【文档说明】(新高考数学)高考一轮复习核心考点讲与练考点04《 指对幂函数》(解析版） .doc，共(38)页，1.788 MB，由MTyang资料小铺上传

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考点04指对幂函数（核心考点讲与练）1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)

和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是amn＝nam(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意

义是a－mn＝1nam(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax

(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当

x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数4.对数的概念一般地，对于指数式ab＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作logaN，即b＝logaN(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数

，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.5.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga

(MN)＝logaM＋logaN；②logaMN＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝nmlogaM(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1).6.对数函数及

其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>

0；当x>1时，y<0；当0<x<1时，y<0当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数7.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度

越来越快越来越慢相对平稳1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较.3.指数

函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0<a<1和a>1两种情况分类讨论.4.对数值取正、负值的规律当a>1且b>1或0<a<1且0<b<1时，logab>0；当a>1且0<b<1或0<a<1且b>1时，logab<0.5.利用单调性可解决比较大小、解不等

式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.6.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.7.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直

线y＝1交点的横坐标进行判定.指数函数一、单选题1．（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知,ab是正实数，函数24exyab的图象经过点(2,1)，则11ab的最小值为（）A．322B．9C．322D．2【答案】B【分析

】将(2,1)代入24exyab，得到a，b的关系式，再应用基本不等式“1”的代换求最小值即可．【详解】由函数24exyab的图象经过(2,1)，则2214eab，即410,0ab

ab．11ab114abab4441529babaabab，当且仅当123ba时取到等号．故选：B．2．（2022·江西上饶·二模（理））函数()22xxxfx的大致图像为（）A

．B．C．D．【答案】B【分析】根据函数为奇函数排除C，取特殊值排除AD得到答案．【详解】当()22xxxfx，()22xxxfxfx，函数为奇函数，排除C；22221022242f＜

，排除AD；故选：B.3．（2022·河北秦皇岛·二模）设ln2a，25b，0.22c，则（）A．abcB．bcaC．cbaD．cab【答案】B【分析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.【详解】因为ln20,1a，22log5log42b，0.

221,2c，所以bca.故选：B4．（2022·浙江嘉兴·二模）已知集合28xAx，16Bxx，则AB（）A．(,6]B．[1,6]C．[1,3]D．(0,6]【答案】A【分析】先解出集合A，再计算AB即可.【详解】2

83xAxxx，故AB(,6].故选：A.二、多选题5．（2022·广东汕头·二模）设a，b，c都是正数，且469abc，则下列结论正确的是（）A．2abbcacB．abbcacC．4949bbacD．121cba【

答案】ACD【分析】设469abct，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案．【详解】解：设1469abct，则4logat，6logbt，9logct，所

以6694lglglogloglg6lg6lglglogloglg9lg4ttttbbttcatt2lg94lg9lg4lg9lg4lg62lg6lg6lg6lg6lg6，即2bb

ca，所以112cab，所以121cba，故D正确；由2bbca，所以2abbcac，故A正确，B错误；因为249444acaaa，22494966bbbbb，又469abc，所以

2246ab，即4949bbac，故C正确；故选：ACD三、填空题6．（2022·江苏南通·模拟预测）若eeexy,,Rxy，则2xy的最小值为_________．【答案】12ln2【分析】把2exy表示成ey的函数，再借助均

值不等式求解作答.【详解】依题意，eeexy，e0y，则2222e(ee)eee2eeeexyxyyyyy2e2e2e4eeyy，当且仅当2eeeyy，即1y时取“=”，此时，min(2)12ln2xy，所以，当1ln2,1xy时，2xy取最小值12l

n2.故答案为：12ln27．（2022·辽宁锦州·一模）已知函数11,02,03xxxfxax的值域为R，则实数a的取值范围是___________.【答案】3,2【分析

】首先分别求分段函数两段的值域，再根据值域为R，列式求实数a的取值范围.【详解】当0x时，10x，当0x时，112323xaa，因为函数的值域为R，所以1023a，解得：32a.故答案为：3,28．（2

022·山西·二模（理））已知函数322xxxfx给出下列结论：①fx是偶函数；②fx在0,上是增函数；③若0t，则点,tft与原点连线的斜率恒为正．其中正确结论的序号为______．【答案】①③【分析】对于①：利用偶函数的定

义进行证明；对于②：取特殊值：2,10ff，否定结论；对于③：直接表示出点,tft与原点连线的斜率为222ttt，并判断2022ttt.【详解】函数322xxxfx的定义域为,00,U

.对于①：因为332222xxxxxxfxfx，所以fx是偶函数.故①正确；对于②：取特殊值：由8322211544f，1000101110241024f，得到210ff，不符合增函数，可得②错误；对于③：当0t时

，点,tft与原点连线的斜率为20022ttfttt.因为0t，所以21t，所以220tt，所以200022ttfttt.故③正确；所以正确结论的序号为①③．故答案为：①③9．（2022·福建龙岩·一模）已知函数()936

xxfxmm，若方程()()0fxfx-+=有解，则实数m的取值范围是_________．【答案】[2144,)【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解.【详解】由题意得：99

(33)2120xxxxmm有解令233(2),992xxxxttt则22100tmtm有解，即2(2)10mtt有解，显然2t无意义2,2(0)ttyy令

2(2)101442144ymyyy,当且仅当14yy，即14y时取等，[2144,)m故答案为：2144,.10．（2022·海南·模拟预测）已知函数2xfxa的定义域为2,，则a_________．【答案】

4【分析】由已知可得不等式20xa的解集为2,，可知2x为方程20xa的根，即可求得实数a的值.【详解】由题意可知，不等式20xa的解集为2,，则220a，解得4a，当4a

时，由240x，可得2242x，解得2x，合乎题意.故答案为：4.对数函数一、单选题1．（2022·辽宁锦州·一模）若453xy，logxzy，则x，y，z的大小关系为（）A．yxzB．zxyC．xyzD．zyx【答案】A【分析】首先指

对互化得4log3x，5log3y，再结合对数函数的性质判断,xy的范围和大小，再结合对数函数的单调性比较x，y，z的大小关系.【详解】43x，4log3x，53y，5log3y，440log3log41，01x

，550log3log51，01y，且54log3log3，即yx，01yx，根据函数的单调性可知，loglog1xxyx，即1zyxz.故选：A2．（2022·广东惠州·一模）中国的

5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log1SCWN，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做

信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比SN从1000提升至5000，则C大约增加了（）（附：lg20.3010）A．20%B．23%C．28%D．50%【答案】B【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公

式及题中的数据可求解.【详解】将信噪比SN从1000提升至5000时，C大约增加了222log15000log11000log11000WWW222lg5000lg1000log5001log1001lg5

1lg2lg2lg20.2323%lg1000log100133lg2.故选：B.3．（2022·北京顺义·二模）函数ln2fxxx的定义域为（）A．0,2B．,2C．0,

D．0,2【答案】A【分析】由对数函数的性质和二次根式的性质求解．【详解】由题意020xx，解得02x．故选：A．4．（2022·河南新乡·二模（文））函数2lnfxxx的部分图象大致为（）A．B．C．D．【

答案】B【分析】先利用定义域和奇偶性排除选项D，再利用特殊值排除选项A、C.【详解】因为fx的定义域为0xx，且22lnlnfxxxxxfx，所以fx为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除选项D；又1ln2024f，所以排除选项A

；又24ln20f，所以排除选项C.故选：B．5．（2021·吉林·东北师大附中模拟预测（理））已知函数213log3yxaxa在1,上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．2aB．2aC．122aD．122a【答案】C【分析

】分析可知内层函数23uxaxa在1,上为增函数，且有min120ua，可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范围.【详解】令23uxaxa，因为外层函数13logyu为减函数，所以内层函数23uxaxa在1,上为增函

数，则12a，得2a，且有min120ua，解得12a.综上所述，122a.故选：C.6．（2022·山西·二模（理））已知a是323652fxxxx的一个零点，b是e1xgxx的一个零点，1

32log5c，则（）A．acbB．abcC．bcaD．acb或cba【答案】A【分析】利用导数研究函数fx的单调性得fx仅有1个零点，且3a，结合函数gx的单调性与零点的存在性定理得21b，根据对

数运算得3log25c，进而32c，再根据范围得大小.【详解】解：因为323652fxxxx，2336321fxxxxx，所以fx在,2上是减函数，在2,1上是增函数，在1,上是减函数，因为3102f

，所以fx仅有1个零点，因为19302f，所以3a，因为e1xgxx是增函数，且110eg，21210eg，所以21b，因为1332log5log25c，32log253，

所以32c，所以acb.故选：A．二、多选题7．（2021·河北石家庄·模拟预测）已知函数2e1lnexaxfx是偶函数，则（）A．1aB．fx在0,上是单调函数C．fx的最小值为1D．方程2fx有两个不相等的实数根【答案】BD

【分析】根据偶函数定义求得a，由复合函数的单调性得出()fx的单调性，从而可判断各选项．【详解】()fx是偶函数，则22e1e1lnlneexxaxax，22e1e1eexxaxax，22eeaxx，22axx恒成立，所以1a，A错；2e1()lnexxfx

，由勾形函数性质知1utt在1t时是增函数，又ext在0x时有1t且为增函数，所以1()ln(e)exxfx在,()0x上是增函数，B正确，()fx为偶函数，因此()fx在(,0)上递减，所以min()ln2fx，C错；易知x时，()fx，

即()fx的值域是[ln2,)，所以()2fx有两个不相等的实根．D正确．故选：BD．8．（2020·全国·模拟预测）已知函数112222,0log,0xxxfxxx，若

1234fxfxfxfx，且1234xxxx<<<，则（）A．121xxB．341xxC．342122xxD．123432022xxxx【答案】BCD【分析】首先根

据函数的解析式得到11222xxy关于直线1x对称，那么函数fx图像只取11222xxy,0x的部分图像，(0)fxx的图像将对数函数在x轴下方的图像翻到上方即可，从而

得到1234,,,xxxx的范围，进而判断AB选项；令1234fxfxfxfxa得到102a，从而得到342122xx；又412x时，12344412xxxxxx，再根据基本不等式求解范围即可.【详解】当0x时，11222xxf

x.设函数222xxgx，则有gxgx，00g，22222220xxxxgx，故gx是偶函数，且最小值为0.当0x时，2ln22ln222ln20xxxxgx，所以gx在0,上单调

递增，又gx是偶函数，所以gx在,0上单调递减.把222xxgx的图象向左平移一个单位长度，得到函数11222xxy的图象，故函数11222xxy的图象关于直线1x对称，故可得到函数fx在,0上

的图象.作出函数fx的大致图象，如图所示.又102f，故函数fx的图象与y轴的交点为10,2.作平行于x轴的直线ya，当102a时，直线ya与函数fx的图象有四个交点.数形结合可知122xx，故

A错误；由34fxfx，得2324loglogxx，又根据题意知341xx，所以2324loglogxx，即2423loglog0xx，即234log0xx，所以341xx，故B正确；令23241loglog2xx，则231log2x，241log2x，

得322x，42x，因此342122xx，故C正确；又412x时，12344412xxxxxx，且函数12yxx在1,2上单调递增，所以123432022xxxx，故D正确.故选：BCD【点睛】函数图象的识辨

可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛

选选项．三、双空题9．（2022·河北石家庄·二模）已知函数3log,03()sin,3156xxfxxx，若存在实数1234,,,xxxx.满足1234xxxx<<<，且1234fxfxfxfx，则12xx__

_________，3433xx的取值范围是___________.【答案】1(0,27)【分析】作出函数()fx的图象，结合图象可知1234,,,xxxx之间的关系，利用此关系直接求出12xx，再将3433xx转化为关于3x的二次函数求范围

即可.【详解】作出函数3log,03()sin,3156xxfxxx的图象，如图，因为1234fxfxfxfx，1234xxxx<<<所以由图可知，3132loglogxx，即121

xx，3492xx，且339x，23434343333333()9(18)451845xxxxxxxxxx，2331845xyx在3,9上单调递增，027y，即3433xx的取

值范围是(0,27).故答案为：1；(0,27)四、填空题10．（2022·海南·模拟预测）若对任意的0a且1a，函数()log(1)1afxx的图象恒过定点P，则点P的坐标为___________.【

答案】（2，1）【分析】根据对数函数的图象和性质，令log(1)0ax，解得2x，进而得出点P坐标.【详解】令log(1)0ax，解得2x，则(2)log111af，所以点P的坐标为（2，1）.故答案为：（2，1）.11．（2022·江西赣州·二模（理））若函数

log2afxax在(,0)上是减函数，则a的取值范围是___________.【答案】(1,4)【分析】根据定义域可以推出20a，根据(2)tax是减函数，且()fx在(,0)上是减函数，可得1

a，从而可得14a.【详解】由题意可得0a且1a，因为函数log2afxax在(,0)上是减函数，所以(,0)x，所以20a，即04a，(2)tax是减函数，由于()fx在(,

0)上是减函数，所以1a，所以a的取值范围是(1,4).故答案为：(1,4)五、解答题12．（2020·全国·一模（文））（1）已知0x，0y，0z，证明：222111yzxxyzxyz；（2）已知1a，1b，1c，且8abc，若222logloglogloglo

glogaabbccbcak恒成立，求实数k的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）由基本不等式可得221122yyxxxxx，同理可得21zyz，21xzx的范

围，化简整理即可得证.（2）利用换底公式可得22logloglogaabb，同理可将log,logbcca化简，代入原式，可得222222222loglogloglogloglogbcaabc，又221loglogaa同理可将22log,

logbc变形，代入，结合（1）结论，即可求得结果.【详解】（1）证明：由0x，0y，得221122yyxyxyx，即212yxxx，同理212zyzy，212xzxz，以上三式相加，得222111222yzxxyzyzxyzx（当且仅当xyz

时取等号），故222111yzxxyzxyz成立.（2）解：222loglogloglogloglogaabbccbca=222222222loglogloglogloglogbcaabc=222222logloglo

glog2log2log2bcaabc，根据（1），得222222222logloglog111log2log2log2logloglogbcaabcabc=2222loglogloglogabcabc82log3所以，3k，故实数k的最大值为3.

【点睛】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的应用，对数的计算与化简，考查计算化简，分析求值的能力，属中档题.幂函数一、单选题1．（2022·北京·一模）下列函数中，定义域与值域均为R的是（）A．lnyxB．xyeC．3yxD．1yx【答案】C【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数和反

比例函数的性质判断.【详解】A.函数lnyx的定义域为0,，值域为R；B.函数xye的定义域为R，值域为0,；C.函数3yx的定义域为R，值域为R；D.函数1yx的定义域为|0xx，值域为|0y

y，故选：C2．（2021·河北衡水中学模拟预测）已知幂函数2()mfxx是定义在区间[1,]m上的奇函数，则(1)fm（）A．8B．4C．2D．1【答案】A【分析】由奇函数定义域的对称性得1m，然后可得函数解析式，计算函数值．【详解】因为幂函数在[1,]m上是奇函数，所以1m，

所以23()mfxxx，所以(1)(11)(2)fmff328，故选：A．3．（2021·江西·模拟预测）已知幂函数()fxmx的图象过点2,8，则m（）A．0B．2C．4D．5【答案】

C【分析】根据幂函数的形式及过定点即可求解.【详解】解：因为()fxmx为幂函数所以1m又()fxmx的图象过点2,8即82解得3所以4m故选：C.4．（2021·四川·乐山市教育科学研究所一模（理））已知幂函数()fxx和()gxx，其中0，则有

下列说法：①()fx和()gx图象都过点1,1；②()fx和()gx图象都过点(1,1)；③在区间[1,)上，增长速度更快的是()fx；④在区间[1,)上，增长速度更快的是()gx.则其中正确命题的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【答案】A【分析】由幂函数的性质进行分析判断

即可【详解】幂函数的图象过定点(1,1)，①正确，在区间[1,)上，越大yx增长速度更快，③正确，故选：A.5．（2022·全国·贵阳一中二模（文））下列函数中是减函数的为（）A．()fxxB．3()2xfxC．2()f

xxD．3()fxx【答案】D【分析】依次判断4个函数的单调性即可.【详解】A选项为增函数，错误；B选项312，为增函数，错误；C选项221()fxxx在,0为增函数，在0,为

减函数，错误；D选项133()fxxx为减函数，正确.故选：D.6．（2022·陕西宝鸡·三模（理））若ab，则下列结论正确的是（）A．330abB．22abC．ln0abD．ab【答案】B【分析】对于A、B，构造函数，借助函数单调性比大小；对于C，lnab

没有意义；对于D，取特值判断.【详解】对于A，构造函数3()fxx，因为3()fxx单调递增，又ab，所以()()fafb，33ab，330ab，故A答案不对；对于B，构造函数()2xfx，因为()

2xfx单调递增，又ab，所以()()fafb，22ab，故B答案正确；对于C，ab，lnab没有意义，故C答案不对；对于D，取=11ab，时，=ab，故D答案不对；故选：B.二、

多选题7．（2022·全国·模拟预测）已知实数0,0,abcR,且1ab,则下列判断正确的是（）A．2212abB．22acbcC．2bbaaD．2111ba【答案】AD【分析】利用均值不等式可判断A；取0c=可判断B；借助幂

函数byx的单调性，结合0,1ab可判断C；作差法可判断D【详解】由于0,0ab，由均值不等式1124ababab，当且仅当12ab时等号成立选项A，22211()212124

2abababab，当且仅当12ab时等号成立，故A正确；选项B，由于Rc，当0c=时，22acbc，故B错误；选项C，由于0,0ab，1ab，故01,122aa，即2aa由于01bbyx在(0,)单调递增，故

2bbaa，故C错误；选项D，2122111bbaaa，由于0,1220,10abbaa，故21101ba，2111ba，故D正确故选：AD8．（2021·山

东·模拟预测）已知实数m，n满足22mn，则下列不等式恒成立的是（）A．coscosmnB．若0m，0n，则1133loglogmnC．3232mneeD．若0m，0n，则mn【答案】BCD【分析】由22mn，根据2xy为R上的增函数，所以mn，再逐项分析判断即可

得解.【详解】因为2xy为R上的增函数，所以mn.因为函数cosyx在R上有增有减，所以A中的不等式不恒成立，A错误；因为函数13logyx在(0,)上单调递减，所以当0m，0n，mn时，1133loglogmn，故B正确；因为xye在R上单调递增，所以当mn时，

3232>mnee，故C正确；因为函数yx在(0,)上单调递增，所以当0m，0n，mn时，mn，故D正确.故选：BCD.9．（2021·全国·模拟预测）已知e为自然对数的底数，则下列判断正确的是（）A．3e﹣2π＜3πe﹣2B．πlog3e＞3logπeC．l

ogπeeD．πe＜eπ【答案】BCD【分析】由幂函数3eyx在0,上递减，即可判断A；根据对数性质有3loglog0ee，即可判断B；构造函数lnxyx，求导判断单调性即可判断C；根据C中的结论可判

断D．【详解】对于A，因为3eyx在0,上递减，则333ee，所以2233ee，故A错；对于B，由于3loglog0ee，则3loglog3logeee，故B正确；对于C，设lnxyx，则2ln1lnxxyxx当0xe时

，0y，当ex时，0y，所以函数lnxyx在,e单调递减，则lnlnee，得lnloglneee，故C正确；对于D，由C项知lnlnee，则lnlnee，即lnlnee，所以ee，故D正确．故选：BCD.10．（20

21·山东潍坊·三模）已知函数xya（0a且1a）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】由函数图象过点1,2可得a的值，根据指数、

对数、幂函数图象的特点逐一判断即可.【详解】由图可得12a，即2a，12xxya单调递减过点1,2，故A正确；2ayxx为偶函数，在0,上单调递减，在,0上单调递增，故B正确；2,022,0xxxxxyax

为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；2loglogayxx，根据““上不动、下翻上”可知D正确；故选：ABD.三、填空题11．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））写出一个同时具有下列性质①②③的函数fx______．①fxfx；②当0,x时，

0fx；③1212fxxfxfx；【答案】2x（答案不唯一）；【分析】根据给定函数的性质，结合偶数次幂函数即可写出符合要求的解析式.【详解】由所给性质：()fx在(,0),(0,)上恒正的偶函数，且1212fxxfxfx，结合偶数次幂函数的性质，

如：2()fxx满足条件.故答案为：2x（答案不唯一）12．（2022·四川泸州·模拟预测（文））已知当1,4x时，函数1fxmx的图象与gxx的图象有且只有一个公共点，则实数m的取值范围是________.【答案】3,24##324m【分析】根据题意画出图象

，结合图象即可求解结论．【详解】函数()1fxmx过定点(0,1)A，如图：结合图象可得：，故答案为：3[4，2]．13．（2022·北京通州·一模）幂函数mfxx在0,上单调递增，ngxx在0,上单调递减，能够使y

fxgx是奇函数的一组整数m，n的值依次是__________．【答案】1，1（答案不唯一）【分析】根据幂函数在(0,)上的单调性得到0,0mn，再根据yfxgx是奇函数可以得到幂函数()fx和幂函数()gx都是奇函数，从而可得,mn的很多组值.【详解】因为幂函数

mfxx在0,上单调递增，所以0m，因为幂函数ngxx在0,上单调递减，所以0n，又因为yfxgx是奇函数，所以幂函数()fx和幂函数()gx都是奇函数，所以m可以是1，n可以是1.故答案为：1，1（答案不唯一）.一、单选题1．

（2021·全国·高考真题）已知5log2a，8log3b，12c，则下列判断正确的是（）A．cbaB．bacC．acbD．abc【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系

，由此可得出结论.【详解】55881log2log5log22log32ab，即acb.故选：C.2．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视

力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足5lgLV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（10101.259）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6【答案】C【分析】根据,LV关系

，当4.9L时，求出lgV，再用指数表示V，即可求解.【详解】由5lgLV，当4.9L时，lg0.1V，则10.110101110100.81.25910V.故选：C.3．（2020

·天津·高考真题）设0.80.70.713,,log0.83abc，则,,abc的大小关系为（）A．abcB．bacC．bcaD．cab【答案】D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,abc的大小关系.【详解】因为0

.731a，0.80.80.71333ba，0.70.7log0.8log0.71c，所以1cab.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.

比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xya，当1a时，函数递增；当01a时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：logayx，当1a时，函数递增；当01a

时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.4．（2020·全国·高考真题（理））若2233xyxy，则（）A．ln(1)0yxB．ln(1)0yxC．ln||0xyD．ln|

|0xy【答案】A【分析】将不等式变为2323xxyy，根据23ttft的单调性知xy，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233xyxy

得：2323xxyy，令23ttft，2xy为R上的增函数，3xy为R上的减函数，ft为R上的增函数，xy，0yxQ，11yx，ln10yx，则A正确，B错误；xy

Q与1的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,xy的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.5．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a

=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b【答案】A【分析】由题意可得a、b、0,1c，利用作商法以及基本不等式可得出a、b的大小关系，由8log5b，得85b，结

合5458可得出45b，由13log8c，得138c，结合45138，可得出45c，综合可得出a、b、c的大小关系.【详解】由题意可知a、b、0,1c，222528log3lg3l

g81lg3lg8lg3lg8lg241log5lg5lg522lg5lg25lg5ab，ab；由8log5b，得85b，由5458，得5488b，54b，可得45b；由13log8c，得138c，由45138，得45

1313c，54c，可得45c.综上所述，abc.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.6．（2020·全国·高考真题（文））Logisti

c模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：0.23(53)()=1etIKt，其中K为最大确诊病例数．当I(*t)=0.95K时，标志着已初步遏

制疫情，则*t约为（）（ln19≈3）A．60B．63C．66D．69【答案】C【分析】将tt代入函数0.23531tKIte结合0.95ItK求得t即可得解.【详解】0.23531tKIte，所以0.23530.951tKItK

e，则0.235319te，所以，0.2353ln193t，解得353660.23t.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.7．（2020·全国·高考真题（文））设3log2a，5log3

b，23c，则（）A．acbB．abcC．bcaD．cab【答案】A【分析】分别将a,b改写为331log23a，351log33b，再利用单调性比较即可.【详解】因为333112log2log9333ac，355112log

3log25333bc，所以acb.故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.8．（2020·全国·高考真题（文））设3log42a，则4a（）

A．116B．19C．18D．16【答案】B【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由3log42a可得3log42a，所以49a，所以有149a，故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法

则，属于基础题目.9．（2020·全国·高考真题（理））设函数()ln|21|ln|21|fxxx，则f(x)（）A．是偶函数，且在1(,)2单调递增B．是奇函数，且在11(,)22单调递减C．是偶函数，且在1(,)

2单调递增D．是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出fx为奇函数，排除AC；当11,22x时，利用函数单调性的性质可判断出fx单调递增，排除B；当1,2x时，利用复合函数单调性可判断出fx单调递减，从

而得到结果.【详解】由ln21ln21fxxx得fx定义域为12xx，关于坐标原点对称，又ln12ln21ln21ln21fxxxxxfx，fx

为定义域上的奇函数，可排除AC；当11,22x时，ln21ln12fxxx，ln21yxQ在11,22上单调递增，ln12yx在11,22上单调递减，fx在11,22上单调递增，排除B；当1,

2x时，212ln21ln12lnln12121xfxxxxx，2121x在1,2上单调递减，lnf

在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：fx在1,2上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据fx与fx的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根

据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.二、多选题10．（2020·海南·高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1,2,,n，且1()0(1,2,,),1

niiiPXipinp，定义X的信息熵21()logniiiHXpp.（）A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着1p的增大而增大C．若1(1,2,,)ipinn，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,,

m，且21()(1,2,,)jmjPYjppjm，则H(X)≤H(Y)【答案】AC【分析】对于A选项，求得HX，由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出

HX，利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出,HXHY，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项.【详解】对于A选项，若1n，则11,1ip，所以21log10HX

，所以A选项正确.对于B选项，若2n，则1,2i，211pp，所以121121Xlog1log1Hpppp，当114p时，221133loglog4444HX

，当13p4时，223311loglog4444HX，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若11,2,,ipinn，则222111logloglogHXnnnnn

，则HX随着n的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若2nm，随机变量Y的所有可能的取值为1,2,,m，且21jmjPYjpp（1,2,,jm）.2222111loglogmmiiiiiiHX

pppp122221222122121111loglogloglogmmmmpppppppp.HY122221212122211111logloglogmmmmmmmmppppp

ppppppp12222122212221221121111loglogloglogmmmmmmpppppppppppp由于01,2

,,2ipim，所以2111iimippp，所以222111loglogiimippp，所以222111loglogiiiimippppp，所以HXHY，所以D选项

错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.三、填空题11．（2020·山东·高考真题）若212loglog40x，则实数x的值是______.【答案】14

【分析】根据对数运算化简为2log2x，求解x的值.【详解】21222loglog40loglog40xx，即2log2x，解得：14x.故答案为：1412．（2020·北京·高考真题）函数1()ln1fxxx的定义域是________

____．【答案】(0,)【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得010xx，0x故答案为：(0,)【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.13．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，2

3fxx，则f(-8)的值是____.【答案】4【分析】先求(8)f，再根据奇函数求(8)f【详解】23(8)84f，因为()fx为奇函数，所以(8)(8)4ff故答案为：4【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，

考查基本分析求解能力，属基础题.一、单选题1.（2022·全国·模拟预测）开普勒（JohannesKepler，1571~1630），德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次

方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之比约为2:3，地球运行轨道的半长轴为a，则金星运行轨道的半长轴约为（）A.0.66aB.0.70aC.0.76aD.0.96a【答案】C【分析】设金星运行轨道的半长轴为1a，金星和地球的公转周期分别为1t，2t，根据

题意可得31123aa，进而结合332.5122.1，即可得出结果.【详解】设金星运行轨道的半长轴为1a，金星和地球的公转周期分别为1t，2t，由开普勒定律得3312212aatt.因为1223tt，所以3314

9aa，即31123aa.因为函数3yx在,上单调递增，且12592611281000，且3312592612.5,2.181000，所以332.5122.1，因此31122.50.700.933aaaaa，故选：C.2.（

2022·全国·模拟预测）已知0x是函数2()log(1)4fxxx的零点，则00001234xxxx的值（）A.为正数B.为负数C.等于0D.无法确定正负【答案】B【分析】先确定函数的单调性，再

确定函数零点所在的区间，即得解.【详解】解：由题可知()fx单调递增（增函数+增函数=增函数），且2(3)3log440f，2(4)2log540f，则0(3,4)x，所以000010,20,30,40xx

xx所以000012340xxxx.故选：B3.（2022·全国·模拟预测）已知131log2a，2log20bb，bca，则（）A.cabB.acbC.cbaD.bac【答案】A【分析】

先利用零点存在定理判断出1,2b，再由指数函数和对数函数的性质求解.【详解】因为2log2fxxx是0,上的增函数，且10f，20f，所以1,2b，又13311loglog2,122a，所以bcaa，所以ca

b，故选：A.4.（2022·广东汕头·一模）已知ln22a，1eb，ln55c，则以下不等式正确的是（）A.cbaB.abcC.bacD.bca【答案】C【分析】由于1lneeeb，所以构造函数ln()(0)xfxxx

，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可【详解】ln22a，1lneeeb，ln55c，令ln()(0)xfxxx，则21ln()xfxx，当0ex时，()0fx，当ex时，

()0fx，所以()fx在(0,e)上递增，在(e)，上递减，因为2e5，所以(2)(e)ff，(e)(5)ff，因为ln2ln55ln22ln5ln32ln25(2)(5)0251010ff，所以(2)(5)ff，所以bac故选：C5.（202

2·河北·模拟预测）设0.44a，0.30.25b，0.5log3c则a，b，c的大小关系为（）A.cabB.bacC.bcaD.cba【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数的性质即可求解.【详解】由已知条件得

∵0.50.5log3log10c，0.30.30.400.2544∴cba.故选:D.6.（2022·山东·模拟预测）已知非零实数m，n满足mnee，则下列关系式一定成立的是（）A.11mnB.22ln1ln1mnC.11mnmn

D.mmnn【答案】D【分析】由已知得mn，对于A、B、C选项取特例可判断；对于D选项，分>0mn，0>mn，0>mn，讨论判断可得选项.【详解】解：因为mnee，所以mn.取1m，2n，得11>mn，故A选项不正

确；取1m，2n，得2211mn，所以22ln1ln1mn，故B选项不正确；取12m，13n，得11mnmn，故C选项不正确；当>0mn时，则22>mn，所以22>0mmnnmn，所以mmnn，当0>mn时，则22mn，222

2>0mmnmnmnn，所以mmnn，当0>mn时，0>mmnn，所以mmnn，综上得D选项正确，故选：D.7.（2022·全国·模拟预测）分形几何学的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图1是长度为1的线段，将图1中的线段三等分，以中间部分的线段为边，向外作等

边三角形，再将中间部分的线段去掉得到图2，称为“一次分形”；用同样的方法把图2中的每条线段重复上述操作，得到图3，称为“二次分形”……，依次进行“n次分形”（*Nn）.规定：一个分形图中所有线段的长度之和为

该分形图的长度，要得到一个长度不小于20的分形图，则n的最小值是（）（取lg30.4771，lg20.3010）A.9B.10C.11D.12【答案】C【分析】从条件中分析出线段长度的变化规律，得到“n次分形”后折

线的长度，进而建立不等式解得答案即可.【详解】图1线段长度为1，图2线段长度为43，图3线段长度为243，„，“n次分形”后线段长度为43n，所以要得到一个长度不小于20的分形图，只需满足4203n，则4lglg201lg23n，即得

2lg2lg31lg2n，解得1lg210.301010.422lg2lg30.60200.4771n，所以至少需要11次分形.故选：C.8.（2022·全国·模拟预测）设0.23a，2log1.5b，0.32c，则a，b，c的大小

关系为（）A.abcB.cbaC.bcaD.acb【答案】C【分析】a，c大小可利用函数0.1yx在0,上单调递增来判断，对于b和a，c大小关系可利用中间量法来判断.【详解】因

为0.20.139a，0.30.128c.又0.1yx在0,上单调递增，所以1ac.又22log1.5log21b，所以bca，故选：C.二、多选题9.（2022·全国·模拟预测）已知mn，且1mn，则

（）A.22mnB.22mnC.22mmnnD.lnln0mn【答案】AB【分析】利用指数大小比较和对数大小比较进行选择.【详解】因为2xfx是R上的增函数，mn，所以22mn，故A正确；

220mnmnmn，故22mn，故B正确；22=10mmnnmnmn，故22mmnn，故C错误；取3m，14n，满足mn，1mn，但13ln3lnln044，故D错误.故选：AB10.（2022·山东济宁·一模）已知函数2

lnxfxx，若0.20.3af，2log3bf，3log4cf，则（）A.fx在0,1上恒为正B.fx在1,上单调递减C.a，b，c中最大的是aD.a，b，c中最小的是b【答案】AC【分析】根据当(0,1)x时，ln020xx

，即可判断A；利用导数讨论函数()fx在(1,)上的单调性，进而求出函数的最小值即可判断B；结合选项A和对数函数的单调性可得00bc，即可判断C；利用作差法和结合选项B可得bc，根据C的分析过程可知0cba，进而判断D.【详解】

A：当(0,1)x时，ln020xx，，所以2()0lnxfxx，故A正确；B：函数()fx的定义域为(0,1)(1,)，2222lnln1()(ln)(ln)xxxxxfxxx，令2()ln1(1)gxxxx，则22122()xgxxxx

，当12x时，()0gx；当2x时，()0gx，所以函数()gx在(1,2)上单调递减，在(2,)上单调递增，故min()(2)ln20gxg，所以()0fx在(1,)上恒成立，即函

数()fx在(1,)上单调递增，故B错误；C：由选项A可知，当(0,1)x时，所以()0fx，因为0.2000.30.31，所以0.2(0.3)0f，即0a；当(1,2)x时，ln02

0xx，，得2()0lnxfxx，因为2221log2log3log42，3331log3log4log92，所以2(log3)0f，3(log4)0f，即00bc，，所以abc、、中最大的是a，故C正确；D

：223lg3lg4(lg3)lg2lg4log3log4lg2lg3lg2lg312222222lg2lg41(lg3)()(lg3)(lg8)(lg3)(lg8)22lg2lg3lg2lg3lg

2lg3122222(lg3)(lg8)(lg3)[lg(22)][lg3lg(22)][lg3lg(22)]0lg2lg3lg2lg3lg2lg3，所以321log4log32，由选项B可知函数()fx在(1,)上

单调递增，所以32(log4)(log3)ff，即bc，由选项C可知00bc，，有0cba，所以abc、、中最小的是c，故D错误；故选：AC11.（2022·山东菏泽·一模）下列结论正确的有（）A.若22lnlnab，则22abB.若22abab，则22abC.

若bae（其中e为自然对数的底数），则baabD.若2023aba，则sinsin2ba【答案】AD【分析】根据对数函数、指数函数的单调性及不等式性质判断A，由特殊值判断BC，根据正弦函数在(0,)2上

的单调性判断D.【详解】由22lnlnab可得22ab，即||||ab,而2xy是增函数，所以22ab成立，故A正确；由22abab可得11||||ab，故||||ba，所以22ab不成立，如1,2ab，故B错

误；当4,3ba时，满足bae，4338164，故baab不成立，故C错误；由2023aba可知023ab，所以30222ba，而sinyx在(0,)2x上单调递增，所以sinsin2ba，故D正确.故选：AD.1

2.（2022·湖南永州·二模）已知定义在R的偶函数fx，其周期为4，当0,2x时，22xfx，则（）A.2log31fB.fx的值域为1,2C.fx在4,6上为减函数D.fx在6,6

上有8个零点【答案】AB【分析】利用对数运算判断选项A正确；利用函数的单调性和奇偶性得到函数的值域为[1,2].所以选项B正确；利用函数的单调性和周期性判断选项C错误；fx在6,6上有6个零点,所以该选项错误.【详解】解：2log32log322321f

，所以选项A正确；当0,2x时，22xfx是增函数，所以当0,2x时，函数的值域为[1,2]，由于函数是偶函数，所以函数的值域为[1,2].所以选项B正确；当0,2x时，22xfx是增函数，又函数的

周期是4，所以fx在4,6上为增函数，所以选项C错误；令220,1xfxx，所以(1)(1)0ff，由于函数的周期为4，所以(5)(5)0ff，(3)=(3)0ff，所以fx在6

,6上有6个零点,所以该选项错误.故选：AB13.（2022·全国·模拟预测）若正实数,ab满足11391log2lo91g3baab，则下列结论正确的有（）A.abB.abC.2abD.2ab【答案】AC【分析】通过

构造函数13log13xfxx，可判断函数为减函数，采用,2fafbfafb，结合11391log2lo91g3baab代换，由指数和对数函数单调性即可判断.【详

解】设13log13xfxx，则fx在0,为减函数，因为1113931log2loglog31199bbaabb所以21111333311111111loglogloglog3

3939333abbbbbbbfafbabbb，因为20,bb所以21133bb

，所以211033bb，即fafb，从而,ab所以A正确，B错误；而2221111333311112loglog2loglog23333abbbfafbabbb

1133loglog20bb所以2,fafb所以2ab，所以C正确，D错误.故选：AC.