【文档说明】(新高考)高考数学一轮 数学单元复习 过关检测卷第10章《计数原理、概率》(原卷版).doc，共(16)页，515.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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01卷第十章计数原理、概率《过关检测卷》－2022年高考一轮数学单元复习（新高考专用）第I卷（选择题）一、单选题1．六一儿童节，某幼儿园的每名小朋友制作了一件礼物．该幼儿园将小朋友们进行分组，每4位小朋友为一组，小组内小朋友随机拿一件本组小朋友制作的礼物，则小朋友A没有拿到自己制作的礼物的

概率为（）A．18B．14C．12D．342．某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的A，B，C，D四人，欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职，现进入最后一个环节：A，B，C，D四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅A一人获得最高得票的

概率为（）A．13B．427C．23D．5273．两个班级的排球队进行排球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各队输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A．6种B．12种C．20种D．30种4．《九章算术》中，称底面

为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以1AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A．4B．8C．12D．165．613xx的展开式中2

x的系数为（）A．45B．90C．135D．2706．将甲、乙、丙、丁4名学生分配到三个不同的班级，每个班级至少一人．且甲、乙不在同一班级的分配方案共有（）A．36种B．30种C．18种D．12种7．现有3名男医生3名女医生组成两

个组，去支援两个山区，每组三人，女医生不能全在同一组，则不同的派遣方法有（）A．9B．18C．36D．548．从4位男生，2位女生中选3人组队参加比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法种数共有（）A．8B．12C．16D．209．永定土楼，位于中国东南沿

海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩2008年7月，永定土楼成功列入世界遗产名录.它历史悠久、风格独特，规模宏大、结构精巧.土楼具体有圆形、方形、五角形、八角形、日字形、回字形、吊

脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型的土楼进行调查研究.要求调查顺序中，圆形要排在第一个，五角形、八角形不能相邻，则不同的排法种数共有（）A．480B．240C．384D．144010．饺子源于古代的角子，又称水饺，是深受人们喜爱的中国传统

食品现盘子中有16个饺子，其中肉馅的有6个，素馅的有10个.从外观无法分辨是肉馅还是素馅，现用筷子从中随机夹出2个，则夹到的2个饺子恰好1个是肉馅，另1个是素馅的概率是（）A．16B．15C．38D．1211．“3+1+2”高考方案中，“3”是指统

一高考的语文、数学、外语3门科目，其中外语可以从英语、日语、法语、西班牙语、德语、俄语中任选一门参加高考，“1”是指考生在物理、历史两门选择性考试科目中所选择的一门科目，“2”是指在思想政治、地理、化学、生物4门选择性科目中所选择的2门科目．则每一名学生参加高考的科目选择方法数共有（）

种A．72B．80C．12D．8412．将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有（）种A．10B．16C．22D．2813．从7人中选派5人到10个不同交通岗的5个中参加交通协管工作，则不同的送派方法有（）种．A．555

7105CAAB．5557105ACAC．55107CCD．55710CA14．某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花.现有3种不同

的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有（）A．400种B．396种C．380种D．324种15．为庆祝建党一百周年，长沙市文史馆举办“学党史，传承红色文化”的主题活动，某高校团委决定选派5

男3女共8名志愿者，利用周日到该馆进行宣讲工作.已知该馆有甲､乙两个展区，若要求每个展区至少要派3名志愿者，每个志愿者必须到两个展区中的一个工作，且女志愿者不能单独去某个展区工作，则不同的选派方案种数为（）A．252B．250C．182D．

18016．某次数学考试的一道多项选择“题”的要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.”已知该选择“题”的正确答案是CD，且甲､乙､丙､丁四位同学都不会做，下列表述正

确的是（）A．甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是13B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是16C．丙同学随机选择选项，能得分的概率是25D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是11017．在一段时间内，甲去

博物馆的概率为0.8，乙去博物馆的概率为0.7，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是（）A．0.56B．0.24C．0.94D．0.8418．若随机变量X的分布列如下表，则(3)PX（）X1234P3x6x2xxA．14B．13C．34D．11219．设随

机变量X～2,Bp，若519PX≤，则EX（）A．23B．13C．43D．120．设102a，若随机变量X的分布列是X0a1P131313则当a在10,2内增大时（）A．VX增大B．

VX先增大后减小C．VX减小D．VX先减小后增大21．已知随机变量和，其中102，且20E，若的分布列如下表，则m的值为（）1234Pm14n112A．3160B．3760C．2760D．1822．下列说法正确的个数有（）（1）掷一枚质

地均匀的的骰子一次，事件M=“出现偶数点”，N=“出现3点或6点”.则M和N相互独立；（2）袋中有大小质地相同的3个白球和1个红球.依次不放回取出2个球，则“两球同色”的概率是13；（3）甲乙两名射击运动员

进行射击比赛，甲的中靶率为0.8，乙的中标率为0.9，则“至少一人中靶”的概率为0.98；（4）柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么“取出地鞋不成双”的概率是45；A．1B．2C．3D．423．某篮球运动员投篮的命中率为0.8，现投了5次球，则5次都没

投中的概率为（）A．50.2B．0.8C．0.8D．0.224．某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的

概率为0.3，且各次射击互相独立，若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为（）A．0.23B．0.24C．0.25D．0.26二、多选题25．A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（）

A．若A、B两人站在一起有48种方法B．若A、B不相邻共有12种方法C．若A在B左边有60种排法D．若A不站在最左边，B不站最右边，有72种方法26．现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪､司机四项工作可以安排，

则以下说法错误的是（）A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为45B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为4154ACC．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是1232334333CCACAD．如果司机工作不安排，

其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为3122352533CCCCA27．习近平总书记在党史学习教育动员大会上讲话强调，“要抓好青少年学习教育，着力讲好党的故事､革命的故事､英雄的故事，厚植爱党､爱国､爱社会主义的情感，让红色基因､革命薪火代代传承.”为

了深入贯彻习近平总书记的讲话精神，我校积极开展党史学习教育，举行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲.现安排4名教师到高中3个年级进行宣讲，每个年级至少1名教师，则不同的选法有（）A．11113213C

CCCB．2343CAC．1234CCD．122342CCA28．17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为（）A．710710AAB．7101710AAC．7101710AAD．1717A29．甲

，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲乙不相邻的排法种数为72种D．甲乙丙按从左到右

的顺序排列的排法有20种30．下列说法正确的为（）A．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有222642CCC种不同的分法B．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人一本，一人2本，一人3本，有123633CCC种不同

的分法C．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人4本，其余两人每人各一本，有41136213CCCA种不同的分法D．6本相同的分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法31．现将5个不同的小球全部放入标有编号1､2､3､4､5的五

个盒子中（）A．若有一个盒子有3个球，有两个盒子各有1个球，则不同的放球方法种数为313525CCAB．若恰有一个盒子没有小球，则不同的放球方法种数为2455CAC．若恰有两个盒子没有小球，则装有小球的盒子的编号之和恰为11的不同放法种数为150D．若这5个

小球的编号分别为1~5号，则恰有四个盒子的编号与球的编号不同的放法种数为4532．下列关于事件A和事件B的结论正确的是（）A．若1PAPB，则事件A与事件B互为对立事件B．若PABPAPB，则事件A与事件B相互独立C．若事件A与事件B互为互斥事件，则事

件A与事件B也互为互斥事件D．若事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B也相互独立33．随着高三毕业日期的逐渐临近，有(2)nn个同学组成的学习小组，每人写了一个祝福的卡片准备送给其他同学，小组长收齐所有

卡片后让每个人从中随机抽一张作为祝福卡片，则（）A．当4n时，每个人抽到的卡片都不是自己的概率为38B．当5n时，恰有一人抽到自己的卡片的概率为340C．甲和乙恰好互换了卡片的概率111nnD．记n个同学都拿到其他同学的卡片的抽法数为na，则21(1)()nnnanaa，

*nN34．从甲袋内摸出1个红球的概率是13，从乙袋内摸出1个红球的概率是12，从袋内各摸出1个球，则（）A．2个球不都是红球的概率是16B．2个球都是红球的概宰是16C．至少有1个红球的概率是23D．2个球中恰有1个红球的概率是2335．从甲袋中摸

出一个红球的概率为14，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球.下列结论正确的是（）A．2个球都是红球的概率为18B．2个球不都是红球的概率为38C．至少有1个红球的概率为58D．2个球中恰有1个红球的概率为1236．江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐

地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布238,7N，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布244,2N，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟.从统计的角度

出发，下列说法中合理的有（）参考数据：若2((,)PZN，则()0.6826PZ，(22)0.9544PZ，(33)0.9974PZA．若8:00出门，则开私家车不会迟到；B

．若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；C．若8:06出门，则开私家车上班不迟到的可能性更大；D．若8:12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到.37．某班同学在一次数学测验中的成绩x服从正态

分布280,5N（试卷满分为100分），该班共有50名同学，则下列说法正确的是（）（参考数据：()0.6827,(22)0.9545PxPx，(33)0.9973Pax）A．本次考试一定有同学考

到80分B．本次考试分数大于90分的同学的有6人C．在本次考试中可能有考出满分的同学D．(75)0.84135Px38．设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，则（）A．当2n时，1(2,1)4PXYB．当4n时，7

(4)24PXYC．当nk(2k且*kN)时，21(,)PXkYkkD．当2kn(2k且*kN)时，21212,12kkikiPXY39．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和

Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果：记A“Ⅰ号骰子出现的点数为1”；B“Ⅱ号骰子出现的点数为2”；C“两个点数之和为8”；D=“两个点数之和为7”，则（）A．A与B相互独立B．A与D相互独立C．B与C相互

独立D．C与D相互独立40．若随机变量X服从两点分布，且2(0)5PX，记X的均值和方差分别为()EX和()DX，则下列结论正确的是（）A．35EXB．536EXC．45DXD．6535DX41．现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第n关

要抛掷骰子n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2nn，则算闯过第n关，1,2,3,4n.假定每次闯关互不影响，则（）A．直接挑战第2关并过关的概率为712B．连续挑战前两关并过关的概率

为524C．若直接挑战第3关，设A“三个点数之和等于15”，B“至少出现一个5点”，则113PABD．若直接挑战第4关，则过关的概率是351296第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题42．袋

子中有6个大小质地相同的球，其中2个白球，3个黄球和1个黑球，从中随机摸取两个球，则没有摸到黑球的概率为__________.43．安排A，B，C，D，E，F共6名大学生到甲，乙，丙三地支教，每名学生只去一地，每地安排两名学生，其

中A不去甲地，则不同的安排方法共有________．44．在狂欢节上，有六名同学想报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，每个项目都有人报名，则共有__________种不同的报名方法．45．对某种产品的6件不同的

正品和4件不同次品一一进行测试，直到区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第5次测试被全部发现，则这样的测试方法有___________种.46．从3名男医生和6名女医生中选出5人组成一个医疗小组．如果这个小组中男女医生都不能少于2人则不同的建组方案共有种______．47．某单位对某村的贫困户进行

“精准扶贫”，若甲、乙贫困户获得扶持资金的概率分别为15和35，两户是否获得扶持资金相互独立，则这两户中至少有一户获得扶持资金的概率为________．48．某班有60名学生参加某次模拟考试，其中数学成绩近似服从正态分布2

110,N，若(100110P剟)0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为__________.49．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和12，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立

，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为______．50．甲、乙两人进行一对一投篮比赛．甲和乙每次投篮命中的概率分别是11,35，每人每次投篮互不影响．若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．已知两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮，则3次投篮的人依次为甲、乙、乙的

概率是______．51．若2~3,5XB，则DX__________.52．甲、乙两人对同一目标各射击一次，甲命中的概率为45，乙命中的概率为23，且他们的结果互不影响，若命中目标的人数为，则()E__________

．53．下列命题中，正确命题的序号为___________.①已知随机变量X服从二项分布,Bnp，若30EX，20DX，则23p；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③某厂家

声称自己的产品合格率为99%，市场质量管理人员抽取了这个厂家的2件产品进行检验，发现不都合格，由此可知厂家所声称的合格率不可信.④某人在10次射击中，击中目标的次数为X，~10,0.8XB，则当8X时概率最大.54．某气象台统计，该地区下雨的概率为415，刮四级以上风的概率为215，既刮

四级以上的风又下雨的概率为110，设A为下雨，B为刮四级以上的风，则PBA___________.四、双空题55．某中学高二年级共16个班级，教室均分在1号楼的一至四层，学生自管会现将来自不同楼层的4个学生分配到各楼层执行管理工

作，要求每个学生均不管理自己班级所在的楼层，则共有__________种不同的安排方法，如果事后排成一排拍照留影，则共有_____种不同的站位方法.（用数字作答）56．有3个少数民族地区，每个地区需要一各支医医生和两名支教

教师，现将3名支医医生（1男2女）和6名支教教师（3男3女）分配到这3地区去工作，（1）要求每个地区至少有一名男性，则共有________种不同分配方案；（2）要求每个地区至少有一名女性，则共有________种不同分配方案．57．甲､乙､丙三支足球队进行双循环赛(任意两

支球队都要在自己的主场和对方的主场各赛一场).根据比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.比赛进行中的统计数据如下表：已赛场数胜的场数平的场数负的场数积分甲42117乙30212丙31114根据表格中的信息可知：（1）还需进行___________场比赛，整个双

循环赛全部结束；（2）在与乙队的比赛中，甲队共得了___________分.58．“比特币”对于大家来说，已经再熟悉不过了.但是你知道比特币是通过哈希算法来加密的吗？实际上，哈希算法是一种加密技术.已知phashing是最简单的哈

希算法之一，它把一个较大数字的每一位改成它除以素数p所得到的余数.如：对于544213进行2hashing，我们得到的哈希值为100011，那么对它进行3hashing，将得到________.同时，我们容易发现使得2hashing后得到哈希值为100011的

正整数共有________个（可以不写出具体数字，用类似于340!的表达式表示）.59．经统计，某城市肥胖者占10%，中等体型者占82%，消瘦者占8%.已知肥胖者患高血压的概率为0.2，中等体型者患高血压的

概率为0.1，消瘦者患高血压的概率为0.05，则该城市居民患高血压的概率为___________；若该城市有一居民患有高血压，那么该居民是肥胖者的概率是___________(保留三位有效数字).60．己知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其

中甲品牌的电脑占70％，甲品牌的电脑中，优质率为80％；乙品牌的电脑中，优质率为90％，从该电脑卖家中随机购买一台电脑：（1）则买到优质电脑的概率为____________，（2）若已知买到的是优质电脑，则买到的是甲品牌电脑的概率为___________（精确到0.1％）

61．已知102a，102b，随机变量X的分布列是X012P12ab若2()3EX，则a=___________________；(31)DX_______________．62．袋中装有质地，大小相同的5个红球，m个白球，现从中任取2个球，

若取出的两球都是红球的概率为514，则m______；记取出的红球个数为X，则EX______．63．某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中

有5道文史类题目、3道科技类题目、2道体育类题目.测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目作答.记某选手抽到科技类题目的道数为X.则随机变量X的可能取值为___________；X=1表示的试验结果可能出现________种不

同的结果.64．已知X～B(n，p），E(X）＝8，D(X）＝1.6，则n＝________，p＝________．五、解答题65．从1、3、5、7中任取2个数字，从0、2、4、6、8中任取2个数字，用这四个数字

组成无重复数字的四位数，所有这些四位数构成集合M．（1）求集合M中不含有数字0的元素的个数；（2）求集合M中含有数字0的元素的个数；（3）从集合M中随机选择一个元素，求这个元素能被5整除的概率．66．为了促进教育均衡发展，让每一个孩子享受公平教育，教育行政部门

鼓励优秀教师到教育资源薄弱学校支教．已知甲、乙两所学校报名支教的教师情况如下表：男女合计甲校213乙校224现从甲、乙两校报名支教的教师中各任选1名教师，求选取的2名教师性别相同的概率．67．（1）某外商计划在4个城市投资3个不同的项目，且在同一城市投资的项目不超过2个，求该

外商不同的投资方案有多少种？（用数字作答）（2）某单位安排7位员工在10月1日至10月7日值班，每天1人，每人值班1天，求员工甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日的概率．68．有8名学生排成一排照相

，求满足下列要求的排法的种数．（只需列式并计算结果）（1）甲、乙两人相邻；（2）丙、丁两人不相邻；（3）甲站在丙、丁两人的中间（未必相邻）．69．某公司计划购买1种机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在

购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.该公司搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损

零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数.（1）若18n，求y与x的函数解析式；（2）假设这100台机器在购机的同时每台都购买18个易损零件，或每台都购买19个易损零件，分别计算这100台机器

在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买18个还是19个易损零件？（3）若该公司计划购买2台该机器，以上面柱状图中100台机器在三年使用期内更换的易损零件数的频率代替1台机器在三年使用期内更换的易损零件数发生的概率

，求两台机器三年内共需更换的易损零件数为36的概率.70．某公司为奖励员工实施了两种奖励方案，方案一：每卖出一件产品奖励4.5元；方案二：卖出30件以内（含30件）的部分每卖出一件产品奖励4元，超出30件的部分每卖出一件产品奖励7元，员工甲在前10天内

卖出的产品数依次为22，23，23，23，25，25，25，29，32，32，若将频率视为概率，回答以下问题．（1）记利用方案二员工甲获得的日奖励为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（2）如果仅从日平均奖励的角度考虑，请利用所学的统计学知识为员工甲选择奖励方案，

并说明理由．71．某学校为了解高二年级学生的选考科目情况（选考规定：每位学生从理化生史地政6科中恰好选择3科），随机抽取20名学生进行了一次调查，其中男生8人，女生12人．统计选考科目人数如下表：性别物

理化学生物历史地理政治男生884211女生1095453（1）估计高二年级所有学生中，选考历史的概率；（2）假设每位学生选择选考科目相互独立．在高二年级所有学生中任取3人，记这3人中选考历史的人数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列；（3）从已抽取的

8名男生中随机选取2人，设随机变量1,20,2Y这人选考科目完全相同这人选考科目不完全相同，Y的方差为()DY．若这8名男生中有一人将选考科目由“物理化学生物”更改为“物理化学历史”，试问更改之后()DY是变大还是变小？请说明理由．72．为了防止受到核污染的产品

影响我国民众的身体健康要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为19，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响．（1

）求该产品不能销售的概率；（2）如果产品可以销售，则每件产品可获利40；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80元）．已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X元，求X的分布列，并求出均值EX．73．某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，

拟邀请12名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数2244（1）从这12名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意两个均不属于

同一学院的概率；（2）从这12名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为，求随机变量的概率分布列和数学期望．74．为了备战2021年7月在东京举办的奥运会，跳水运动员甲参加国家队训练测试，已知该运动员连续跳水m次，每次测试都是独立

的．若运动员甲每次选择难度系数较小的动作A与难度系数较大的动作B的概率均为12．每次跳水测试时，若选择动作A，取得成功的概率为23，取得成功记1分，否则记0分．若选择动作B，取得成功的概率为13，取得成功记2分，否则记0分．总得分记为X分．（1）若m＝2，求分数X的概率分布列与数学

期望．（若结果不为整数，用分数表示）（2）若测试达到n分则中止，记运动员在每一次跳水均取得成功且累计得分为n分的概率为G（n），如1(1)3G．①求G（2）；②问是否存在R，使得{()(1)}GnGn为等比数列，其中,2nnN？若有，求出；若没有，请说明理由．7

5．欧洲足球锦标赛，也称欧洲杯，是一项由欧足联举办，欧洲足协成员国间参加的最高级别国家级足球赛事：欧洲杯决赛圈比赛将首先进行小组赛，24支球队被分为6个小组，每个小组4支球队，小组采取单循环得分制比赛（任意两

队只打一场），赢一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，每个小组的前两名（若出现积分相同，则比较两队相互间战绩，若还无法确定出线球队，则需比较小组赛全部比赛的净胜球数、进球数决定出线席位）.2021年欧洲杯分组中F组的四支队伍最引人注目，他

们分别是葡萄牙队、法国队、德国队、匈牙利队，由于四支队伍实力强劲，F组也被称为“死亡之组”.假设四支队伍任意两队之间胜、平、负的概率都为13.（1）记葡萄牙队小组最后得分为随机变量X，求X的分布列与期望；（2）假设德国

队能得9分的情况下，求葡萄牙队能够以小组第二晋级（不需要比较相互战绩和净胜球）的概率.