【文档说明】（新高考）高考数学二轮精品专题十《解析几何》（教师版）.doc，共(42)页，4.568 MB，由MTyang资料小铺上传

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解析几何的考查主要为直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的考查．1．直线与圆的考查常与导数结合，考查直线方程，考查点到直线的距离公式，主要以选择题、填空题的形式出现，难度相对简单，也与圆锥曲线结合，主要考查的问题为圆方程、圆弦长、面积等，难度中等．2．圆锥曲线的

考查主要为两种：一是对其概念及性质的考查，主要以选择题或填空题的形式出现；二是圆锥曲线综合问题的考查，比如范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题，常以大题的形式出现，难度较难，计算量较大．1．直线方程

与圆的方程（1）直线方程的五种形式名称方程形式适用条件点斜式不能表示斜率不存在的直线斜截式两点式112121yyxxyyxx不能表示平行于坐标轴的直线截距式1xyab不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线一般式不同时为零可以表示所有类型的直线（2）两条直线平行与垂直的

判定①两条直线平行：命题趋势考点清单专题10××解析几何对于两条不重合的直线，，若其斜率分别为，，则有1212llkk∥；当直线，不重合且斜率都不存在时，12ll∥．②两条直线垂直：如果两条直线，的斜率存在，设为，，则有；当其中一条直线的斜率不存在，而

另一条直线的斜率为时，．（3）两条直线的交点的求法直线：，：，则与的交点坐标就是方程组11122200AxByCAxByC的解．（4）三种距离公式①，两点之间的距离：．②点到直线：的距离：0022AxByCdAB．③平行线与间距离：1222CCdAB．（5）圆的

定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程圆心：，半径：一般方程，圆心：,22DE，半径：22142DEF（6）点与圆的位置关系点与圆的位置关系：①若在圆外，则．②若在圆上，则．③若在圆内，则．2．直线、圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系(半径为，圆

心到直线的距离为)相离相切相交图形量化方程观点几何观点（2）圆与圆的位置关系设两圆的圆心距为，两圆的半径分别为，，则位置关系外离外切相交内切内含公共点个数，，的关系公切线条数3．圆锥曲线及其性质（1）椭圆的标准方程及几何性质焦点在轴上焦点在轴上标准方程2

2221(0)xyabab22221(0)yxabab图形焦点坐标，，顶点坐标1,()0Aa，2,0Aa，1()0Bb，1()0,Aa，20,Aa,1,()0Bb，2,0Bb长轴长轴，是长半轴的长短轴短轴，是短半轴的长焦距焦距，是半焦距范围，，离心率221(01

)cbeeaa，e越接近，椭圆越扁；越接近，椭圆越圆（2）双曲线的标准方程及几何性质标准方程22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab图形一般方程几何性质范围，，焦点，，顶点，，对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称实、虚轴长线段叫做双曲线的实轴

，它的长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长(叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长)焦距焦距，是半焦距离心率221(1)cbeeaa渐近线方程byxaayxb（3）抛物线的标准方程及其几何性质方程标准的几何意义：

焦点到准线的距离图形OFlyxlyxOFyxlOFyxlOF顶点对称轴轴轴焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF离心率准线方程2px2px2py2py范围，，，，焦半径(其中02pPFx02pPFx02pPFy0

2pPFy4．圆锥曲线的综合问题（1）直线与圆锥曲线的位置关系判断直线与圆锥曲线的位置关系时，通常将直线的方程(，不同时为)代入圆锥曲线的方程，消去(也可以消去)得到一个关于变量(或变量)的一元方程．即联立00Ax

ByCFxy，，消去，得．①当时，设一元二次方程的判别式为，则直线与圆锥曲线相交；直线与圆锥曲线相切；直线与圆锥曲线相离．②当，时，即得到一个一次方程，则直线与圆锥曲线相交，且只有一个交点，此时

，若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．（2）圆锥曲线的弦长设斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，，，则22212121211[)4M

Nkxxkxxxx或2121212221111[)4MNyyyyyykk．一、选择题．1．已知直线和互相平行，则实数等于（）A．或3B．C．D．1或【答案】A【解析】∵两条直线和互相平行，∴，解得或．若，则与平行，满足题意；若，

则与平行，满足题意，故选A．【点评】本题主要考查了直线平行的条件，属于基础题．2．直线被圆所截得的弦长为，则（）A．43B．34C．3D．2【答案】A【解析】，即，该圆圆心为，半径为，直线截圆所得的弦

长为，则圆心到直线的距离为2231dr，24111aa，解得43a，故选A．【点评】本题主要考查圆的方程及圆的弦长问题，属于中档题．求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求

解．优先采用几何法．精题集训（70分钟）经典训练题3．已知点的坐标(,)xy满足不等式组2402030xyxyy，为直线上任一点，则的最小值是（）A．55B．255C．1D．172【答案】A【解析】点的坐标满足不等式组24020

30xyxyy的可行域如图：点的坐标满足不等式组2402030xyxyy，为直线上任一点，则的最小值，就是两条平行线与之间的距离22345512d，故选A．【点评】本题考查线性规划的应用，平行线之间的

距离的求法，考查转化思想以及计算能力，解决本题的关键是作出不等式组所表示的平面区域与的位置关系，难度一般；画出约束条件的可行域，利用已知条件，把的最小值转化求解平行线间的距离即可．4．若直线：始终平分圆：的周长，则的最小值为（）A．B．5C．D．10【答案】B【解析】由直线始终平分圆的周

长，则直线必过圆的圆心，由圆的方程可得圆的圆心坐标，代入直线的方程可得，又由表示点到直线的距离的平方，由点到直线的距离公式得2221155d，所以的最小值为，故选B．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式应用，把转化为点到直线的距离的平

方是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．5．已知直线是圆的对称轴，过点作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则三角形PAB的面积等于（）A．3B．32C．34D．334【答案】D【解析】因为

直线是圆的对称轴，所以直线过圆心，即，，所以点，，因为圆C的半径，所以切线长，且在直角三角形中1sinsin2rAPCBPCPC，所以，，所以三角形PAB的面积133sin24SPAPBAPB，故选D．【点评】本题主要考查了直

线与圆的位置关系，属于基础题．6．若分别过，，，四个点各作一条直线，所得四条直线恰围成正方形，则该正方形的面积不可能为（）A．1617B．365C．6437D．19653【答案】C【解析】如果过点，，，作四条直线构成一个正方形，过点的必须和过，，的其中一

条直线平行和另外两条垂直，假设过点和点的直线相互平行时，如图，设直线与轴正方向的夹角为，再过作它的平行线，过、作它们的垂线、，过点作轴的平行线分别角、于点、，则，，因为，所以，则，所以正方形的面积224sincos4tan

164sincossincostan2117SABAD，同理可求，当直线和过的直线平行时正方形的面积为365，当直线和过点的直线平行时正方形的面积为19353，故选C．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系与解析几何直线方程的交会，考查坐标法思想的应用，考查基

本运算求解能力．7．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab，12FF，分别是双曲线C的左右焦点，且．过点作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若的面积取最大值时，双曲线C的离心率为（）A．3B．C．2D．【答案】D【解析】设其中一条渐近线方程byxa，

焦点到渐近线的距离22bcdbab，是直角三角形，且，，，212OPFSab△，，，即，22122abab，当时等号成立，的最大值是12，即的面积的最大值是14，此时，双曲线是等轴双曲线，离心率，故选D．【点评】本题

的一个关键公式是，焦点到渐近线的距离，小题时，可以直接用这个条件．二、填空题．8．已知点P在直线上，点Q在直线，的中点为，且，则00yx的取值范围是________．【答案】2,05【解析】设，则，两式相加可得，由于的中点为，所以．

设00ytx，则代入上式可得0112xt．因为，所以111712tt，解之得205t，故填2,05．【点评】本题主要考查代数式的取值范围的求法，把多个变量化归为一个变量是主要途径．9．已知圆：，（）与圆：，（

bR）只有一条公切线，则的最小值为______．【答案】【解析】圆：的圆心坐标，半径，圆的圆心，半径，由两个圆只有一条公切线可得两个圆内切，圆心距，所以可得，设，，所以2sin2,24ab，当且仅当242kkZ，时，即324kk

Z，时，的最小值为，故答案为．【点评】本题考查由两个圆的公切线的条数判断两个圆的位置关系，及由三角函数的范围求代数式的最小值，属于中档题．10．已知方程221xyab表示的曲线为，任取、，则曲线表示焦距等于的椭圆的概

率等于________．【答案】825【解析】所有可能的的组数为，又因为焦距，所以，所以，则满足条件的有：、、、、、、、，共组，所以概率为825P，故答案为825．【点评】计算古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）数状图法；（3）列表法；（4）排列、组合数的应

用．11．已知是双曲线221412xy的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________．【答案】【解析】对于双曲线221412xy，则，23b，，如下图所示：设双曲线的右焦点为，则，由双曲线的定义可得，则，所以，，当且仅当、、三点共线时，等号成

立．因此，的最小值为，故答案为．【点评】利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解．12．已知双曲线22

22:1xyEab（，）的右焦点为，直线ykx（）与交于，两点（在第一象限），直线与的另一个交点为，以为直径的圆经过点，且，则的渐近线方程为__________．【答案】62yx【解析】如图，设的左焦点为，，连接，，1NF，

利用双曲线定义得，因为以为直径的圆经过点，所以，依题意，得四边形为矩形，则，，，则．在中，，即①，在中，，即，所以②，由①②，得，所以，所以62ba，所以的渐近线方程为62yx,故答案为62yx．【点评】求双曲线的渐近线的方法：（1）定义法：直接利用a，b，求得比值，则

焦点在x轴时渐近线byxa，焦点在y轴时渐近线ayxb；（2）构造齐次式，利用已知条件，结合，构建ba的关系式（或先构建ca的关系式），再根据焦点位置写渐近线即可．13．已知点，直线，直线，则点关于直线的对称点的坐标为__________，直线关于直线的对称直线方程是_________

_．【答案】【解析】（1）设则111201011022yxxyxy，2,1B．（2）由10220xyxy，得43xy，设，由（1）得上的点关于直线的对称点，因此所求对称直线过，即3

13442yx，250xy．【点评】本题主要考查了一个点关于某直线的对称点坐标的求法，直线关于直线对称的直线的求法，属于基础题．三、解答题．14．已知椭圆222210xyabab过点，且离心率为22．（1）求椭圆的方程；（2）设经过椭圆右焦点F

的直线l交椭圆于C，D两点，判断点32,02P与以线段CD为直径的圆的位置关系，并说明理由．【答案】（1）22142xy；（2）详见解析．【解析】（1）由已知，点在椭圆上．因此2222221122a

babcca，解得，，所以椭圆的方程为22142xy．（2）设点11,Cxy，，CD中点为．椭圆的右焦点为，当直线CD斜率为零时，点P显然在圆外；当直线CD斜率不为零时，设直线CD的方程为，由222142xkyxy

，得，所以122222kyyk，12222yyk，从而0222kyk．所以2222222000000321212222QPxykyykyky，222221212122201211444

kyyCDxxyykyyy，故22222200012112142CDQPkykykyyy222201222212221221222222kkkkykyykkk，当

时，点32,02P在以CD为直径的圆的外部；当或时，点32,02P在以CD为直径的圆上；当2,2k时，点32,02P在以CD为直径的圆的内部．【点评】本题考查了

椭圆的方程、点和圆的位置关系，关键点是求出圆心和半径，利用P点到圆心的距离和半径比较大小，考查了学生分析问题、解决问题及转化的能力．15．已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为12，短轴长为．（1）求椭圆C的方程；（2）

设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．【答案】（1）22143xy；（2）证明见解析．【解析】（1）因为

椭圆的离心率12，12ca，2ac，又，．因为，所以，，所以椭圆C的方程为22143xy．（2）解法一：设直线，，，224143xtyxy，可得，所以12212224343634tyytyy

t．直线AM的方程：1122yyxx①，直线BN的方程：2222yyxx②由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，联立①②，可得1221212623tyyyyxyy．因为1212

23yytyy，所以122112212121362262133yyyytyyyyxyyyy，所以点Q在直线上．解法二：设，，，两两不等，因为P，M，N三点共线，所以22122212122222121212313144444444xxy

yyyxxxxxx，整理得：．又A，M，Q三点共线，有313122yyxx①，又B，N，Q三点共线，有323222yyxx②，将①与②两式相除得：2222121332231231222222

222yxyxxxxyxxyx222121221212312224223124xxxxxxxx，即2211212331212122224222224xxxxxxxx

xxxxxx，将即12125402xxxx，代入得233292xx，解得（舍去）或，（因为直线与椭圆相交故）所以Q在定直线上．【点评】求解直线

与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题．16．椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为、，离心率12e，过的直线l交C于点A、B，且的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点O为坐标原点，求面积S的取

值范围．【答案】（1）22143xy；（2）30,2S．【解析】（1）因为的周长为8，由椭圆的定义知，故，又12cea，所以，所以椭圆C的标准方程为22143xy．（2）由题意可设直线l的方程为，，，由2222

134690431xymymyxmy，显然且122634myym，122934yym，∴22212121211422OFAOFBSSSyyyyyy△△222221636612343434mmmmm

，令，∴22261661134313mtStmttt，易知S在1,t单调递减，从而30,2S．【点评】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．17．已知椭圆2222:1(0)xyabab过点，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线与轴的正

半轴和轴分别交于点，与椭圆相交于两点，各点互不重合，且满足1PMMQ，2PNNQ．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的方程为，求1211的值；（3）若123ll+=-，试证明直线恒过定点，并求此定点的坐标．【答案】（1）221124xy；（2）83

；（3）证明见解析，．【解析】（1）由题意，因为椭圆2222:1(0)xyabab过点，可得，设焦距为2c，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，可得，即，又因为，解得，所以椭圆的标准方程为221124xy．（2）由

直线的方程为，可得而，设，因为1PMMQ，2PNNQ，可得，从而，于是1111xx，2221xx，所以12121212111122xxxxxx，由2211241xyyx，整理得，可得1

232xx，1294xx，所以1212121211118223xxxxxx．（3）显然直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，，可得，由1PMMQl=，可得，所以，从而111xmx，同理222xmx，又123ll+=-，∴，联立221

124xyykxm，得，则，且2122613kmxxk，2212231213kmxxk③③代入①得2222222231263122300131313kmkmmmmkkk，∴，(满足②)故直线的方程为，所以直线恒过定点．【点评】解答圆

锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点

的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．18．在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线．（1）求曲线的

方程；（2）过点F的两条直线、与曲线相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为、的中点．设与的斜率依次为、，若，求证：直线MN恒过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意，设(,)Qx

y，因为圆心为点Q的动圆恒过点，且与直线相切，可得，化简得．（2）设，的方程分别为1(1)ykx，，联立方程组1214ykxyx，整理得，所以21122124kxxk，则2121122,kMkk，同理2222222,kNkk，所

以121222121222122222MNkkkkkkkkkkk，由，可得，所以直线的方程为2111211221kykkxkk，整理得，所以直线恒过定点1,2．【点评】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1．参数法：参数解决定点问题的

思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2．由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点

问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．19．已知抛物线的焦点为点Р在抛物线上，点Р的横坐标为且2PF．（1）求抛物线的标准方程；（2）若为抛物线上的两个动点(异于点)，且，求点的横坐标的取值范围．【答案】（1）；（2

）,610,．【解析】（1）依题意得0,2pF，设02Py，，022py，又点Р是上一点，所以4222pp，得，即，所以抛物线的标准方程为．（2）由题意

知，设2114,xAx，2224,xBx，则2111114224APxkxx，因为，所以142ABkx，所在直线方程为2111442xyxxx，联立．因为，得，即，因为，即，故或，经检验，当时，不满足题意，所以点B的横坐标的取值范围是

,610,．【点评】解决本题的相关问题的关键在于，将目标条件转化到点的坐标的关系，由方程的根的判别式求得范围．20．已知双曲线22:14xCy的左右两个顶点是，2A，曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点，（1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的

点满足，求实数的取值范围．【答案】（1）2214xy；（2）1,33．【解析】（1）由已知，设24,2tPt，24,2tQt，则直线214:222tAPyxt

，直线224:222tAQyxt，两式相乘得22144yx，化简得2214xy，即动点的轨迹的方程为2214xy．（2）过的直线若斜率不存在则13或3，设直线斜率存在，，22222141612

0440ykxkxkxxy，则12212212011614123144Δkxxkxxkxx（2）由（2）（4）解得，代入（3）式得2222161214141kkk

，化简得22314641k，由（1），解得234k代入上式右端得2311641，解得133，综上实数的取值范围是1,33．【点评】本题考查了动点的轨迹方程以

及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21．如图，已知圆2221:(0)2rxyrr和双曲线2222:1(0)yxbb，记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、，又记与在第一、第四象限的公共点分别为、．（1）若，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的

方程；（2）若，且，求实数的值；（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点，使得．【答案】（1）2yx；（2）102510252m；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意圆方程为，令，得，∴，即，∴，1a，∴渐近线方程为2yx．（2）由（1）圆方程为，(0

,3)A，设，由22222(1)41xyyxb，得(*)，212221byyb，212221byyb，，所以，即222651bb，解得，方程(*)为，即，152y，代入双曲线方程得22102514xy

，∵在第一、四象限，∴110252x，210252x，∴12102510252mxx．（3）由题意30,2Ar，3,02Br，32cr，222231

4bcar，233r，设，由22222221rxyryxb，得22221()02yryrb，2222223104byrbybrb，由22314br，得2224304ryrbb

，解得212byr，2223byr，2221122411ybxbr，所以22222222222111122234()323444()()1422brbbACxyrxrxrrrr

，，，当且仅当三点共线时，等号成立，∴轴上不存在点，使得．【点评】本题考查求渐近线方程，考查圆与双曲线相交问题．考查向量的加法运算，本题对学生的运算求解能力要求较高，解题时都是直接求出交点坐标．难度较大，属于困难题．一、选择题．1．已知是曲线：上的点，

是直线上的一点，则PQ的最小值为（）高频易错题A．322B．21C．212D．22【答案】D【解析】由，得，∴曲线是圆心为0,1，半径的左半圆，曲线上的点到直线的最小距离为原点到直线的距离2201011221(1)d，所以PQ的最小值为2

2，故选D．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，属于中档题．2．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】易知斜率不存在时，不满足；设直线方程为(1)2ykx，

则截距和为2210kk，解得或，故直线方程为和，故选D．【点评】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力．3．若，是双曲线22221(0,0)yxabab与椭圆2211625xy的共同焦点，点P是两曲线的一个交点

，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（）A．22yxB．24yxC．73yxD．377yx【答案】B【解析】因为椭圆2211625xy的焦点坐标为0,3，所以双曲线22221(0,0)yxabab中，设点P为两曲线在第一象限的交点，由于在椭圆中，为等腰三角

形，所以，所以，在双曲线中，，所以1a，代入，得，所以该双曲线的渐近线方程为12422ayxxxb，故选B．【点评】此题考查椭圆、双曲线的定义的应用，解题的关键由为等腰三角形和椭圆的定义求出的值，属于中档题．一、选择题．1．已知点，(3,2)B与直线，

且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（）A．2k或34kB．34k或14kC．344kD．324k【答案】A【解析】已知点，(3,2)B与直线，且直线与线段相交，直线，即直线，它经过定点(1,1)M，MA的斜率为

31221，MB的斜率为213314，则直线的斜率的取值范围为2k或34k，故选A．精准预测题【点评】本题主要考查直线的斜率，考查数形结合思想，属于基础题．2．点P在函数xye的图象上．若满足到直线yxa的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为（）A．

B．C．3D．4【答案】C【解析】过函数y＝ex的图象上点00,Pxy作切线，使得此切线与直线yxa平行，xye，于是，则00x，01y，∴0,1P，于是当点P到直线yxa的距离为时，则满足到直线y

xa的距离为的点P有且仅有3个，∴1211ad，解得1a或3a，又当1a时，函数xye的图象与直线1yx相切，从而只有两个点到直线距离为，所以不满足，故a＝3，故选C．【点评】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大．3．

设，，O为坐标原点，点P满足，若直线上存在点Q使得6PQO，则实数k的取值范围为（）A．42,42B．,4242,C．55,,22D．55,

22【答案】C【解析】设，则，整理可得，故，在中，sinsinOQOPQPOPQO，则sin2sin2214sinOPQPOOQOPQPOPQO，设原点到直线的距离为，则需满足，2641dk，解

得52k或52k，故选C．【点评】本题考查直线中参数范围的求解，解题的关键是得出，利用原点到直线的距离小于等于4求解．4．设分别是中所对边的边长，则直线与位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．相交但不垂直【答案】C【解析】分别是中所对边的边长，则直线斜

率为sinAa，的斜率为sinbB，∵sin1sinAbaB，∴两条直线垂直，故选C．【点评】本题考查直线的斜率，正弦定理的应用，基本知识的考查．5．如图，双曲线2222:1(,0)xyaabab以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C．其中ABCD

∥，60BAD，，则的离心率为（）A．334B．3C．65D．536【答案】C【解析】连接CA，BD，不妨设，则，，．在中，①在中，②②-①，得，则65cea，故选C．【点评】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键

是正确利用焦点三角形特点进行计算．二、填空题．6．已知椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点，满足以椭圆短半轴为半径的圆与线段相切于该线段的中点，则该椭圆的离心率________．【答案】53【解析】设切点为，右焦点为，由题意可知，则，因为分别是的中点，所以，由椭圆的定义可知，即，两边平方得3

2ab，即2451193cbeaa，故答案为53．【点评】解决本题的关键是由椭圆的定义得出32ab，进而得出离心率．7．双曲线2222:10,0xyEabab的左顶点为，是双曲线的渐近线与圆222:Cxyb的一个交点，过作圆的切线交轴于，若的斜率为

，则双曲线的离心率为_________．【答案】【解析】不妨设是圆与渐近线byxa在第一象限的交点，由222byxaxyb，解得2abxcbyc，则切线的方程为2baabyxcbc，令，得，即，∵的斜率

为，∴3ca，即离心率为，故答案为．【点评】本题结合直线与圆的位置关系，考查了双曲线的离心率，属于基础题．8．已知圆与双曲线2222:10,0yxEabab的渐近线相切，则的离心率为______．【答案】233【解析】由得，所以圆心，半径，双曲线2222:10,0yxE

abab的一条渐近线为0axby，由题意得圆心到渐近线的距离22884bbdcab，所以12bc，所以2232acbc，所以233cea，故答案为233．【点评】本题的

关键点是正确求出双曲线的渐近线方程，直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径，可得之间的关系，即可求离心率．三、解答题．9．已知点F是椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且3ta

n3PFO．（1）求椭圆的离心率e；（2）已知，，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点．设直线，的斜率分别为，，若，求椭圆E的方程．【答案】（1）32；（2）2214xy．【解析】（1）由题可得，，3tan3OPbPFOOFc，

即，，3322cbeab．（2）由（1）可得椭圆方程为222214xybb，当直线l的斜率存在时，设l：，设11,Axy，22,Bxy，联立直线与椭圆2222114ykxxybb，得，则，

即，则2122814kxxk，221224414kbxxk，12121212121313334444kxkxyykkxxxx121212122538242416kxxkxxkxxxx，2222222222448

253824141424484161414kbkkkkkkkbkkk，即对任意成立，即，则椭圆方程为2214xy；当直线斜率不存在时，则直线方程为，则，且，此时121212

33662141433yyyykk，满足题意，综上，椭圆方程为2214xy．【点评】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求

问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解．10．已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为22，且过点．（1）求的方程；（2）点在上，且，证明：直线过定点．【答案】（1）22163xy；（2）证

明见解析．【解析】（1）由题意得2222222411abcceaab，解得2263ab，椭圆的方程为22163xy．（2）设点，，，，整理可得…①当直线斜率不存在时，显然不成立，则可设，联立2226ykxmxy，得22

2124260kxkmxm，由，得，则122412kmxxk，21222612mxxk，121222212myykxxmk，22221212122612mkyykxxkmxxmk，代入①式化简可得，即，或213km

，则直线方程为或2121333kykxxk，直线过定点或21,33，又和点重合，故舍去，直线过定点21,33．【点评】本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下

：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；②利用求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点．11．已知椭圆2222:1()0xyCabab的长轴长为4，离心

率为12．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点A(a，0)，B(0，b)，直线l交椭圆C于P，Q两点(点A，B位于直线l的两侧)．①若直线l过坐标原点O，设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为k1，k2，k

3，k4．求证：1234kkkk为定值；②若直线l的斜率为32，求四边形APBQ的面积的最大值．【答案】（1）22143xy；（2）①证明见解析；②26．【解析】（1）由题意得222412aaba，解得24a，23b，所以椭圆C的方程为22143xy．（2）

①点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，)．设点P的坐标为(m，n)，由对称性知点Q的坐标为(),mn，所以12nkm，22nkm，所以2122224nnnkkmmm．又因为点P在椭圆22:143xyC上，所以22143mn，即22443mn，所以212

23443nkkn，同理3434kk，所以1234333442kkkk，为定值．②由题意，A(2，0)，B(0，)，设3:2lyxt，由点A(2，0)，B(0，)位于直线l的两侧，得332003022tt

，解得33t．由2232143yxtxy，消去y并整理，得22323260xtxt．由判别式222343260Δtt，得26t．当33t时，显然，判别式0Δ．设P(x1，y1)，Q(x2，y

2)，由根与系数的关系得12233txx，212263txx．222212123723261442233ttPQxxxx＝271833t，点A(2，0)到直线3:2lyxt的距离1320232

3714ttd．因为33t，所以1237td．点B(0，)到直线3:2lyxt的距离23032323714ttd，因为33t，所以2237td．因此，四边形APBQ的面积12()12APQBPQAPBQSSSPQdd

△△四边形，22232317183262377tttt．因为33t，显然，当t＝0时，max(26)APBQS四边形．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系

，解题的关键是求出直线3:2lyxt中33t以及弦长PQ，考查了弦长公式、数学运算．12．已知椭圆22211:yxaa与抛物线：有相同的焦点，抛物线的准线交椭圆于，两点，且．（1）求椭圆与抛物线的方程；（2）为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，

求面积的最大值．【答案】（1）椭圆的方程为2214yx，抛物线的方程为；（2）最大值为1．【解析】（1）因为，所以不妨设的坐标为1,22p，的坐标为1,22p，所以有222211

4414papa，∴，，∴椭圆的方程为2214yx，抛物线的方程为．（2）由（1）可知：的坐标为，设直线的方程为：，到的距离为，则22200(1)33(1)1kdkk，联立22314yk

xyx，可得，则222224141144kkkkkMN，2222222312323134312111OMNkSkkkkk△，当且仅当时取等号，故面积的最大值为1．【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，涉及弦长公式的使用，以及点到

直线的距离公式，属于中档题．13．已知双曲线C经过点(2，3)，它的渐近线方程为3yx．椭圆C1与双曲线C有相同的焦点，椭圆C1的短轴长与双曲线C的实轴长相等．（1）求双曲线C和椭圆C1的方程；（2

）经过椭圆C1左焦点F的直线l与椭圆C1交于A、B两点，是否存在定点D，使得无论AB怎样运动，都有∠ADF=∠BDF？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22:13yCx，22115:xCy；（2）存在点5,02D．【解析】（1

）双曲线方程为223xy，则223233．双曲线的方程为2213yx．设椭圆的方程22221(0)xyabab，椭圆的短轴长与双曲线的实轴长相等，椭圆的短轴长为22b，椭圆与双曲线有相同的焦点，即，，椭圆的方程为2215xy

．（2）直线垂直轴时，、两点关于轴对称，(2,0)F，要使ADFBDF，则点必在轴上，设，直线不垂直轴时，的方程设为，设11(),Axy，22(),Bxy，联立22255ykxxy，得2222(15)202050kxkxk

．21222015kxxk，212220515kxxk．ADFBDF，直线、的斜率互为相反数，即1112220kxkxxmxm，时，恒成立；时，12121222()542xxxxmxx，存在定点5(

,0)2D，使得无论怎样运动，都有ADFBDF．【点评】本题考查了双曲线的方程，及存在性问题，转化思想是解题关键，属于中档题．