【文档说明】(新高考)高三数学第二次模拟考试卷三（解析版，A3版）.doc，共(9)页，878.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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（新高考）高三第二次模拟考试卷数学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的

答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷

和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设()fzz，134iz，22iz，则12()fzz等于（）A．13iB．21

1iC．2iD．55i【答案】D【解析】134iz，22iz，则1255izz，∵()fzz，则1212()55ifzzzz，故选D．2．集合2101xAxx，集合12log1Bxyx

，则集合AB等于（）A．10,2B．1,C．1,1D．1,【答案】C【解析】12101{|1}2xAxxxx，由011x，得01x，所以{|01}Bxx，所以AB

{|11}xx，故选C．3．已知函数()fx的定义域是(0,)，满足(2)1f且对于定义域内任意x，y都有()()fxyfx()fy成立，那么(2)(4)ff的值为（）A．1B．2C．3D．4【答

案】C【解析】对于定义域内任意x，y，都有()()()fxyfxfy成立，令2xy，得(4)(2)(2)112fff，(2)(4)123ff，故选C．4．一个等比数列前n项的和为48，前2n项的和为60，则前3n项的和为（）A．83

B．108C．75D．63【答案】D【解析】设等比数列前3n项和为x，因为等比数列前n项的和为48且不为零，则48，6048，60x成等比数列，故4860144x，故63x，故选D．5．若向量a，b

满足2a，1b，且π,3ab，则,abb（）A．5π6B．π2C．π3D．π6【答案】B【解析】由题意，向量a，b满足2a，1b，且π,3ab，可得22π()21cos103abbabb，所以向量ab与b的夹角为π

2，故选B．6．已知直线:20laxy与22:14Cxya相交于A、B两点，则ABC△为钝角三角形的充要条件是（）A．1,3aB．23,23aC．23,11,23aD．

,2323,a【答案】C【解析】圆C的圆心为1,Ca，半径为2r=，由于ABC△为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则45CAB，设圆心C到直线l的距离为d，则2221ada，则212sin21adCABra

，整理可得2410aa，解得2323a，因为直线l不过圆心C，则220a，解得1a，综上所述，23,11,23a，故选C．7．已知函数cos0,0,0πfxAxA的部分图象如图所示，则（）A．π3cos6fx

xB．π3cos6fxxC．π3cos26fxxD．π3cos26fxx【答案】D【解析】由图象可知3A．因为302f，所以3cos2

．又0π，可得π6，由5π33f，所以5ππ2ππ36kkZ，解得6152kkZ，结合选项可知12，因此π3cos26fxx，故选D．8．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”

一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，

则不同的安装方案种数为（）种．A．8B．10C．12D．14【答案】A【解析】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，当三人组中包含小明和小李时，安装方案有1232CA6种；当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有22A2种

，共计有628种，故选A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知fx、gx都是定义在R上的函数，且fx为奇函数，gx的图象关于直线1x对称，则下列说

法中正确的有（）A．()1ygfx轾=+臌为偶函数B．ygfx为奇函数C．yfgx的图象关于直线1x对称D．()1yfgx轾=+臌为偶函数【答案】ACD【解析】因为fx为奇函数，所以fxfx，因为gx的图象关于直线1x对称

，所以11gxgx，A项：()()()111gfxgfxgfx轾轾轾-+=-+=+臌臌臌，则函数()1ygfx轾=+臌为偶函数，A正确；B项：()()()gfxgfxgfx轾轾轾-=-?臌臌臌，不是奇函数，B错误；C项：因为11g

xgx，所以()()11fgxfgx轾轾-=+臌臌，则yfgx的图象关于直线1x对称，C正确；D项：因为11gxgx，所以()()11fgxfgx轾轾-+=+臌臌，则函数()1yfgx轾=

+臌为偶函数，D正确，故选ACD．10．如图，在正方体1111ABCDABCD中，点P在线段1BC上运动，则（）A．直线1BD平面11ACDB．二面角1BCDB的大小为π2C．三棱锥11PACD的体积为定值D．异面直线AP与1AD所成角的取值范围是π

π,42【答案】AC【解析】如图，在A中，∵1111ACBD，111ACBB，1111BDBBB，∴11AC平面BB1D1，∴111ACBD，同理，11DCBD，∵1111ACDCC，∴直线1BD平面11ACD，故A正确；在B中，由正方体可知平面1BCD不垂直平

面ABCD，故B错误；在C中，∵11ADBC∥，1AD平面11ACD，1BC平面11ACD，∴1BC∥平面11ACD，∵点P在线段1BC上运动，∴P到平面11ACD的距离为定值，又11ACD△的面积是定值，∴三棱锥11PACD的体积为定值，故

C正确；在D中，当点P与线段1BC的端点重合时，异面直线AP与1AD所成角取得最小值为π3，故异面直线AP与1AD所成角的取值范围是[π,3π]2，故D错误，故选AC．11．已知实数a，b满足201aabba，下列结论中正确的是（）A．4

bB．28abC．111abD．274ab【答案】AD【解析】201aabba，21aba．对于A：22(1)1112111aabaaaa，1a，10a，11122(1)2411baaaa

，即4b，故A正确；对于B：1122123(1)423411abaaaaa，2348，28ab不一定成立，故B错误；对于C：2211111(1)11

aabaaa，故C错误；对于D：232[(1)1]1(1)3(1)3111aaabaaaaaa2681251115(1)()[]6(1)8328(1)(1)328(1)aaaaaa1527344

，故D正确，故选AD．12．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，准线为l，过点F且斜率大于0的直线交抛物线C于A，B两点（其中A在B的上方），过线段AB的中点M且与x轴平行的直线依次交

直线OA，OB，l于点P，Q，N．则（）A．PMNQB．若P，Q是线段MN的三等分点，则直线AB的斜率为22C．若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有PQOQD．若P，Q不是线段MN的三等分点，则一定有NQOQ【答案】AB【解析】抛物线的焦点为

(1,0)F，设直线AB方程为(1)ykx，0k，11(,)Axy，22(,)Bxy，由2(1)4ykxyx，得2222(24)0kxkxk，212224kxxk，121xx，∴12

2212Mxxxk，2(1)MMykxk，直线MN方程为2yk，∵,,OPA共线，∴11PPxyxy，21111111222PPxyxyyxykykyk，同理22Qyxk，12222MPQyyyxxkkk，222211MNPQxxxxkk

，∴MPQNxxxx，即MPNQ，A正确；若P，Q不是线段MN的三等分点，则13PQMN，122212121(1)2233yykkk，2124(1)3kyyk，又1242Myyyk，2212121212(1)(1)(1)

4yykxxkxxxx，∴2121212216()416yyyyyyk，∴22164(1)163kkk，解得22k，（∵0k），B正确；由2222(24)0kxkxk，得2222

21kkxk，2222221kkxk，∴222221(1)kykxk，222112Qykxkk，又2QMyyk，∴22222221125221kkkOQkkk

，2122212yykPQkk，∴22222224452214(1)(11)(13)kkkkkOQPQkk，当22k时，OQPQ，C错；由图可知1NQ，而2QOQyk，只要02k，就有1OQNQ，

D错，故选AB．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知二项式13nxx的展开式中，所有项的系数之和为64，则该展开式中的常数项是______．【答案】1215【解析】∵二项式13nxx的

展开式中，所有项的系数之和为64，∴令1x，得264n，6n．613xx的展开式的通项公式为6336622166C3(1)(1)C3rrrrrrrrrrTxxx

，令3302r，可得2r=，613xx的展开式的常数项为2246(1)C31215，故答案为1215．14．如图，某湖有一半径为100m的半圆形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不

计)，在其正东方向相距200m的点A处安装一套监测设备．为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以及湖中的点C处，再分别安装一套监测设备，且满足ABAC，90BAC．定义：四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；设AOB．则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为________

___．【答案】210000525000m【解析】在OAB△中，AOB，100OB，200OA，2222cosABOBOAOBOAAOB，即10054cosAB，211sin22OACBOABABCSSSOAOB

AB△△，25100sin2cos2OACBS，令tan2，则251005sin2OACBS，“直接监测覆盖区域”面积的最大值为210000525000m

，故答案为210000525000m．15．已知直线ykx是曲线xye的切线，也是曲线lnyxm的切线，则实数k________，实数m________．【答案】e，2【解析】对于xye，设切点为(,)nne，因为

xye，故切线斜率nke，故切线方程为()nnyeexn，由已知得切线过(0,0)，所以()nneen，故1n，所以ke．对于lnyxm，设切点为(,ln)ccm，所以1yx

，因为切线为yex，得1|xcyec，所以1ce，所以切点为1(,1)e，代入lnyxm，得11lnme，所以2m．故答案为e，2．16．已知函数222()log1221xfxxx，

xR，若0,2π使关于的不等式(2sincos)(42sin2cos)2ffm成立，则实数m的范围为___________．【答案】2m【解析】显然函数定义域是R，222222()()log

(1)2log(1)22121xxfxfxxxxx222222log(1)(1)()421221xxxxxxx，∴()yfx的图象关于点(0,1)对称，原不等式可化为(2sincos)2(42sin2

cos)ffm，即(2sincos)(42sin2cos)ffm，(*)设12xx，则2222112212121(1)11()xxxxxxxx221212121222221212()()11111xxxxx

xxxxxxx，∵2111xx，2221xx，∴22121211xxxx，∴1222121111xxxx，∴221211221222121(1)(11

10)xxxxxxxxxx，即22112211xxxx，2221122log(1)(1)xxxx，由1222xx，得12112121xx，∴122221122222log(1)2l

og(1)22121xxxxxx，∴()fx是增函数，不等式(*)化为2sincos42sin2cosm，(**)令sincos2sin()4πt，∵π0,

2，∴[1,2]t，不等式(**)化为2142tmt，2(1)2mt，问题转化为存在[1,2]t，使不等式2(1)2mt成立，当[1,2]t时，2(1)2t的最小值为2，∴2m，故答案为2m．四、解答题：本大题共

6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列na的前n项和为*nSnN．（1）若na为等差数列，11165S，3828aa，求na的通项公式；（2）若数列nS满足12211135222nnSSSn，求nS．【

答案】（1）23nan；（2）16,132,2nnnSn．【解析】（1）na是等差数列，设公差为d，11611165Sa，615a，3828aa，5628aa，513a，2d，132()352nnan．

（2）12211135222nnSSSn，①12121111322222nnSSSnn，②①②，得1322nnSn，322nnSn，当1n时，116S，综上：16,132,2nnnSn．18．（12分）在

平面四边形ABCD中，4AB，22AD，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且2AEEC．（1）若π4ABD，求BC的长；（2）若3AC，求cosBAD．【答案】（1）102BC；（2）24．【解析】（1）在ABD△中，4AB，22AD，π4ABD，

由正弦定理得sinsinABADADBABD，所以π4sin4sin122ADB，因为0πADB，所以π2ADB，所以22BD，所以2DEBE，10AE，所以5coscos5AEDBEC．因为2AEEC

，所以102EC．由余弦定理得222510552cos2222252BCBEECBEECBEC，所以102BC．（2）因为3AC，2AEEC，所以2AE．设DEBEx，在ABD△中，由余弦定理得2222244cos2222x

ADBx；在AED△中，由余弦定理得222222cos222xADBx，所以224848242xxxx，解得22x，所以42BD，在ABD△中，由余弦定理得222168322cos24162ABADBDBADA

BAD．19．（12分）近年来，我国的电子商务行业发展迅速，与此同时，相关管理部门建立了针对电商的商品和服务评价系统．现从评价系统中选出200次成功的交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为3

5，对服务的好评率为710；其中对商品和服务均为好评的有80次．（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关？（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的4次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X，求对商品和服务全好评的次数X的分布列及其期望．20

PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822()()()()()nadbcKabcdacbd（其中nabcd）．【答案】（1）不可以在犯

错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）分布列见解析，85．【解析】（1）由题意可得关于商品和服务评价的22列联表如下：对服务好评对服务不满意总计对商品好评8040120对商品不满意602080总计1406020022200(16002400)1.5872.

7061406012080K，所以，不可以在犯错误概率不超过0.1的前提下，认为商品好评与服务好评有关．（2）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为8022005，且X的取值可以是0,1,

2,3,4．其中44381(0)55PX；314423216(1)C555PX；2224423216(2)C555PX；33

442396(3)C555PX；44216(4)55PX，X的分布列为：X01234P4815121654216549654165由于2~4,5XB，∴85EX．20．（12分）如图，在四棱锥SABCD中，四边形A

BCD是边长为2的菱形，60ABC，90ASD，且2SC．（1）证明：平面SAD平面ABCD；（2）当四棱锥SABCD的体积最大时，求二面角BSCD的余弦值．【答案】（1）证明见解

析；（2）277．【解析】（1）如图：取AD的中点O，连接SO､CO和AC，∵60ADCABC，且ADDC，又2ADCD，则ACD△为正三角形，故COAD，3CO，又∵90ASD，∴ASD△为直角

三角形，∴112SOAD，在ACS△中，222COSOSC，则COSO，又ADSOO，AD、SO平面ADS，∴CO平面ADS，又∵CO平面ABCD，∴平面SAD平面ABCD．（2）∵90ASD，则点S在以AD为直径的圆上，且1SO

，设点S到平面ABCD的距离为d，∴13SABCDABCDVSh菱形，而1222sin60232ABCDS菱形，∴当d取最大值时四棱锥SABCD的体积最大，此时SO平面ABCD，又由（1）可知COAD，如图建系，则(3,2,0)

B，(0,0,1)S，(3,0,0)C，()0,1,0D，则(3,2,1)BS，(3,0,1)SC，(0,1,1)SD，设平面BSC的法向量为111,(),xyzm，则00BSSCmm，即

1111132030xyzxz，取11x，则10y，13z，得(1,0,3)m；设平面SCD的法向量为222,(),xyzn，则00SCSDnn，即2222300xzyz，取21x，则23y，23z，得(1,

3,3)n，则1327cos,727mnmnmn，设二面角BSCD的平面角为，经观察为钝角，则27coscos,7mn，故二面角BSCD的余弦值为277．21．（12分）已知椭圆2222:10xyCabab的一个焦点为3,0，且过

点31,2．（1）求椭圆C的方程；（2）设1,0Aa，2,0Aa，0,Bb，点M是椭圆C上一点，且不与顶点重合，若直线1AB与直线2AM交于点P，直线1AM与直线2AB交于点Q．求证：BPQV为等腰三角形．【答案】（1）2214xy；（2）证明见

解析．【解析】（1）由题意得2222231314cabcab，解得椭圆C的方程是2214xy．（2）易得12,0A，22,0A，0,1B，11:12AByx，21:12AByx，设直线11:2,02AMykxkk

，联立22244ykxxy，得222241161640kxkxk，2216241Mkxk，得228241Mkxk，2441Mkyk，2124MAMMykxk

，直线21:24AMyxk，联立2112ykxyx，得244,2121kkQkk；联立124112yxkyx，得242,2121kPkk

，PQx轴且PQ的中点N为24,121kk，//BNx轴，BN为BPQV的中线且PQBN，BPQ△为等腰三角形．22．（12分）已知函数1xfxeax，2gxkx．（1）当0a时，求

fx的值域；（2）令1a，当0,x时，ln1gxfxxx恒成立，求k的取值范围．【答案】（1）ln1,aaa；（2）,1．【解析】（1）∵xfxea，由0fx，得ln

xa，∴fx在区间,lna上单调递减，在区间ln,a上单调递增．∴函数fx的最小值为lnlnln1ln1afaeaaaaa，∴函数fx的值域是ln1,aaa．（2）当1a时，1xfxex，2

11ln1ln1gxfxfxxkxx（0x），221ln11ln1xfxxkxexkx，2ln1111ln11ln1ln1xxxxeeexxxkxxexx，令1xemxx，则21

1xxemxx，令11xxxe，则xxxe，∵0x，0x，x在0,上单调递增，∴00x，0mx，于是mx在0,上单调递增，且0mx，（0x），又由（1）知当

1a，0,x时，1xfxex的值域是0,，即100xfxexf，所以，1xex恒成立，∴ln1xx，所以，ln1mxmx．即1ln1mxm

x，所以1k，∴k的取值范围是,1．