【文档说明】（新高考）高三数学3月月考卷 数学（B卷）解析版.doc，共(9)页，836.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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（新高考）高三数学3月月考卷数学（B）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的

作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数

4i1ia(i为虚数单位，aR)为纯虚数，则a的值为（）A．4B．3C．3D．5【答案】A【解析】4i1i44i4i44i1i1i1i222aaaaaa，因为该复数为纯虚数，所以40a，40a，所以4a，故选A

．2．已知集合12Axx，2,ByyxaxA，若AB，则实数a的取值范围为（）A．1,2B．2,1C．2,2D．1,1【答案】B【解析】由题意，集合1,2A，可得2,2,4ByyxaxAaa，因为AB

，所以2142aa，解得2,1a，故选B．3．已知直线1:(3)4530laxya与2:2(5)80lxay，则“1a”是“12ll∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必

要条件【答案】B【解析】若12ll∥，则3453258aaa，解得7a，则可得“1a”是“7a”的必要不充分条件，即“1a”是“12ll∥”的必要不充分条件，故选B．4．已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则DAD

BDADC的取值范围是（）A．4,8B．8,24C．2,18D．4,20【答案】B【解析】以BC中点为原点，且令A在y轴正半轴上，建立如图坐标系，则(2,0)B，(2,0)C，0,23A，设(,0)Dx，(22)x，则,23DAx，(2

,0)DBx，(2,0)DCx，所以2222,2322,23441248DADBDADCxxxx，由22x，知2488,24x，故DADBDADC的取值范围是8,24，故选B．5．圆224x

y上任意一点M到直线34150xy的距离大于2的概率为（）A．16B．13C．23D．56【答案】C【解析】设圆心为C，圆心到直线l的距离22|15|334d，如图，取1CD，过D作//ABl

交圆于,AB，可知满足条件的点在劣弧AB上（不包括A，B），在ACDRt△中，2AC，1CD，所以1cos2ACD，π3ACD，即2π3ACB，因为符合条件的点所在弧长所对圆心角为4π3，由几何概型可知4π232π3P，故选C．6

．函数xya与1logayx(0a且1a)在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当01a时，有图象如下：当1a时，有图象如下：故选A．7．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒中杀死一个病毒的同时将自身分裂为3个，现在

有一个这样的细菌和110个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死，至少需要（）A．4秒钟B．5秒钟C．6秒钟D．7秒钟【答案】B【解析】1秒时，新被杀死的病毒为1个，自身新增长3个；2秒时，新被杀死的病毒为3个，自身新增长23个；3秒时，

新被杀死的病毒为23个，自身新增长33个；…以此类推n秒时，新被杀死的病毒为13n个，自身新增长3n个，故累计杀死病毒数为23113333nnS，由110nS，得1311013nnS，3221n

，解得正整数5n，故选B．8．多项式21(1)(2)(3)xxxx展开式中3x的系数为（）A．6B．8C．12D．13【答案】C【解析】原式2123123xxxxxxx，所以展开式中含3x的项包含123xxx中x项为12

231311xxxx，和123xxx中3x的项为3x，这两项的系数和为11112，故选C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，

有选错的得0分．9．已知正方体1111ABCDABCD的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且1EF，点Q是棱11AD的中点，点P是棱11CD上的动点，则下面结论中正确的是（）A．PQ与EF一定不垂直B

．二面角PEFQ的正弦值是1010C．PEF△的面积是22D．点P到平面QEF的距离是常量【答案】BCD【解析】对A，当P与1D重合时，PQEF，故A错误；对B，由于P是棱11CD上的动点，EF是棱AB上的一条线段，故平面PEF也是平面11ABC

D，ABQ平面11ADDA，则ABAQ，1ABAD，则1DAQ即为二面角PEFQ的平面角，224225AQQ，142AD，12DQ，则120324310cos1022542DAQ，则21110s

in1cos10DAQDAQ，故B正确；对C，由于P是棱11CD上的动点，EF是棱AB上的一条线段，且11//CDAB，则11CD，AB的距离即为三角形的高，ABQ平面11BBCC，1ABBC，则1BC即为三

角形的高，1111422222PEFSEFBCV，故C正确；对D，由于P是棱11CD上的动点，EF是棱AB上的一条线段，11//CDAB，则11//CD平面QEF，则点P到平面QEF的距离为常量，故D正确，故选BCD

．10．设[]x表示不超过x的最大整数，给出以下命题，其中正确的是（）A．若12xx，则12[][]xxB．[lg1][lg2][lg3][lg2020]4953C．若0x，则可由1[2sin][]xx解得x的范围

是5π[,1)(]6π,π6D．若21()122xxfx，则函数[()][()]fxfx的值域为{1,0}【答案】ABD【解析】由题意1nxn时，[]xn，nZ．A．设1[]xk，则1xk，若21xx，则2xk，∴2[]xk，即21[][]xx，A

正确；B．由[]x的定义，19x时，0lg1x，[lg]0x，同理1099x时，[lg]1x，100999x时，[lg]2x，10002020x时，[lg]3x，∴[lg1][lg2]

[lg3][lg2020]902900310214953，B正确；C．0x，1[]0x，若1x，则1[]0x，[2sin]0x，10sin2x，5π(,π]6x满足题意，但13π[2π,)6x也满足题意，C错；D．21()122xxfx，(

)fx定义域是R，则212112()()101221222112xxxxxxxfxfx，即()()fxfx，()fx是奇函数；设[()]fxk，kZ，()1kfxk，则1()kfxk，()fxk时，(

)fxk，[()][()]0fxfxkk，()1kfxk时，(1)()kfxk，[()][()](1)1fxfxkk，∴函数[()][()]fxfx

的值域为{1,0}，D正确，故选ABD．11．曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线22221xyab0,a（0b）上点00,Pxy处的曲率半径公式为3222220044xyRabab，则下列说法正确的是（）A．对于半

径为R的圆，其圆上任一点的曲率半径均为RB．椭圆222210,0xyabab上一点处的曲率半径的最大值为aC．椭圆222210,0xyabab上一点处的曲率半径的最小值为2baD．对于椭圆22211xyaa上一点01

,2y处的曲率半径随着a的增大而减小【答案】AC【解析】圆：222xyR，00,Pxy，曲率半径为3222220044xyRRRRR，A正确；00,Pxy在椭圆2200221

0xyabab上，2222222222020000000444442222222111bbxxyxxxxxaababababaabb2222002421,0,cxxabab，∴22004

42211,xyabab，22,baRab，B错误，C正确；3333422222223044242111111144444Rayaaaaaaa33484222333342111114444aa

aaaa，令8423331144faaaa，1a，11151142333324118403366faaaaaaa，∴R在()1,+?上随a增大而

增大，D错误，故选AC．12．定义在(0,)上的函数()fx的导函数为()fx，且()()fxfxx，则对任意1x、2(0,)x，其中12xx，则下列不等式中一定成立的有（）A．1212fxxfxfxB．2112

1212xxfxfxfxfxxxC．1122(1)xxffD．1212fxxfxfx【答案】ABC【解析】由()()fxfxx，知()()0xfxfxx，令()()fxgxx，则20xf

xfxgxx，∴()gx在(0,)上单调递减，即122112121212()()()()0()gxgxxfxxfxxxxxxx，当120xx时，2112()()xfxxfx；当120xx

时，2112()()xfxxfx．A：121()()gxxgx，122()()gxxgx有112112()()xfxxfxxx，212212()()xfxxfxxx，所以1212fxxfxfx；B：由上得21121212()()()()xfx

xxxfxxx成立，整理有21121212xxfxfxfxfxxx；C：由121x，所以111(2)(1)(2)(1)21xxxffgg，整理得1122(1)xxff；D：令121xx且121xx时，211xx，12111()()()()g

xgxfxfx，12()(1)(1)gxxgf，有121()()gxxgx，122()()gxxgx，所以无法确定12()gxx，12()()gxgx的大小，即无法确定12()fxx与12()()fxfx的大小，故选ABC．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小

题，每小题5分．13．将5个不同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，若每个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法．【答案】535【解析】四个盒子放球的个数如下：1号盒子：{0，1}2号盒子：{0，1，2}3号盒子：{0，1，2，3}4号盒子：

{0，1，2，3，4}结合由5个不同的小球全部放入盒子中，不同组合下放法：5=1+4：153C种5=2+3：254C种5=1+1+3：31526CC种5=1+2+2：22536CC种5=1+1+1+2：2115323CCC种∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有5

35种，故答案为535．14．下列说法：①线性回归方程ybxa$$$必过,xy；②命题“1x，234x”的否定是“1x，234x”；③相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个22列联表中，由计算得28.

079K，则有99%的把握认为这两个变量间有关系．其中正确．．的说法是__________．(把你认为正确的结论都写在横线上）本题可参考独立性检验临界值表：20PKk0.1000.0500.0250.0100.0100

k2.7063.8415.0246.63510.828【答案】①④【解析】线性回归方程ybxa$$$必过,xy，故①正确；命题“1x，234x”的否定是“1x，234x”，故②错误；相关系数r绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故③错误；在一个22列联表中，由计算得2

8.0796.635K，则有99%的把握认为这两个变量间有关系，故④正确，故答案为①④．15．设实数x、y满足约束条件114xyxy，则目标函数|24|5xyz的最大值为__________．【答案】1155【解析】不等式组对应的可行域如图

阴影部分所示，|24|5xyz表示的几何意义为可行域中的动点,Pxy到直线240xy的距离，由140xxy，可得1,3B，同理5,1C，B到直线240xy的距离为1641155Bd，C到直线240

xy的距离为524755Cd，故max1155z，故答案为1155．16．在ABC△中，sinsinsinABCB，则cosA__________；点D是BC上靠近点B的一个三等分点，记sinsinABDλBAD，则当取最大值时，tanACD_______

___．【答案】12，23【解析】因为sinsinsinABCB，所以sinsinsinBCAB，即sinsinsin2cossinBABABAB，又因为sin0B，所以1cos2A．设BDx，BA

D，π0,3θ骣琪Î琪桫，则2DCx，sinsinB，由正弦定理可得ADx，sinsinsin2π3ADDACCDC骣琪-Ð=çç桫=÷÷，又313sinsincossincossin222

22π3CBBBB骣琪==+=+琪桫-琪，由3cossinsin22π23B，得πcoscos3B．因为222222sincossincos3π1BB，所以2221222πsin

cos1cos21cos223cosππ6233，因为π0,3θ骣琪Î琪桫，所以πππ2,662，所以当206π时，取得最大值31，此时622sin3142B

，所以π4B，ππtantanπ2334ACD，答案为12，23．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列na的前n项和为nS，且11a，*

112nnSanN．（1）求nS；（2）设3lognnbS，求使得23341211199400nnbbbbbb成立的最小正整数n．【答案】（1）13nnS；（2）100．【解析】（1）由112nnSa

，得12nnSa，则有12nnnSSS，即13nnSS，又因为111Sa，故数列nS是首项为1，公比为3的等比数列，所以13nnS．（2）由133loglog3nnnbS223log(3)22nn，得121112(22)4nnbbnn

1111(1)41nnnn，所以233412111nnbbbbbb111111142231nn11141n，由11

99141400n，解得99n，故使得不等式成立的最小正整数100n．18．（12分）已知ABC△中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足sin2sinABAsinC．（1）求B；（2）若点D为BC上一点，2

DC，π6C，DE平分ADC交AC于点E，7ADECDESS△△，求BD．【答案】（1）π4；（2）423．【解析】（1）∵sin2sinsinABAC，∴sincoscossin

2sinsincoscossinABABAABAB，∴2sincos2sinABA．∵sin0A，∴2cos2B．∵0,πB，∴π4B．（2）∵1sin2ADESADDEADE△，1sin2CDESCDDECDE△，2

CD，∴27AD．在ACD△中，设ACx，由余弦定理得2344282xx，即223240xx，解得43x=(舍负)．在ABC△中，ππ62sinsin644BAC．由

正弦定理得sin623πsin4BACBCAC，∴423BD．19．（12分）如图．在三棱锥PABC中，PAB△为正三角形，O为PAB△的重心，PBAC，60ABC，2BCAB．（

1）求证：平面PAB平面ABC；（2）在棱BC上是否存在点D，使得直线//OD平面PAC？若存在，求出BDDC的值；若不存在．说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，2BDDC．【解析】（

1）设ABm，则2BCm，在ABC△中，由余弦定理，得222423ACmmmm．因为22224ABACmBC，所以ACAB．因为ACPB，ABPBB，所以AC平面PAB．因为AC平面ABC，所以平面PAB平

面ABC．（2）如图所示：取PA的中点E，连接BE，CE，则点O在BE上，在平面BCE内过点O作CE的平行线交BC于点D．因为//ODCE，OD平面PAC，CE平面PAC，所以//OD平面PAC．因为O为PAB△的重心，所以:2:1BOOE，又::

BDDCBOOE，所以2BDDC，所以在棱BC上存在点D，使得直线//OD平面PAC，此时2BDDC．20．（12分）某医药公司研发生产一种新的保健产品，从一批产品中随机抽取200盒作为样本，测量产品的一项质量指标值，该指标值越高越好．由测量结果得到如下频率

分布直方图：（1）求a，并试估计这200盒产品的该项指标值的平均值；（2）①由样本估计总体，结合频率分布直方图认为该产品的该项质量指标值服从正态分布2(),10N，计算该批产品该项指标值落在180,220上的概率；②国家有关部门规定每盒产品该项指标值不低于1

50均为合格，且按该项指标值从低到高依次分为：合格、优良、优秀三个等级，其中180,220为优良，不高于180为合格，高于220为优秀，在①的条件下，设该公司生产该产品1万盒的成本为15万元，市场上各等级每盒该产品的售价(单位：元)如表，求该公司每万盒的平均利润．等级合格优良优秀售

价102030附：若2),(N～，则()0.6827P，(22)0.9545P．【答案】（1）0.033a，200；（2）①0.9545；②5(万元)．【解析】（1）由1020.0020.0080.0090.0220.0241()a

，解得0.033a，则平均值100.002170100.009180100.022190100.033200x100.024210100.008220100.002230200

，即这200盒产品的该项指标值的平均值约为200．（2）①由题意可得200x，10，则22180(2200.95)54PP，则该批产品指标值落在180,220上的概率为0.9545．②设每盒该产品的

售价为X元，由①可得X的分布列为X102030P0.022750.95450.02275则每盒该产品的平均售价为100.02275200.9545300.0227520EX，故每万盒的平均利润为20155(万元)．21

．（12分）在平面直角坐标系中，1A，2A两点的坐标分别为2,0，2,0，直线1AM，2AM相交于点M且它们的斜率之积是34，记动点M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）过点1,0F作直线l交曲线E于,PQ两点，且点P位于x轴上方，记直线1AQ，2AP

的斜率分别为12,kk．①证明：12kk为定值；②设点Q关于x轴的对称点为1Q，求1PFQ△面积的最大值．【答案】（1）221(2)43xyx；（2）①证明见解析；②334．【解析】（1）设点M坐标为,xy，则直线12,AMAM的斜率分别为,,222yyxxx

，依题意知3224yyxx，化简得221(2)43xyx．（2）①设直线l的方程为1xmy，112212,,,0,0PxyQxyyy，则2121212121112221

22121121121121223332yxymyymyyyyykmyyyxykxymyymyyymyyyx，又221143xmyxy，消x得22346

90mymy，得122122634934myymyym，因此112221211229631343434993333434mmmyykmmmmmkyymm，故12kk为定值13．②1Q坐标为22,x

y，则直线1PQ方程为121112yyyyxxxx，令0y，解得21121122112121121212121121xxymyymyyxyxymyyxxyyyyyyyy

22923414634mmmm，即直线1PQ恒过4,0D点，故11121211333||||||222PFQPFDQFDSSSyyyy△△△122336||99334223

442123||||myymmm，当243m，即233m时，等号成立，此时1PFQ△面积最大值为334．22．（12分）已知函数xfxe，21gxax．（1）若fxgx恒成立，求a的取值集合；（2）若0a，且方程0fxgx有

两个不同的根x1，x2，证明：122ln2xxa．【答案】（1）12；（2）证明见解析．【解析】（1）令21xuxfxgxeax，2xuxea，当0a，0ux恒成立，ux在R上单调递增，00u，当0x，

0ux不合题意，故舍去；当0a，0ux，则ln2xa，故当ln2xa，0ux，ux单调递减；当ln2xa，0ux；ux单调递增，故maxln222ln210uxuaaaa

，令ln1hxxxx，ln0hxx，1x，故hx在0,1递增，在1,递减，故10hxh，即ln10hxxxx，即22ln210aaa，故21a，即12a，故a的取值集合为12．（2）方

程0fxgx有两个不同的根x1，x2，不妨令12xx，12122121xxeaxeax，21212xxeeaxx，若证122ln2xxa，即证1212212121212222121211xxxxxxxxxx

xxeeexxeeexxeexx，令2102xxt，即证212ttete，令212ttgtete，21ttgteet，