【文档说明】（新高考）高三数学3月月考卷 数学（A卷）解析版.doc，共(8)页，766.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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（新高考）高三3月月考卷数学（A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选

择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集

UZ，1,2,4,7A，2,4,6,8B，则如图阴影部分表示的集合为（）A．1,7B．6,8C．2,4D．1,6,7,8【答案】A【解析】易知阴影部分为集合UABð，由UZ，1,2,4,7A，2,4,6,

8B，可得1,7UBAð，故选A．2．已知2i是关于x的方程250xax的根，则实数a（）A．2iB．4C．2D．4【答案】B【解析】因为2i是关于x的方程250xax的根，则另一根为2i，由韦达定理得2i2ia，

所以4a，故选B．3．“33loglogab”是“11ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：若33loglogab，则0ab，则11ab

，故充分性成立；必要性：若11ab，则可能0ab，此时3loga，3logb无意义，故必要性不成立，即“33loglogab”是“11ab”的充分不必要条件，故选A．4．有8位学生春游，其中小学生2名､初中生3名､高中生3名．现将他们排成一列，要求2名小学生相邻､3名初中生相邻，3

名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有（）A．288种B．144种C．72种D．36种【答案】B【解析】第一步，先将2名小学生看成一个人，3名初中生看成一个人，然后排成一排有22A种不同排法；第二步，将3名高

中生插在这两个整体形成的3个空档中，有33A种不同排法；第三步，排2名小学生有22A种不同排法，排3名初中生有33A种不同排法，根据分步计数原理，共有23232323AAAA144种不同排法，故选B．5．如图所示的ABC△中，点D

是线段AC上靠近A的三等分点，点E是线段AB的中点，则DEuuur（）A．1136BABCB．1163BABCC．5163BABCD．5163BABC【答案】B【解析】依题意，11111113233263DAAEA

CBABCDBABABEABC，故选B．6．在数列na中，13a，*,mnmnaaamnN，若123135kaaaa，则k（）A．10B．9C．8D．7【答案】B【解析】令1m，由mn

mnaaa，可得11nnaaa，所以13nnaa，所以na是首项为13a，公差为3的等差数列，3313nann，所以11233313522kkaaakkaaak，整理可得2900kk，解得9k或10k

（舍），故选B．7．设样本数据1x，2x，3x，…，19x，20x的均值和方差分别为2和8，若2iiyxm(m为非零常数，1,2,3,,19,20i)，则1y，2y，3y，…，19y，20y的均值和标准差为（）A．2m，32B．4m，42C．2m，42D．4

m，32【答案】B【解析】设样本数据lx的均值为x，方程为2s，标准差为s，则新样本2iiyxm的均值为2xm，方差为222s，标准差为2s，所以24yxmm，28s，所以标准差为22s，所以222242s，故选B．8．已知点P是直线:3420l

xy上的一个动点，过点P作圆222:23Cxyr的两条切线PM，PN，其中M，N为切点，若MPN的最大值为120°，则r的值为（）A．3B．23C．4D．6【答案】B【解析】由题意PMPN

，CMCNr，sinMCrCPMPCPC，2MPNMPC，所以MPN最大时，PC最小．由题意知min223(2)4(3)2434PC，又120MPN，所以sin604r，23r，故选B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在

每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图是函数cosyx的部分图象，则cosx（）A．πsin26x骣琪+琪桫B．πcos23x

C．πcos26xD．2πsin23x【答案】CD【解析】由图象可知，函数cosyx的最小正周期为2ππ2π36T，设0，则2π2T，所以，cos2yx，ππcos2co

s063，且函数cosyx在π6x附近单调递减，所以，ππ2π32kkZ，可得π2π6kkZ，所以，ππcoscos22πcos266xxkx

，C选项满足条件，A选项不满足条件；对于B选项，πππππcos2cos2cos2sin233626xxxx，B选项不满足条件；对于D选项，2ππππs

in2sin2cos23626xxx，D选项满足条件，故选CD．10．已知函数1222xfxxxa，下列结论正确的是（）A．对于任意实数a，0f

xB．对于任意实数a，函数fx图象为轴对称图形C．存在实数a，使得fx在,1单调递减D．存在实数a，使得关于x的不等式()5fx³的解集为,20,【答案】BCD【解析】函数211222121xxfxxxaxa，设2

1gxx，12xhx，都关于直线1x对称，A：当1x时，min10gxg，min11hxh，所以min011fxaa，当0a时，0fx，故A错误；B：由上知：fx关

于1x对称，故B正确；C：由函数的图象关于1x对称，且函数gx和函数hx都为开口方向向上的曲线，在,1上都是单调递减，故C正确；D：由fx的图象关于1x对称，在,1上单

调递减，在1,上单调递增，要使()5fx³的解集为,20,，即有225fa，得3a，故存在3a的数使()5fx³成立，故D正确，故选BCD．11．在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等

材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品．有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经

常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽203厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（）A．斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120B．过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角

形的最大面积为1003平方厘米C．若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为1600π平方厘米D．此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为20330厘米【答案】ACD【解析】对于选项A：2220

10340030010PO，所以1033sin202AOBPOAP，60BPO，所以120APB，故选项A正确；对于选项B：设APB，截面三角形面积和21sin200sin2002SPA，故选项B不正确；对于选项C：设外接球球心为M

，半径为R，∴MAMPR，在AOM△中，由勾股定理可得2230010RR，解得20R，所以该球的表面积24π201600πS，故选项C正确；对于选项D：设球心为O，截面主视图如下图，设

内切圆半径为r，ABP△各边长分别为20PAPB，203AB，所以1120202032031022r，解得20330r，故选项D正确，故选ACD．12．过双曲线2222:1xyCab（0a，0b）的右焦点F引C的一条渐近线的垂线，垂足为A，交

另一条渐近线于点B．若FBAF，23，则C的离心率可以是（）A．52B．233C．62D．2【答案】BC【解析】右焦点(,0)Fc，设一渐近线OA的方程为byxa，则另一渐近线OB的方程为byxa，由FA与OA垂直可得FA的方程为()ayxcb，

联立方程2222()byxacaaxaabcyxcb，可得A的横坐标为2ac；联立方程2222222byxaccaaxaabacyxcb，可得B的横坐标为2222caac，因为FBAF，所以2222

222222()22ccacaacaccaccacc，可得2222222ceace，因为23，所以22322ee，即2222234043236232324602eeeeee

，BC满足题意，AD不合题意，故选BC．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点,Pxy满足约束条件404xyxyx，则2zxy的最小值为________．【答案】6【解析】由约束条件404xyxy

x，画出可行域如图所示阴影部分：将目标函数2zxy转化为2yxz，平移直线2yx，当直线经过点A时，直线在y轴上截距最小，此时，目标函数取得最小值，由40xyxy，解得22xy，所以2,2A，所以目标函数的最小值为22

26z，故答案为6．14．已知某人射击每次击中目标的概率都是0.6．现采用随机模拟的方法估计其射击4次，4次全击中和至少击中3次的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定1，2，3，4，5，6表示击中目标，0，7，8，9表示未击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数

为一组，代表4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：68303023705364308740432278852640334609536807970657745735658659299748603191376754据此估计，其4次射击中

全都击中目标的概率约为______，4次射击中至少3次击中目标的概率约为_____．【答案】0.1，0.45【解析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示射击4次全都击中

目标的有：43223346共2组随机数，∴所求概率为20.120；至少击中3次的有：432233463023643026405735658660316754共9组随机数，∴所求概率为90.4520．故

答案为0.1，0.45．15．623abc的展开式中23abc的系数为______．【答案】6480【解析】662323abcabc，展开式的通项为616C23rrrrTabc，取3r

，则63333346C235402Tabccab，32ab的展开式的通项为313C2mmmmTab，取2m，得到22233C212Tabab，故23abc的系数为5401

26480，故答案为6480．16．已知直线2yx分别与函数xye和lnyx的图象交于点1122,,AxyBxy、，现给出下述结论：①122xx；②122xxeee；③1221lnln0xxxx；④122exx．则其中正确的结论序号是_

________．【答案】①②③【解析】函数xye与lnyx互为反函数，则xye与lnyx的图象关于yx对称，将2yx与yx联立，则1x，1y，由直线2yx分别与函数xye和l

nyx的图象交于点11,Axy，22,Bxy，作出函数图象：则11,Axy，22,Bxy的中点坐标为1,1，对于①，由1212xx，解得122xx，故①正确；对于②，1212122222

2xxxxxxeeeeeee，因为12xx，即等号不成立，所以122xxeee，故②正确；对于③，将2yx与xye联立可得2xxe，即20xex，设2xfxex，且函数为单调递增函数，

010210f，112211320222fee，故函数的零点在10,2上，即1102x，由122xx，则212x，1221122122212211lnlnlnlnlnlnln0xxx

xxxxxxxxxxxx，故③正确；对于④，由12122xxxx，解得121xx，由于12xx，则121xx，故④错误，故答案为①②③．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，角A，B

，C所对的变分别为a，b，c，已知2cos212sin2BB．（1）求角B的大小；（2）若3b，求ac的最大值．【答案】（1）π3；（2）23．【解析】（1）由2cos212sin2BB，得22cos1cosBB，得(2cos1)

(cos1)0BB，得1cos2B或cos1B（舍），因为0πB，所以π3B．（2）由正弦定理可得2sinaA，2sincC，所以2π2(sinsin)2(sinsin())3acA

CAA2π2π2sin2sincos2cossin33AAA2sin3cossinAAA3sin3cosAA3123(sincos)22AAπ23sin6A，又2π0,3A，可得当π3A时，ac最大为23．18．（1

2分）已知首项为4的数列na的前n项和为nS，且112233nnnnSSa．（1）求证：数列2nna为等差数列，并求数列na的通项公式；（2）若1nnba，求数列nb的前n项和nT．【答案】（1）证明见解析，(3

1)2nnan；（2）2(31)24nnTn．【解析】（1）由题意得11232nnnaa，∴11322nnnnaa，故数列2nna是以2为首项，3为公差的等差

数列，∴23(1)312nnann，∴(31)2nnan．（2）由题意得11(32)2nnnban，故23415282112(32)2nnTn，345225282112

(32)2nnTn，∴2341252323232(32)2nnnTn23412232323232(32)28(13)24nnnnn，

解得2(31)24nnTn．19．（12分）如图，七面体ABCDEF的底面是凸四边形ABCD，其中2ABAD，120BAD，AC，BD垂直相交于点O，2OCOA，棱AE，CF均垂直于底面ABCD．（1）证明：直线DE与平面BFC不．平行；

（2）若1CF，求直线BC与平面BFD所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）23535．【解析】（1）假设DE∥平面BFC，因为AECF，AE平面BFC，所以AE∥平面BFC，又因为DE∥平面BFC，AEDEE，所以平面ADE∥平面BFC，根据面面平行的性质定理可得ADBC∥，

所以BOCOODOA，因为ABAD，AOBD，所以BOOD，这与2OCOA矛盾，所以DE不平行平面BFC．（2）以O为坐标原点，建系如图所示的空间直角坐标系，则0,3,0B，2,0,0C，0,3

,0D，1,0,2E，2,0,1F，所以2,3,0BC，0,23,0DB，2,3,1DF，设平面BFD的法向量,,xyzn，由00DBDFnn，可得230230yxyz，则

0y，取1x，2z，所以平面BFD的一个法向量1,0,2n，直线BC与平面BFD所成的角的正弦值为235sin35BCBCnn．20．（12分）为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，

回答每个问题相互独立．若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜．甲答对每个问题的概率为13，答错的概率为23．（1）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X，求X的分布列及数学期望；（2）若甲在回答过程中出现在第2ii个等级的概率为iP，证明：

1iiPP为等比数列．【答案】（1）分布列见解析，数学期望为203；（2）证明见解析．【解析】（1）依题意可得5,6,7,8,9,10X，55552232(5)C33243PX，4445

212180(6)C53333243PX，32352180(7)C33243PX，232521408C33243PX，41521109C33243PX

，5051110C3243PX，则X的分布列如表所示．X5678910P32243802438024340243102433280804010120()56789102432432432432

432433EX．（2）处于第1i+个等级有两种情况：由第i等级到第1i+等级，其概率为23iP；由第1i等级到第1i+等级，其概率为113iP；所以112133iiiPPP，所以1

113iiiiPPPP，即1113iiiiPPPP．所以数列1iiPP为等比数列．21．（12分）已知椭圆22122:1xyCab（0ab）的离心率为22，1C的

长轴是圆222:2Cxy的直径．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆1C的左焦点F作两条相互垂直的直线1l，2l，其中1l交椭圆1C于P，Q两点，2l交圆2C于M，N两点，求四边形PMQN面积的最小值．【答案】（1）2212xy

；（2）2．【解析】（1）由222a，得2a．由22cea，得1c，所以1b．所以椭圆的方程为2212xy．（2）由（1）可得1,0F．①当过点F的直线1l的斜率不存在时，22MN，2PQ，这时11222222PMQNSMNPQ；②当过点F

的直线1l的斜率为0时，2MN，22PQ，这时112222222PMQNSMNPQ；③当过点F的直线1l的斜率存在且不为0时，设直线1l的方程为1xmy，11,Pxy，22,Qxy．由22112xmyxy，整理可得222210mymy

．12222myym，12212yym．所以222212121222211142mmyymyyyymPQ．直线2l的方程为0mxym，坐标原点O到2l的距离21dmm，所以222222221

1mmMNmm，所以22211122221222PMQNmSMNPQmm，由222m，得2122122m，即2,22PMQNS．综上所述，四边形PMQN的面积的最小值为2．22．（12分）已知函数22sinxafx

axR．（1）若曲线yfx在点ππ,22f处的切线经过坐标原点，求实数a；（2）当0a时，判断函数fx在(0,π)x上的零点个数，并说明理由．【答案】（1）224πa；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】

（1）222sincos()sinxxxaxfxx，ππ2f，所以fx在点ππ,22f处的切线方程为πyx，所以2ππ22f，即2242ππ2a，224πa．

（2）因为0,πx，所以sin0x，所以220sinxax可转化为22sin0xax，设2()2singxxax，则()22cosgxxx，当,ππ2x时，()0gx，所以()gx在区间π,π2

上单调递增．当2π0,x时，设()()22coshxgxxx，此时()22sin0hxx，所以()gx在2π0,x时单调递增，又(0)20g，π0π2g，所以存在00,2πx使得(

)0gx且00,xx时，()gx单调递减；0,2πxx时，()gx单调递增．综上，对于连续函数()gx，在00,xx时，()gx单调递减，在0,πxx时，()gx单调递增．又因为(0)0ga

，所以当2π()0πga，即2πa时，函数()gx有唯一零点在区间0(,π)x上，当2π()0πga，即2πa时，函数()gx在区间(0,π)上无零点，综上可知，当20πa时，函数fx在(0,π)上有1

个零点；当2πa时，函数fx在(0,π)上没有零点．