【文档说明】(新高考)高考数学二轮复习核心考点重难点练习13《六种双曲线解题方法》(解析版).doc，共(55)页，3.064 MB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-29161.html

以下为本文档部分文字说明：

重难点13六种双曲线解题方法（核心考点讲与练）2222:1(0,0)xyCabab题型一：待定系数法求双曲线方程一、单选题1．（2022·河南·模拟预测（文））已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左､右焦点分别为1F，2F

，一条渐近线方程为2yx，过双曲线C的右焦点2F作倾斜角为3的直线l交双曲线的右支于A，B两点，若1AFB△的周长为36，则双曲线C的标准方程为（）A．22124xyB．22142xyC．22

12yxD．2212xy【答案】C【分析】由题意可得2ba，则双曲线方程为22221(0)2xyaaa，1(3,0)Fa，2(3,0)Fa，可得直线l为3(3)yxa，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出

AB，再由双曲线的定义和1AFB△的周长为36，可求出a，从而可求出双曲线的方程【详解】因为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的一条渐近线方程为2yx，所以2ba，则双曲线方程为22221(0)2xyaaa，1(3,0)Fa，2(3

,0)Fa，所以直线l为tan(3)3(3)3yxaxa，设1122(,),(,)AxyBxy，由2222123(3)xyaayxa，得2263110xaxa，则2121263,11x

xaxxa，所以2121213()4ABxxxx2221084416aaa，因为122AFAFa，122BFBFa，所以11224420AFBFAFBFaABaa，因为1AFB△的周长为36，所以1136AFBFAB，所以201636aa

，得1a，所以双曲线方程为2212yx，故选：C2．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））若等轴双曲线的焦距为4，则它的一个顶点到一条渐近线的距离为（）A．1B．32C．2D．3【答案】A【分析】用坐标法求解，求出等轴双曲线的标准方程，得到顶点和渐近线方程，利用点到直线的距离

公式即可求解.【详解】不妨设等轴双曲线的标准方程为22xy0，则22，解得：2.所以等轴双曲线的标准方程为222xy.此时，顶点坐标2,0，其中一条渐近线方程为：yx.所以顶点到一条渐近线的距离为2111.故选：A3．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学

三模（理））双曲线E与椭圆22:162xyC焦点相同且离心率是椭圆C离心率的3倍，则双曲线E的标准方程为()A．2213yxB．2221yxC．22122xyD．2213xy【答案】C

【分析】求出双曲线焦点坐标和离心率，求出双曲线的a、b、c即可求其标准方程．【详解】双曲线E与椭圆22:162xyC焦点相同，则焦点坐标为(20)?，椭圆的离心率为4266，∴双曲线的离心率为2326，设双曲线实半轴长为a，虚半轴长为b，焦

距为2c，则c=2，22caa，∴2b，∴所求双曲线方程为：22122xy．故选：C．4．（2022·内蒙古包头·二模（理））已知1F，2F是双曲线2222:10,0xyCabab的两个焦点，R是C上的一点，且12120F

RF，1241::RFRF，C经过点232,3Q，则C的实轴长为（）A．3B．23C．6D．3【答案】B【分析】由双曲线定义及1241::RFRF分别求出1238,23aRFFaR，再由余弦定理得22219ca，进而结合C经过点

232,3Q解出a即可求解.【详解】由双曲线定义可得122RFRFa，又1241::RFRF可得1238,23aRFFaR，由余弦定理可得222121212122cosFFRFRFRFRFFRF，即2226448214299332aaaac

，化简得22219ca，又222cab，可得2243ba；又C经过点232,3Q，故224431ab，即22443143aa，解得23a，故C的实轴

长为223a.故选：B.二、多选题5．（2022·江苏·扬州中学高三阶段练习）已知双曲线E：222210xyabab的左、右焦点分别为13,0F，23,0F，两条渐近线的夹角正切值为22，直线l：30kxyk与双

曲线E的右支交于A，B两点，设1FAB的内心为I，则（）A．双曲线E的标准方程为22163xyB．满足6AB的直线l有2条C．2IFABD．1FAB与IAB△的面积的比值的取值范围是2,6【答案】ACD【分析】A:设其中一条渐近线的倾斜角为，0

2，由题干条件可知tan222，从而解出2tan2，即22ba，又有焦点坐标，联立可解出,ab，从而求出双曲线方程；B：直线过焦点，判断过焦点弦的最短弦可判断B；C：由双曲线的定义和切线的性质进行转化可判断；D：将三角形的

面积用内切圆的半径和边长计算，结合定义，可得到1462FABIABSSAB△△△，由AB的范围可求出比值的范围.【详解】A选项，设双曲线E的一条渐近线的倾斜角为，02，因为ab，所以022，从而22tantan2221tan，解得2

tan2或tan2（舍去），所以22ba，又229ab，所以26a，23b，所以双曲线E的标准方程为22163xy，故A正确；B选项，直线l的方程kx30yk，即30

kxy，则直线l恒过右焦点2F，又过焦点2F的弦最短为22666ba，所以满足6AB的直线l只有1条，B错误；C选项，由双曲线的定义可知，12126AFAFBF2BF，即1122AFBFAFBF，因此2F是1FA

B的内切圆在AB边上的切点，因此2IFAB，C正确；D选项，由题知12112221262646212FABIABIFAFBFABSAFBFABSABABIFAB△△△2，因为6AB，所以12,

6FABIABSS△△，D正确.【点睛】知识点点睛：（1）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴所在的直线的弦），其长度为22ba；异支的弦中最短的为实轴，其长度为2a.（2）由圆外一点引圆的切线，切线长相等.

6．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22:1Cmxny，其焦点0,5到渐近线的距离为3，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的方程为221169yxB．双曲线C的渐近线方程为34yx=?C．双曲线C的离心率为54D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为1【答案】ACD【分析

】由题意知双曲线C的焦点在y轴上，设双曲线2222:1yxCab，根据焦点0,5到渐近线的距离为3，可求得,ba，即可求得双曲线方程，再根据双曲线的性质逐一分析各选项即可的解.【详解】解：由题意知双

曲线C的焦点在y轴上，设双曲线2222:1yxCab，双曲线C的渐近线方程为ayxb，取ayxb，即焦点0,5F到渐近线0axby的距离为2205555bbbbcab．所以3b，所以224acb，所以双曲线C的方程为221169yx，

故选项A正确；双曲线C的渐近线方程为43ayxxb故选项B错误；离心率54cea，故选项C正确；双曲线C上的点到焦点距离的最小值为541ca，故选项D正确.故选：ACD．7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线

1C：2222111xyab（10a，10b）的一条渐近线的方程为3yx，且过点31,2，椭圆2C：22221xyab（0ab）的焦距与双曲线1C的焦距相同，且椭圆2C的左右焦点分别为12,F

F，过1F的直线交2C于11,Ay（10y），B两点，则下列叙述正确的是（）A．双曲线的离心率为2B．双曲线的实轴长为12C．点B的横坐标的取值范围为2,1D．点B的横坐标的取值范围为3,1【答案】AD【分析】通过计算求出

双曲线1C的离心率和实轴长，即可判断选项A和B的正误；联立直线AB和椭圆的方程求出222318333Baxaa，即得点B的横坐标的取值范围，即可判断选项C和D的正误.【详解】双曲线1C：2222111

xyab（10a，10b）的一条渐近线的方程为3yx，则设双曲线的方程为223yx（0），由双曲线且过点31,2，得314，得14，∴双曲线1C的方程为22443xy1，即2211344xy，∴双曲线的离心率1212e，实轴的长为1，故选

项A正确，选项B错误；易知椭圆2C的两焦点为11,0F，21,0F，将11,Ay（10y）代入22221xyab（0ab）得212211yab，∴21bya，∴直线AB的方程为2

12byxa，联立222221,21,byxaxyab整理得222321axax2310a，22222243310aaa，根据根与系数的关系得221313Baax，则Bx222318333aaa

．由21a得234a，则28023a，∴31Bx，故选项C错误，选项D正确，故选：AD．三、填空题8．（2022·福建宁德·模拟预测）若过点2,2的双曲线的渐近线为2yx，则该双曲线的标准方程是___________.【答案】2

214yx【分析】由题设双曲线方程为2204yx，进而待定系数求解即可.【详解】解：因为双曲线的渐近线为2yx，故设其方程为2204yx，因为点2,2在双曲线上，所以

，222214，即所求方程为2214yx.故答案为：2214yx四、解答题9．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线2222:10,0xyEabab的一条渐近线的倾斜角为30，点23,3

在双曲线E上.(1)求双曲线E的标准方程；(2)若动直线l与双曲线E相切，过点2,0P作直线l的垂线，垂足为H，试判断OH是否为定值？如果是，请求出该值；如果不是，请说明理由.【答案】(1)2213xy(2)是定值

，定值为3【分析】（1）利用已知条件求出a，b的值即可求解；（2）由题意得出直线l的斜率不为0，当切线l的斜率存在时，设直线l的方程为ykxm，联立直线与双曲线E的方程得到m，k的关系式，联立直线PH与l表示出点H坐标，再

利用两点间的距离公式即可求解；当切线l的斜率不存在时，结合双曲线的几何性质即可求解.(1)设双曲线E的渐近线方程为byxa，因为一条渐近线的倾斜角为30，所以33ba;又双曲线E经过点23,3，所以221231ab，而0,0ab，故解得3a，1b

，所以双曲线E的标准方程为2213xy.(2)由题意可得直线l的斜率不为0，当切线l的斜率存在时，设直线l的方程为0ykxmk，联立直线l和双曲线E的方程得2213ykxmxy，消去y并整理得222136330kxkmxm

，因为直线l与双曲线E相切，即方程有两个相等的实数根，所以2130k且222236413330kmkm，化简并整理得2221313mkk，又因为直线PH与l垂直，2,0P，所以直线PH的方程为12yxk，

联立12yxxykxm，解得222121kmxkkmyk，即点2222,11kmkmHkk，所以22222221kmkmOHk222222441kmmk

k2222141kmk2241mk223331kk，所以3OH；当切线l的斜率不存在时，直线:3lx，过点2,0P作直线l的垂线为0y，此时3,0H或3,0H，则3OH，综上所述，OH恒为定值3.【点睛】本题以双曲线为背景，考查

双曲线的标准方程､直线与双曲线的位置关系，考查逻辑推理､数学运算核心素养.，解得的关键是明确解题的思路，计算要准确.10．（2022·上海市七宝中学高三期中）双曲线C：22221xyab（a＞0，b＞0）经过点3,1，且渐近线方程为yx．(1)求a，b的值；(2)点A，B

，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，ABD△的外接圆经过原点O．求证：点A与点B的纵坐标互为倒数；(3)在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线AB相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由．【答案】(1)222xy(2

)证明见解析(3)存在定圆221xy与直线AB相切【分析】（1）运用代入法,结合双曲线的渐近线方程进行求解即可;（2）设出直线AB的方程,与双曲线方程联立,根据一元二次方程根与系数的关系,结合圆的性质进行求解即可（3）易求原点到直线AB的

距离为定值，故存在定圆与直线AB相切(1)22311abab,解得2ab,则22:2Cxy(2)证明:易知直线AB一定不为水平直线,设为xmyn,设112,,AxyB

x,222,yDxy,联立222xyxmyn,整理得2221220mymnyn,则212221nyym,由于外接圆过原点且关于y轴对称,设为220xyEy,则22

1112222200xyEyxyEy2222211122,yxyyxy22122yy21222yy121210yyyy又12yy，所以121yy(3)因为2122211nyym,所

以221nm则原点到直线AB的距离211ndm,故存在定圆221xy与直线AB相切11．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线C：2221xya（0a）的右焦点F，点,AB分别在C的两条渐近线上，AFx轴，,ABOBBF∥OA（O为坐标原点）.(

1)求双曲线C的方程；(2)过C上一点00,0oPxyy的直线002:1xxlyya与直线AF相交于点M，与直线32x相交于点N，证明：当点P在C上移动时，MFNF恒为定值，并求此定值.【答案】(1)221.3xy(2)证

明见解析，定值为233【分析】（1）表达出直线OB方程，直线BF的方程，联立后得到B点坐标，得到直线AB的斜率，根据垂直关系得到方程，求出23a，从而求出双曲线方程；（2）求出M点坐标，N点坐标，表达出220222004(23)9[(2)]xMFNF

yx，结合220013xy得到2243MFNF，从而得到MFNF恒为定值，并求此定值.(1)设(c,0)F，因为1b，所以21ca，直线OB方程为1yxa，直线BF的方程为1()yxca，解得：(,)22ccBa，又直线O

A的方程为1yxa，则3(,),.ABcAckaa又因为ABOB，所以31()1aa，解得：23a，故双曲线C的方程为221.3xy(2)由（1）知3a，则直线l的方程为0001(0)3xxyyy，即0033xxyy，因为直线AF的方程为2x，所以直线l与AF

的交点0023(2,)3xMy直线l与直线32x的交点为003332(,)23xNy，则220222004(23)9[(2)]xMFNFyx因为是C上一点，则220013xy，代入上式得2222000222222000004(23)4(23)4(

23)49[(2)]3(23)39[1(2)]3xxxMFxNFyxxx，所求定值为233MFNF.12．（2022·河北衡水中学一模）在平面直角坐标系xOy中，双曲线222

2:10,0yxCabab的离心率为2，实轴长为4.(1)求C的方程；(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点0,Pt且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.【答案】

(1)22144yx(2)0,1【分析】（1）根据双曲线的离心率结合实轴长，可求得a,b,即得答案;（2）根据O，A，N，M四点共圆结合几何性质可推出1ANOMkk，设11,Gxy，22,Hxy，(,)MMMxy，从而可以用点的坐标表示出t,再设直线:GHykxt

，联立双曲线方程，利用根与系数的关系式，代入t的表达式中化简，可得答案.(1)因为实轴长为4，即24a，2a，又2ca，所以22c，2224bca，故C的方程为22144yx.(2)由O，A，N，M四点共圆可知，ANMAOM，又MOPA

OM，即ANMMOP，故1tantantanANMMOPOMP，即1ANOMkk，所以1ANOMkk,设11,Gxy，22,Hxy，(,)MMMxy，由题意可知0,2A，则直线112:2yAGy

xx，直线222:2yAHyxx，因为M在直线l上，所以Myt，代入直线AG方程，可知1122Mtxxy，故M坐标为112,2txty，所以1122OMtyktx，又222A

NAHykkx，由1ANOMkk，则12122212tyytxx，整理可得1212222yyttxx，当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线:GHykxt，代入双曲线方程：22144yx

中，可得2221240kxktxt，所以12221ktxxk，212241txxk，又12122222yykxtkxt22222212122222422222111ttktkxxk

txxtkkttkkk，所以22212221222222221204421tyytttktttxxttk,故2tt，即1t，所以点P坐标为0,1.【点睛】本题考

查了双曲线方程的求解，以及直线和双曲线的位置关系的问题，解答时要注意明确点线的位置关系，能设相关点的坐标，从而表示出参数的表达式，再结合联立直线和双曲线方程，利用根与系数的关系式化简，难点在于较为繁杂的计算，要十分细心.13．（2022·河南·三模（理））已知双

曲线2222:10,0xyCabab的右焦点为,0Fc，a，b，c成等差数列，过F的直线交双曲线C于P､Q两点，若双曲线C过点165,3T.(1)求双曲线C的标准方程；(2

)过双曲线C的左顶点A作直线AP､AQ，分别与直线xm交于M､N两点，是否存在实数m，使得以MN为直径的圆恒过F，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)221916xy(2)存在，

21m或95m【分析】（1）利用待定系数法求双曲线方程；（2）假设存在实数m，使得以MN为直径的圆恒过F，则0MFNF，结合韦达定理可得m的值.(1)由已知设双曲线方程为22221xyab，又a，b，c成等差数列，且双曲线过点165,

3T，则2222222216531acbabcab，解得3a，4b，5c，故所求方程为221916xy，(2)由（1）得30A,，设AP､AQ方程分别为13ykx､

23ykx，则1,3Mmkm，2,3Nmkm，因为以MN为直径的圆经过5,0F，所以MFNF即0MFNF，即2212530mkkm，设PQ方程为5xny

，与221916xy联立得221691602560nyny，设11,Pxy，22,Qxy，则122160169nyyn，122256169yyn，所以12121212

2121212123388864yyyyyykkxxnynynyynyy，即1222225649256128064169kknnn，所以2245309mm，251141890mm，解得21m或95m

.题型二：相同渐近线双曲线方程求法一、单选题1．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知双曲线C的渐近线方程为340xy，且焦距为10，则双曲线C的标准方程是（）A．221916xyB．221169xyC．221169xy

或221916yxD．221916xy或221169yx【答案】C【分析】根据共渐近线0bxay的双曲线的设法2222xyab，结合题意分析求解．【详解】渐近线方程为340xy的双曲线为22169xy，即221169xy，故25||25，

故1，故选：C．2．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线C与双曲线22126xy有公共的渐近线，且经过点2,3P，则双曲线C的离心率为（）．A．2B．233C．4D．2【答案】D【解析】双曲线C与双曲线22126xy有公共的渐近线，设双曲线C的方程2226xy，

其中λ≠0，又因为点2,3P在双曲线上，再代入点P的坐标即可得到双曲线C的方程，然后求解焦距即可．【详解】双曲线C与双曲线22126xy有公共的渐近线，设双曲线C的方程2226xy，其中λ≠0，∵点2,3P在双曲线上，∴122，解之得32

，因此双曲线方程为22139xy,3,23,ac故离心率为2cea.故选：D.【点睛】本题考查双曲线的性质及离心率，根据题意列出未知数，解出a，b，c即可求得离心率，属于中等题.3．（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线C的一个焦点

为0,5，且与双曲线2214xy的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为A．2214yxB．221520yxC．221205xyD．2214xy【答案】B【解析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双

曲线的标准方程，结合焦点坐标求解.【详解】∵双曲线C与2214xy的渐近线相同，且焦点在y轴上，∴可设双曲线C的方程为2214yxkk，一个焦点为()0,5，∴425kk，∴5k，故C的标准方程为221520yx.故选：B【

点睛】此题考查根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的标准方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错.二、多选题4．（2020·全国·高三阶段练习）已知双曲线C过点1,2且渐近线为3yx，则下列结论正确的是（）A．C的方

程为2213yxB．C的离心率为2C．曲线2331xye经过C的一个焦点D．直线310xy与C有两个公共点【答案】BC【解析】设所求双曲线方程为2230xy，将点1,2代入可判断A；由A求出,,abc，即可求出离心率，判断B；求出双曲线C的右焦点的坐标

为23,03，代入曲线方程即可判断C；联立方程组可判断D.【详解】对于选项A，由3yx可得223yx，从而可设所求双曲线方程为2230xy.又由双曲线C过点1,2，代入得22312，即1

，故选项A错误；对于选项B，由双曲线C的方程可知33a，1b，233c，所以C的离心率2cea，故选项B正确；对于选项C，双曲线C的右焦点的坐标为23,03，满足2331xye，故选项C正确；对于选

项D，联立2231031xyxy，解得33x，0y，所以直线310xy与双曲线C只有一个交点3,03，故选项D错误.故选：BC.【点睛】本题考查双曲线的几何性质､直线与双曲线的位置关系，考查运算求解､推理论证能力，考查

直观想象､数学运算､逻辑推理核心素养，属于基础题.5．（2021·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为F，一条渐近线过点23,6，则下列结论正确的是（）A．双曲线C的离心率为3B．双曲线C与双曲线2

2124yx有相同的渐近线C．若F到渐近线的距离为2，则双曲线C的方程为22184xyD．若直线2:alxc与渐近线围成的三角形面积为42,则焦距为62【答案】BCD【解析】根据渐近线所过的点可求,ab的关系，从而可求渐近线的方程和离心率，故可判断A、B的正

误，利用已知的条件和,ab的关系可求基本量，从而可判断C、D的正误.【详解】渐近线的方程为byxa，因为一条渐近线过点23,6，故236ba即2ab，故离心率为2161122ba，故A错误.又渐近线的方程为22yx，而双曲线2

2124yx的渐近线的方程为22yx，故B正确.若F到渐近线的距离为2，则2b，故22a，所以双曲线C的方程为22184xy，故C正确.直线2:alxc与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,aabcc及2,aabcc

，故214222aabcc即2342cab，而2ab，故33bc，63ac，所以2366342273ccc，所以32c，故焦距为62，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：（1）求双曲线2222:1(0,0)xyCab

ab的渐近线的方程，一般是将等号右边的常数变为零；（2）双曲线2222:1(0,0)xyCabab的焦点到渐近线的距离为b.三、填空题6．（2022·辽宁·模拟预测）焦点在x轴上的双曲线C与双曲线22149xy有共同的渐近线，且C的焦点到一条渐近线的距离为32，

则双曲线C的方程为______．【答案】221818xy【分析】由共渐近线的双曲线系方程可设22:049xyC，根据焦点到渐近线距离为b可构造方程求得，由此可得双曲线方程.【详解】由题意可设双曲线C的方程为：22049xy，即22149xy

；则24a，29b，双曲线焦点到渐近线距离为b，329，解得：2，双曲线C的方程为：221818xy.7．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线2222:1yxCab（0a，0b）与双曲线22:146xyD有相同的渐近线，且C经过点2

,6，则C的实轴长为_________【答案】230【分析】根据给定条件求出a，b的关系，再由双曲线C过的点即可计算作答.【详解】双曲线2222:1yxCab的渐近线为ayxb，而双曲线22:14

6xyD的渐近线为62yx，依题意，62ab，又双曲线C经过点2,6，则223641ab，解得：30,25ab，所以双曲线C的实轴长为230.故答案为：230四、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线

22122:10,0xyCabab与222:193xxC有相同的渐近线，点2,0F为1C的右焦点，,AB为1C的左，右顶点.（1）求双曲线1C的标准方程；（2）若直线l过点F交双曲线1C的

右支于,MN两点，设直线,AMBN斜率分别为12,kk，是否存在实数入使得12kk?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2213yx；（2）存在，13.【分析】（1）根据2C的渐近线方程求出3ba，然后再根据焦点坐标求出c的值，从而

求双曲线1C的标准方程；（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消元写韦达；然后表示出直线,AMBN斜率，根据韦达定理求12kk的值，从而求出的值.【详解】（1）2C的渐近线为3yx，3ba，222cab，1,3ab，所以双曲线1C的标准方程2213yx.（2）由

已知，11221,01,0,,,,,ABMxyNxy，l过点2,0F与右支交于两点，则l斜率不为零，设:2lxmy，由22132yxxmy，消元得2231129

0mymy，因为l与双曲线右支交于两点，所以21223109031myym，解得33,33m2221249313610mmm，121222129,3131myyyymm，121212,01

1yykkxx，121211212212112211133yxymykmyyykyxymymyyy，121212493yymmyy，121234myyyy，

121121212212313144433933444yyyyykkyyyyy，存在13使得12kk.题型三：直接法解决离心率问题一、单选题1．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）已知双

曲线的方程2214xy，则该双曲线的离心率为（）A．3B．32C．22D．52【答案】D【分析】由双曲线方程可求得22,1,215abc，由此可求得离心率.【详解】由2214xy可得：2,1,5abc，故离心率为52cea，故选：D2．（2022·黑龙江·哈

九中模拟预测（理））如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线2222:10,0xyEabab的左、右焦点分别为1F，2F

，从2F发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D．且3cos5BAC，ABBD，则E的离心率为（）A．5B．103C．52D．173【答案】D【分析】设2||AFm，2||BFn，由双曲线的定义可得1||AF，1||BF，在直角三角形1AFB中，在12

AFF△中，运用锐角三角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．【详解】解：设2||AFm，2||BFn，由双曲线的定义可得1||2AFam，1||2BFan，由3cos5BAC，可得12cos53FAF，在直角三角形1AFB中，

122s54in2anFAFam，①222(2)()(2)anmnam，②在12AFF△中，可得2224(2)2(2)53cmammam③由①②可得23an，43am，代入③可得222161008104993353aaa

ac，即为22917ca，则173cea，故选：D．3．（2022·浙江金华·三模）已知双曲线C：222210,0xyabab，O为坐标原点，F为双曲线C的左焦点，若C的右支上存在一点P，使得OFP△外接圆M的

半径为1，且四边形MFOP为菱形，则双曲线C的离心率是（）A．21B．31C．31D．2【答案】B【分析】设双曲线C的右焦点为F，连接PF，易证FPF为直角三角形，解出2a与2c代离心率的计算公式即可求解【详解

】如图所示，设双曲线C的右焦点为F，连接PF因为OFP△外接圆M的半径为1，则1MOMFMP又四边形MFOP为菱形，所以1OFOFMP则MOF△为正三角形，所以60MFO，30PFOFPO因为//OPMF，所以60POFMFO，又OPOF

所以OPF△为正三角形，所以60OPF，所以90FPF在RtFPF△中，22FFc，cos303PFFF，1PF所以312PFPFa所以2231231cea故选：B4．（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，已知1F，2F为双曲线

E：22221(0,0)xyabab的左、右焦点，过点1F，2F分别作直线1l，2l交双曲线E于A，B，C，D四点，使得四边形ABCD为平行四边形，且以AD为直径的圆过1F，11DFAF，则双曲线

E的离心率为（）A．2B．3C．52D．102【答案】D【分析】利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点，以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解.【详解】设11DFAFx，则22DFxa，由双曲线的

对称性和平行四边形的对称性可知：21CFAFx，连接1CF，则有1222CFCFxa，2222DCDFCFxa由于1F在以AD为直径的圆周上，11DFAF，∵ABCD为平行四边形，//ABCD，1DFDC

，在直角三角形1CDF中，22211CFDFCD，222222xaxxa，解得：3xa，123,DFaDFa；在直角三角形12FFD中，2221212DFDFFF，22232aac，得2252ac，102cea，故选：D.5．（

2022·贵州黔东南·一模（理））已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab，直线2xa与C交于A、B两点（A在B的上方），DAAB，点E在y轴上，且EAx∥轴．若BDE的内心到y轴的距离为43a，则C的离心率为（

）.A．62B．103C．6D．10【答案】B【分析】根据题目信息画出准确图像，本题重难点在于合理利用三角形内心性质，以及角平分线定理，得到,ab关系后即可求出离心率.【详解】因为A在B的上方，且这两点都在C上，所以(2,3),

(2,3)AabBab，则||23ABb．因为DAAB，所以A是线段BD的中点，又EAx∥轴，所以||||EDEB，EABD，所以BDE的内心G在线段EA上．因为G到y轴的距离为43a，所以4||||324||||23aEGEDaGADAa，所以60EDA

，因此||23||23EAaDAb，即3ab．故21013bea．故选：B二、多选题6．（2022·山东烟台·一模）已知双曲线C：22145xy，1F，2F为C的左、右焦点，则（）A．双曲线221045xymmm和C的离心率相等B．若P为C上一点，

且1290FPF，则12FPF△的周长为6214C．若直线1ytx与C没有公共点，则62t或62tD．在C的左、右两支上分别存在点M，N使得114FMFN【答案】BC【分析】求得双曲线22

1045xymmm和C的离心率判断选项A；求得12FPF△的周长判断选项B；由直线与圆锥曲线位置关系的判定判断选项C；求解满足题意条件的直线MN判断选项D.【详解】选项A：双曲线C：2214

5xy的离心率32e双曲线221045xymmm的离心率459244mmmemm则双曲线221045xymmm和C的离心率不一定相等.判断错误；选项B：P为C：22145xy上一点，且1290FPF则有222

112364PFPFPFPF，整理得12214PFPF则12FPF△的周长为6214.判断正确；选项C：由221451xyytx，可得22(54)8240txtx由题意可知，方程2

2(54)8240txtx无解当2540t时，方程22(54)8240txtx有解；当2540t时，则有222540896540ttt，解之得62t或62t故若直线1ytx与C没有公共点，则62t或62t.判断正

确；选项D：根据题意，过双曲线C的左焦点1F的直线MN方程可设为3xty令1122(,),(,)MxyNxy，由114FMFN，可得214yy由221453xyxty，可得22(54)30250tyty则有12212230542554tyytyyt

，则有122123055425454tytyt，整理得2191000t，显然不成立.当过双曲线C的左焦点1F的直线MN为水平直线时，方程为0y则(2,0),(2,0)MN，11(1,0),(5,0)FMFN，即115FMFN

.综上可知，不存在分别在C的左、右两支上M，N使得114FMFN.判断错误.故选：BC三、填空题7．（2022·安徽·合肥一中模拟预测（理））已知双曲线C：22214xyb（0b），以C的焦点为圆心，3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是___

_____________．【答案】131,2【分析】根据圆心到直线的距离小于半径，即可得c的范围，进而可得离心率范围.【详解】双曲线C的渐近线方程为2byx，右焦点(c,0)F，∵渐

近线与圆相交，∴2231bcba，即3b，∴222cb，可得22413cb，∴双曲线C的离心率为：132cea，且1e．∴131,2e．故答案为：131,2

8．（2022·山东日照·二模）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线2222:10,0xyEabab的左､右焦点分别为1F

，2F，从2F发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且4cos5BAC，ABBD，则E的离心率为___________.【答案】102【分析】连接1FB，1FA，设2FBx，则12FBxa，根据诱导公式及同角三角函数的基本关系

求出1sinFAB，1tanFAB，再根据锐角三角函数得到143ABFB、1153FAFB，从而得到方程求出x，再在12FFB△利用勾股定理计算可得；【详解】解：如图，连接1FB，1FA，则1F，A，C

和1F，B，D都三点共线，设2FBx，则12FBxa.由14coscosπ5FABBAC，所以2113sin1cos5FABFAB所以111sin3tancos4FABFABFAB，又ABBD，所以113tan

4FBFABAB，即143ABFB，1113sin5FBFABFA，即1153FAFB，又22FAABFB，因此1242233FAFAxaa，即xa，在12RtFFB中22222210cxaxa，即2252

ca.故102e.故答案为：1029．（2022·浙江·三模）已知双曲线222:1(0)4xyCbb的两个焦点分别为12,FF，点00,Pxy是双曲线第一象限上一点，在点P处作双曲线C的切线l，若点12,FF到切线l的距离之积为3，则双曲线C的离心率为__

_____．【答案】72【分析】设00,Pxy002,0xy，根据直线与双曲线的位置关系可求得在点P处的切线方程，再根据点到直线的距离公式分别求出点12,FF到切线l的距离，列出方程，求出b，即可求出离心率．【详解】设点00,Pxy00

2,0xy，有222222000021444xyybxbb．设在点P处的切线方程为00yykxx，联立双曲线方程，由0可解得2004bxky，所以切线方程为2200

440bxxyyb，1(,0)Fc到切线l距离22220014224220000441616bcxbbcxbdbxybxy，2(,0)Fc到切线l距离22220024224220000441616bcxbb

cxbdbxybxy，所以422442240201242242222000041616316416bbxbbcxbddbbxybxbxb，即3b，所以2,7ac，故72e．故答案为：72．四、解答题

10．（2022·河北张家口·三模）已知0ba，点(0,2)Ab，20,2Bb，动点P满足||2||PAPB，点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)直线ykxm与曲线C相切，

与曲线2222:1xyEab交于M､N两点，且π2MON（O为坐标原点），求曲线E的离心率.【答案】(1)222xyb；(2)3.【分析】（1）根据两点间距离距离公式，结合已知等式进行求解即可；（2）根据曲线切线的性质，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、平面向量垂直的性质、双

曲线的离心率公式进行求解即可.(1)设(,)Pxy，由||2||PAPB得22222(2)22xybxyb，整理得222xyb即为曲线C；(2)ykxm与曲线C相切，2||1

mbk，即2221mbk.设11,Mxy，22,Nxy，将ykxm代入曲线E整理得：222222222()2(0)bakxakmxamab，2220bak，222222()40

abmbak，2122222akmxxakb，222212222amabxxakb.π2MON，0OMON，即12120xxyy.222222212121212222()()()kabmbyykxmkxmkxxkmxxma

kb，2222222222222220amabkabmbakbakb，整理得2222221mabkba，22222abbba，即222ba，223ca，3e

.故曲线E的离心率为3.【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键.题型四：构造齐次方程法求离心率的值或范围一、单选题1．（2022·湖北省天门中学模拟预测）已知共焦点的椭圆和双曲线，焦点为1F，2F，记它们

其中的一个交点为P，且12120FPF，则该椭圆离心率1e与双曲线离心率2e必定满足的关系式为（）A．1213ee144B．221231ee144C．22123114e4eD．22121314e4e【答案】C

【分析】设椭圆的长半轴长为1a，双曲线的半实轴长2a，焦距2c，根据椭圆及双曲线的定义可以用12,aa表示出12,PFPF,在12FPF△中根据余弦定理可得到2212314e4e的值.【详解】如图，设椭圆的长半轴长为1a，双曲线的半实轴长为2a，则根据椭圆及双曲线的定义12

11222,2PFPFaPFPFa，112212,PFaaPFaa，设121222,3FFcFPF，则在12PFF△中由余弦定理得22212121212242cos3caaaaaaaa，化简

2221234aac，该式变成22123114e4e.故选：C.2．（2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）已知1F，2F分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点，

过1F的直线l与双曲线C左、右支分别交于A，B两点，若2||ABBF，12BFF△的面积为233b，双曲线C的离心率为e，则2e（）A．3B．2C．23D．523【答案】D【分析】利用双曲线的定义得到24AFa，12AFa，利用余弦定理表达出22225cos4caBAFa，进而表

达出正弦，求出12AFF△与2ABF面积相加，得到12BFF△的面积，得到方程442213100acac，解出离心率的平方.【详解】如图，由双曲线的定义可知：122BFBFa，212AFAFa，

因为2||ABBF，所以12AFa，代入212AFAFa中，可得：24AFa，因为122FFc，所以在三角形12AFF中，由余弦定理得：2222222212121221241645cos22244AFFAF

FaacacFAFAFFAaaa，因为122πFAFBAF，所以22225cos4caBAFa，则222225sin14caBAFa，2244222109tan5accaBAFca

取2AF的中点M，连接BM，因为2||ABBF，所以2BMAF，22AMMFa，所以22442221095aaccaBMca，2222442221410925ABFaaccaSAFBMca，又因为122244211

21sin1092AFFSAFAFFAFacca，所以2224422442224109310953aaccaaccabca，化简得：442213100acac，同除以4a得：4210130ee，

解得：2523e或25230e（舍去）故选：D3．（2022·浙江·模拟预测）已知双曲线22221(0,0)xyabab的左､右焦点分别为12,FF，M为右支上一点，2112120,MFFMFF的内切圆圆心为Q，直线MQ交x轴于点N，||2||MQQ

N，则双曲线的离心率为（）A．54B．43C．3D．2【答案】A【分析】先由切线长定理及双曲线的定义求得Q点横坐标为a，再由直线2QF的方程求出3()QEca，再借助||2||MQQN求得33()MPca，进而求得26()MFca，在12MFF△，由双曲线的定义及余弦定理

即可求出54ca.【详解】如图，设内切圆Q与12MFF△的三边分别切于,,DEG三点，过M作MPx轴于P点，易得1122,,MDMGFDFEFEFG，又由双曲线定义得122MFMFa，即12122MDDFMGGFMDFEFEa，又122FEFEc，故

1FEac，即Q点横坐标为a，又21120MFF，则2120PQF，故直线2QF的方程为3()yxc，代入xa，解得3()3()yacca，即3()QEca，又||2||MQQN，则3MPMNQEQN

，故33()MPca，又260MFP，则26()MFca，16()264MFcaaca，在12MFF△中，由余弦定理得222221121221cos2FMFFFMMFFFMFF，即2222666412

2266ccacacca，化简得224950caca，即24950ccaa，解得1ca或54ca，又离心率大于1，故离心率为54.故选：A.二、多选题4．（2022

·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线2222:10,0xyCabab的右焦点为F，l是C的一条渐近线，以F为圆心，a为半径的圆与l交于A，B两点，则（）A．过点O且与圆F相切的直线与双曲线C没有公共点B．C的离心率的最大值是2C．若0FAFB

，则C的离心率的取值范围是6,22D．若OAABuuruuur，则C的离心率为173【答案】ACD【分析】选项A.双曲线C的渐近线l与圆F交于A，B两点，所以过点O且与圆F相切的直线与C没有公共点

从而可判断；选项B.过点F作FDl,则FDb，故可得ba，从而可得离心率的范围，从而可判断；选项C.由条件可得02AFB，即04AFD，从而22ba，从而可得离心率的范围，从而可判断；选项D.由条

件可得A为线段OB的中点，由勾股定理得出,,abc的关系，从而可得离心率的范围，从而可判断.【详解】对于A，因为双曲线C的渐近线l与圆F交于A，B两点，所以过点O且与圆F相切的直线与C没有公共点（如图），故选项A正确．对于B，过点F作FDl，垂足为D，易知FDb

，因为圆F与直线l相交，所以ba，又222cab，所以222ca，即22e，所以C的离心率的取值范围是1,2，故选项B错误．对于C，若0FAFBuuruur，则02AFB，故04AFD

，故2cos2AFD，所以22FDFA，即22ba，2ab，2222aca，得232e，又由B知1,2e，所以6,22e，故选项C正确．对于D，因为OAABuuruuur，所以A为线

段OB的中点，设ADm，则2OAm，3ODm，在RtAFD和RtOFD中，由勾股定理得，2222229bmabmc，消去2m得，22298cab，即22179ac，所以173e，故选项D正确．故选：ACD三、双空题5．（2022·

湖北武汉·模拟预测）已知1F，2F，是双曲线C：22213xyb的左右焦点，过1F的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，12AFF△与12BFF△内切圆的圆心分别为1I，2I，半径分别为1r，2r，则1I的横坐标为_______

___；若12:1:3rr，则双曲线离心率为__________.【答案】32【分析】根据题意，利用三角形内切圆的性质及双曲线的定义可得双曲线焦点三角形内切圆圆心的横坐标为a；利用三角形相似及两个内切圆半径的比值，

构造ac、的齐次方程，即可求解离心率.【详解】如图，在12BFF△中，圆2I为12BFF△内切圆，切点分别为CDE、、，故2211,,BDBCFCFEFDFE，又B是双曲线C上的一点，故122BFBFa，即122

FEFEa，又122FEFEc，故1FEac，则OEa.故12BFF△的内切圆2I的圆心横坐标为a，同理可得，12AFF△的内切圆1I的圆心横坐标为a，即3；又12:1:3rr，则12:::1:3rracac

caca，即1113caecae，解得2e.故答案为：3；2.四、填空题6．（2022·河北·模拟预测）已知12,FF分别为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左､右焦点，过点1F

的直线与双曲线C的左､右两支分别交于,MN两点，且12112221sin2,0sin3NFFMFMNFFNFNFF，则双曲线C的离心率是__________．【答案】7【分析】在12MFF△中，由正弦定

理可得1223NFNF，再根据双曲线的定义可求得12,NFNF，设2NF的中点为Q，根据题意可得2MFMN,再根据双曲线的定义可求得21,MFMF，在12MFF△中，利用余弦定理求得,ac的关系，即可得出答案.【详解】解：在12MFF△中，由1221sin2sin3

NFFNFF，得1223NFNF，因为122NFNFa，所以126,4NFaNFa，又1122220,0MFMNFFNFMFMNNF，设2NF的中点为Q，则22QMFMNM，所以220MQNF，所以2MQNF

，所以2MFMN,设2MFMNm，则16MFam，又212MFMFa，则62mama，解得4ma=，所以214,2MFaMFa，所以2MFN是正三角形，从而12120FMF,在12MFF△中，由222(2)(2)(4)224caaaacos120，得2

27ca，所以7e．故答案为：7.7．（2022·福建三明·模拟预测）已知双曲线222210,0xyabab的左､右焦点分别为1F､2F，双曲线上一点A关于原点O对称的点为B，且满足110AFBF，21tan3ABF，则该双曲线的离心率为___

________.【答案】102【分析】利用双曲线的定义，结合21tan3ABF，且110AFBF，由21AFBF是矩形，且213,BFaBFa，利用勾股定理求解.【详解】解：如图所示：由双曲线的定义得：212BFBFa，又21tan3ABF

，且110AFBF，所以21AFBF是矩形，且213,BFaBFa，又因为222214BFBFc，即22104ac，解得102e，故答案为：1028．（2022·安徽马鞍山·三模（文））已知双曲线E的焦点在x轴上，中心为坐标原点，F为E的右焦点，过点F作直线1l与E的左右两支分

别交于A，B两点，过点F作直线2l与E的右支交于C，D两点，若点B恰为ACD△的重心，且ACD△为等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为___________.【答案】2【分析】设双曲线方程为22221xyab，由重心可知BF为ACD△的一条中线，即可判断点F为CD的中点，则2l为xc，

分别讨论ACD△的两腰，并检验点B为重心，即可求解.【详解】由题，设双曲线方程为22221xyab，因为点B恰为ACD△的重心，则BF为ACD△的一条中线，所以点F为CD的中点，则2l为xc，因为ACD△为等腰直角三角形，若ACAD，则点A为左支的顶点，且

AFCD，所以设,Ccac，则22221accab，即22222221caaccaca，所以2221211eeee，因为1e，解得2e，即2ca，此时,0Ba，,0Aa，,Dcac，所以重心为11,

33accacac，即为,0a，是点B，符合题意；若ACCD，则设点A为点C关于y轴的对称点，所以可设,Ccc，则22221ccab，即222221ccaca，所以

22211eee，解得152e，即152ca，此时,Acc，,Dcc，则重心为11,33cccccc，即11,33cc，又222211331ccab

，即重心不在双曲线上，不符合条件，综上，2e，故答案为：2【点睛】易错点点睛：（1）双曲线的离心率大于1；（2）对于等腰直角三角形，需讨论哪两条边为腰。五、解答题9．（2022·全国·高三专题练习）设A，B为双曲线2222:1xyCab(0,0)ab的左、右顶点，

直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，AMN为等腰直角三角形.（1）求双曲线C的离心率；（2）已知直线AM，AN分别交直线2ax于,PQ两点，当直线l的倾斜角变化时，以PQ为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点

的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）2；（2）以PQ为直径的圆过定点(,0)a，(2,0)a.【分析】（1）由已知得2220caca，由此可求得双曲线C的离心率.（2）由（1）得双曲线:C222213

xyaa，设直线:2lxmya，11(,)Mxy，22(,)Nxy，与双曲线的方程联立，得出根与系数的关系，得到以PQ为直径的圆的方程，可得定点.【详解】（1）由lx轴时，AMN为等腰直角三角形，

可得||||||AFNFMF，所以2baca，即2220caca，故220ee，结合1e，解得2e.故双曲线C的离心率为2.（2）因为2cea，所以双曲线:C222213xyaa，显然直

线l的斜率不为0，设直线:2lxmya，11(,)Mxy，22(,)Nxy，联立直线l与双曲线C的方程得2222213xmyaxyaa，化简得222(31)1290myamya，根据根与系数的关系，得212

1222129,3131amayyyymm，①所以121224()431axxmyyam，②222221212122342()431amaxxmyyamyyam，③设直线:AM11()yyxaxa，直线:AN22()yyxaxa，令2ax

，可得121233(,),(,)22()22()ayayaaPQxaxa，设()Gxy,是以PQ为直径的圆上的任意一点，则0PGQG，则以PQ为直径的圆的方程为2121233()[][]022()2(

)ayayaxyyxaxa，由对称性可得，若存在定点，则一定在x轴上，令0y，可得2121233()022()2()ayayaxxaxa，即2212212129()024[()]a

yyaxxxaxxa，将①②③代入，可得22222222229931()034424()3131aaamxamaaaamm，即229()24axa，解得xa或2xa，所以以PQ为直径的圆

过定点(,0)a，(2,0)a.【点睛】方法点睛：(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形

．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.10．（2021·全国·高三专题练习）设双曲线1C的方程为22221(0,0)xyabab，A、B为其左､右两个顶点，P是双曲线1C上的任意一点，引QBPB，QAPA，AQ与BQ交于点Q.（1）求Q点的轨迹方程；（2）设（1

）中所求轨迹为2C，1C、2C的离心率分别为1e、2e，当12e时，2e的取值范围.【答案】（1）22224axbya（除点(,0),(,0)aa外）；（2）12e.【解析】（1）根据题意，设

00,,,PxyQxy，根据椭圆的几何性质得出A、B的坐标，由QBPB，QAPA，由直线的斜率公式得出Q点的坐标间的关系式，从而得出Q点的轨迹方程；（2）由（1）得2C的方程为：224221xyaab，利用椭圆的几何性质求出2221111ee，最后根据12e

，即可求出2e的取值范围.【详解】解：（1）根据题意，设00,,,PxyQxy，0000(,0),(,0),,,1,1,11QBPBQAPAAaBaQBPBQAPAkkkkyyxaxayyxaxa①②，由

①②得：002222221yyxaxa③，00002222222221,xyybabxaa，代入③得222221byaxa，即22224byxaa，即22224axbya，经检

验点(,0),(,0)aa不合题意，因此Q点的轨迹方程为22224axbya（除点(,0),(,0)aa外）.（2）由（1）得Q点的轨迹方程为22224axbya（除点(,0),(,0)aa外），所以2C的方程为：224221xyaab，422

222222222111111aaaabeabcae，12e，222112(2)1e，12e.【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的简单几何性质、直线垂直的条件、不等式的运算，以及点的轨迹方程的求法，解题的关键在于求解点的轨迹方程，考查数形结合思想和

数学运算的能力.题型五：渐近线综合问题一、单选题1．（2022·安徽·安庆一中高三阶段练习（文））已知O为坐标原点，双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为,0Fc，离心率233e，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为,,ABOAB为直角三角形，3AB，则

C的方程为（）A．22142xyB．2213xyC．22163xyD．22184xy【答案】B【分析】根据离心率233e可得渐近线方程以及渐近线的夹角，结合Rt△AOB求2OF．【详解】双曲线C的离心率2323233,,,,3333cecaba

aC的渐近线方程为：33yx，两渐近线的夹角为60，不妨设AB与直线13:3lyx垂直，垂足为A，则60,3,3,2,2,3,1AOBABOAOFcab．故选:B．2．（2022·山西吕梁·三模（文））已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab

的离心率e是它的一条渐近线斜率的2倍，则e（）A．233B．2C．3D．2【答案】A【分析】根据双曲线的几何性质列式可求出结果.【详解】由题意得2222cbaaabc,解得2243ca，即233e.故选：A.3．（2022·江西宜春·模

拟预测（文））若双曲线222210,0xyabab的一个顶点为A，过点A的直线330xy与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为()A．22B．42C．25D．210【答案】D【分析】根据双曲线

渐近线的性质即可求解．【详解】330xy斜率为13，过点A的直线330xy与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线byxa平行，且过双曲线右顶点(a，0)，故ba=13，且a-3=0，解得a=3，b=1，故c=10

，故焦距为2c=210．故选：D．4．（2022·四川遂宁·模拟预测（文））设双曲线C：22221xyab（0a，0b）的左、右焦点是1F，2F，O为原点，若以12FF为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，且13FPOP，则

C的渐近线方程为（）A．3yxB．yxC．33yxD．2yx【答案】A【分析】不妨设其中一条渐近线为byxa，P在byxa上，设byxa的倾斜角为π,(0,)2，由余弦定理求得1cos2，即可求得渐近线方程.【详解】

由题意可知||OPc，不妨设其中一条渐近线为byxa，P在byxa上，设byxa的倾斜角为π,(0,)2，则1πPOF,故在1POFV中，22212(3)1coscos22cccPOFc，即1cos2，则π3，故3ba

，故C的渐近线方程为3yx，故选：A5．（2022·海南·模拟预测）已知双曲线222:1(0)yExbb的一条渐近线与直线20xy垂直，则E的焦点坐标为（）A．3,02B．5,02C．(3,0)D．(5,0)【

答案】B【分析】根据题意可得双曲线222:1(0)yExbb的渐近线方程为ybx=，根据一条渐近线与直线20xy垂直，求得12b，继而求得52c，可得答案.【详解】由题意知，双曲线222:1(0)yExbb

的渐近线方程为ybx=，因为双曲线的其中一条渐近线与直线20xy垂直，故12b，而1a，故15142c，故双曲线的焦点坐标为5,02，故选：B二、多选题6．（2022·福建南平·三模）已知双曲线C的方程为222210,0xyabab，1F，2F分别

为双曲线C的左､右焦点，过2F且与x轴垂直的直线交双曲线C于M，N两点，又8MNa，则（）A．双曲线C的渐近线方程为2yxB．双曲线C的顶点到两渐近线距离的积的5倍等于焦点到渐近线距离的平方C．双曲线C的实轴长､虚轴长､焦距成等比数列D．双曲线C上存在点P，满足213PFPF【答案

】AB【分析】先由8MNa求得2ba，即可求出渐近线判断A选项，由点到直线的距离公式即可判断B选项，由实轴长､虚轴长､焦距结合等比中项即可判断C选项，由双曲线定义结合2PF的范围即可判断D选项.【详解】易知双曲线C的方程为222

21xyab，令xc得2bya，故228bMNaa，解得2ba，双曲线C的渐近线方程为byxa，即2yx，故A正确；双曲线C的渐近线方程为2yx，由双曲线的对称性，不妨取右顶点,0a，右焦点,0c，则顶点到两渐近线距离的积为222451414aaa

，焦点到渐近线距离的平方为222455cc，又2ba，22225caba，故2244555ca，B正确；2222416baa，22245aca，显然2222bac，C错

误；若213PFPF，又由双曲线定义12222PFPFPFa，解得251PFaaca，故不存在点P，满足213PFPF，D错误.故选：AB.7．（2022·湖南·一模）已知双曲线2222:1(0,

0)xyCabab的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B．若2FAAB，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为2yxB．双曲线C的离心率为3C．点A到两渐近线的距离的乘积为23bD．O为坐标原点，则2

tan4AOB【答案】BCD【分析】根据共线向量的性质，结合双曲线的渐近线方程、离心率公式逐一判断即可.【详解】双曲线的渐近线方程为byxa，不妨设过点F的直线与直线byxa平行，交于C于点A.对于A：设双曲线半

焦距为c，过点F与直线byxa平行的直线的方程为()byxca，与byxa联立，解得,22cbcBa，由2FAAB，设(,)Axy，所以(,)2(,)22cbcxcyxya，可得

2,33cbcAa，依题：22224199ccaa，得22223,2cbaa，故渐近线方程为2yx，A错误；对于B：由223ca可得3e，B正确；对于C：A到两渐近线距离的乘积2221222223AAAAbxaybxaya

bbddcab，C正确对于D：2,2,122OAABOAABbbkkkkaa故222222462,||,||993232323cbccbcbccOAABOAcABcaaa

，故||2tan||4ABAOBOA，所以D正确．故选：BCD【点睛】关键点睛：求出,AB两点坐标是解题的关键.8．（2022·全国·高三专题练习）下列双曲线的渐近线方程为12yx的是（）A．2214xyB．22142xyC．2214

yxD．221416yx【答案】AD【分析】22221xyab的渐近线方程为：byxa，22221yxab的渐近线方程为：ayxb.【详解】A选项，2214xy的渐近线方程为12yx，A正确；B选项，22142xy的渐近线方程为：2

2yx，B错误；C选项，2214yx的渐近线方程为：2yx，C错误；D选项，221416yx的渐近线方程为：12yx，D正确.故选：AD三、填空题9．（2022·全国·模拟预测）已知1F，2F分别是双曲线2222:10,0xyCabab的左､右焦点，则下

列说法正确的序号是___________.①122aFF；②若ab，则双曲线C的离心率为2；③若点P在双曲线C的右支上，1PF与y轴交于M，112PMFP，则22bPFa；④若双曲线C的离心率为5，则两条渐近线夹角余弦值为35.【答案】②③④【分析】根据双曲线的定义知122aFF

，得到①错误；由ab，求得离心率为2e，得到②正确；由1PF与y轴交于M，且112PMFP，得到2PFx轴，将xc代入曲线C，求得22bPFa，得到③正确；设渐近线byxa的倾斜角为，得到2222tancaa，结合5e，求得2tan4，进而求得cos2

的值，得到④正确.【详解】对于①中，根据双曲线的定义知1222aFFc，故①错误；对于②中，若ab，则双曲线C为等轴双曲线，其离心率为2e，故②正确；对于③中，由1PF与y轴交于M，且112PMFP，所以M

是1PF的中点，所以2PFx轴，将xc代入22221xyab，得2bya，所以22bPFa，故③正确；对于④，设渐近线byxa的倾斜角为，则tanba，所以222222tanbcaaa，因为双曲线C的离心率为5，所以225ca，所以2

tan4，根据渐近线的对称性得，渐近线的夹角的余弦值等于221tan3cos21tan5，故④正确.故说法正确的序号是②③④.故答案为：②③④.四、解答题10．（2022·全国·模拟预测）已知双曲线22220,0:1Taxybba

的一条渐近线1l的方程为33yx，且右焦点F到1l的距离为1．(1)求双曲线T的标准方程；(2)若点P为直线1l上一点，倾斜角为60的直线l与双曲线T的右支交于M，N两点，且PMN为等边三角形，求直线l在x轴上的截距．【答案】(1)2213xy(2)3【分

析】（1）根据渐近线方程可确定,ab的关系式，由F到1l的距离为1，可求解c的大小，结合双曲线中222cab，即可求解.（2）设直线截距式方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求解两交点纵坐标之间的关系式，并求解线段

MN中点坐标，利用等边三角形的性质及点到直线的距离即可求解直线l在x轴上的截距.(1)解：设右焦点,0Fc，因为点F到直线330xy的距离为1，所以3139c，所以2c，由渐近线方程33yx知33b

a，所以3ab=，又222cab，所以2234bb，21b，所以23a，故双曲线T的标准方程为2213xy．(2)解：设直线3:3lxyt，易知0t，与双曲线方程2213xy联立，化简可得22823930ytyt，由21082880t，

得263t．设33,Mxy，44,Nxy，则3434tyy，234938tyy，所以343439234txxyyt，故MN的中点Q的坐标为93,88tt，设3,Ppp，易知PQMN，所以3389338PQtpktp，解得34tp，

故33233324113pptpttPQ．因为PMN为等边三角形，所以2234343433314223PQMNyyyyyy2223933438484ttt

，所以2333844tt，得3t，满足263t，故直线l在x轴上的截距为3．题型六：利用自变量范围求离心率范围一、单选题1．（2022·山西太原·二模（理））已知双曲线222210,0xyabab的右焦点为26,0F，点Q为双曲线左支上一动

点，圆221xy与y轴的一个交点为P，若8PQQF，则双曲线离心率的最大值为（）A．463B．263C．465D．26【答案】A【分析】将条件8PQQF转化为三角形两边之和大于第三边，得到实半轴长a的取值范围，进而得到离心率的最大

值.【详解】设双曲线的左焦点为F,则||2QFQFa，所以22QFPQQFPQaPFa，由题意可得||||2415PFPF所以，528a，32a，所以26463ceaa.故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：22221

xyab（0a，0b）的右焦点F（26，0），点Q是双曲线C的左支上一动点，圆E：221xy与y轴的一个交点为P，若13PQQFPF，则双曲线C的离心率的最大值为（）A．463B．263C．465D．26【答案】A【分析】利用双曲线的定义进行焦半

径的转化，由此求出PQQFPF的最小值即可求出a的范围，再根据离心率计算公式可求离心率最大值.【详解】设双曲线C的左焦点为F，则||2QFQFa，即||2QFQFa，故||||||22QFPQQFPQaPFa．由题意可得||2415PF

PF，∵||||||210213PQQFPFPFaPFa，∴32a，则双曲线C的离心率26463ceaa．故选：A．3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知点F为双曲线2222:1(,0)xyCabab的右焦点，直线ykx，3,33k

与双曲线C交于A，B两点，若AFBF，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．226，B．2,31C．2,31D．226，【答案】B【分析】不妨设A在第一象限，根据AFBF，可设

(cos,sin)Acc.把点A的坐标代入双曲线方程可得出422cos210ee，利用求根公式即可解出211sine.结合3[,3]3k，可求出,63，从而可求出答案.【详解】不妨设A在第一象限，因为AFBF，所以设(cos,sin)A

cc，为锐角，代入双曲线方程可得：2222222coss1inccaca，即22222sincos11eee，化简可得4222cos1eee，即422cos210ee，因为1e，所以解得2222244cos1si

n12coscos1sine，因为直线ykx，3[,3]3k，所以3tan,33，即,63，所以13sin,22，所以2232,4e，所以2,

31e．故选：B．4．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab，若双曲线不存在以点2,aa为中点的弦，则双曲线离心率e的取值范围是（）A．231,3B．523,23C．23,3

D．5,2【答案】B【分析】由题意知点(2a，a)必在双曲线外部；若存在(2a，a)为中点的弦，根据点差法可得弦的斜率为222ba，要使弦不存在，则弦与双曲线无交点，则弦的斜率大于渐近线斜率ba，如此即可得到ba的取值范围，进而求出离心

率的范围﹒【详解】由题意知点(2a，a)必在双曲线外部，则222221aaab，得2213ba；假设以(2a，a)为中点存在弦，设弦与双曲线交于1122AxyBxy，，，，则22112222222211x

yabxyab＝＝，两式作差得，1212121222xxxxyyyyab＋＋＝即22122212222(ABbxxbkaayy＋＝＝＋，∵不存在该中点弦，∴

直线AB与双曲线无交点，则222bbaa…，得12ba…；综上，可得221143ba；又∵离心率e＝221cbaa＝＋，∴114＋≤e≤113＋，即52323e，故选：B二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C：22142

xymRmm，则下列说法正确的是（）A．若24m，则曲线C为椭圆B．若4m，则曲线C为焦点在y轴上的双曲线C．若曲线C为双曲线，则其焦距是定值D．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于2【答案】BD【分析】

取3m判断A；根据双曲线的定义以及性质判断BCD.【详解】对于A，当3m时，221xy表示圆，不是椭圆，故A错误；对于B，当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，2040mm，解得4m，故B正确；对于C，当2040mm时，2m，此时曲线C为焦点在x轴上的双曲线，

24262cmmm，则焦距2c不是定值，故C错误；对于D，由C选项可知，2m，626244mmemm，令4,2tmt，则222et，故D正确；故选：BD三、填空题6．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知椭圆C：22

2124xyaa的左、右焦点分别为1F，2F，若C上存在点P使得12PFPF，则双曲线Γ：22218xya的离心率的取值范围是______.【答案】1,2【分析】根据题意可得2248ac椭，用a表示e双，解不等式可

得答案.【详解】因为C上存在点P使得12PFPF，所以1290FPF,椭圆中，2222448cbac椭椭，因此，222288121,2aeeaa双双.故答案为：1,2.7．（2022·浙江绍兴·高三期末）已

知12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab.左，右焦点，若C上存在一点M，使得123MFMFMO成立，其中O是坐标原点，则C的离心率的取值范围是__________.【答案】3,2【分析】不

妨设点M在双曲线的右支上，设,Mxy，则xa≥，先求出1cMFxaa，2cMFxaa，由条件可得23cOMxa，再根据22222cOMxba，根据xa≥建立不等式从而可得答案.【详解】不妨设点M在双曲线的右支上，设,Mxy，则xa≥，则

12,0,,0FcFc则2222222122bMFxcyxcxcxba222222cccxcxaxaxaaaa同理可得2cMFxaa由123MFMFMO，可得23cccxaxaxOMaaa23cOMxa，又2222222222

22bcOMxyxxbxbaa所以222222249ccxbxaa，即222259cxba，即222225995axbac所以2295bc，即22295cac，即2249ca，即2294ca所以294e

，即32e故答案为：3,2四、解答题8．（2021·新疆昌吉·高三阶段练习（文））已知双曲线22221(0,0)xyabab的左､右焦点分别为12FF、，点P在双曲线的右支上（点P

不在x轴上），且125PFPF.(1)用a表示12,PFPF；(2)若12FPF是钝角，求双曲线离心率e的取值范围.【答案】(1)1251,22PFaPFa(2)26342e【分析】（1）直接利用双曲线的定义结合条件求得

12,PFPF；（2）由余弦定理得到212138cos55FPFe，利用12FPF是钝角，则121cos0FPF，解得离心率e的取值范围.(1)因为点P在双曲线的右支上，所以122PFPFa，又125PFPF，联立解得1251,22PFaPFa.(2)在

12PFF△中，由余弦定理得222222122251344138442cos515552222aacacFPFeaaa，因为121cos0FPF，所以21381055e，所以26342e.9．（2022·全国·高三专题练习

）如图，已知梯形ABCD中2ABCD，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当2334时，求双曲线离心率e的取值范围.【答案】7,10【分析】如图建立直角坐标

系xOy，设E00,xy，C,2ch，C点坐标代入22221xyab，求出h，由定比分点性质可求出E点坐标，将点C、E的坐标和cea代入双曲线方程化简可得2311e，即可求出e的取值范围.【详解】以A

B为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，如图，则CD⊥y轴，双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称，依题意，记A,0c，C,2ch，E00,

xy，其中1||2cAB为双曲线的半焦距，h是梯形的高，由定比分点坐标公式得：022121cccx，01hy设双曲线的方程为22221xyab，则离心率cea由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和cea代入双曲线方程得：2221

4ehb，①22221411ehb②由①式得22214heb，③，将③式代入②式，整理得：244124e，故2311e由题设2334得，22331324e

，解得710e，所以双曲线的离心率的取值范围为7,10.能力拓展