最小值即可【详解】将34mn代入128mn，可得：341818112816816812282nnnnnnmn（当且仅当23n时，取得等号）故选：D二、多选题4.（2022·全国·模拟预测）已知实数x，y满足0x，0y，且1xy

，则（）A.xy的最大值为14B.22xy的最小值为12C.22xy的最小值为1D.12xy的最小值为12【答案】ABD【分析】利用基本不等式及其变形逐项分析A，B，D；由条件得1yx，01x，从而由二次函数的图象与性质分析C.【详解】对于

A，2124xyxy，当且仅当12xy时等号成立，所以A正确；对于B，2222222222()12222xyxyxyxyxyxy，当且仅当12xy时等号成立，所以B正确；对于C，因为0x，0y，且1xy，所

以1yx，01x，（根据x，y的关系得到x的取值范围）则22222(1)(1)11xyxxx，所以C错误；对于D，2121222()33232212xyxyxyxyxyyxyx，当且仅当2xyyx，即

21x，22y时等号成立，所以1212xy，所以D正确.故选：ABD.5.（2022·广东汕头·一模）已知正实数a，b满足2abab，则以下不等式正确的是（）A.212abB.28ab

C.22loglog3abD.29ab【答案】BD【分析】对于A，对2abab两边同除以ab进行判断，对于B，利用基本不等式分析判断，对于C，由22loglog3ab可得28ab，产生矛盾，对于D，

由已知可得211ab，所以212(2)ababab，化简后利用基本不等式求解【详解】对于A，因为正实数a，b满足2abab，所以21abab，即211ab，所以A错误，对于B，因为0,0ab，2abab，所

以22222(2)ababab，当且仅当2ab时取等号，所以2(2)8(2)abab，因为20ab，所以28ab，当且仅当2ab时取等号，所以B正确，对于C，若22loglog3ab，则2222logloglog3log8abab

，所以8ab，所以28ab，而由选项B可知28ab，所以22loglog3ab不成立，所以C错误，对于D，因为正实数a，b满足2abab，所以21abab，即211ab，

所以2122222(2)5529abababababbaba，当且仅当22baab，即3ab时取等号，所以D正确，故选：BD6.（2022·江苏泰州·一模）下列函数中最小值为6的是

（）A.9lnlnyxxB.36sin2sinyxxC.233xxyD.222516xyx【答案】BC【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.【详解】解：对于A选项，当0,1x时，ln0x，此时9ln0lnxx，故A不正确.对于B选

项，36sin2962sinyxx，当且仅当36sin2sinxx，即1sin2x时取“”，故B正确.对于C选项，2233236xxy，当且仅当233xx，即1x时取“”，故C正确.对于D选项，2222169

9162961616xyxxx，当且仅当2291616xx，即27x无解，故D不正确.故选：BC.三、填空题7.（2022·全国·模拟预测（文））已知正数x、y满足124xy，则yx的最小值是___________.【答案】14##0.25【分

析】利用基本不等式可求得yx的最小值.【详解】因为x、y为正数，由基本不等式可得12244xxxyyy，所以，14yx，当且仅当41124xyxy时，即当41xy时，等号成立，故yx的最小值为14.故答案为：14.8.（2022·江西九江·一模（理

））若a，b为正实数，直线22410xay与直线220bxy互相垂直，则ab的最大值为______．【答案】12##0.5【分析】根据两直线垂直的a、b关系，再用基本不等式可解.【详解】由两直线垂直得4240ba，即22

22abab，12ab，当且仅当1a，12b时，等号成立，故ab的最大值为12．故答案为：12