【文档说明】（新高考）高考数学二轮精品专题二《平面向量与复数》（教师版）.doc，共(16)页，1.415 MB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-29018.html

以下为本文档部分文字说明：

1．平面向量平面向量是高考的重点和热点，在选择题、填空题、解答题中均有出现．选择题、填空题主要考查平面向量的基本运算，难度中等偏低；解答题中常与三角函数、直线与圆锥曲线的位置关系问题相结合，通常涉及向量共线与数量积．2．复数复数的考查主要

为复数的运算、复数的几何意义、复数概念的考查．一、平面向量1．平面向量基本定理如果1e，2e是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使．其中，不共线的非零向量1e，2e叫做表示这一平面内

所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设11,xya，22,xyb，则1212,xxyyab，1212,xxyyab，11,xya，221

1xya．3．平面向量共线的坐标表示设11,xya，22,xyb，其中0b，12210xyxy∥ab．4．平面向量的数量积（1）定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量cosab叫做向量和的数

量积，记作．命题趋势考点清单专题2××平面向量与复数规定：零向量与任一向量的数量积为．（2）投影：cos,aab叫做向量在方向上的投影．（3）数量积的坐标运算：设向量11,xya，22,xyb，则①1212xxyyab②12

1200xxyyabab③12210xyxy0∥ababb④121222221122cos,xxyyxyxyab5．三角形“四心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对的边长分别为，

则：为内心（1）为外心2sinaOAOBOCA（2）为重心（4）为垂心二、复数1．形如的数叫做复数，复数通常用字母表示．全体复数构成的集合叫做复数集，一般用大写字母表示．其中，分别叫做复数的实部与虚部．2．复数相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等

．如果，那么且．特别地，，．两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小．3．复数的分类复数，时为实数；时为虚数，，时为纯虚数，即复数（，）000bba实数虚数当

时为纯虚数．4．复平面直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．复数集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数对应复平面内的点

．5．共轭复数（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．复数的共轭复数用表示，即如果，那么．（2）共轭复数的性质①；②非零复数是纯虚数；③，；④；；112220zzzzz．（3）两个共轭复数的积两个共轭复数，的积是一个实数，这

个实数等于每一个复数的模的平方，即．6．复数的模向量的模叫做复数的模(或长度)，记作或．由模的定义可知（显然，）．当时，复数表示实数，此时．7．复数的加法与减法两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即．8．复数的乘

法（1）复数的乘法法则复数乘法按多项式乘法法则进行，设，，则它们的积．（2）复数乘法的运算律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．对任何，有①(交换律)；②(结合律)；③(分配律)．9．复数的除法复数除法的实质是分母实数化，即222222,,,

,0abicdiacbdbcadiabiacbdbcadiabcdcdicdicdicdicdcdcdR．一、选择题．1．如图，若是线段上靠近点的一个三等分点，且bac，则（）A．2133

，B．1344，C．3144，D．1233，【答案】D【解析】22123333OBOAABOAACOAOCOAOAOC，即1233bac，得1233，．

故选D．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，结合向量的线性运算即可解题，属于基础题．2．已知向量，满足3a，4b，且与反向，则3abb（）A．36B．48C．57D．64【答案】A【解析】因为与反向，所以πab，又3a，4b

，所以2333413436abbabbb，故选A．【点评】本题考查了平面向量的数量积，属于基础题．3．设向量，，，且，则（）A．B．C．2D．【答案】A精题集训（70分钟）经典训练题【解析】因为，，所以，当时，则有，解得，故选A．【点评】本题主要考查向量垂直的

坐标运算公式，设向量，，则当时，．4．在中，若，则的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以22222acbaccac，所以，

所以三角形是直角三角形，故选B．【点评】判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边．在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理．5．已知双曲线2222:1xyCab的左､右焦点分别为，，

且以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限交点为，交双曲线左支于，若，则双曲线的离心率为（）A．1012B．10C．512D．5【答案】A【解析】，圆方程为，由222xycbyxa，由，，解得xayb，即，设0

0,Qxy，由，，得023acx，03by，因为在双曲线上，∴2222(2)199acbab，，解得1012e（1102e舍去），故选A．【点评】解题关键是找到关于的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得点坐标，由向量线性关系得点坐标，代

入双曲线方程可得．6．复数121ii（）A．12iB．32iC．iD．i【答案】B【解析】12112122311122iiiiiiiii，故选B．【点评】本题主要考查了复数的运算，属于基础题．7．在复平面内，复数24ii对应

的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】由复数的运算法则，可得224(24)42421iiiiiii，对应的点(4,2)位于第四象限，故选D．【点评】本题主要考了复数

的运算，以及复数平面的概念，属于基础题．8．已知a为实数，复数2izaa（i为虚数单位），复数z的共轭复数为z，若z为纯虚数，则1z（）A．12iB．12iC．2iD．2i【答案】B【解析】∵2izaa为纯虚数，∴2a，则2iz

，∴2iz，则112iz，故选B．【点评】本题主要考查了复数的相关概念，属于基础题．9．对于给定的复数z，若满足|4|2zi的复数对应的点的轨迹是圆，则|1|z的取值范围是（）A．[172,

172]B．[171,171]C．[32,32]D．[31,31]【答案】A【解析】∵|4|2zi的复数对应的点Z的轨迹是圆，圆心为(0,4)C，半径为2r=，1z表示点Z到定点(1,0)A的距离，221417AC，∴1721172

z，故选A．【点评】本题考查复数的几何意义，z表示复平面上z对应点Z到原点的距离，12zz表示12,zz对应的点12,ZZ间的距离，而0zzr，则复数z对应的点在以0z对应点0Z为圆心，r为半径

的圆上，利用几何意义题中问题转化为求定点到圆心的距离即可得．10．已知,mnR，i是虚数单位，若()(1)miini，则||mni（）A．5B．2C．3D．1【答案】A【解析】()(1)(1)(1)miimmini

，10112mmmnn，2||12125mnii，故选A．【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算、复数相等的充要条件、复数的模，属于基础题．11．（多选）设123,,zzz为复数，10z．下列命题中正确的是（）A．若23z

z，则23zzB．若1213zzzz，则23zzC．若23zz，则1213zzzzD．若2121zzz，则12zz【答案】BC【解析】由复数模的概念可知，23zz不能得到23zz，例如23,11iizz，A错

误；由1213zzzz可得123()0zzz，因为10z，所以230zz，即23zz，B正确；因为2121||||zzzz，1313||||zzzz，而23zz，所以232||||||zzz，所以1213zzzz，C正确；取121,1zizi，显

然满足2121zzz，但12zz，D错误，故选BC．【点评】本题主要考了复数的一些抽象概念，难度中等偏易．二、填空题．12．已知，，若，则与的夹角为________．【答案】4【解析】，，，解得，即，222211322cos,21312ab，又与的夹角的

范围是，则与的夹角为4，故答案为4．【点评】本题考查了向量的垂直，向量的坐标运算，向量夹角的求法，考查计算能力．一、填空题．1．平面向量，的夹角为60，且，则2aab的最大值为_________．【答案】2313【

解析】1cos602ababab，因为，所以21ab，所以22||21abab，所以22||1abab，所以22222||22aabaabaabaaabbab，22111313113131

bbaabbbbbbaaaaaa，高频易错题令1tba，则1112313332333232ttttaab，当且仅当，即31ba时，等号成立．所以2aab的最大值为2313，故答案为2313．【点评】利用基本不

等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利

用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．一、选择题．1．已知向量，，若与反向，则（）A．30B．18C．30D．18【答案】A【解析】若与共线，则，解得，∴，∴234630ab，

故选A．【点评】本题考查了向量共线的条件以及向量的坐标运算，属于基础题．2．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（）A．1136BABCB．1163BABCC．5163BABCD．5163BABC【答案】B精准预测题【解析】依题意，111111132

33263DEDAAEACBABCBABABABC，故选B．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性运算，属于基础题．3．已知平面向量m，n均为单位向量，若向量m，n的

夹角为2π3，则23mn（）A．25B．7C．5D．【答案】D【解析】因为平面向量m，n为单位向量，且向量m，n的夹角为2π3，所以2221|23|412949121172mnmmnn，故故选D．【点评】本题

考查了向量模长的计算，运用“遇模则平方”的思想即可解题．4．如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则（）A．0B．1C．D．7【答案】D【解析】将向量放入如图所示的坐标系中，每个小正方形的边长为1，则，，，即1234xyxy，解得52xy，，

故选D．【点评】本题主要考查向量的分解，利用向量的坐标运算是解决本题的关键．5．已知复数z满足121iiz（i为虚数单位），则z（z为z的共轭复数）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象

限【答案】C【解析】因为121iiz，所以121121313111222iiiiziiii，所以1322zi，在复平面内对应的点为13,22，在第三象限，故选C．【点评】本题考点为复数的运算和复数的概念属于基础题．6．

已知复数12zi，212zi，则112zzz为（）A．1B．2C．2D．5【答案】C【解析】由题意，复数12zi，212zi，可得21121221252125iziiiziiii，则112(2)2izziz

，故选C．【点评】本题主要考了复数的运算和复数的几何意义，属于基础题．7．已知复数12zi，212zi，则12zz的虚部为（）A．4B．4C．3D．3i【答案】C【解析】因为12zi，212zi，所以12212zz

ii43i，所以12zz的虚部为3，故选C．【点评】本题考点为复数的运算及复数的相关概念，属于基础题．8．若i为虚数单位，复数z满足33zi，则2zi的最大值为（）A．2B．3C．23D．33【答案】D【解析】因为

33zi表示以点3,1M为圆心，半径3R的圆及其内部，又2zi表示复平面内的点到0,2N的距离，据此作出如下示意图：所以22max20321333ziMNR，故选D．

【点评】常见的复数与轨迹的结论：（1）00zzrr：表示以0z为圆心，半径为r的圆；（2）1220zzzzaa且122azz：表示以12,zz为端点的线段；（3）1220zzzz

aa且122azz：表示以12,zz为焦点的椭圆；（4）1220zzzzaa且1202azz：表示以12,zz为焦点的双曲线．9．复数2391ziiii，则复数z在复平面

内所对应的点在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【答案】A【解析】111111ziiiiii，对应的点为1,1，在第一象限，故选A．【点评】本题主要考查了复数的周期性、复

数的运算法则、复数的几何意义，属于基础题．二、填空题．10．已知向量|||||1abc，若12ab，且xycab，则的最大值为_______．【答案】233【解析】∵，且12ab，∴与的夹角为60，设(1,0)a，则

13,22b，∵xycab，∴13,22xyyc，又1c，∴2213122xyy，化简得，∴22()()14xyxyxy，当且仅当33xy时，等号成立，∴233xy，故答案为233．【点

评】本题考查了平面向量的混合运算，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．11．在中，3AB，，点在边上．若，53ADAC，则的值为_________．【答案】【解析】设

，故，即，故，，所以911154123ACABACAB，，，两式相加可得1953ACAB，此式代入（1）式可得23或125（舍去），代入（1）式可得，故答案为．【点评

】本题考查平面向量的基本定理、数量积的运算，以及方程思想的运用，属于中档题．