【文档说明】(新高考)高考数学一模适应性模拟卷03（解析版） .doc，共(34)页，1.071 MB，由MTyang资料小铺上传

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新高考数学一模模拟试卷（三）一、单选题(共40分)1．(本题5分)已知集合223Axyxx，202xBxx，则AB（）A．1,1B．1,2C．1,2D．2,12．(本题5分)已知复数z满足|z|＝1，则|z＋1-

2i|的最小值为（）A．51B．5C．3D．23．(本题5分)《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，表示一根阴线)，现有3人各自随机的从八卦中任取两卦，恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线的概

率为（）A．2972744B．992744C．67521952D．225219524．(本题5分)天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申

、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推.排列到“

癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推.在戊戌年你们来到成都七中，追逐那光荣的梦想.在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（）A．辛丑年B．

庚子年C．己亥年D．戊戌年5．(本题5分)在正方体1111ABCDABCD中，三棱锥11ABCD的表面积为43，则正方体外接球的体积为（）A．43B．6C．323D．866．(本题5分)已知定义在R上的函数

fx满足13f，对xR恒有2fx，则21fxx的解集为（）A．1,B．,1C．1,D．,17．(本题5分)已知双曲线22221(0,0)xyabab，点00,Pxy是直线20bxaya上任意一点，若圆

22001xxyy与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为（）A．1,2B．1,2C．2,D．2,8．(本题5分)如图，在ABC中，点D是线段BC上的动点，且ADxAByA

C，则14xy的最小值为（）A．3B．4C．5D．9二、多选题(共20分)9．(本题5分)下列四个条件中，p是q的充分．．条件的是（）A．:pab，22:qabB．:1pa，1:1qaC．:tan1px，:4qxD．12:log0px

，:1qx10．(本题5分)已知等比数列na公比为q，前n项和为nS，且满足638aa，则下列说法正确的是（）A．=2qB．639SSC．3S，6S，9S成等比数列D．12+nnSaa11．(本题5分)如图直角梯形ABCD中，//ABCD，ABBC，112BCCDAB

，E为AB中点．以DE为折痕把ADE折起，使点A到达点P的位置，且3PC则（）A．平面PED平面PCDB．PCBDC．二面角PDCB的大小为3D．PC与平面PED所成角的正切值为2212．(本题5分

)设函数lnfxx，且0x、1x、20,x，下列命题正确的是（）A．若12xx，则122121fxfxxxxB．存在012,xxx，12xx使得120121fxfxxxxC．若121xx，则1

2121fxfxxxD．对任意12xx，总有012,xxx，使得12012fxfxfxxx三、填空题(共20分)13．(本题5分)611axx的展开式中，3x项的系数为10，则实数a_______

____.14．(本题5分)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618就是黄金分割比512m的近似值，黄金分割比还可以表示成218

sin，则22412sin27mm__________．15．(本题5分)已知△ABC的顶点坐标分别为(3,4),(6,0),(5,2)ABC，则内角A的角平分线所在直线方程为________.16．(本题5分)设函数()yfx的定

义域为D，若对任意1xD，存在2xD，使得12()()1fxfx，则称函数()fx具有性质M，给出下列四个结论：①函数3yxx不具有性质M；②函数ee2xxy具有性质M；③若函数8log(2)yx，[0,]xt

具有性质M，则510t；④若函数3sin4xay具有性质M，则5a．其中，正确结论的序号是________．四、解答题(共70分)17．(本题10分)在①246aa，945S②222nnnS③121nnannan，11a这

三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．设等差数列na的前n项和为nS，________，数列nb为等比数列，112ba，222ab，求数列nnab的前n项和nT．18．(本题12分)已知a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C的对边，且3sinco

saCcAc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）在①ABC的周长为623，②ABC的面积为3，③13cos2cB，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求B的值；若问题中的三角形不存在，说

明理由．问题：已知2b，______?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．(本题12分)2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准

，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率Z服从正态分布2,N.假设生产状态正常

，生产出的每个口罩彼此独立.记X表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于3的数量.（1）求1PX的概率；（2）求X的数学期望EX；（3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率Z小于3的口罩，就认

为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？附：若随机变量2,ZN，则0.6826PZ，220.9544PZ，330

.9974PZ，100.99870.9871.20．(本题12分)在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，//,90BCADADC，11,2BCCDADE为线段AD的中点，过BE

的平面与线段,PDPC分别交于点,GF.（1）求证：GF平面PAD；（2）若2PAPD，点G为PD的中点，求平面PAB与平面BEGF所成锐二面角的余弦值.21．(本题12分)已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为1,,2AB分别是它的左、右顶点，F

是它的右焦点，过点F作直线与C交于,PQ(异于,AB)两点，当PQx轴时，APQ的面积为92.（1）求C的标准方程;（2）设直线AP与直线BQ交于点M，求证:点M在定直线上.22．(本题12分)已知函数2ln2fxaxxaaxR．（1）讨论函数f

x的单调性；（2）若04ea，求证：2xefxxx．参考答案1．D【分析】先根据二次根式的被开方数大于等于零和分式不等式的解法求得集合A，B，再利用集合的交集运算可得答案.【详解】因为

22232303Axyxxxxxxx或1x，22022(2)(2)02xxxxxx，20222xBxxxx所以AB2,1，故选：D.【点睛】易错点睛：本题

考查二次根式有意义的条件和一元二次不等式的解法，以及集合的交集运算，解分式不等式转化为整式不等式时一定要注意分母不为0，即()0()0()()0()gxfxfxgxgx，考查学生的运算能力，

属于基础题.2．A【分析】根据1z分析出z在复平面内的轨迹方程，再根据12zi的几何意义以及圆外一点到圆上点的距离最小值求法求解出结果.【详解】因为22|||i|1zxyxy，所以221xy

，即z在复平面内表示圆O：221xy上的点；又22|12i||(1)(2)i|(1)(2)zxyxy，所以|12i|z表示圆O上的动点到定点(12)A,的距离，所以min|12i|z为||51

OAr，故选：A．【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解1z对应的轨迹方程以及掌握12zi的几何意义，将复数模的最值问题转化为点到点的距离最值问题.3．A【分析】求出3人每个人任取2卦的方法总数，确定3人中哪一个人的两卦中六根线不是4阳2阴，并求出方法数，另外2

人分别取两卦且满足题意的方法，相乘可得基本事件的个数，从而可得概率．【详解】8卦可分为四类：1阳3阴共3个，3阳1阴共3个，3阳共1个，3阴共1个，3人各取2卦的法为222388828CCC，2卦的六根线中有四根阳线和两根阴线的方法数为213

36CC，因此3人中恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线方法为123338(6)662311CC，∴所求概率为3332311297282744P．故选：A．【点睛】方法点睛：本题考查古典概

型，解题关键是求茁基本事件的个数．解题步骤：第一步分清8卦中阳线和阴线的条件，同类（相同阴线和阳线）的个数，第二步求出任取两卦时，两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线方法，第三步用分步乘法原理求出3人中恰有2人两卦的六根线中有四根阳线和两根阴线方法数．

这样条理清晰，不易出错．4．B【分析】由题意可得：数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以1980年的天干和地支分别为首项，即可求出答案.【详解】由题意可得：数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列

，从1980年到2080年经过100年，且1980年为庚申年，以1980年的天干和地支分别为首项，则1001010余数0，则2080年天干为庚，100128余数为4，则2080年地支为子，所以2080年为庚子年.故选：B【点睛】关键点点睛：本题

的关键点是由题意得出数列天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，1980年为庚申年，计算1001010余数0，则2080年天干为庚，100128余数为4，则2080年地支为子，所以2

080年为庚子年.5．B【分析】根据三棱锥的表面积进一步求出正方体的棱长，最后求出正方体的外接球的半径，进一步求出结果．【详解】解：设正方体的棱长为a，则1111112BDACABADBCDCa

，由于三棱锥11ABCD的表面积为43，所以12133442242ABCSSa所以2a所以正方体的外接球的半径为222222622，所以正方体的外接球的体积为346632故选：B．【点睛】与球有关的组

合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的

体对角线长等于球的直径.6．B【分析】构造新函数()()21Fxfxx，利用导数判断()Fx单减，又(1)0F可解1x.【详解】令()()21Fxfxx，则()()2Fxfx，又因为对xR恒有2fx所以(

)()20Fxfx恒成立，所以()()21Fxfxx在R上单减.又(1)(1)210Ff，所以()0Fx的解集为,1故选：B【点睛】利用单调性解不等式通常用于：(1)分段函数型不等式；(2)复合

函数型不等式；(3)抽象函数型不等式；(4)解析式较复杂的不等式；7．A【分析】将问题转化为：渐近线0bxay与直线20bxaya的距离大于等于圆的半径1，由此求解出双曲线离心率的取值范围.【详解】因为20bxaya与双曲线的渐近线平行，又00,Pxy在20bxaya上，

所以若22001xxyy与双曲线C的右支没有公共点，则只需要满足0bxay与20bxaya的距离大于等于1，所以2221aab，所以2ca，所以离心率的取值范围是1,2，故选：A.【点睛】本题考查求解双曲线离心率的范围，对学生的理解与转化能力要求较高，难度

较难.涉及到和双曲线某一支的交点个数问题，注意借助双曲线的渐近线进行分析.8．D【分析】由向量共线定理可得1xy，结合基本不等式即可求出14xy的最小值.【详解】如图可知x，y均为正，且1xy，14

1445yxxyxyxyxy4529yxxy，当且仅当4yxxy，即12,33xy时等号成立，则14xy的最小值为9.故选:D.【点睛】易错点睛：利用基本

不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号

则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.9．BD【分析】利用特殊值判断A；利用作差法判断B；利用tan1,4xxkkZ判断C；利用对数函数的单调性判断D.【详解】因为0,1ab时，22ab，所以p不能推出q，p不是q的充分条件，A错

；因为1a111101aaaa，所以p是q的充分条件，B对；因为tan1,4xxkkZ，所以p不能推出q，p不是q的充分条件，C错；因为111222log0loglog11xxx，所以p是q的充分条件，D对.故选：BD.10．AB【分析】根据638aa，

利用等比数列的性质建立关系，求出2q=，然后结合等比数列的通项公式与求和公式，逐项判断可得答案.【详解】由638aa，可得3638aqa，即2q=，故A选项正确；故11nnaaq，1111(12)2212nnnnaSaaaa，故D选项错误

；331(1)Saq，661(21)Sa，661331(21)9(21)SaSa，故B选项正确；又991(1)Saq，21293391(1)SSaqqq，2212661(21)

Saqq，故2396SSS不成立，故C选项错误，故选：AB.11．ABD【分析】根据2EC，又3PC，1PE得PEEC，结合条件和线面垂直判定定理得出PE平面CDE，同理得出CD平面PDE，进而得出A

正确；结合A和三垂线定理得出PCBD成立，故B正确；由A得CD平面PDE，根据二面角定义可得PDE就是二面角PDCB的平面角计算判定C错误；由A得CD平面PDE，所以CPD就是斜线PC与平面PED所成的角，计算判定D正确【详解】解：如图，连接,ECBD，则2EC，又3PC，

1PE，所以PECV中有222PCPEEC，所以PEEC.对于A.由题意可得PEDE，又PEEC，ECDEE，,ECDE平面CDE所以PE平面CDE，所以PEBE，又BEDE，PEDEE，,PEDE平面PDE，

所以BE平面PDE，因为//BECD，所以CD平面PDE，因为CD平面PCD，所以平面PED平面PCD，故A正确；对于B.由A得PE平面CDE，又BDCE，由三垂线定理可得PCBD（平面内一条线和射影垂直，就和斜线垂直），故B正确；对于C.由A得

CD平面PDE，根据二面角定义可得PDE就是二面角PDCB的平面角，易得4PDE，故C不正确；对于D.由A得CD平面PDE，所以CPD就是斜线PC与平面PED所成的角，易得2PD，12tan22CDCPDPD，故D正确.故选：ABD【点睛】证明线面垂直的常用方法及关键：

（1）证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质.（2）证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质.12．BC【分析】利用函数ln1gxxx在0,1上的单调性可判断A选项的正误；证明出1212

11fxfxxxx，可判断B选项的正误；利用函数ln1gxxx在1,上的单调性可判断C选项的正误；取13x，24x，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，构造函数ln1gxxx，其中0,1x

，则1110xgxxx，所以，函数gx在0,1上为减函数，当0,1x时，10gxg，因为210xx，则1201xx，则111222ln10xxxgxxx，即12122lnlnxxxxx，所以，12122121

2lnln1fxfxxxxxxxx，A选项错误；对于B选项，当1,x时，ln1gxxx，1110xgxxx，所以，函数gx在1,上单调递增，当1,x时，10gxg，因为210xx，则211xx，则2

22111ln10xxxgxxx，即21211lnlnxxxxx，所以，211212112lnlnlnln1xxxxxxxxx，结合A选项可知，12212111fxfxxxxx，若120121fxfxxxx，则

201111xxx，所以，102xxx，B选项正确；对于C选项，由B选项可知，函数ln1gxxx在1,上单调递增，121xx，则12gxgx，即1122ln1ln1xxxx，则1212lnlnx

xxx，所以，1212lnln1xxxx，即12121fxfxxx，C选项正确；对于D选项，取13x，24x，由AB选项可知，12212111fxfxxxxx，则

1212411ln,343fxfxxx，若存在03,4x，则0ln3,ln4fx，此时，12012fxfxfxxx，D选项错误.故选：BC.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证

明不等式fxgx（或fxgx）转化为证明0fxgx（或0fxgx），进而构造辅助函数hxfxgx；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩

；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.13．2【分析】由6661111axxxaxx，分别写出61x和61axx的展开式通项，分别令x的指数为3，求出

对应的参数值，代入通项可得出关于a的等式，进而可求得实数a的值.【详解】6661111axxxaxx，61x的展开式通项为16kkkTCx，所以，61axx的展开式通项为1166rrrrrAaxCxaCx，令313kr

，可得32kr，由题意可得3266201510CaCa，解得2a.故答案为：2.【点睛】方法点睛：对于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要

注意有关指数的运算性质．对于三项式问题，一般是通过合并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．14．2【分析】把2sin18m代入22412sin27mm，然后结合同角三角函数基本关系式与

倍角公式化简求值．【详解】解：把2sin18m代入22242sin1844sin184sin18cos182sin36212sin27cos54cos54sin36mm故答案为：215．7170xy【

分析】利用向量方法求得三角形ABC的内角A的平分线的方向向量为ABACaABAC的坐标，进而得到直线的斜率，然后利用点斜式得到所求直线的方程.【详解】3,4,8,6ABAC,∴三角形ABC的内角A的平分线的方向向量

为11173,48,6,51055ABACAPABAC,直线的斜率为7，所以直线的方程为473yx,即7170xy,故答案为：7170xy.【点睛】本题考查直线的方程的求

法，利用平面向量计算角平分线的方向向量，进而求得直线的斜率，是解决角平分线问题的最为简洁的方法.三角形ABC的内角A的平分线的方向向量为ABACaABAC,,ABACABAC分别是,ABAC方向上的单位向量，其和便是角平分线的方向向量.16．①③【分析】对每个选项中的具

体函数，先求定义域和值域，再结合题中函数性质M的定义进行直接判断或特殊值验证说明即可.【详解】依题意，函数()yfx的定义域为D，若对任意1xD，存在2xD，使得12()()1fxfx，则称函数()fx具有性质M.①函数3yxx，定义域是R，当10xR时，显然不存在2xR

，使得121fxfx，故不具备性质M，故①正确；②ee2xxy是单调增函数，定义域是R，0eeeee12xxxxy，当且仅当0x时等号成立，即值域为1,.对任意的1

>0x，11fx，要使得121fxfx，则需21fx，而不存在2xR，使21fx，故ee2xxy不具备性质M，故②错误；③函数8log2yx在0,t上是单调增函数，定义域是0,t，其值域为88log2,log2

t.要使得其具有M性质，则对任意的10,xt，188log2,log2fxt，总存在20,xt，288188111,log2,log2log2log2fxtfxt

，即88881log2log(2)1log(2)log2tt，即8888log2log(2)1log2log(2)1tt，即88log2log21t，故8821log2loglog328t，即328

t，故510t.故③正确；④若函数3sin4xay具有性质M，定义域是R，使得sin1,1x，一方面函数值不可能为零，也即3sin0xa对任意的x恒成立，而3sin3,3x，故3a或3a，在此

条件下，另一方面，43sinyxa的值域是3sin4xay值域的子集.3sin4xay的值域为33,44aa,43sinyxa的值域为44,33aa要满足题意，只需33,444343aaaa，3

a时441,1334334aaaa，即44133aa；3a时441,1334334aaaa，即44133aa；故44133aa，即3316aa，即2916a，即225a，故5a

.故④错误.故答案为：①③.【点睛】本题的解题关键在于理解题中新定义“函数()fx具有性质M”的实质是对任意1xD，其函数值1fx的取值集合包含了其倒数11fx的取值集合，才能存在存在2xD，使得12()()1fxfx，进而突破难点.17．选①或②或③，1122nnT

n.【分析】选①，设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，根据已知条件建立有关1a、d的方程组，求出这两个量，并求出q的值，可得出数列na、nb的通项公式，进而利用错位相减法可求得nT；选②，设等比数列n

b的公比为q，利用11,1,2nnnSnaSSn求出数列na的通项公式，并求出q，可求得数列nb的通项公式，再利用错位相减法可求得nT；选③，设等比数列nb的公比为q，利用累乘法可求出数列na的通项公式，并求出q，可求得数列n

b的通项公式，再利用错位相减法可求得nT.【详解】选①，设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，由已知条件可得2419124693645aaadSad，解得11ad，11naandn，221

22222aqa，111222nnnnbbq，2nnnabn，1231222322nnTn，23121222122nnnTnn，上式下式可得23111212

22222212212nnnnnnTnnn，因此，1122nnTn；选②，当1n时，111aS；当2n时，2211122nnnnnnnaSSn.11a也满足nan

，所以，对任意的nN，nan.22122222aqa，111222nnnnbbq，2nnnabn，1231222322nnTn，23121222122nnnTnn，上式下式可得231

1121222222212212nnnnnnTnnn，因此，1122nnTn；选③，121nnannan，且11a，由累乘法可得321121231121nnnaaanaanaaan

.22122222aqa，111222nnnnbbq，2nnnabn，1231222322nnTn，23121222122nnnTnn

，上式下式可得2311121222222212212nnnnnnTnnn，因此，1122nnTn.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利

用公式法直接求和；（2）对于nnab型数列，其中na是等差数列，nb是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于nnab型数列，利用分组求和法；（4）对于11nnaa型数列，其中na是公差为0dd的等差数列，利用裂项相消法求和.18．（Ⅰ）3A；

（Ⅱ）选①，6B；选②，3B；选③，三角形不存在，【分析】（Ⅰ）首先利用正弦定理可得3sincos1AA，再根据二倍角的正弦、余弦公式即可求解.（Ⅱ）根据题意选择条件，分别利用正弦定理、三角形的面积公式以及余弦定理进行求解即可.【详解】（Ⅰ）在ABC中，

3sincosaCcAc，由正弦定理可得3sinsinsincossinACCAC，sin0C，则3sincos1AA，即223sincos2cos222AAA，由0,22A，则3sincos22AA，所以3tan23A，所以26A

，解得3A.（Ⅱ）选①ABC的周长为623，由2b，则423ac，又423sinsinsinsinsin3sin2abcacABCACC，3sinsin2ccCAaa

，所以42333sin22aC，423333222aca，解得423ac，（i）又22222cos42abcbcAcc，（ii）由（i）（ii）可得23a，4c，232sinsins

in32abABB，解得1sin2B，由因为ab，所以6B.选②，ABC的面积为3，2b，3A，则13sin322ABCSbcAc，解得2c，所以ABC为等边三角形，所以3B.选③，13cos2

cB，3A，2b，由余弦定理可得222223413224acbaccacac，（iii）又22222cos42abcbcAcc，（iv）由（iii）（iv）联立，无解

，三角形不存在.19．（1）0.0129；（2）0.013；（3）这种监控生产过程的方法合理.【分析】（1）根据已知，结合所给的公式可以求出3PZ，最后利用对立事件概率公式进行求解即可；（2）利用二项分布的

性质进行求解即可；（3）根据（1）的结论进行判断即可.【详解】（1）抽取口罩中过滤率在3,3内的概率330.9974PZ，所以10.997430.00132PZ，所以31

0.00130.9987PZ，故1011010.998710.98710.0129PXPX（2）由题意可知~10,0.0013XB，所以100.00130.013EX.（3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口

罩过滤率小于或等于3的概率10.997430.00132PZ，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于或等于3的概率0.11029PX，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这

种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理.20．（1）证明见解析；（2）63.【分析】（1）证明//BECD，通过证明BE

平面PAD即可证明；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量求解.【详解】证明：（1）因为12BCAD，且E为线段AD的中点，所以BCDE，又因为//BCAD，所以四边形BCDE为平行四边形，所以//BECD，又因为CD平面,PCD

BE平面PCD，所以//BE平面PCD，又平面BEGF平面PCDGF，所以//BEGF，又BEAD，且平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BE平面PAD，所以GF

平面PAD，（2）因为,PAPDE为线段AD的中点，所以PEAD，又因为平面PAD平面ABCD，所以PE平面ABCD，以E为坐标原点，EA的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系Exyz；则11(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,0),(1

,0,0),,0,22PABEDG，则11(1,0,1),(0,1,1),(0,1,0),(1,0,1),,0,22PAPBBEDPEG设平面PAB的法向量为111,,mxyz，则0{0PAmPBm

，，，即11110,0xzyz，不妨令11x，可得(1,1,1)n为平面BEGF的一个法向量，设平面BEGF的法向量为222,,nxyz，则0{0BEnEGn，，，即222011022yxz，，不妨令21x，可得(

1,0,1)n为平面BEGF的一个法向量，设平面PAB与平面BEGF所成的锐二面角为，于是有26cos|cos,|323mn；所以平面PAB与平面BEGF所成角的余弦值为63.21．（1）22143xy；（2）证明见解析.【分析】（

1）根据椭圆离心率和椭圆的性质可知3bc，再根据PQx轴时，APQ的面积为92，由面积公式可知212922baca，由此即可求出椭圆方程；（2）设直线PQ的方程为1xmy，联立椭圆方程，设1122(,),(,)PxyQxy，由韦达定理，可知12122269

,3434myyyymm，将直线AP的方程112+2yyxx与直线BO的方程2222yyxx联立，利用韦达定理，化简计算，即可证明结果.【详解】解:（1）由题意知12ca，所以2ac，又222abc，所以3bc当PQx轴时，APQ的面积为9

2，所以212922baca解得21,c所以224,3ab，所以椭圆C的标准方程为22143xy.（2）由（1）知1,0F，设直线PQ的方程为1xmy，与椭圆22143xy联立，得2234690mymy

.显然0恒成立.设1122(,),(,)PxyQxy，所以有12122269,3434myyyymm*直线AP的方程为112+2yyxx，直线BO的方程为2222yyxx，联立两方程可得，所以121222+22yyxx

xx121212212121213232221myyxymyyyxxyxymymyyy由*式可得121232yyyym，代入上式可得1212121221

339222233322232yyyyxyyxyyyy，解得4,x故点M在定直线4x上.【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于设直线PQ的方程为1xmy，避免了斜率存在和不存在的分类讨论，使得运算简化.22．（1）单调递减区

间为280,2aa，单调递增区间为28,2aa；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数fx的定义域，分别解不等式0fx、0fx可得出函数fx的单调递减区间和递增区间；（2）利用分析法得出所证不等式等价转化为2

ln2xaxexx，设2xegxx，ln2axhxx，利用导数可得出minmaxhxgx，进而可得出所证不等式成立.【详解】（1）函数2ln2fxaxxax的定义域为0,，222221axaxfxxxx

.对于方程220xax，280a.解方程220xax，可得21802aax，22802aax.当2802aax时，0fx；当282a

ax时，0fx.所以，函数fx的单调递减区间为280,2aa，单调递增区间为28,2aa；（2）要证明2xefxxx，即证22ln2xexaxaxxx

，即证ln2xeaxx，即证2ln2xaxexx.令2xegxx，其中0x，则32xexgxx.当02x时，0gx，此时函数gx单调递减；当2x时，0gx，此

时函数gx单调递增.所以，2min24egxg.构造函数ln2axhxx，其中04ea，0x，则2ln1axhxx.当10xe时，0hx，此时，函数hx单调递

增；当1xe时，0hx，此时，函数hx单调递减.所以，2max14ehxhaee，则maxminhxgx，所以，2ln2xaxexx.故原不等式得证.【点睛】方法点睛

：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式fxgx（或fxgx）转化为证明0fxgx（或0fxgx），进而构造辅助函数

hxfxgx；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.