【文档说明】(新高考)高考数学一轮单元复习真题模拟卷第08章《解析几何》(解析版).doc，共(83)页，9.202 MB，由MTyang资料小铺上传

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02卷第八章解析几何《真题模拟卷》－2022年高考一轮数学单元复习（新高考专用）第I卷（选择题）一、单选题1．以下五个关于圆锥曲线的命题中：①平面内到定点A（1，0）和定直线l：2x的距离之比为12的点的

轨迹方程是22143xy；②点P是抛物线22yx上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是3,6A，则PAPM的最小值是6；③平面内到两定点距离之比等于常数（0）的点的轨迹是圆；④若动点,Mxy满足22

1224xyxy，则动点M的轨迹是双曲线；⑤若过点1,1C的直线l交椭圆22143xy于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线l的方程是3470xy．其中真命题个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】对于①：设动点,Pxy，直接求出P的轨迹方程

即可验证；对于②：利用几何法求出PAPM的最小值即可验证；对于③：当1时，平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线，即可验证；对于④：利用双曲线的定义，进行判断；对于⑤：用“点差法”求出直线方程进行验证即可.【详解】对于①：设动点,Pxy

，由题意可得：12PAd，即2210122xyx，整理化简得：223440xxy，即求出的轨迹方程为：223440xxy.故①错误；对于②：设P到抛物线的准线的距离为d，则12dPM，由抛物线的定义得，

dPF,所以1122PMdPF，所以12PAPMPAPF，如图示，当P运动到Q点时，P、A、F三点共线，12PAPMPAPF最小，此时22111131360622222PAPMFA，故②

正确；对于③：当1时，平面内到两定点距离之比等于常数1的点的轨迹是直线，故③错误；对于④：“若动点,Mxy满足221224xyxy，则动点M的轨迹是双曲线”显然不正确，因为不满足双曲线的定义，故④不正确；对于⑤：当直线l的斜率不存在时，直线l：x=1，AB的中点

为（1,0），不符合题意；设直线l的斜率为k，设1122,,,AxyBxy，则2121yykxx.因为AB、在椭圆22143xy上，所以22112222143143xyxy，两式相减得：222

2121243xxyy，所以2121212134yyxxkxxyy因为1,1C是AB的中点，所以21211,122xxyy，所以21213344xxkyy，所以直线l的方程是3

470xy.故⑤正确.故选：B2．已知双曲线2222:10,0xyCabab，方向向量为1,1d的直线与C交于,AB两点，若线段AB的中点为4,1，则双曲线C的渐近线方程是（）A．20xyB．20xyC．20xyD．2

0xy【答案】B【分析】根据题意写出直线的方程，然后结合点差法求出12ba，进而可以求出双曲线的渐近线方程.【详解】由题意知直线AB的方程为14yx-=-，即3yx，设1122,,,AxyBxy，则22112222222211xyabxyab

，作差得22221212220xxyyab，即12121212220xxxxyyyyab，又因为12128,2xxyy，12121yyxx，则12122282xxyyab

，即2122122184yybaxx，即12ba，且222213xyabyx，消去y，得2222222690baxaxaab，则42222222244236493644bbaaabababab

，当2214ba时，0，所以直线与双曲线有两个交点，符合题意，所以双曲线C的渐近线方程是12yx，即20xy，故选：B.3．若抛物线22yx上的一点M到其焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）

A．1B．98C．12D．78【答案】D【分析】由题意可知：焦点坐标为1(0,)8，准线方程为：18y，由抛物线的定义可知：||||1MFMD，即118y，解得：78y，即可求得M的纵坐标．【详解】解：抛

物线22yx焦点在y轴上，焦点坐标为1(0,)8，准线方程为：18y，设(,)Mxy，由抛物线的定义可知：||MF118y，解得：78y，故选：D．4．已知抛物线22yx的焦点为F，点

001,02Myy在抛物线上，以M为圆心，||MF为半径的圆交y轴于G，H两点，则||GH的长为（）A．12B．32C．1D．3【答案】D【分析】先求出圆心坐标和半径，再利用勾股定理求解即可【详解】易知抛物线22yx的焦点为

1,02F，由点001,02Myy在抛物线上，可知1,12M，||1MF以M为圆心，||MF为半径的圆交y轴于G，H两点，则221||2132GH

故选：D5．若A是圆C所在平面内的一定点，P是圆C上的一动点，线段AP的垂直平分线与直线CP相交于点Q，则点Q的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】D【分析】由题意可得，点A可能在圆的外部，可能在圆的内部（但不和点O重合）、可能和

点O重合、也可能在圆上，在这四种情况下，分别结合椭圆的定义、双曲线的定义、圆的定义求出点Q的轨迹方程，即可得到答案．【详解】设圆C的半径为r，（1）若点A在圆C内不同于点C处，如图（1）所示，则有QAQCrAC，故点Q的轨

迹是以A､C为焦点的椭圆，所以B正确；（2）若点A与C重合，则有2rQPQA，故点Q的轨迹是以C为圆心，2r为半径的圆，所以A正确；（3）若点A在圆C上，如图（3）所示，则由垂径定理，线段AP的垂直平分线必过点C，故Q与C重合，故点Q的轨迹是一个点；（4）若点A在圆C外，如图（4）所

示，则QAQPPCQCrQC，所以QAQCrAC，故点Q的轨迹是以A､C为焦点的双曲线右支，当AP的垂直平分线交CP的延长线于点Q时，Q的轨迹是以A､C为焦点的双曲线左支，所以C正确；故选:D.6．已知为

坐标原点，双曲线：（，）的左焦点为，右顶点为，过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据垂直渐近线且，可得，从而不妨设，可得及，这样就可得轴，从而可得求解.【详解】易知，于是，故离心率，不妨设，则，，，不

难求得，于是轴，所以．故选：B7．已知A，B，C是双曲线22221(0,0)xyabab上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F，若BFAC且3AFAC，则该双曲线的离心率是（）A．102B．53C

．173D．94【答案】C【分析】根据题意，连接,AFCF，构造矩形FAFB，根据双曲线定义表示出各个边长，由直角三角形勾股定理求得ac、的关系，进而求出离心率．【详解】设左焦点为F，AFm，

连接，AFCF，则2FCm，2AFam，22CFam，2FFc，因为BFAC，且AB经过原点O，所以四边形FAFB为矩形，在RtAFC中，222+AFACFC，代入2222+3=22ammam，化简得23am

，所以在RtAFF中，222+AFAFFF，代入222222233aaac，化简得22179ca，即173e，故选：C.8．点1F，2F为椭圆C：2214

3xy的两个焦点，点P为椭圆C内部的动点，则12PFF△周长的取值范围为（）A．2,6B．4,6C．4,6D．4,8【答案】C【分析】根据椭圆的定义及简单性质，转化求解即可得出答案．【详解】解：由椭圆C：22143xy，

得：2,1ac，当点P在椭圆上时，12PFF△周长最大，为226ac，当点P在x轴上时，去最小值，为44c，又因点P为椭圆C内部的动点，所以12PFF△周长的取值范围为4,6.故选：C.9．已知点12

,FF分别为双曲线222210,0xyCabab：的左右焦点，过1F的直线与双曲线右支交于点P，过2F作12FPF的角平分线的垂线，垂足为A，若13FAb,则双曲线的离心率的取值范围是（）

A．12，B．13，C．22，D．32，【答案】D【分析】如图根据题意可得OAa，在1AFO△中利用余弦定理可得12cosAOFee，再根据1cosAOF的范围，从而求得e的范围.【详解】如图所示，由已知可知PA是12FPF的角平分线，且2PAB

F，延长2FA交1PF于B，易知22,PBPFABAF，由122PFPFa，所以112PFPBBFa，又12OFOFc，2ABAF，所以112OABFa，在1AFO△中222222111132cos22AOFOAFacbAOFeA

OFOace，由OA的斜率可无限靠近渐近线的斜率，所以11cos(1,)AOFe，所以21(1,)eee，解得32e.故选：D10．双曲线2221xya（0a）的一条渐近线的方程为

20xy，则双曲线的实轴长为（）A．1B．12C．2D．14【答案】A【分析】根据双曲线方程写出渐近线方程，与已知渐近线方程对应系数相等即可求出12a，从而求出实轴的长度.【详解】因为双曲线2221xya（0a），所以双曲线的渐近线方程为1yxa，又因

为渐近线的方程为20xy，即2yx，所以12a，则12a，所以实轴长为21a，故选：A.11．已知双曲线22:18xCy的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上，(0,3)A，当MAF△的周长最小时，MAF△的面积为

（）A．607B．9C．37D．4【答案】A【分析】设C的右焦点为F，根据双曲线的定义可得当A，M，F三点共线时，MAF△的周长最小，然后联立直线AF和双曲线的方程，求出点M的纵坐标即可.【详解】设

C的右焦点为F，由题意可得22a，3c，因为||242MFMFa，所以||42MFMF，||32AF.MAF△的周长为||||||||7272102MAMFAFMAMFAF，即当A，M，F三点共线时，MAF△的周长最小，此时直线AF的方程为3yx

，联立方程组223,1,8yxxy.解得17y或1y，即此时M的纵坐标为17，故MAF△的面积为111160||6322277MFFOAFFy.故选：

A12．已知双曲线22221(,0)xyabab的两条渐近线分别与抛物线24yx＝交于第一、四象限的A，B两点，设抛物线焦点为F，若7cos9AFB＝﹣，则双曲线的离心率为（）A．2B．3或3C．5D．22【答案】B【分析】求得双曲线的渐近线方程，联立抛物线方程，

求得A，B的坐标，以及F的坐标，设AF的倾斜角为，由二倍角的余弦公式和同角的基本关系式，以及直线的斜率公式，双曲线的离心率公式，计算可得所求值．【详解】解：双曲线22221(,0)xyabab的两条渐近线方程为byxa

，由抛物线24yx和byxa，联立可得224(aAb,4)ab，224(aBb,4)ab，由抛物线的方程可得(1,0)F，设AF的倾斜角为，斜率为224tan41abab，而22222222cossin1tan7coscos2cossinc

ossin1tan9AFB，解得tan22或22，设atb，若242241tt，解得24t，则2213cbeaa，或242241tt，解得22t，则2213cbeaa，故选：

B．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查三角函数的恒等变换，以及化简运算能力，属于中档题．13．设抛物线22(0)ypxp的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设2,0Cp，AF与BC相交于点D.若||||C

FAF，且ACD△的面积为22，则点F到准线l的距离是（）A．2B．3C．423D．433【答案】D【分析】由题意，得到AFAB，根据||||CFAF，得到3||||2CFAFABp，求得Axp，2Ayp，又由//ABCF且ABCF，

所以四边形ABFC为平行四边形，所以D为BC的中点，结合12ACDABCSS，列出方程，即可求解.【详解】如图所示，抛物线22(0)ypxp的焦点为(,0)2pF，准线方程为:2plx，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，可得AFA

B，又由2,0Cp且||||CFAF，所以3||||2CFAFABp，所以322Appx，解得Axp，代入抛物线方程，可得2Ayp，又由//ABCF且ABCF，所以四边形ABFC为平行四边形，所以D

为BC的中点，所以ACD△的面积为11132222222ACDABCpSSp，解得433p，即点F到准线l的距离是433.故选：D.14．如图所示，设椭圆222210xyabab的左、右两个焦点分别为1F

，2F，短轴的上端点为B，短轴上的两个三等分点P，Q，且四边形12FPFQ为正方形，若过点B作此正方形的外接圆的一条切线l在x轴上的截距为324，则此椭圆方程为（）A．22198xy+=B．221109xyC．2212018xyD．2212516xy【答案】B【分析】根据

题意，求得切线l的方程，根据四边形12FPFQ为正方形，可得b，c的关系，根据直线l与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，即可求得b，c的值，根据a，b，c的关系，即可得2a，即可得答案.【详解】因为切线l在x轴截距为

324，在y轴截距为b，所以切线l的方程为1324xyb，即22330bxyb，因为正方形12FPFQ的对角线122FFPQc，所以1223bc，即3bc，则正方形12FPFQ外接圆方程为：222xyc，所以223(22)(3)bcb

，解得3,1bc，又22210abc，所以椭圆方程为221109xy.故选：B二、多选题15．已知双曲线2222:100xyCabab，的左､右焦点分别为1F，2F，过2F的直线与双曲线交于A，B两点，A在第一象限，若△1ABF为等边三角形，则下列

结论一定正确的是（）A．双曲线C的离心率为7B．12AFF△的面积为223aC．12BFF△的内心在直线xa上D．12AFF△内切圆半径为31a【答案】BC【分析】按照AB两点在同支或两支讨论，结合余弦定理及离心率的定义可判断A；结合三角形面积公

式可判断B；由双曲线的定义结合切线长定理可判断C；利用等面积法可判断D.【详解】对于C，设12BFF△的内心为I，作过I作1212,,BFBFFF的垂线，垂足分别为,,HGP，如图，则12122FPFPFBFBa，所以OPa，所以12BFF△的内心在直线xa

上，故C正确；△1ABF为等边三角形,若,AB在同一支，由对称性知ABx轴，2(,)bAca，2tan302bac，2233bac.2222311+3beea,3e；1222222123232323233AFFbbcSccaaaa

△,设12AFF△的内切圆半径为r，则21623232raaa，解得31ra；若,AB分别在左右两支，则2112,4FAaFAFBABa，则2221241641cos2242aacFAFaa，解得7ca，离心率7e，122124sin120

232AFFSaaa△，设12AFF△的内切圆半径为r，则21627232raaa，解得273ar；所以结论一定正确的是BC.故选：BC.【点睛】易错点点睛：本题极易忽略点在双曲线两支的情况，导致漏解.16．已知焦点在y轴，顶点在原点的抛

物线1C，经过点2,2P，以1C上一点2C为圆心的圆过定点0,1A，记M，N为圆2C与x轴的两个交点（）A．抛物线1C的方程为22xyB．当圆心2C在抛物线上运动时，MN随2C的变化而变化C．当圆心2C在抛物线上运动时，记||AMm，||ANn，mnn

m有最大值D．当且仅当2C为坐标原点时，AMAN【答案】ACD【分析】由已知，设抛物线方程为22xpy，将点2,2P代入即可判断A选项；设圆心22,2aCa，求出圆的半径，写出圆的方程，令0y

，可求得M、N，由此可判断B选项；设(1,0)Ma，(1,0)Na，根据条件可求得mnnm，利用基本不等式讨论即可判断C选项；再根据222||||||AMANMN可判断D选项．【详解】解：由已知，设抛物线方程为22xpy，2222p，解得1p

．所求抛物线C的方程为22xy，故A正确；设圆心22,2aCa，则圆的半径22212ara，圆2C的方程为222222()122aaxaya，令0y，得2221

0xaxa，得11xa，21xa，12||2MNxx（定值），故B不正确；设(1,0)Ma，(1,0)Na，22211(1)122mxaaa，22221(1)122nxaaa，2222442442144mnmnaanmmnaa

，当0a时，2mnnm，当0a时，22421224mnnmaa，故当且仅当2a时，mnnm取得最大值为22，故C正确；由前分析，2222||||24||4AMANaMN，即22222

24aaaa，当且仅当0a时，222||||||AMANMN，故D正确；故选：ACD．17．过抛物线26xy的焦点F作直线交抛物线于,AB两点，M为线段AB的中点，则（）A．以线段AB为

直径的圆与直线32y相切B．以线段BM为直径的圆与y轴相切C．当2AFFB时，374ABD．AB的最小值为6【答案】ACD【分析】根据焦点弦长公式可知123AByy，对比M到准线32y的距离

d可知12dAB，由此可知A正确；将直线AB方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可得M坐标，由此得到Nx，与14AB对比可知14NxAB不恒成立，则B错误；由向量数乘运算可知122xx，由此可求得,AB坐标，进而得到AB，知C正确；将AB表示为关于k的二次函数形式，由二

次函数最值可知D正确.【详解】由抛物线方程知：30,2F，准线方程为：32y；由题意可知：直线AB斜率存在，可设3:2ABykx；对于A，设11,Axy，22,Bxy，由焦点弦长公式知：123A

Byy；M为AB中点，M到准线32y的距离12322yyd，又123122yyAMBMABd，以线段AB为直径的圆与直线32y相切，A正确；对于B，由2326ykxxy得：2690xk

x，则236360k，126xxk，129xx，21212363yykxxk，2633,2kMk；设BM中点为,NNNxy，则232Nkxx

，又212311332442yykBMAB，2233322kxk不恒成立，以线段BM为直径的圆与y轴未必相切，B错误；对于C，若2AFFB，则122xx，不妨设10x，20x，129xx，2322x，132x，则3

2,3A，323,24B，3273344AB，C正确；对于D，212366AByyk，当0k时，min6AB，D正确.故选：ACD.18．已知双曲线2222:10,0xyCabab的右顶点、右焦点分别为A、F，过点A的直线

l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，AQABAQFB，且3BQFQ，则下列结论正确的是（）A．直线l与x轴垂直B．C的离心率为253C．C的渐近线方程为459yxD．FQOF（其中O为坐标原点）【答案】AB【分析】利用平面向量数量积的运算

性质可判断A选项的正误；求出点B的坐标，代入双曲线C的方程，求出该双曲线的离心率，可判断B选项的正误；求出ba的值，可判断C选项的正误；利用两点间的距离公式可判断D选项的正误.【详解】由已知得,0Aa，设,0Fc，由AQAB

AQFB，得0AQABBFAQAF，所以lx轴，即:lxa，A正确；不妨设点Q在第一象限，易知，Qxa，QQbyxba，即点,Qab，设00,Bxy，由3BQFQ，得2BFFQ，所以00,2,cxyacb，所以00322xc

ayb，即32,2Bcab．因为点00,Bxy在双曲线上，所以22223214aabcb，整理得229120caca，所以291210ee，解得253e或253e（负值舍去），B正确；222222225451139bcae

aa，故C的渐近线的斜率的平方为459，C错误；不妨设点Q在第一象限，则,Qab，所以22222FQcabcaccOF，D错误．故选：AB．19．已知点P为双曲线22:162xyC右支上一点，1l，2l为双曲线C的两条渐

近线，点A，M在1l上，点B，N在2l上，且1PAl，2PBl，2//PMl，1//PNl，O为坐标原点，记PAB△，PMN的面积分别为1S，2S，则下列结论正确的是（）A．32PAPBB．OPABC．1232SSD．2MN【答

案】ABD【分析】根据1PAl，2PBl，则,,,OPAB四点在以OP为直径的圆上，从而有OPAB；根据双曲线方程写出渐近线方程，求得倾斜角，用PA，PB表示出PM，PN，从而求得面积关系；设00(,)Pxy，由点到直线距离求得PA，PB，从而验证PAPB的值；从而求得

PMPN的值，在三角形PMN中，由余弦定理表示出MN，从而求得范围.【详解】由1PAl，2PBl，,,,OPAB四点在以OP为直径的圆上，则OPAB，故B正确；由双曲线方程设13:3lyx，23:3lyx，则60AOB，由2//PMl，1//PNl，则60P

NBPMAAOB则sin60PAPM，sin60PBPN，则113sin12024PAPBPAPBS，213sin6023PMPPAPBSN，则1243SS，故C错误；设00(,)Pxy，满足2200162x

y，则220036xy，则由点到直线距离知00003332113xyxyPA，同理有0032xyPB，则22003342xyPAPB，故A正确；故22sin60PAPBPMPN，在

三角形PMN中，由余弦定理知，2220222cos602222MNPMPNPMPNPMPNPMPN，故2MN，当且仅当2PMPN时，等号成立，故D正确；故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据条件写

出渐近线方程，本题属于特殊角的相关计算，可以表示出具体的线段和三角形面积，验证是否满足选项答案即可.在求解范围问题时，首先需要求得线段的表达式，然后借助函数或基本不等式求得范围或最值.20．如图，O是坐标原

点，P是双曲线2222:1(0,0)xyEabab艾支上的一点，F是E的右焦点，延长,POPF分别交E于,QR两点，已知QFFR，且2QFFR，则（）A．E的离心率为173B．E的离心率为174

C．6PQRPOFSSD．23RFPOFSS【答案】AC【分析】首先取双曲线的左焦点F，连接,,PFQFRF，设FRm，结合几何性质，以及双曲线的定义，求得43am，再结合勾股定理求椭圆的离心率，并结合比例关系，判断面积比值，即可判断选项.【详解】如图，取E的左焦点F

，连接,,PFQFRF，由对称性可知，PF,//QFPFQF，设FRm，则2,22FQFPmPFma，2,32.RFmaPRma在RtFPR中，222(2)(32)(2)mmama，解得43am或0(m舍去)，所以82,33a

aPFPF．在RtFPF中，，22282433aac，整理得22179ca，故E的离心率为17,A3正确，B不正确．因为24,,33aaPFFRO是PQ的中点，所以3PQRPFQSS

6,24,POFRQFPFQPOFSSSSC正确，D不正确．故选：AC21．已知抛物线2(0)ymxm焦点与双曲线点2213yx的一个焦点重合，点02,Py在抛物线上，则（）A．双曲线的离心率为2B．双曲线的渐近线为3yxC．8mD．点P到抛物线焦点的距离为6【答

案】AC【分析】由双曲线的方程，求得1,3,2abc，利用双曲线的几何性质，可判定A正确，B错误；根据题意，列出方程24m，可判定C正确；根据抛物线的定义，可判定D错误.【详解】由双曲线2213yx，可得1,3ab，则222ca

b，所以双曲线的离心率为221cea，所以A正确；由双曲线的渐近线为3yx，所以B错误；由抛物线2(0)ymxm焦点与双曲线点2213yx的一个焦点重合，可得24m，解得8m

，所以C正确；由抛物线28yx的准线方程为2x，则点02,Py到其准线的距离为2(2)4，到焦点的距离也为4，所以D错误.故选：AC.22．已知双曲线2222:10,0xyEabab的离心率为2，点A，B是E上关于原

点对称的两点，点P是E的右支上位于第一象限的动点（不与点A、B重合），记直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，则下列结论正确的是（）A．以线段AB为直径的圆与E可能有两条公切线B．123kkC．存在点P，使得123kkD．当2a时，点P到E的两条渐近线的距

离之积为3【答案】ABD【分析】当点A，B分别是E的左、右顶点可判断A；利用点差法可判断B；利用基本不等式可判断C；首先求出双曲线的渐近线，再利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】当点A，B分别是E的左、右顶点时，圆与E恰有两条公切线，故A正确；设

,Amn，,Bmn，,Pst，则2222222211mnabstab，则222222msantb，所以22221222213ntntntbkkemsmsmsa，故B

正确；12122233kkkk，故C错误；当2a时，23b，渐近线方程为3yx，即30xy，点P到两条渐近线的距离之积为22333224ststst，双曲线22:1412xyE，点P是E的右支上位于第一象限，则22141

2st，整理可得2243ts，代入上式可得33322stst，故D正确．故选：ABD．23．已知直线l：320xya和抛物线C：24xy交于A，B两点，直线OA，OB（O为坐标原点）的斜率分别为1k，2k，若2133k

k﹣，则（）A．123kkB．12aC．23tan5AOBD．243AB【答案】BD【分析】联立直线与抛物线的方程，得到韦达定理，利用两点间斜率公式表示1k，2k，由此可判断选项A，利用121281696xxakk，即可判断选项B，利用到角公式即可判断

选项C，利用弦长公式即可判断选项D．【详解】由题意，联立方程组24320xyxya，可得24380xxa，由直线l和曲线C交于A，B两点，设11,Axy，22,Bxy，则1243xx，又244xyxyx表示曲线C

上的点,xy与原点O连线的斜率，所以114xk，224xk，故121234xxkk，故选项A错误；又因为2133kk，1223=3kk，,所以126kk，则121281696xxakk

，解得12a，故选B正确；又12123333tan1165kkAOBkk，故选项C错误；221212121324243ABxxxxxx，故选项D正确．故选：BD．24．已知点F为椭圆2222:1xyCab（0ab）的左焦点，过原点O的直线l

交椭圆于P，Q两点，点M是椭圆上异于P，Q的一点，直线MP，MQ分别为1k，2k，椭圆的离心率为e，若3PFQF，23PFQ，则（）A．74eB．34eC．12916kkD．12916kk【答案】AC【分析】设出右焦点F

，根据椭圆定义结合对称性以及余弦定理可求得,ac的关系，则离心率可求；设出,PM的坐标，根据对称性写出Q的坐标，利用点差法可求得12kk的表示，结合,ac的关系可求解出12kk的值.【详解】设椭圆的右焦点F，连接PF，QF，根据

椭圆对称性可知四边形PFQF为平行四边形，则QFPF，且由120PFQ，可得60FPF，所以42PFPFPFa，则12PFa，32PFa．由余弦定理可得2222293112

2cos60244222acPFPFPFPFaaa°，所以22716ca，所以椭圆的离心率2277164cea．设00,Mxy，11,Pxy，则11,Qxy，01101yykxx，01201yykxx，所以2201

01011222010101yyyyyykkxxxxxx，又2200221xyab，2211221xyab，相减可得2220122201yybxxa．因为22716ca，所以

22916ba，所以12916kk．故选：AC．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于合理运用焦点三角形的知识以及点差法设而不求的思想去计算；椭圆是一个对称图形，任何过原点的直线（不与焦点所在轴重合）与椭圆相交于两点，这两点与椭圆的焦点构成的四边形为平行四边形.

第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题25．1F、2F是双曲线2212xy的左、右焦点，过2F的直线l与双曲线的右支交于M、N．当11||||FMFN取最小值时，1FMN△的周长为______．【答案】62【分析】首先利用双曲线

的定义转化1122442FMFNaFMFNMN，转化为求MN的最小值，即可求得周长.【详解】由条件可知222a，122FMaFM，122FNaFN，1122442FMFNaFMFNMN，当MN最小时，11||||FMFN取

得最小值，由条件可知通径最短，即当直线lx轴时，MN最小，此时22222bMNa，所以11||||FMFN的最小值是52，此时1FMN△的周长是.11||||62FMFNMN故答案为：6226．已知抛物线C：24yx的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两

点，且4FA，则AB___________.【答案】163【分析】设过1,0F的直线方程为1xmy，利用韦达定理求得121xx，利用焦半径公式求出13x，可得213x，再利用焦半径公式可得答案.

【详解】设过1,0F的直线方程为1xmy，11,Axy，22,Bxy，则联立方程得214xmyyx，2440ymy，124yy，221212144yyxx，114FAx，13x，所以213x，故2413FBx，416433AB.故答

案为：163.27．已知双曲线2222:10,0xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，斜率大于0的直线l经过点2F与C的右支交于A，B两点，若12AFF△与12BFF△的内切圆面积之比为9，则直线l的斜率为______．【答案】3【分析】

设12AFF△与12BFF△的内切圆圆心分别为G，H，12AFF△的内切圆与三边分别切于点D，E，F，利用内切圆的性质得12HGFF．设直线AB的倾斜角为，在2RtFFG△中，2πtan2FGFF，在2RtFFH中，2tan2FH

FF，由题得3FGFH得tan2，再由二倍角公式可得答案．【详解】设12AFF△与12BFF△的内切圆圆心分别为G，H，连接HG，2HF，2GF，12AFF△的内切圆与三边分别切于点D，E，F，如图，

则12121212AFAFADDFAEEFDFEFFFFF，所以2GGacxcx，即Gxa，同理Hxa，所以12HGFF，设直线AB的倾斜角为，则π0,2，在2RtFFG△中，2ππtantan222FGFFca

，在2RtFFH中，2tantan22FHFFca，由题得3FGFH，所以πtan3tan222caca，解得3tan23，所以22tan2tan31tan2．故答

案为：3﹒28．设F是抛物线2:4Cyx的焦点，A、B是拋物线C上两个不同的点，若直线AB恰好经过焦点F，则4AFBF的最小值为_______.【答案】9【分析】设点1122(,),(,)AxyBxy，设直线AB的方程为1xmy，联立直线方程与抛物线方程，消元后利用根与系数的关系可推出

11AFBF，利用基本不等式可求得结果【详解】解：由2:4Cyx可得焦点(1,0)F，准线方程为1x，设1122(,),(,)AxyBxy，若直线与x轴重合，则直线AB与抛物线只有1个交点，不符

合题意，所以设直线AB的方程为1xmy，由214xmyyx，得2440ymy，216160m，所以12124,4yymyy，所以12121111111122AFBFxxmymy1221212()

42()4myymyymyy222441484mmm，所以1144AFBFAFBFAFBF414AFBFBFAF4259AFBFBFAF，当且仅当4AFBFBFAF，即2A

FBF取等号，所以4AFBF的最小值为9故答案为：929．椭圆222118xyCb：的上下顶点分别为AC，，如图，点B在椭圆上，平面四边形满足90BADBCDo，且2ABCADCSS，则该椭圆的短轴长度为________.【答案】6【分析】根据题意,,,A

BCD在以BD为直径的圆上，设11(,)Bxy，22(,)Dxy，结合圆的性质以及所给面积关系可得120yy，122xx，求得圆的方程，代入A点坐标经计算即可得解.【详解】根据题意可得(0,),(0,)AbBb，设11(,)Bxy，

22(,)Dxy，由90BADBCDo可得点,,,ABCD在以BD为直径的圆上，又原点O为圆上的弦AC的中点，所以圆心在AC的垂直平分线上，可得圆心在x轴上，所以120yy，又2ABCADCSS可得122xx，故圆心坐标为1

(,0)4x，所以圆的圆的方程为22221119()416xxyxy，将(0,)b代入结合22112118xyb可得29b，所以3b，短轴长为6.故答案为：630．设1F，2F为双曲线C：22221xyab（0a，0b）的左、右焦点，过2F的直线l交双曲线C的

右支于A，B两点，且120AFAF，223AFFB，则双曲线的离心率为__________.【答案】102【分析】由题意，设2||AFm，则2||3BFm，利用勾股定理，求出a，m的关系，再利用勾股定理确定a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．【详解】解：由

题意，设2||AFm，因为223AFFB，则2||3BFm，1||2AFam，1||23BFam，因为120AFAF所以21AFAF，222(23)(2)(4)amamm，ma，

222(2)(2)()camm，即222(2)(3)caa，即22410ca102cea．故答案为：102．31．若P是双曲线22148yx的右支上的一点,,MN分别是圆22(7)9xy和22(7)1xy上的

点,则||||PMPN的最大值为_____________.【答案】6【分析】由题设知12||||2PFPF，11||||||MPPFMF„，22||||||PNPFNF…，即可得到1122||||||||||||

PMPNPFMFPFNF„，从而计算可得．【详解】解：双曲线22148yx中，1a，43b，7c，1(7,0)F，2(7,0)F，因为,MN分别是圆22(7)9xy和22(7)1xy上的点，所以1||3MF，2||1NF

12||||22PFPFa，11||||||MPPFMF„，22||||||PNPFNF…，22||||||PNPFNF„，所以1122||||||||||||PMPNPFMFPFN

F„2136故答案为：6．32．设椭圆222210xyabab的左、右焦点分别为12,FF，A是椭圆上一点，212AFFF⊥，若原点O到直线1AF的距离为113OF，则该椭圆的离心率为____．【答案】22【分析】由21

2AFFF⊥，求得22bAFa，过O作1OEAF，根据题意得到113OEOF，根据121OEFAFF，得到2121122AFOEFFEF，整理得到22220caca，结合离心率的定义，即可求解.【详解】因为212AFFF⊥，不妨设点(,)AAcy，其中0Ay，

代入椭圆方程222210xyabab，可得22221Aycab，解得2224222()Abacbyaa，所以22Abya，即22bAFa，过O作1OEAF，因为原点O到直线

1AF的距离为113OF，即113OEOF，由121OEFAFF，可得2121122AFOEFFEF，即2212222bbacac，又由222bac，整理得22220caca，即2220ee，因为0

e，解得22e，即椭圆的离心率为22.故答案为：22.33．设1F，2F分别为椭圆2222:11xyCaa（1a）的左，右焦点，1,1P为C内一点，Q为C上任意一点，若1PQQF的最小值为3，则C的方程为__________.【答案】22

143xy【分析】由题意知，2(1,0)F，则21PF；由三角形的三边关系可知221PQQFPF，从而可求出21PQQF，由椭圆的定义知，12||||||||2213PQQFPQQFaa，从而可求出2a，进而可求出椭圆的标准方程.【详解】由椭圆定义可知1

2||||||||2PQQFPQQFa，且2(1,0)F，则2||1PF，因为22||||||||1PQQFPF，所以2||||1PQQF，所以22213PQQFaa，所以2a，故C的方程为22143xy.故答案为：22143xy.34．如图，设P

是圆2225xy上的动点，点D是P在x轴上的投影，M是线段PD上一点，且45MDPD.当点P在圆上运动时，动点M的轨迹方程是______．【答案】2212516xy【分析】设M的坐标为(,)Mxy，P的坐标为11(,)Pxy，则由45MDPD可得1154x

xyy，代入2225xy，整理可得答案【详解】解：设M的坐标为(,)Mxy，P的坐标为11(,)Pxy，因为点D是P在x轴上的投影，M是线段PD上一点，且45MDPD，所以1154xxyy

，因为11(,)Pxy在圆2225xy上，所以225254xy，化简得2212516xy，故答案为：2212516xy35．过点11,2P作圆221xy的切线l，己知,AB分别为切点，直线

AB恰好经过椭圆(中心在坐标原点，焦点在x轴上)的右焦点和下顶点，则椭圆的标准方程是___________.【答案】22154xy【分析】①当过点1(1,)2的直线l斜率不存在时，求出切点的坐标(1,0)A

；②当直线l斜率存在时，设l方程为1(1)2ykx，利用直线与圆相切，求出k，然后得到切线方程，联立直线与圆的方程求出切点坐标，再利用点斜式求出直线AB的方程，然后利用椭圆的性质，转化求解a，b，得到椭圆方程．【详解】解：①当过点1(1,)2的直线l斜率不存在时，直线方程为：1x切点

的坐标(1,0)A；②当直线l斜率存在时，设l方程为1(1)2ykx，根据直线与圆相切，圆心(0,0)到切线的距离等于半径1，可以得到切线斜率34k，即35:44lyx．直线l方程与圆方程的联立2235441y

xxy，即2235144xx，解得3545xy所以切点的坐标34,55B；所以452315ABk，所以直线AB方程为21yx，即220xy，依题意，AB与x轴的交点(1,0)即为椭圆右焦点，得1c，与

y轴的交点(0,2)即为椭圆下顶点坐标，所以2b，根据公式得2225abc=+=，因此，椭圆方程为：22154xy．故答案为：22154xy．36．P是双曲线22145xy右支在第一象限内一点，1F，2F分别为其左、右焦点，A为右

顶点，如图圆C是12PFF△的内切圆，设圆与1PF，2PF分别切于点D，E，当圆C的面积为4π时，直线2PF的斜率为______.【答案】43【分析】由双曲线的定义以及切线的性质可得圆心横坐标为0xa，又根据圆

的面积可求出半径2r=，可知圆心2,2C，可求出2tanCFA，因为2CF是21PFF的角平分线，借助于角相等可求直线2PF的斜率.【详解】由题意可知PDPE，11FDFA，22FAFE，所以12121212|2|||PFPFPDDFPEEFDFEFAF

AFa，设0,0Ax，则0002xccxaxa，即,02,0Aa，设圆C的半径为0rr，因为圆C的面积为4π，则2π4π2rr，因为12CAFF，所以2,2C，于是222tan232CACFAAF，因为2CF是21P

FF的角平分线，所以2212222tan44tantan21tan33CFAPFFCFACFA，所以22124tantantan3PFxPFFPFF，

即直线2PF的斜率为43.故答案为：43.37．已知过原点O的直线l与双曲线2222:10,0xyCabab交于不同的两点A，B，F为双曲线C的左焦点，且满足53AFBF，OAb，则C的离心率为____

__.【答案】3【分析】设双曲线的右焦点为1F,连结11,AFBF，则四边形1AFBF为平行四边形，由双曲线的定义可得3BFa，5AFa，再利用1180AFBFAF以及余弦定理，可得答案.【详解】设双曲线的右焦点为1F,如图连结11,AFBF由直线ykx与

双曲线都关于原点对称，可得四边形1AFBF为平行四边形所以1BFAF,由双曲线的定义可得：1223AFAFAFBFBFa，所以3BFa5AFa,在BFAV中，2222594cos253aabBFAaa，在1FAF中，22212594c

oscos253aacFAFBFAaa，化简整理得：22217abc，再由222bca，得229ca，得223cea，故答案为：338．椭圆22221(0)xyabab的离心率是32，斜率为1的直线过M(b，0)且与椭圆交于A，B两点，O为

坐标原点，若325tanOAOBAOB，则椭圆的标准方程是___________．【答案】221164xy【分析】由椭圆的离心率可得a，b的值，由题意可得直线l的方程，联立直线与椭圆的方程，求出交点A，B的坐标，求出数量积OAOB的表达式，由数量

积的运算可得∠AOB的余弦值，进而求出其正切值，由题意可得b的值，进而求出椭圆的方程．【详解】由题意32cea，222bac，可得224ab，所以椭圆的方程为：222214xybb，．由题

意可得直线AB的方程为：yxb，联立222214yxbxybb，解得0xyb或8535xbyb所以设830,,55OAbOBbb，，235OAOBb2335cos649732525bOAOBAOBOAOBbb

所以7398tan33AOB因为325tanOAOBAOB，所以23328553OAOBb所以24b，所以桓圆的方程为：221164xy，．故答案为：221.164xy39．已知O为坐标原点，双曲线：

22221xyab（0a，0b）的左焦点为F，左顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，且AFFPOF，则该双曲线的离心率为______．【答案】2【分析】首先根据题意得到22bcFPbab，从而得到ab，再求离心率即可.【详解】,0Fc，设一条渐近线

方程为byxa，所以22bcFPbab.又因为AFca，OFc，所以cabc，即ab，故离心率2e．故答案为：240．抛物线1C：220xpyp与双曲线2C：223xy有一个公共焦点F，过2C上一点35,4P向1C作两条

切线，切点分别为A、B，则AFBF______．【答案】49【分析】将点P的坐标代入双曲线方程，可求得的值，从而可得双曲线的方程，则可得焦点坐标，可得抛物线的准线方程，由导数的几何意义可得,AB两点处的切线的斜率，求

得切点弦AB的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，计算即可【详解】解：由于点35,4P在曲线2C上，所以453163，则双曲线的方程为2233xy，即2213xy，则(0,2)F，所以抛物线方程

为28xy，准线方程为2y，设1122(,),(,)AxyBxy，则2211228,8xyxy，由218yx，得'14yx，所以11(,)Axy处的切线方程为1111()4yyxxx，即22111111844yxxxx

，即2111148yxxx，将点35,4P代入可得11354160xy，同理可得22354160xy，所以直线AB的方程为354160xy，联立抛物线的方程28xy，可得2229320yy，所以121229,162yyyy，所以12(2)

(2)AFBFyy12122()4yyyy1629449.故答案为：49【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查切线方程的求法，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是由导数的几何意义求出切线方程11354160xy，22354160xy，从而可得

切点弦AB的方程为354160xy，考查计算能力，属于较难题四、双空题41．已知抛物线21:8Cyx的焦点为F，圆222:(2)16Cxy与抛物线1C在第一象限的交点为00,Axy，直线0:0lytty与抛物线1C的交点为B

，直线l与圆2C在第一象限的交点为D，则0y_______；2CDB周长的取值范围为____________．【答案】4(8,12)【分析】抛物线与圆的方程联立求得点A的坐标；利用抛物线的定义转化2BC，再求周长的取值范围.【详解】22002

2(2)16,0,448xxyyyyyx设0:0lytty与抛物线的准线2x交于点P，则2||BPBC2CDB周长为22||||4BCBDDCDP又||

(4,8)DP∴周长(8,12).故答案为：4；8,1242．已知圆2212xy与抛物线24xy相交于A，B两点，F为抛物线的焦点，若直线l与抛物线相交于M，N两点，且与圆相切，切点D在劣弧AB上，当直

线l的斜率为0时，MFNF______；当直线l的斜率不确定时，MFNF的取值范围是______．【答案】432243,22【分析】（1）直接利用焦半径公式求出MFNF；（2）设直线l的方程为0ykxbb，

与抛物线联立，用焦半径公式表示出MFNF，根据直线与圆相切，得到k、b的关系，把MFNF表示为b的函数，利用函数求范围即可.【详解】依题意得直线方程为23y，设点11,Mxy，22,Nxy，122432MFNFyy

；设直线l的方程为0ykxbb，带入抛物线方程得2440xkxb，则124xxk，则21212242yykxxbkb，∵直线l与该圆相切，∴2121bb，即22112bk，又11MFy，21NFy

，∴221212422353MFNFyykbb，∵22OAk，22OBk，∴分别过A，B的圆的切线的斜率为2，2，∴2,2k，∴202k，∴201212b，∵0b，∴23,6b，所以MFNF的取值

范围为243,22．故答案为：432；243,22.【点睛】求圆锥曲线的弦长：（1）“设而不求法”，利用弦长公式212||1||ABkxx求弦长，这是求弦长的一般方法；（2）特别的：圆中求弦长用垂径定

理；抛物线求焦点弦弦长用抛物线的焦点弦弦长公式：12||ABxxp，（或12||AByyp）.43．如图所示，1F与2F是椭圆方程：222210yxabab的焦点，P是椭圆上一动点（不含上下两端点），A是椭圆的下端点，B是椭圆的上端点，连接1PF，

2PF，记直线PA的斜率为1k．当P在左端点时，△12PFF是等边三角形．若△12PFF是等边三角形，则1k=__________；记直线PB的斜率为2k，则12kk的取值范围是________．【答案】23343[3，+∞）【分

析】先由△12PFF是等边三角形，求出3bc,（1）直接判断出P为左端点或右端点，分别用斜率公式求出斜率；（2）计算出1243kk，对12kk利用基本不等式求范围.【详解】对于椭圆方程：222210yxabab，122,0,,0,FFcAaBa.

当P在左端点时，△12PFF是等边三角形，所以3bc,（1）由对称性，若△12PFF是等边三角形，则P为左端点或右端点：当P为左端点时，2120223033kaabcbbb，同理可求，当P为右端点时，1233k，即若△12PFF是等边三角形，则1k=2

33.（2）设000,0Pxyx，则2200221yxab.因为001200,yayakkxx，所以22000122000yayayakkxxx，因为2200221yxab，所以

222222000012222220000yayayayaaakkxxxaybb，因为3bc，所以2222243abcbb，所以212243akkb.所以12124432233kkkk，当且仅当12kk时取等号

.即12kk的取值范围是43[3，+∞）.故答案为：233；43[3，+∞）【点睛】解析几何问题常见处理方法：(1)正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；(2)坐标化，把几何关系转化为坐标运算．44．已知A、B是抛物线22ypx上异于坐

标原点O的两点，满足|||OAOBAB∣，且OAB面积的最小值为36，则正实数P＝________；若OD⊥AB交AB于点D，若DQ为定值，则点Q的坐标为________．【答案】3（3，0）【分析】设1122,,ABxyxy，

，根据数量积的运算可得0OAOB，OAOB，由此得2124yyp，设直线AB：+xmyt，与抛物线联立得2220ypmypt，得出根与系数的关系，表示三角形OAB的面积，由二次函数的性质求得最值，可

得点D在以点00O，，60M，为直径的圆上，由此可得答案．【详解】设1122,,ABxyxy，，因为|||OAOBAB∣，即|||OAOBOAOB∣，两边平方化简得0OAOB，所以O

AOB，所以1212+0xxyy，即122212+022yyyypp，解得2124yyp（120yy舍去），设直线AB：+xmyt，联立2+2xmytypx得2220ypmypt，所以1212+2,2yypmyypt，所以

21224yyppt，所以2tp，又222121212212+44+162ABOSpyypyyyypmpp22222422436ppmp，解得3p，又因为26tp，所以：直线AB为+6xmy恒过定点60M，，因为ODAB，所以O

DDM，所以点D在以点00O，，60M，为直径的圆上，设圆心Q，则30Q，，半径13,32rOMDQr，所以DQ为定值，30Q，，故答案为：3；30，．【点睛】方法点睛：(1)解答

直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.45．

已知点M为双曲线2222:1(0,0)xyCabab在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，447MOMFOF，则双曲线C的渐近线方程为___________，若MF､MO分别交双曲线C于,PQ

两点，记直线PM与PQ的斜率分别为12,kk，则12kk___________【答案】15yx15【分析】设00()Mxy，，由已知得35()24ccM，，将其代入双曲线方程得22222244516bcacab，利用222cab转化为a,b的关系，

化简整理，分解因式可求得ba的值，进而得到渐近线的方程；设11()Pxy，，又00()Qxy，，则表示2210122210yykkxx，利用代点平方差法求解即得.【详解】设00()Mxy，，则4477MOMFOFc

，则02cx，22035||()24OFcyMO，即35()24ccM，，将其代入双曲线方程得：2222451416ccab，即22222244516bcacab，又222cab，∴2244222244454516,babaabab4224455740aabb

，222215340abab,∴2215ab，15ba,∴渐进线方程为15yx；设11()Pxy，，又00()Qxy，，则221010101222101010yyyyyykkxxxxxx，将点P、M的坐标分

别代入双曲线方程得22112222002211xyabxyab，两式作差得：222102221015yybxxa，故1215kk.故答案为：15yx；15.【点睛】本题考查双曲线的渐近线和点差法的运用，关键有两点：一是系数较大的三项式的分解因式，二是代点平

方差法求得2221022210yybxxa.46．已知1F､2F为双曲线C：2213xy的左､右焦点，点P在C上，1260FPF，则12PFF的面积为___________，12PFF内切圆半径为_

__________.【答案】321233【分析】设11PFr，22PFr，由余弦定理和双曲线定义计算得124rr，进而可得△12PFF的面积；由等面积法可得△12PFF的内切圆半径r的值.【详解】依题意知3a，1b

，所以2c.设11PFr，22PFr，在△12PFF中，由余弦定理得222121212122cosFFrrrrPFF，即22121216rrrr①，由双曲线定义得1223rr，平方，得221212122rrrr②，联立①②得221220rr，124rr，进

而可得1227rr，所以，△12PFF的面积121sin6032Srr，设△12PFF内切圆半径为r，则△12PFF的面积1212722Srrcrr，所以723r，解得内切圆半径为32123372r.故答案为：①3；②212

33.【点睛】方法点睛：（1）双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、面积公式、双曲线的定义等；（2）求三角形的内切圆半径经常利用等面积法．47．双

曲线2214xy的焦距是__________，渐近线方程是_________．【答案】2520xy【分析】求出a、b、c的值，即可得出结果.【详解】在双曲线2214xy中，2a，1b，5c，所以，该双曲线的焦距为25，渐近线方程为12yx，即20xy.故答案为：25；2

0xy.48．已知椭圆22221(0)xyabab，焦点1(,0)Fc，2(,0)Fc(0)c，若过1F的直线和圆22212xcyc相切，与椭圆在第一象限交于点P，且2PFx轴，则该直线的斜率是_________

__，椭圆的离心率是___________.【答案】25555【分析】不妨假设2c，根据图形可知，122sin3PFF，再根据同角三角函数基本关系即可求出122tan55kPFF；再根据椭圆的定义求出a，即可求得离心率．【详解】如图所示：不妨假设2c，设

切点为B，12112sinsin3ABPFFBFAFA，122222tan5532PFF所以255k,由21212,24PFkFFcFF，所以2855PF，21121125=sin5PFPFPFF∠，于是12452PFaPF，即25a，所以25525ce

a．故答案为：255；55．49．已知点M为双曲线C：22221(0,0)xyabab在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，447MOMFOF，则双曲线C的离心率为___________；若,MFMO分别交双曲线C于P、Q两点，记直

线QM与PQ的斜率分别为12,kk，则12kk___________．【答案】4-15【分析】首先根据题意得到74MOMFc，从而得到3,524cMc，代入双曲线方程得到2224465160caca，从而

得到4e；设11,Pxy，由题知：00,Qxy，根据MOMF得到1MPkk，再计算122=MPkkkk即可得到答案.【详解】设00,Mxy，如图所示：因为4477MOMFOFc，所以74MOMFc.所以02cx

，220735424cycc，即3,524cMc.所以2222451641ccab，整理得：22222244516bcacab，4224465160caca，即42465160ee，解得214e或216

e.因为1e，所以216e，即4e.设11,Pxy，由题知：00,Qxy，因为MOMF，所以QMMPkk，即1MPkk，所以2210101012222101010=MPyyyyyykkkkxxxxxx

又因为221122222210102222002211101xyabxxyyabxyab，所以22222210222210115yybcaexxaa，所以12=15kk.故答案为：4；15.【点睛】方法点睛：求离

心率的方法：1.直接法：根据题意求出双曲线中的,ac的值，再求离心率即可；2.齐次式法：根据题意得到,,abc的齐次式，再转化为关于e的方程求解.50．已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点是F，O是坐标原点，点

00,Axy在抛物线C上，OA的垂直平分线交x轴于B点，（1）当AB与x轴垂直时，则0x_________（用p表示）；（2）若N是线段AF的中点，则||||ABAN_________（用p表示）．【答案】2p34p【分析】（1）由AB

与x轴垂直，得1OAk，由此可求得A点坐标，得0x；（2）利用1MBOAkk可求得B横坐标，再结合焦半径公式得12ABANOBAF，从而可得结论．【详解】（1）因为AB与x轴垂直，则00021OApkyxy，则002,2ypxp；（2）设OA的中点00,22xyM

，则MB直线斜率为000222Byyxpx，解得012Bxxp，而01||||2ABOBxp，011||||224pANAFx，则3||||4ABANp．故答案为：2p；34p．【点睛】关键点点睛：本题考查直线民抛物线相交，

考查抛物线的焦半径公式．涉及到抛物线上的点到焦点距离时，对抛物线22ypx上的点00(,)Axy，可根据抛物线的定义求得焦半径02pAFx．51．已知双曲线221(0)yxmm的左、右焦点分别为1F，2F，点P

是双曲线左支上一点，则12PFPF________；若双曲线的离心率为2，则双曲线221yxm的渐近线方程是_________．【答案】-230xy【分析】由双曲线方程求出实半轴长，再由双曲线定义即可得解；由离心率求出m值，由双曲线方程写出渐近线方程即可得解.【详解】

由给定方程知，双曲线实半轴长a=1，点P是双曲线左支上，则12PFPF，由双曲线定义得12PFPF-2；依题意：双曲线半焦距c=1m，则离心率12mem，解得13m，双曲线2231yx的渐近线方程为30xy

.故答案为：-2；30xy52．已知椭圆22221(0)xyabab的短轴长为4，离心率为55，则实数a________，实数b_________．【答案】5;2；【分析】根据椭圆的性质进行解题即可.【详解】因为椭圆22221(0)xyabab

的短轴长为4，离心率为55，所以24b，2515cbaa，解得5a，2b；故答案为：5，2；53．探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，

在平面直角坐标系中，抛物线2:8Cyx，一条光线经过8,6M，与x轴平行射到抛物线C上，经过两次反射后经过08,Ny射出，则0y________，光线从点M到N经过的总路程为________．【答案】8320【分析】由点N与点Q的纵坐标相同和韦达定理可得0y

，利用抛物线的定义可求得总路程.【详解】如图，设第一次射到抛物线上的点记为P，第二次射到抛物线上的点记为Q，易得9,62P，因为2,0F，所以直线PF的方程为125240xy．联立281252

40yxxy消去x整理得2310480yy，可设00,Qxy，显然6和0y是该方程的两个根，则0616y，所以083y．（方法一）光线从点M到N经过的总路程为||||||4420MPPQNQMNMPPQQNxxxxxxxx

．（方法二）设抛物线的准线为l，则其方程为2x，分别过点P，Q做准线l的垂线，垂足分别为G，H，则PFPG，QFQH，所以PQPFQFPGQH，故光线从点M到N经过的总路程为828220MPPQQNMGNH．故答案为：83；20.54．已知12

,FF分别为椭圆2221(010)100xybb的左、右焦点，P是椭圆上一点．（1）12PFPF的值为________；（2）若1260FPF，且12FPF△的面积为6433，求b的值为________．【答案】208【分析】（1

）根据椭圆的定义，直接求即可得解；（2）根据焦点三角形的性质，利用面积公式结合余弦定理，即可得解.【详解】（1）由2221(010)100xybb知2100,10aa，12220PFPFa，（2）设12,PFmPFn，21222122cosFFmnFFmnP

，可得2224()343cmnmnamn，所以243bmn，所以12122133643sin2433FPFFPFSmnmmb，所以8b，故答案为：（1）20；（2）8.五、解答题55．已知斜率为k的直线l与椭圆C：

22143xy交于A，B两点，线段AB的中点为1,0Mmm.（1）证明：12k；（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且0FPFAFB.证明：FA，FP，FB|成等差数列，并求该数列的公差.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；32128.【分析】（

1）设11,Axy，22,Bxy，利用点差法得121268?()0xxmyy，12126384yykxxmm，又点1,Mm在椭圆内，即21143m，0m

，解得m的取值范围，即可得12k.（2）设11,Axy，22,Bxy，33,Pxy，可得122xx，由FPFAFB0，可得310x，由椭圆的焦半径公式得11122FAaexx，2122FBx，313222FPx，即可证明2F

AFBFP，求得A，B坐标再求公差.【详解】解：（1）设11,Axy，22,Bxy，∵线段AB的中点为1,Mm，∴122xx，122yym将A，B代入椭圆C：22143xy中，可得2211222234123412

xyxy两式相减可得，12121212340xxxxyyyy，即1212680xxmyy∴12126384yykxxmm点1,Mm在椭圆内，即211,043mm，解得302m

.∴3142km.（2）证明：设11,Axy，22,Bxy，33,Pxy，可得122xx，∵FPFAFB0，1,0F，∴1231110xxx，1230yyy，∴31x，

3122yyymn∵0m，可得Р在第四象限，故332y，34m，1k由椭圆的焦半径公式得11122FAaexx，2122FBx，313222FPx.则121432FAFBxx，∴2FAFBFP，联立22743412,yxxy

可得2285610xx，所以121212,28xxxx所以211221232147xxxxxx所以该数列的公差d满足1213212214dxx，所以该数列的公差为32128.56．已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为

F，右准线与x轴交于E点，若椭圆的离心率22e，且||1EF．（1）求椭圆的解析式；（2）过F的直线l交椭圆于AB、两点，且OAOB与(4,2)m共线，求角,OAOB的大小．【答案】（1）2212xy；（2）90或

180【分析】（1）由题意知22,12cacac，由此可求出a，b的值，即可求出椭圆方程．（2）设直线:(1)ABykx，1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，则22(1)12ykxxy消去y，得2222(12)42(1

)0kxkxk，然后结合题意利用根与系数和关系进行求解．【详解】解：（1）由题意知22,12cacac，解得2a，1c，又222cab从而1b．所以椭圆方程为2212xy（2）由（1）知(1,0)F，显然直线不垂直于x轴，可

设直线:(1)ABykx，1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，则22(1)12ykxxy消去y，得2222(12)42(1)0kxkxk，则221212121222242(1)2,,(1)(1)121212kkkxxxxyykxkxkkk

，于是22242,1212kkOAOBkk，依题意：22242121242kkkk，故2k或0k，当2k时，又212122(1)(1)12kyykxkxk

，故12120OAOBxxyy，所以OA与OB的夹角为90．当0k时，AB是x轴，所以OA与OB的夹角为180．即角,OAOB的大小为90或180；57．已知椭圆2222:1xyCab（0a，0b）的离心率为23，且其右顶点到右焦点的距离为1.（1）求C

的方程；（2）点M，N在C上，且OMON.证明：存在定点P，使得P到直线MN的距离为定值.【答案】（1）22195xy；（2）证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的性质得到关于a，b，c的方程组，解出即可求出椭

圆的方程；（2）分类讨论，先讨论直线MN与x轴垂直时的情况，再讨论直线MN不与x轴垂直时，设直线MN的方程是ykxm，1(Mx，1)y，2(Nx，2)y，联立直线和椭圆的方程，结合0OMON，求出224545

14km，整理判断即可．【详解】（1）由题设可知231caac解得：3a，2c又2225bac=-=，所以C的方程为：22195xy（2）①若直线MN与x轴垂直由对称性可知11xy，将点11,Mxy代入椭圆方程，解得

137014x②若直线MN不与x轴垂直设直线MN的方程为ykxm，由22195ykxmxy消去y得22295189450kxkmxm.设11,Mxy，22,Nxy，设11,Mxkxm，

22,Nxkxm，则由条件0OMON，即12120xxkxmkxm由韦达定理2122122945951895mxxkkmxxk得2222294518109595mkmkkmm

kk整理得22454514km.即24537014141kmd，故存在定点0,0P，使得P到直线MN的距离为定值．58．已知椭圆22:1yExm的下焦点为1F、上焦点为2F，其离心率22

e．过焦点2F且与x轴不垂直的直线l交椭圆于A、B两点（1）求实数m的值；（2）求ABO（O为原点）面积的最大值．【答案】（1）2m；（2）22.【分析】（1）根据已知条件21b，2am，结合离心率以及2

22abc即可求解；（2）设出直线的方程与椭圆方程联立，利用弦长公式以及三角形的面积公式、基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意可得：21b，2am，可得1b，am，因为22cea，所以22cm

，因为222abc，所以12mm，可得2m，（2）由（1）知：椭圆22:12yEx，上焦点20,1F，设11,Axy，22,Bxy，直线:l1ykx，由22112ykxyx

可得：222210kxkx，所以12222kxxk，12212xxk，所以222222121212222222442248842222kkkkxxxxxxkkkk

，可得：21222212kxxk所以2212222112212112222ABOkkSxxOFkk22222122111211kkkk当且仅当22111kk即0k时等号成立，所以

ABO（O为原点）面积的最大值为22.【点睛】解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求

出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．59．椭圆有两个顶点(1,0),(1,0),AB过其焦点(0,1)F的直线l与椭圆交于,CD两点，并与x轴交于点P，直线AC与B

D交于点Q．（1）当322CD时，求直线l的方程；（2）当P点异于,AB两点时，证明：OPOQ为定值．【答案】（1）21yx；（2）证明见解析．【分析】（1）先由题意求出椭圆方程，直线l不与两坐标轴垂直，设l的方程为10,1ykxkk，然后将直线方程

与椭圆方程联立方程组，消去y，利用根与系数的关系，再由弦长公式列方程可求出k的值，从而可得直线方程；（2）表示直线AC，BD的方程，联立方程组可得1221121211.11QQxkxxkxxxkxxkxx

而12222kxxk代入化简可得Qxk，而1Pxk，则可得PQOPOQxx的结果【详解】（1）由题意，椭圆的方程为2212yx易得直线l不与两坐标轴垂直，故可设l的方程为10,1ykxkk

，设1122,,,CxyDxy，由221,1,2ykxyx消去y整理得222210kxkx，判别式2Δ810.k由韦达定理得12122221,22kxxxxkk

，①故22212281321122kCDkxxkk，解得2k，即直线l的方程为21yx．（2）证明：直线AC的斜率为111ACykx，故其方程为1111yyxx，直

线BD的斜率为221BDykx，故其方程为2211yyxx，由11221,11,1yyxxyyxx两式相除得2121121211111111yxkxxxxyxkxx

1221121211kxxkxxkxxkxx即1221121211.11QQxkxxkxxxkxxkxx由（1）知12222kxxk，故222222222222122111222212111222QQkkkkkxxk

xxkkkkkkkxkxxkxkkk11kk解得Qxk．易得1,0Pk，故11PQOPOQxxkk，所以OPOQ为定值16

0．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左，右焦点分别为1F，2F，点P在椭圆C上，12PF，123FPF，且椭圆C的离心率为12．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点3,0M的直线l与椭圆C相

交于A，B两点，求2ABF面积的最大值．【答案】（1）22143xy；（2）233.【分析】（1）由椭圆的定义求得222PFa，在12PFF△中，由余弦定理化简得2233caa，再由离心率12e，得到2ac，联立方程组，求得,,abc的

值，即可求得椭圆的方程；（2）联立方程组，利用根与系数的关系，根据弦长公式和点到直线的距离公式，结合面积公式，利用基本不等式，即可求解.【详解】（1）P在椭圆C上，12PF，222PFa．在12PFF中，由余弦定理得22212121242coscPFPFPFPFF

PF，即2244(22)4(22)cos3caa化简，得2233caa．①又椭圆C的离心率12cea，2ac．②由①②，解得1c，2a．2223bac．椭圆C的方程为22143xy．（2）由题意，直线l的斜率存在且不为0．设直线l的

方程为3xmy．由223143xmyxy，消去x，得223418150mymy．由21442400m，得253m设11,Axy，22,Bxy．则1221834myym，1221534yym222121212||114AB

myymyyyy2224191534mmm设点2F到直线l的距离为d，又2(1,0)F，则221dm．22214915234ABFmSABdm令2915(0)mtt，则22159tm．22121223272

73ABFtSttt当且仅当33t时等号成立.此时214533m．2ABF面积的最大值233．61．已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为223，左、右焦点分别为

12,FF，短轴的上端点为P，且127PFPF.（1）求椭圆C的方程；（2）若过点(2,0)Q且不与y轴垂直的直线与椭圆C交于M，N两点，是否存在点(,0)Tt，使得直线TM与TN的斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在

，请说明理由.【答案】（1）2219xy；（2）存在,3t或3t.【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标公式结合222abc，可得椭圆C的方程；（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示出TMTNkk，进而求出直线TM与TN的斜率

之积为定值以及t的值．【详解】（1）0,Pb，设12,0,,0FcFc，则12,,,PFcbPFcb，由127PFPF，得227bc结合222abc，得2227a

c；由22,3cea得228,9ac代人2227ac，解得229,8ac，所以21b故椭圆C的方程为221.9xy（2）由已知直线l过点2,0Q，设l的方程为2xmy，则联立方程组22219xmyxy

消去x得229450mymy，所以22Δ162090;mm设1122,,,,MxyNxy则1221224959myymyym又直线TM与TN斜率分别为112211

22,22TMTNyyyykkxtmytxtmyt则12122222212121252222992TMTNyyyykkmytmytmyymtyyttmt要使TMTNkk为定值

，则有290,t即3t当3t时，255,9923TMTNmkkR；当3t时，251,45923TMTNmkkR所以存在点3,0T或3,0T使得直线TM与TN的斜率之积为定值．【点睛】方法点睛：解

决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方

法题很难时采取另外的途径．62．已知拋物线C：28xy，点F是拋物线的焦点，直线l与拋物线C交于AB两点．点M的坐标为2,2．（1）分别过A，B两点作拋物线C的切线，两切线的交点为M，求直线l的斜率；（2）若直线l过抛物线的焦点F，试判断是否存在定值，使得11MFMAMBkk

k．【答案】（1）12；（2）存在.【分析】(1)先求出抛物线在A，B两点处的切线方程，再利用直线的特征，得到切点弦方程，从而确定直线l的斜率.(2)先设直线l的斜截式方程，再联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理得条件，再分别计算1MFk，11MAMBkk，根据二者的最终

结果来确定是否存在.【详解】(1)设11,Axy，22,Bxy，由抛物线方程得28xy，4xy．过点A的切线方程为1114xyyxx，过点B的切线方程为2224xyyxx，因为2,2M为两切线的交点，所以111

224xyx，222224xyx，所以过A，B的直线方程为22224242xxxxyxy，化简得：240xy，所以12k．(2)由题知，0,2F，过点F的直线l为2ykx，设直线l与抛物线

C交于11,Axy，22,Bxy所以228ykxxy，所以28160xkx，1212816xxkxx所以1212221122MAMBxxkkyy12122244xxkxkx

122112242444xkxxkxkxkx把1212816xxkxx代入整理得，111MAMBkk，又1021222MFk，故2．63．已知椭圆

2222:1(0)xyCabab过点31,2，且椭圆的一个焦点与抛物线243yx的焦点重合．（I）求椭圆C的方程；（II）已知点0,2A，点P是椭圆C上的一个动点，求PA

的最值．【答案】（I）2214xy；（II）min2213PA；max1PA．【分析】（I）利用抛物线方程求得p，从而求得c的值，将点31,2代入椭圆方程联立即可求得椭圆方程；（II）设点P的坐标为,mn，代入椭圆方程，利用求模公式将向量的模转化为

一元二次函数在区间上的最值问题进行求解即可．【详解】解：（I）由抛物线方程可得23p，则3c，又221314ab，而222cab，联立解得2a，1b，所以椭圆的方程为2214xy；（II）设点P的坐标为,mn，则2214mn，所以224(1)mn，所以222

22||(2)41(2)348PAmnnnnn2228333n，[1,1]n，所以当23n时，min2822133PA，当1n时，max1PA．64．如图，椭圆22132xy与抛物线24y

x相交于A、B两点，抛物线的焦点为F.（1）若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和椭圆交于四个不同的点，从左至右依次为1T、2T、3T、4T，求1234TTTT的值；（2）若直线m与抛物线相交于M、N两点，且与椭圆相切，切点D

在直线AB右侧，求MFNF的取值范围.【答案】（1）2425；（2）232,44283.【分析】（1）设点111,Txy、222,Txy、333,Txy、444,Txy，将直线l的方程分

别与椭圆、抛物线的方程联立列出韦达定理，即可求得1234TTTT的值；（2）设点00,Dxy，可得出切线m的方程为00236xxyy，求出0x的取值范围，将直线m的方程与抛物线的方程联立，求出

MNxx的表达式及其取值范围，结合抛物线的定义可求得MFNF的取值范围.【详解】（1）由题意，1,0F，直线l的方程为1yx，设111,Txy、222,Txy、333,Txy、444,Txy，则12212TTxx，34432T

Txx，12342413241322TTTTxxxxxxxx，联立直线与椭圆的方程221132yxxy，消去y可得25630xx，13660960，由韦达定理可得1365xx，联立直线与

抛物线的方程214yxyx，消去y可得2610xx，2364320，由韦达定理可得246xx，123462422655TTTT；（2）先证明椭圆22132xy在其上一点00,Dxy处的切线方程为00236xxyy.联立2

200132236xyxxyy，消去y可得2222000023121890xyxxxy，因为2200132xy，整理可得220020xxxx，即200xx，解得0xx.故直线00236xxyy与椭圆22132xy切于点

00,Dxy.由2221324xyyx可得2630xx，且0x，解得323ABxx，切线00:2360mxxyy，其中03233x，设,,,MMNNMxyNxy，

,NNNxy，则00223604xxyyyx，消去y得：2220006990xyxyx，由韦达定理可得220000220009666181866MNyxxxxxxxxx，因

为03233x，所以，23,42283MNxx，由抛物线的定义可得2223,44283MNMFNFxx.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用

已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利

用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.65．已知椭圆22221(0)xyCabab：的左焦点为1F，点P在椭圆上，1||2PF，直线1PF的倾斜角为3，已知椭圆的离心率为12.（1）求椭圆C的方程；（2）记椭圆C的左右顶点为AB、，过点A的直

线1L交椭圆于点M，过点B的直线2L交椭圆于点N，若直线2L的斜率是直线1L斜率的两倍，求四边形AMBN面积的最大值.【答案】（1）22143xy；（2）863.【分析】（1）由题意可得2ac，在12PFF△中，由余弦定

理可得解方程可得c，进而得到椭圆方程；（2）设直线AM的方程为2ykx，由2BNAMkk，可得直线BN方程为22ykx，代入椭圆方程得到,MN纵坐标，运用韦达定理和四边形的面积公式，化简换元，结合对勾函数的单调性，可得最大值．【详解】（

1）因为12cea，则2ac，设右焦点为2F，在12PFF△中，12PF，123PFF，由余弦定理可得2222222222cos3acc，解得1c，则2a，3b，所以椭圆方程为22143xy；（2）设直线AM的斜率为k，

则直线AM的方程为：2ykx，联立222143ykxxy，整理得2222341616120kxkxk，42225643416120kkk①设11,Mxy，则2121612234kxk，即212683

4kxk，从而121234kyk，由2BNAMkk，可得直线BN方程为22ykx，联立2222143ykxxy，整理得22223166464120kxkxk，222264431664120kkk

，②设22,Nxy，则22264122316kxk，222326316kxk从而2224316kyk，由对称性，不妨设0k0k，则四边形AMBN的面积12221122442234316kkSyykk

32292424924243334316416kkkkkkkkkk238723812kkkk设3382846ktkkk，当2336884kkkk时等号成立，即272721212tStt

t，设12,46,yttt单调递增，当46t时，即64k时，并且满足①②，12tt取得最小值962，此时max72863962S【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的方程和运用，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查直线的斜率和对勾函数的单调性

的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题，本题的关键是利用方程联立求得点,MN的纵坐标，并能熟练应用对勾函数求最值.66．已知椭圆C：22221xyab（0ab）的长轴长为4，离心率为22，点P在椭圆C上．（Ⅰ

）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点4,0M，点0,Nn，若以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中点，求n的取值范围．【答案】（Ⅰ）22142xy；（Ⅱ）2525n．【分析】（Ⅰ）根据

条件，列式求,,abc，即得椭圆方程；（Ⅱ）法一，设点00,Pxy，PN的中点00,22xynQ，根据0MQNP，求得2200822xnx，02,2x，再求n的取值范围；法二，根据几何

关系可知MPMN,代入坐标公式可得2200822xnx，02,2x，再求n的取值范围.【详解】（Ⅰ）由椭圆的长轴长24a，得2a，又离心率22cea，所以2c所以2222ba

c．所以椭圆C的方程为：22142xy．（Ⅱ）法一：设点00,Pxy，则2200142xy所以PN的中点00,22xynQ004,22xyMnQ，00,NPxyn．因为以PM为直径的圆恰好经过线段P

N的中点所以MQNP，则0MQNP即00004022xynxyn．又因为2200142xy，所以22008202xxn所以2200822xnx

，02,2x．函数2000822fxxx，02,2x的值域为12,20所以2020n所以2525n．法二：设点00,Pxy，则2200142xy．设PN的中点为Q，因为以PM为直径的圆恰好经过线段PN的中

点所以MQ是线段PN的垂直平分线所以MPMN即22200416xyn所以2200822xnx．函数2000822fxxx，02,2x的值域为12,20所以2020n．所以2525n．67．已知圆C：22(3)16xy

，点(0,3)A，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E，直线l：ykxm与y轴交于点D，与曲线E交于M，N两个相异点，且MDDN.（1）求曲线E的方程；（2）是否存在实数m，使得4OMONOD

？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214yx；（2）2,11,2【分析】（1）由题意画出图形，可得||||||423QAQCPC，得到点Q的轨迹曲线

E是以A，C为焦点的椭圆，求得a与c，进一步得到b，则曲线E的方程可求；（2）联立直线方程与椭圆方程，可得222(4)240kxkmxm．由判别式大于0得2240km．再由向量等式可得2k，代入2240km，即可求得2m

的取值范围．【详解】解：（1）如图，由题意可得：||||QAQP，则||||||423QAQCPC，点Q的轨迹曲线E是以A，C为焦点的椭圆，其中24a，2a，3c，则1b．曲线E的方程为2214yx；（2）联立2244ykxmyx，

可得222(4)240kxkmxm．由222244(4)(4)0kmkm，得2240km．设1(Mx，1)y，2(Nx，2)y．则12224kmxxk，①，212244mxxk②(0,)Dm，11,MDxmy，22(,)DN

xym，由4OMONOD，MDDN．3，所以3MDDN．1122()(333),,xmyxym，则123xx，③联立①③，得1234kmxk，224kmxk，代入②，

得22223(4)(4)kmkm，即222240kmkm，得22241mkm，代入2240km，得2224401mmm，解得214m，解得12m或21m．存在实数m，使4OMONOD，m的取值范围是2,11,2

．68．如图,椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于,AB两点，||AF的最大值为,||MBF的最小值是m，满足:23.4Mma（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB的中点为,GAB

的垂直平分线与x轴交于D点，求||||ABFD的值.【答案】（1）12；（2）4【分析】（1）设(,0)(0)Fcc，则根据椭圆性质得Mac，mac，结合条件，即可求出离心率；（2）由（1）设椭圆方程为2222143xycc

，设直线AB的方程为()ykxc，1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可表示出弦AB与G点坐标，再根据DGAB，求出Dx，即可表示出DF，从而得解；【详解】解：（1）设(,0)(0)

Fcc，则根据椭圆性质得Mac，mac而234Mma，所以有22234aca，即224ac，即2ac，所以离心率12cea（2）由（1）可得2ac，又222cab，所以令cc，则2ac，3bc，所以椭圆方程为2222143xycc，根据条件直线AB的

斜率一定存在且不为零，设直线AB的方程为()ykxc，并设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，则由直线与椭圆方程2222()143ykxcxycc，消去y并整理得，222222(43)84120kxckxkcc从而有2122843ckxxk

，22212241243kccxxk，所以222121212114ABkxxkxxxx222222228412434314ckkcckkk2241213ckk

121226(2)43ckyykxxck，所以224(43ckGk，23)43ckk．因为DGAB，所以2223431443Dckkkckxk，所以2243Dckxk．所以2222343334ckckccDFkk所以2222121||4

3||43343kcckAkBcFDk69．已知双曲线C：22221yxab（0a，0b）的离心率102e，其焦点1F到渐近线的距离为3.（1）求双曲线的方程；（2）若过点(0,3)M的直线l交双曲线于A，B两点，且以AB为直径的圆过坐标原点O，求直线

l的方程.【答案】（1）22123yx；（2）232yx【分析】（1）首先表示出双曲线的焦点坐标与渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出b，最后利用离心率与222cab，求出2a，即可求出双曲线方程；（

2）设直线:3lykx，11,Axy，22,Bxy，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，依题意0OAOB，即可得到方程，解得即可；【详解】解：（1）双曲线C：22221yxab（0a，0b）的焦点10,Fc，渐

近线方程为ayxb，即0axby，因为10,Fc到渐近线的距离等于3，所以223bcab，所以3b，又因为离心率102e，即102ca，因为222cab，所以22a，25c，所以双曲线方程为22123yx（2）由已知可得，直线l的

斜率存在，设直线:3lykx，11,Axy，22,Bxy223123ykxyx，消去y得223218210kxkx，所以2320k即63k，又2221842132721680kkk，

所以1221832kxxk，1222132xxk，所以222212121212222215461833399323232kkkyykxkxkxxkxxkkk以AB为直径的圆过坐标原

点O，所以OAOB，即0OAOB，所以21212222161803232kxxyykk，解得22k，所以直线方程为232yx70．已知双曲线2222:10,0xyCabab的实半轴长为1，且C上的任意一点M到C的两条渐近线的距离乘积为3

4（1）求双曲线C的方程；（2）设直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线C相交于,PQ两点，问在x轴上是否存在定点D，使得PDQ的平分线与x轴或y轴垂直？若存在，求出定点D的坐标；否则，说明理由．【答案】（1）2213yx；（2）存在点1,02D

使得PDQ的平分线与x轴或y轴垂直.【分析】（1）由已知得1a，渐近线为0bxy，利用点到直线的距离公式列方程即可求得b，进而可得双曲线C的方程；（2）假设存在,0Dt满足题意，可得0PDQDkk，设设

11,Pxy，22,Qxy，直线:l2ykx与双曲线方程联立，消去y可得关于x的二次方程，得出12xx、12xx代入0PDQDkk即可求解.【详解】（1）由题意可得：1a，所以双曲线222:1yCxb所以渐近线方程为0bxy，设00,Mxy，则0000

223411bxybxybb，即222002314bxyb，因为00,Mxy在双曲线上，所以220021yxb，即222200bxyb，所以22314bb，解得：23b，所以双曲线C的方程为：2213yx（2）假设存在,0Dt，使得PDQ

的平分线与x轴或y轴垂直，则可得0PDQDkk，2,0F，设11,Pxy，22,Qxy，直线:l2ykx，由22233ykxxy可得：222234430kxkxk，所以212243kxxk，2122433kxx

k，所以12211221212120PDQDyxtyxtyykkxtxtxxtxxt，即1221220kxxtkxxt恒成立，整理可得：12122240kxxtxxt

，所以2222434224033kkkttkk即2222434224033kkttkk，所以2228642430kkttk，所以6120t，解得12t，所以存在点1,02D使得P

DQ的平分线与x轴或y轴垂直.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中求是否存在满足条件的定点的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较

大.