【文档说明】（新高考）高三数学5月月考卷 数学（A卷）解析版.doc，共(10)页，1.010 MB，由MTyang资料小铺上传

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（新高考）高三数学5月月考卷数学（A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的

作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设1i1ixy，其中x，yR，则ixy（）A．2B．1C．12D．22【答案】A【解析】因为1i1ixy，所以1iixyy，所以1yxy，解得11yx，所以i1i2xy

，故选A．2．已知集合220Axxx，集合2cos3Bxx，则AB（）A．π1,6B．1π,6C．1,2D．ππ,66【答案】D【解析】22012Axxxxx，2cos32π2π,6π6πBxxxkx

kkZ，因此，ππ,66AB，故选D．3．设0x，0y，则“1xy”是“14xy”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要

条件【答案】A【解析】当1xy时，2144xyxy，当且仅当12xy时取等号，故“1xy”是“14xy”的充分条件，当14xy时，14x，14y满足14xy，但不满足1xy，故“1xy”不是“14xy”的必要条件，“1xy

”是“14xy”的充分而不必要条件，故选A．4．已知下表所示数据的回归直线方程ˆ44yx，则实数m的值为（）x23456y37m1821A．11B．12C．13D．14【答案】A【解析】因为2345645x，所以44412y

，所以371821125m，解得11m，故选A．5．ABC△中，D是BC的中点，点E在边AC上，且满足3AEAC，BE交AD于点F，则BF（）A．3144ABACB．3144ABACC．1233ABACD．21

33ABAC【答案】A【解析】由题设可得如下几何示意图，此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号设BFBE，AFAD，∵3ACBEAEABAB，∴3ACBFBEAB，

∵2ABACAD，∴()2ABACAFAD，由ABBFAF，知()(1)32ACABACAB，∴1232，得3412，∴33444ACBFBE

AB，故选A．6．已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列的数记为ija,，如3,17a，4,315a，则,2021ija时，1102(3)log(19)ji

（）5379111917151321231252729…………………………………………A．54B．18C．9D．6【答案】A【解析】奇数构成的数阵，令212021n，解得1011n，故2021是数阵中的

第1011个数，第1行到第i行一共有(1)1232iii个奇数，则第1行到第44行末一共有44(441)9902个奇数，第1行到第45行末一共有1035个数，所以2021位于第45行，又第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数，所以2021位于第45

行，从左到右第21列，所以45i，21j，则122112101022(3)(3)log(4519)(3)log649654log(19)ji，故选A．7．已知两点(,0)Aa，(,0)Ba，(0)a，若圆22(3)(1)4xy上存

在点P，使得90APB，则正实数a的取值范围为（）A．(0,4)B．(0,4]C．[2,3]D．[1,2]【答案】B【解析】因为90APB，所以点P在以AB为直径的圆上，方程为222xya，半径为a，圆22(3)(1)4xy的圆心坐标为(3,1)，该圆心到原点的距离为22

(3)12，半径为2，要想圆22(3)(1)4xy上存在点P，使得90APB，说明圆222xya和圆22(3)(1)4xy有公共点，因此有22204aaa，因为0a，所以04a，故选B

．8．已知函数2log,1()11,14xxfxxx，()()gxfxkx，若函数()gx有两个零点，则k的取值范围是（）A．10,4B．10,ln2eC．10,eD．

11,4ln2e【答案】D【解析】作出2log,1()11,14xxfxxx的图象，如图所示，当ykx与2logyx相切时，设切点为()00,xy，则有000200log1ln2yk

xyxkx，解得0xe，所以相切时的斜率1ln2ke；将函数ykx的图象顺时针旋转，当114ln2ke时，()fx与ykx有2个交点，满足题意；当104k时，()fx与yk

x有3个交点，不满足题意；当0k时，()fx与ykx有1个交点，不满足题意；当1ln2ke时，()fx与ykx有0个或1个交点，不满足题意，故选D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．将函数()c23πosfxx的图象向左平移π12个单位长度，得到函数()gx的图象，则（）A．()gx的最小正周期为π2B．()gx的图象关于直线π12x对称C．()

gx的图象的一个对称中心为0π,12D．()gx在0π,3上单调递增【答案】BD【解析】将函数()cos23πfxx的图象向左平移π12个单位长度，得到π()()cos2cos212126πππ3gxfxxx

的图象，对A：()gx的周期为2ππ2T，故A错误；对B：当π12x时，cos2cos01121π26ππg，取得最值，故B正确；对C：当π12x时，ππcos

2cos0121263ππg，故C错误；对D：令2ππ22π()6πkxkkZ，得5πππ()1212πkxkkZ，故()gx的单调递增区间是5π[π,π]

()1212πkkkZ，令0k，得()gx的一个单调递增区间是5ππ[,]1212，所以()gx在0π,3上单调递增，故D正确，故选BD．10．如图所示，在棱长为2的正方体1111

ABCDABCD中，E，F，G分别为所在棱的中点，P为平面11BCCB内（包括边界）一动点，且1DP∥平面EFG，则（）A．BDEG∥B．1BD∥平面EFGC．三棱锥1DEFG的体积为13D．P点的轨迹长度为2【答案

】BCD【解析】对于A，取1BB的中点为M，连接,GMBD，由正方体的性质可知，//BDGM，而GM与EG相交，所以,BDEG不平行，故A错误；对于B，连接1DC，容易知道平面//FGE平面1DBC，由面面平行的性质可知1BD

∥平面EFG，故B正确；对于C，11111112113323DEFGEFGDFGDVVSAE△，故C正确；对于D，由B可知平面//FGE平面1DBC，即点P的轨迹为线段BC，长度为2，故D正确，故选BCD．11．已知直线

1:10laxy，2:10lxay，aR，以下结论正确的是（）A．不论a为何值时，1l与2l都互相垂直B．当a变化时，1l与2l分别经过定点0,1A和1,0BC．不论a为何值时，1l与2l都关于直线0xy对称D．如果1l与2l交于点M，则MO的最大值是

2【答案】ABD【解析】对于A，110aa恒成立，12ll恒成立，A正确；对于B，对于直线1l，当0x时，1y恒成立，则1l过定点0,1；对于直线2l，当0y时，1x恒成立，则2l恒过定点

1,0，B正确；对于C，在1l上任取点,1xax，关于直线0xy对称的点的坐标为1,axx，代入2l方程知1,axx不在2l上，C错误；对于D，联立1010axyxay

，解得221111axaaya，即2211,11aaMaa，222221122111aaMOaaa，即MO的最大值是2，D正确，故选ABD．

12．已知函数()lnfxxx，若120xx，则下列结论正确的是（）A．2112xfxxfxB．1122xfxxfxC．12120fxfxxxD．当ln1x时，

1122212xfxxfxxfx【答案】AD【解析】对于A选项，因为令()lnfxgxxx，在()0,+?上是增函数，所以当120xx时，12gxgx，所以1212()()fxfxxx，即

2112xfxxfx，故A选项正确；对于B选项，因为令lngxfxxxxx，所以ln2gxx，所以2,xe时，0gx，gx单调递增；20,xe时，0gx，gx单调递减，所以11xfx

与22xfx无法比较大小，故B选项错误；对于C选项，令ln1fxx，所以10,xe时，0fx，fx在10,e单调递减；1,xe时，0fx，fx在

1,e单调递增，所以当1210xxe时，12fxfx，故1212()()0fxfxxx成立，当121exx时，12fxfx，1212()()0fxfxxx，故C选项错误；对于D选项

，由C选项知，当ln1x时，fx单调递增，又因为A正确，2112xfxxfx成立，所以112221112221122xfxxfxxfxxfxxfxxfxxfx112212xfxfx

fxfxx12120xxfxfx，故D选项正确，故选AD．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．集合A中有4个等差数列，集合B中有5个等比数列，AB的元素个数是1，

在AB中任取两个数列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是_________．【答案】1928【解析】由AB的元素个数是1可知，所以AB中共有8个数列，其中有一个数列既是等差数列又是等比数列，有3个数

列为等差数列而不是等比数列，有4个数列为等比数列而不是等差数列．则从中任取2个数列有28C28种不同的取法．从中取出的两个数列中，全为等差数列有23C3种不同的取法，全为等比数列有24C6种不同的取法．所以这两个数列中

既有等差数列又有等比数列有286319种不同的取法，所以这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率为1928，故答案为1928．14．在锐角ABC△中，D为BC的中点，3AB，7AC，且sincossinco

sBCBCABBA32AC，则AD__________．【答案】7【解析】由3sincossincos2BCBCABBAAC，由正弦定理可得的3sinsincossinsincossin2ABCCBAB，因为(0,π)B，可得sin0B，所以3sincoss

incos2ACCA，即3sin()sin2ACB，所以π3B，在ABC△中，由余弦定理可得2222cosACABBCABBCB，即2320BCBC，解得2BC或1BC，当1BC

时，此时2221cos02217BCACABCBCAC，此时ABC△为钝角三角形，不符合题意，舍去；当2BC时，因为D为BC的中点，可得1BD，在ABD△中，由余弦定理可得22222π12cos31231732ADABBDABBD，所以7AD，

故答案为7．15．已知6260126(1)(1)(1)(1)xaaxaxax，则4a_________．【答案】60【解析】∵66(1)[(1)2]xx，∴展开式通项616C(1)2rrrrTx，即由题设4a对应64r，则2r=，∴24224366

C(1)24C(1)Txx，即2464C60a，故答案为60．16．如图，已知曲线2:4Cyx，焦点1,0F，点M在x轴上运动，P为C上的动点，若PM的中点N落在y轴上，则FNM________；斜率为43的直线l与

C的交点为A，B，与x轴的交点为Q，若4AQQB，则AB________．【答案】π2，254【解析】设00(,)Pxy，(,0)Mx，(0,)Ny，(1,0)F，因为N是PM中点，P在抛物线上，所以002xx

，02yy，2004yx，00(,)(,)2yNMxyx，0(1,)2yNF，2000004yNMNFxxx，所以NMNF，所以π2MNF，设11(,)Axy，22(

,)Bxy，直线l方程为43yxm，则3(,0)4Qm，由2434yxmyx，得2330yym，123yy，123yym，因为4AQQB，所以1204(0)yy，即124y

y，由124yy，及123yy，123yym，解得14y，21y，43m，222212121212122211()()()()1ABxxyyyyyyyykk925

1(41)162，故答案为π2，252．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某地区的平面规划图中（如图），三点,,ABC分别表示三个街区，π3ABC，现准备在线段AB上的点D处建一个停车场，它到街区B的距离为1，到街区

,AC的距离相等．（1）若线段AD的长为3，求sinBCD的值；（2）若BCD△的面积为3，求点A到直线BC的距离．【答案】（1）36；（2）3932．【解析】（1）DQ到,AC的距离相等，3CDAD，在BCD△中，由正弦定理得sinsinBCD

BCDACDB，3sin32sin36BDABCBCDCD．（2）13sin324BCDSBDBCDBCBC△，4BC，在BCD△中，由余弦定理得2222cos17413CDBDBCBDBCDBC，13ADCD，131

AB，1sin3932ABCSABBCABC△，设点A到直线BC的距离为h，则123932ABCSBChh△，解得3932h，即点A到直线BC的距离为3932．18．（12分）已知数列na满足12a，124nnaa．

（1）求2a、3a、4a；（2）猜想na的通项公式并加以证明；（3）求数列na的前n项和nS．【答案】（1）20a，34a，412a；（2）24nna，证明见解析；（3）1242nnSn．

【解析】（1）因为12a，所以21242240aa，32244aa，432412aa．（2）猜想24nna，证明：因为124nnaa，所以142824nnnaaa，即1424nnaa，因为142a，所以4na是

以2为首项、2为公比的等比数列，故42nna，24nna．（3）当1n时，120a，112Sa；当2n时，0na，则21222424nnnSaaa21212222414124212nnnnnn，因

为当1n时，满足1242nnSn，所以当*nN时，1242nnSn．19．（12分）如图，四边形ABCD是边长为23的菱形，DD1⊥平面ABCD，BB1⊥平面ABCD，且BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点．（1）证明：平面BDEF∥平面CB1D1；（

2）若∠ADC＝120°，求直线DB1与平面BDEF所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）31326．【解析】（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，则O为AC的中点，∵E是1AD的中点，1OECD∥，OE平面BDEF，1CD平面BDEF，所以1C

D∥平面BDEF，又F是1AB的中点，11EFBD∥，EF平面BDEF，11BD平面BDEF，所以11BD∥平面BDEF，又111,CDBD平面11CBD，1111BDCDD，所以平面BDEF∥平面11CBD．（2）取AB的中点M，连接DM，在菱形A

BCD中，120ADC，ABD△为正三角形，则DMDC，由1DD平面ABCD，故以1,,DMDCDD所在直线分别为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D，(3,3,0)B，33(,,1)22E，1(3

,3,2)B，∴1(3,3,2)DB，(3,3,0)DB，33(,.1)22DE，设平面BDEF的法向量为(,,)xyzn，00DBDEnn，即33033022xyxyz，令1x，则3y，3z，(1,

3,3)n，设直线1DB与平面BDEF所成角为，则111,313sincos,26DBDBDBnnn，故直线1DB与平面BDEF所成角的正弦值为31326．20．（12分）双败淘汰制是一种竞赛形式，与普通的单败

淘汰制输掉一场即被淘汰不同，参赛者只有在输掉两场比赛后才丧失争夺冠军的可能．在双败淘汰制的比赛中，参赛者的数量一般是2的次方数，以保证每一轮都有偶数名参赛者．第一轮通过抽签，两人一组进行对阵，胜者进入胜者组，败者进入负者组．之后的每一轮直到最后一轮之前，胜者组的

选手两人一组相互对阵，胜者进入下一轮，败者则降到负者组参加本轮负者组的第二阶段对阵；负者组的第一阶段，由之前负者组的选手（不包括本轮胜者组落败的选手）两人一组相互对阵，败者被淘汰（已经败两场），胜者进入第二

阶段，分别对阵在本轮由胜者组中降组下来的选手，胜者进入下一轮，败者被淘汰．最后一轮，由胜者组最终获胜的选手（此前从未败过，记为A）对阵负者组最终获胜的选手（败过一场，记为B），若A胜则A获得冠军，若B胜则双方再次对

阵，胜者获得冠军．某围棋赛事采用双败淘汰制，共有甲、乙、丙等8名选手参赛．第一轮对阵双方由随机抽签产生，之后每一场对阵根据赛事规程自动产生对阵双方，每场对阵没有平局．（1）设“在第一轮对阵中，甲、乙、丙都不互为对手”为事件M，求M的概率；（2）已知甲对阵其余7名选手获胜的概率均为23，解决以下

问题：①求甲恰在对阵三场后被淘汰的概率；②若甲在第一轮获胜，设甲在该项赛事的总对阵场次为随机变量，求的分布列．【答案】（1）47；（2）①427；②答案见解析．【解析】（1）8人平均分成四组，共有2

222864244CCCCA种方法，其中甲，乙，丙都不分在同一组的方法数为35A，所以352222864244A4CCCC7APA．（2）①甲恰在对阵三场后淘汰，这三场的结果依次是“胜，败，败”或“败，胜，败”，故所求的概率为211121333332734．②若

甲在第一轮获胜，3,4,5,6,7．当3时，表示甲在接下来的两场对阵都败，即1113339P；当4时，有两种情况：（i）甲在接下来的3场比赛都胜，其概率为222833327；（ii）甲4场对阵后被淘汰，表示甲在接下来的3场对阵1胜

1败，且第4场败，概率为122114C33327，所以844427279P；当5时，有两种情况：（i）甲在接下来的2场对阵都胜，第4场败，概率为221433327；（ii）甲在接下来的

2场对阵1胜1败，第4场胜，第5场败，概率为1221218C333381，所以48205278181P；当6时，有两种情况：（i）甲第2场胜，在接下来的3场对阵为“败，胜，胜”，

其概率为2212833381；（ii）甲第2场败，在接下来的4场对阵为“胜，胜，胜，败”，其概率为31218333243，所以8832681243243P；当7时，甲在接下来的5场

对阵为“败，胜，胜，胜，胜”，即41216733243P，所以的分布列为：34567P19492081322431624321．（12分）已知e为椭圆22221(0)xyabab的离心率，且点(1,)Me，23,22N均在椭圆上．

（1）求椭圆方程；（2）如图，12,FF分别为椭圆的左右焦点，点A在椭圆上，直线12,AFAF分别与椭圆交于B，C两点，直线21,BFCF交于点D，求证：1212AFFDFFSS△△为定值．【答案】（1）2212xy；（2）证明见解析．【解析】（1

）因为点(1,)Me，23,22N在椭圆上，所以2222221113124eabab，又cea，222cab，解得21b，22a，所以椭圆方程为2212xy．（2）由（1）可知11,0F，21,0F，设00,Axy

，则220022xy，1AF的方程为0011xxyy，代入椭圆方程2222xy化简得22200002002122210xxyxyyyy，所以200023Byyyx，得0023Byyx；同理2AF的方程为0011xx

yy，代入椭圆方程2222xy化简得200200322210xxyyyy，所以200032Cyyyx，得0032Cyyx，将By、Cy分别代入1AF、2AF方程可得003423Bxxx、004332Cxxx，即000034,

2323xyBxx、000043,3232xyCxx，所以2BF方程：0057111BBxxxyyyy①；所以1CF方程：0015711CCxxxyyyy

②；联立①②消去x得0000575711xxyyyy，解得07yy，即07Dyy，所以1212120012127127AAFFADFFDDFFySyyySyFFy△△，所以12

12AFFDFFSS△△为定值．22．（12分）已知函数22lnkxfxxx．（1）讨论fx的单调性；（2）若fx有2个极值点1x，2x，证明：123fxfx．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）fx的定义域是0,，求

导得21221220kxxfxkxxxx．记2221gxkxx，①当0k时，令102gxx，当10,2x时，00gxfxfx单调递减，当1,2x

时，00gxfxfx单调递增；②当0k时，480Δk，248121042kkgxxkk（负根舍去），当1210,2kxk时，

00gxfxfx单调递减，当121,2kxk时，00gxfxfx单调递增；③当0k时，令480Δk，得1,2k，则22210gxkxx在0,恒成立，于是

0fx在0,恒成立，fx在定义域0,上单调递减．若1,02k，则480Δk，令112102kgxxk，21212kxk，0fx有2个不相等正根，fx在1210,2kk

上单调递减，在121121,22kkkk单调递增，在121,2kk单调递减．综上，当0k时，函数增区间为1,2，减

区间为10,2；当0k时，函数增区间为121,2kk，减区间为1210,2kk；当12k时，函数减区间为0,，无增区间；当102k时，函数增区间为121121,22kkk

k，减区间为1210,2kk，121,2kk．（2）由（1）知若fx有2个极值点时，0fx有2个不相等正根，则22210gxkxx，此时1

,02k，11212kxk，21212kxk，且满是121xxk，1212xxk，2111122kxx，2221122kxx．所以22121212121212lnln12122fxfxkx

kxxxxxxx1212121212lnln1ln1ln2xxxxxxxxkk，设11ln2hkkk，1,02k

，求导得2111110hkkkkk，hk在1,02上单调递增，所以132hkh．综上所述fx有2个极值点时，123fxfx成立

．