【文档说明】2023版新高一暑假预科数学讲义15课（教师版）.pdf，共(220)页，5.401 MB，由MTyang资料小铺上传

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2023版暑假新高一预科高中数学讲义中国2023年7月目录第一章集合与常用逻辑用语

12023年高考真题速递

1§1.1.1集合的概念

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1.3.1集合的基本运算之并集与交集

15§1.3.2集合的基本运算之补集

19§1.4.1充分条件与必要条件

23§1.4.2充要条件

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31§1.5.2全称量词命

题与存在量词命题的否定35章末复习课

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39第二章一元二次函数、方程和不等式

422023年高考真题速递

42§2.1.1基本事实与重要不等式

43§2.1.2等式性质与不等式性质

47§2.2.1基本不等式

51§2.2.2基本不等式的应用

55§2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式

60§2.3.2一元二次不等式的应用

65章末重点1基本不等式的应用技巧

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高考真题速递

75§3.1.1函数的概念及其表示

77§3.1.2函数的概念与值域

82§3.1.3函数的表示法

87§3.1.4分段函数

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93§3.2.1函数性质之单调性

96§3.2.2函数性质之函数的最大(小)值101

§3.2.3函数性质之奇偶性的概念

106§3.2.4函数性质之奇偶性的应用

111§3.3幂函数

116§3.4函数的应用

121章末重点3函数性质的综合问题

126章末复习课

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ZZZ第一章集合与常用逻辑用语2023年高考真题速递1．【2023∙新高考Ⅰ卷∙01】已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N={x|x2-x-6≥0}，则M∩N=()A．{-2，-1，0，1}B．{0，1，2}C．{-2}D．{2}【答案】:C【分

析】先把集合N表示出来，再根据交集的定义计算即可．【解析】∵x2-x-6≥0，∴(x-3)(x+2)≥0，∴x≥3或x≤-2，N=(-∞，-2]∪[3，+∞)，则M∩N={-2}．故选：C．【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．2．【2

023∙新高考Ⅱ卷∙02】设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A⊆B，则a=()A．2B．1C．23D．-1【答案】:B【分析】根据题意可得a-2=0或2a-2=0，然后讨论求得a的值，再验

证即可．【解析】依题意，a-2=0或2a-2=0，当a-2=0时，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不符合题意；当2a-2=0时，解得a=1，此时A={0，-1}，B={1，-1，0}，符合题意．故选：B．【点评】本题考查集合间的关系，考查运算求解能力，属于基础

题．3．【2023∙甲理∙01】设集合A={x∣x=3k+1,k∈Z},B={x∣x=3k+2,k∈Z}，U为整数集，∁U(A∪B)=()A．{x|x=3k,k∈Z}B．{x∣x=3k-1,k∈Z}C．{x∣x=3k-2,k∈Z}D

．∅【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【解析】因为整数集Z=x|x=3k,k∈Z∪x|x=3k+1,k∈Z∪x|x=3k+2,k∈Z，U=Z，所以，∁UA∪B=x|x=3k,k∈Z．故选：A．4．【2023∙甲文

∙01】设全集U=1,2,3,4,5，集合M=1,4,N=2,5，则N∪∁UM=()A．2,3,5B．1,3,4C．1,2,4,5D．2,3,4,5︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page1/Total21

8课堂笔记【答案】A【分析】利用集合的交并补运算即可得解.【解析】因为全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,4}，所以∁UM=2,3,5，又N={2,5}，所以N∪∁UM={2,3,5}，故选：A5．【2

023∙乙理∙02】设集合U=R，集合M=xx<1，N=x-1<x<2，则xx≥2=()A．∁UM∪NB．N∪∁UMC．∁UM∩ND．M∪∁UN【答案】A【分析】由题意逐一考查所给的选项运

算结果是否为x|x≥2即可.【解析】由题意可得M∪N=x|x<2，则∁UM∪N=x|x≥2，选项A正确；∁UM=x|x≥1，则N∪∁UM=x|x>-1，选项B错误；M∩N=x|

-1<x<1，则∁UM∩N=x|x≤-1或x≥1，选项C错误；∁UN=x|x≤-1或x≥2，则M∪∁UN=x|x<1或x≥2，选项D错误；故选：A.6．【2023∙乙文∙02】设全集U=0,1,2,4,6

,8，集合M=0,4,6,N=0,1,6，则M∪∁UN=()A．0,2,4,6,8B．0,1,4,6,8C．1,2,4,6,8D．U【答案】A【分析】由题意可得∁UN的值，然后计算M∪∁UN即可.【解析】由题意可得∁UN

=2,4,8，则M∪∁UN=0,2,4,6,8.故选：A.7．【2023∙天津∙01】已知集合U=1,2,3,4,5,A=1,3,B=1,2,4，则∁UB∪A=()A．1,3,5B．1,3C．1,2,4D．1,2,4,5【

答案】A【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；【解析】由∁UB={3,5}，而A={1,3}，所以∁UB∪A={1,3,5}.故选：A8．【2023∙上海∙13】已知P={1，2}，Q={2，3}，若M={x|x∈P，x∉Q}，则M=()A．{1}B．{2}

C．{3}D．{1，2，3}【答案】:A【分析】根据题意及集合的概念，即可得解．【解析】∵P={1，2}，Q={2，3}，M={x|x∈P，x∉Q}，∴M={1}．故选：A．pμθημαz︱eiπ+1=0Page2/Total218课堂笔记【点评】本

题考查集合的基本概念，属基础题．9．【2023∙北京∙01】已知集合M={x∣x+2≥0},N={x∣x-1<0}，则M∩N=()A．{x∣-2≤x<1}B．{x∣-2<x≤1}C．{x∣x≥-2}D．{x∣x<1}【答案】A【分析】先化简集合M,N，然后根据交集的定义计算.【解析】由题

意，M={x∣x+2≥0}={x|x≥-2}，N={x∣x-1<0}={x|x<1}，根据交集的运算可知，M∩N={x|-2≤x<1}.故选：A10．【2022∙全国甲∙文01】设集合A={-2,-1,0,1,2}，B={x

0≤x<52，则A∩B=()A．{0,1,2}B．{-2,-1,0}C．{0,1}D．{1,2}【答案】:A【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．【解析】:直接通过交集的运算定义可得A∩B={0,1,2}．11．【2022∙全国乙∙理01】设全集U={

1,2,3,4,5}，集合M满足∁UM={1,3}，则A．2∈MB．3∈MC．4∉MD．5∉M【答案】:A【分析】先写出集合M,然后逐项验证即可【解析】:由题知M={2,4,5},对比选项知，A正确,BCD错误．故选:A12．【2023∙天津∙02】“a2=b2”是“a2+b2=2

ab”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.【解析】由a2=b2，则a=±b，当a=-b≠0时a2+b2=2ab不成

立，充分性不成立；由a2+b2=2ab，则(a-b)2=0，即a=b，显然a2=b2成立，必要性成立；所以a2=b2是a2+b2=2ab的必要不充分条件.故选：B13．【2023∙北京∙08】若xy≠0，则“x+y=0”是“yx+xy=-2”的()A．充分

不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page3/Total218课堂笔记【分析】解法一：由xy+yx=-2化简得到x+y=0即可判断；解法二：证明充分性可由x

+y=0得到x=-y，代入xy+yx化简即可，证明必要性可由xy+yx=-2去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由xy+yx通分后用配凑法得到完全平方公式，再把x+y=0代入即可，证明必要性可由xy+yx通分后用配凑法得到完全平方公式，再把x+y=0代入，解

方程即可.【解析】解法一：因为xy≠0，且xy+yx=-2，所以x2+y2=-2xy，即x2+y2+2xy=0，即x+y2=0，所以x+y=0.所以“x+y=0”是“xy+yx=-2”的充要条件.解法二：充分性

：因为xy≠0，且x+y=0，所以x=-y，所以xy+yx=-yy+y-y=-1-1=-2，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且xy+yx=-2，所以x2+y2=-2xy，即x2+y2+2xy=0

，即x+y2=0，所以x+y=0.所以必要性成立.所以“x+y=0”是“xy+yx=-2”的充要条件.解法三：充分性：因为xy≠0，且x+y=0，所以xy+yx=x2+y2xy=x2+y2+2xy-2xyxy=

x+y2-2xyxy=-2xyxy=-2，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且xy+yx=-2，所以xy+yx=x2+y2xy=x2+y2+2xy-2xyxy=x+y2-2xyxy=x+y2xy-2=-2，所以x+y

2xy=0，所以x+y2=0，所以x+y=0，所以必要性成立.所以“x+y=0”是“xy+yx=-2”的充要条件.故选：C14．【2022∙浙江∙04】设x∈R，则“sinx=1”是“cosx=0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要

条件D．既不充分也不必要条件【解析】:∵sin2x+cos2x=1，①当sinx=1时，则cosx=0，∴充分性成立，②当cosx=0时，则sinx=±1，∴必要性不成立，∴sinx=1是cosx=0的充

分不必要条件，故选：A．15．【2022∙天津∙02】“x为整数”是“2x+1为整数”的()条件A．充分不必要B．必要不充分C．分要D．既不充分也不必要【答案】:Apμθημαz︱eiπ+1=0Page4/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§1.1.1集合的概念一、基础必备(一)元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写拉丁字母a，b，c，⋯表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称

为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，⋯表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．(二)元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关

系属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A“a属于A”不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A“a不属于A”(三)常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或

N+ZQR【例1】基础练习之判断正误(1)接近于0的数可以组成集合．(F)(2)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的．(T)(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．(F)(4)由方程x2-4=0和x-2=0的根组成的集合中有3个元素．(F

)二、题型考法(一)对集合概念的理解判断一组对象是否能构成集合的三个依据(1)确定性：负责判断这组元素是否能构成集合．(2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数．(3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关．【例2】下列对象

能组成集合的是(D)A．2的所有近似值B．某个班级中学习好的所有同学C．2023年全国高考数学试卷中所有简单题D．河南省科技馆的全体工作人员【答案】:D︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page5/Total218课堂笔记【解析】D中的对象都是确定的，而且

是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合．【练1】下列说法中，正确的有②．(填序号)①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M中有3个元素a，

b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形；③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．【答案】:②【解析】①不正确．book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3．②正确．

集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确．小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这

10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．(二)元素与集合的关系判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：集合中的元素是直接给出的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．【例3】设集合M是由不小于25的数组成的集合，

a=15，则下列关系中正确的是(B)A．a∈MB．a∉MC．a=MD．a≠M【答案】:B【解析】判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵15<25，∴a∉M．【练2】用符号“∈”或“∉”填空：(1)设集合B是小于11的所有实数的集

合，则23∉B,1+2∈B；(2)设集合C是满足方程x=n2+1(其中n为正整数)的实数x的集合，则3∉C,5∈C；(3)设集合D是满足方程y=x2的有序实数对(x，y)组成的集合，则-1∉D，(-1,1)∈D．【答案】:(1)∉∈(2)∉∈(3)∉∈【解析】(1)∵23=12>11，∴2

3∉B；∵(1+2)2=3+22<3+2×4=11，∴1+2<11，∴1+2∈B．(2)∵n是正整数，∴n2+1≠3，∴3∉C；当n=2时，n2+1=5，∴5∈C．(3)∵集合D中的元素是有序实数对(x，y)，且-1是数，∴-1∉D；又(-1)2=1，∴(-1,1)∈D．

(三)元素特性的应用利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点(1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验．pμθημαz︱eiπ+1=0Page6/Total218课堂笔记(2)注意点：利用集合中元素的

互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．【例4】集合A由a-2,2a2+5a,12三个元素组成，且-3∈A，实数a=．【答案】:a=-32【※解析※】由-3∈A，可得-3=a-2或-3=2a2+5a，∴a=-1或a=-32．当a=-1时

，a-2=-3,2a2+5a=-3，不符合集合中元素的互异性，故a=-1舍去．当a=-32时，a-2=-72，2a2+5a=-3，符合集合中元素的互异性，∴a=-32．【练3】集合A由a-3,2a-1，a2

-4三个元素组成，且-3∈A，实数a=【答案】:a=0或a=1解①若a-3=-3，则a=0，此时A中的元素为-3，-1，-4，满足题意．②若2a-1=-3，则a=-1，此时A中的元素为-4，-3，-3，不满足元素的互异性．③若a2-4=-3，则a=±1．当

a=1时，A中的元素为-2,1，-3，满足题意；当a=-1时，由②知不合题意．综上可知a=0或a=1．【练4】设集合A中含有三个元素3，x，x2-2x．(1)求实数x应满足的条件；(2)若-2∈A，求实数x的值．【答案】:(1)x

≠-1且x≠0，x≠3；(2)x=-2【解析】(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，且x≠x2-2x，x2-2x≠3．解得x≠-1且x≠0，x≠3．(2)∵-2∈A，∴x=-2或x2-2x=-2．由于x2-

2x=(x-1)2-1≥-1，∴x=-2．三、巩固练习1．下列各组对象能构成集合的有(B)①接近于1的所有正整数；②小于0的实数；③(2020,1)与(1,2020)．A．1组B．2组C．3组D．0组【答案】:B【解析】①中接近

于1的所有正整数标准不明确，故不能构成集合；②中“小于0”是一个明确的标准，能构成集合；③中(2020,1)与(1,2020)是两个不同的数对，是确定的，能构成集合．2．已知集合A中的元素x满足x-1<3，则下列各式正确的

是(D)A．3∈A且-3∉AB．3∈A且-3∈AC．3∉A且-3∉AD．3∉A且-3∈A【答案】:D【解析】∵3-1=2>3，∴3∉A．又-3-1=-4<3，∴-3∈A．3．给出下列关系：①13∈R；②5∈Q；③-3∉Z；

④-3∉N，其中正确的个数为︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page7/Total218课堂笔记A．1B．2C．3D．4【答案】:B【解析】13是实数，①正确；5是无理数，②错误；-3是整数，③错误；-3是无理数，④正确．故选B．4．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成

一个四边形，则这个四边形可能是A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形【答案】:A【解析】由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．5．集合A中有三个元素2,3,4，集合B中有三个元素

2,4,6，若x∈A且x∉B，则x等于A．2B．3C．4D．6【答案】:B【解析】集合A中的元素3不在集合B中，且仅有这个元素符合题意．6．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a=________．【答案】:6【解析】∵x∈

N,2<x<a，且集合P中恰有三个元素，∴结合数轴(图略)知a=6．7．设由2,4,6构成的集合为A，若实数a∈A时，6-a∈A，则a=________．【答案】:2或4【解析】代入验证，若a=2，则6-2=4∈A，符合题意；若a=4，则6-4=2∈A，符合题意；若a=6，则6-6=0∉A，

不符合题意，舍去．所以a=2或a=4．8．由a，ba，1组成的集合与由a2，a+b,0组成的集合相等，则a2020+b2020的值为__．【答案】:1【解析】由已知可得a≠0，因为两集合相等，所以有ba=0，a2=1或ba=0，a

+b=1，所以b=0，a=1(舍)或b=0，a=-1，经检验，a=-1，b=0满足条件，所以a2020+b2020=1．9．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，则a=___解∵a∈A且3a∈A，∴a<6，3a<6，解

得a<2．又a∈N，∴a=0或1．10．(多选)由a2，2-a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值不pμθημαz︱eiπ+1=0Page8/Total218课堂笔记可能是A．1B．-2C．-1D．2【答案】:ABD【解析】由题意知a2≠4,2

-a≠4，a2≠2-a，解得a≠±2，且a≠1，结合选项知a不可能是ABD．11．已知a，b是非零实数，代数式|a|a+|b|b+|ab|ab的值组成的集合是M，则下列判断正确的是A．0∈MB．-1∈MC．3∉MD．1∈M【答案】:

B【解析】当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是-1；当a，b是一正一负时，代数式的值是-1．12．已知集合M中的元素x满足x=a+2b，其中a，b∈Z，则下列实数中不属

于集合M中元素的个数是①0；②-1；③32-1；④23-22；⑤8；⑥11-2．A．0B．1C．2D．3【答案】:A【解析】当a=b=0时，x=0；当a=-1，b=0时，x=-1；当a=-1，b=3时，x

=-1+32；23-22=23+223-223+22=6+42，即a=6，b=4；当a=0，b=2时，x=22=8；11-2=1+21-21+2=-1-2，即a=-1，b=-1．综上所述：0，-1,32-1，23-22，8，11-2都是集合M中的元素．

13．已知集合A含有两个元素1和2，集合B表示方程x2+ax+b=0的解组成的集合，且集合A与集合B相等，则a=________；b=________．【答案】:-32【解析】因为集合A与集合B相等，且1∈A,2∈A，所以1∈B,2∈

B，即1,2是方程x2+ax+b=0的两个实数根．所以1+2=-a，1×2=b，所以a=-3，b=2．14．集合M有2个元素x,2-x，若-1∉M，则下列说法一定错误的是____(填序号)①2∈M；②1∈M；③x≠3．【答案】:②【解析】依题意x≠-1，2-x≠-

1，x≠2-x．解得x≠-1，x≠1且x≠3，当x=2或2-x=2，即x=2或0时，M中的元素为0,2，故①可能正确；︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page9/Total218课堂笔记当x=1或2-x=1，即x=1时，M中两元素为1,1不满足互异性，故②不正确；③显然正确．15．集合

A中的元素x满足63-x∈N，x∈N，则集合A中的元素为0,1,2．【答案】:0,1,2【解析】∵63-x∈N，∴3-x=1或2或3或6，即x=2或1或0或-3．又x∈N，故x=0或1或2．即集合A中的元素为0,1,2．16．设集合A中的元素均为实数，且满足条件

：若a∈A，则11-a∈A(a≠1，且a≠0)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明(1)若a∈A，则11-a∈A．又因为2∈A，所以11-2=-1∈A．因为-1∈A，所以11-

-1=12∈A．因为12∈A，所以11-12=2∈A．所以A中另外两个元素为-1，12．(2)若A为单元素集，则a=11-a，即a2-a+1=0，方程无实数解．所以a≠11-a，所以集合A不可能是单元素集．pμθημαz︱eiπ+1=0Page10/Total21

8课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§1.1.2集合

的表示一、基础必备(一)列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．(二)描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示

集合的方法称为描述法．【例5】基础练习(1)方程x2=4的解集用列举法表示为________．(2)设A={x∈N|1≤x<6}，用“∈”或“∉”填空：6__A；5__A；0_A；3__A．(3)在集合{a,3}中，实数a____3．(填“=”或“≠”)(

4)集合A={x∈Z|-2<x<3}的元素个数为________．【答案】:(1){-2,2}；(2)∉∈∉∈；(3)≠；(3)4二、题型考法(一)用列举法表示集合用列举法表示集合的3个步骤(1)求出集合的元素．(2)把元素

一一列举出来，且相同元素只能列举一次．(3)用花括号括起来．注意：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如{(2,3)，(5，-1)}．【例6】用列

举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程x2-2x-3=0的实数根组成的集合C；(4)方程组x+y=4，x-y=2的解集D．【答案】(1)A={0,2,4,6

,8,10};(2)B={2,3,5,7};(3)C={-1,3};(4)D={(3,1)};【解析】(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A={0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B={2,3,5,7}．(3)方程x2-

2x-3=0的实数根为-1,3，所以C={-1,3}．(4)方程组x+y=4，x-y=2的解为x=3，y=1．所以方程组的解集D={(3,1)}．【练5】用列举法表示下列集合：(1)方程x2=2x的所有实数解组成的集合；(2)直线y=2x+1与y轴的交点所组成

的集合；(3)由所有正整数构成的集合．【答案】:(1){0,2}(2){(0,1)}(3){1,2,3，⋯}︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page11/Total218课堂笔记【解析】(1)方程x2=2x的解是x=0或x=2，所以方程的解组成的集合为{

0,2}．(2)将x=0代入y=2x+1，得y=1，即交点是(0,1)，故交点组成的集合是{(0,1)}．(3)正整数有1,2,3，⋯，所求集合为{1,2,3，⋯}．(二)用描述法表示集合利用描述法表示集合的关注点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}

．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x=2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x=2k，k∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集

时可以省略不写．例如，方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0}，也可写成{x|x2-2x+1=0}．【例7】用描述法表示下列集合：(1)不等式2x-3<1的解组成的集合A；(2)被3除余2的正整数的集合B；(3)C={

2,4,6,8,10}；(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D．【答案】:(1)A={x|x<2}；(2)B={x|x=3n+2，n∈N}；(3)C={x|x=2n，n≤5，n∈N*}；(4)D={(x，y)

|x<0，y>0}【解析】(1)不等式2x-3<1的解组成的集合为A，则集合A中的元素是数，设代表元素为x，则x满足2x-3<1，则A={x|2x-3<1}，即A={x|x<2}．(2)设被3除余2的数为x，则x=3n+2，n∈Z．但元素为正整数，故x=3n+2，n∈

N．所以被3除余2的正整数的集合B={x|x=3n+2，n∈N}．(3)设偶数为x，则x=2n，n∈Z．但元素是2,4,6,8,10，所以x=2n，n≤5，n∈N*．所以C={x|x=2n，n≤5，n∈N*}．(4)平面直角坐标

系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即x<0，y>0，故第二象限内的点的集合为D={(x，y)|x<0，y>0}．【练6】用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的实数组成的集合；(2)不等式3x+4≥2x的所有解；(3)到两坐标轴距离相等的点的集

合．【答案】:(1)可以表示成{x∈R|1<x<10}．(2)可以表示成{x|3x+4≥2x}，即{x|x≥-4}．(3)可以表示成{(x，y)|x±y=0}．(三)集合表示法的综合应用根据已知的集合求参数的关注点(1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A

中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题．(2)a=0这种情况极易被忽视，对于方程“ax2+2x+1=0”有两种情况：一是a=0，pμθημαz︱eiπ+1=0Page12/Total218课堂笔记即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次

方程，也只有在这种情况下，才能用判别式Δ来解决问题．【例8】(1)集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，若A中只有一个元素，求a的值．(2)集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．(

3)集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，若A中至少有一个元素，求a的取值范围．(4)集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，，若1∈A，则a为何值？(5)集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，是否存在实数a，使集合A与集合{1}相等？若存在，求出a的值；若不存

在，说明理由．【答案】:(1)a=0或a=1；(2){a|a=0或a≥1}；(3){a|a≤1}(4)a=-3(5)不存在实数a，使A={1}(1)解当a=0时，原方程变为2x+1=0，此时x=-12，符合题意；当a≠0时，方程ax2+2x+1=0为一元二次方程，当Δ=4-4a=0，即a=1

时，原方程的解为x=-1，符合题意．故当a=0或a=1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．(2)解A中至多有一个元素，即A中有一个元素或没有元素．当A中只有一个元素时，由例题可知，a=0或a=1．当A中没有元素时，Δ=4-4a<0，且a≠0，即a>1．故当A中至多有一个元

素时，a的取值范围为{a|a=0或a≥1}．(3)解A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例题可知，当a=0或a=1时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ=4-4a>0，且a≠0，即a<1且a≠0．∴A中至少有一个元

素时，a的取值范围为{a|a≤1}．(4)解∵1∈A，∴a+2+1=0，即a=-3．(5)解∵A={1}，∴1∈A，∴a+2+1=0，即a=-3．又当a=-3时，由-3x2+2x+1=0，得x=-13或x=1，即方程ax2+2x+1=0存在两个根-13和1

，此时A=-13，1，与A={1}矛盾．故不存在实数a，使A={1}．【练7】已知集合A={a+3，(a+1)2，a2+2a+2}，若1∈A，求实数a的值．【答案】:-1或0解①若a+3=1，则a=-2，此时A={1,1,2}，不符合集合中元素的互

异性，舍去．②若(a+1)2=1，则a=0或a=-2．当a=0时，A={3,1,2}，满足题意；当a=-2时，由①知不符合条件，故舍去．③若a2+2a+2=1，则a=-1，此时A={2,0,1}，满足题意．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page13/To

tal218课堂笔记综上所述，实数a的值为-1或0．三、巩固练习1．大于-2小于3的整数用列举法表示为______；用描述法表示为________．【答案】:{-1,0,1,2}{x∈Z|-2<x<3}【解析】大于-2小于3的整数为-1,0,1,2，所以用列举法表示为{-1,0,1,2}，用描述

法表示为{x∈Z|-2<x<3}．2．设集合A={x|x2-3x+a=0}，若4∈A，用列举法表示集合A为________．【答案】:{-1,4}【解析】∵4∈A，∴16-12+a=0，∴a=-4，∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}．3．用列举法

表示集合{x|x2-2x+1=0}为A．{1,1}B．{1}C．{x=1}D．{x2-2x+1=0}【答案】:B【解析】方程x2-2x+1=0有两个相等的实数解1，根据集合元素的互异性知B正确．4．下列集合中恰有2个元素的集合是A．{x2-x=0}B．{y|y2

-y=0}C．{x|y=x2-x}D．{y|y=x2-x}【答案】:B【解析】选项A中的集合只有一个元素为x2-x=0；选项B中集合{y|y2-y=0}的代表元素是y，则集合{y|y2-y=0}是方程y2-y=0根的集合，即{y|y2-y=0}={0,1}；选项C，

D中的集合中都有无数个元素．5．下列四个集合中，不同于另外三个的是A．{y|y=2}B．{x=2}C．{2}D．{x|x2-4x+4=0}【答案】:B【解析】{x=2}表示的是由一个等式组成的集合．6．若集合A={-1,2}，B={0,1}，则集合{

z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为A．5B．4C．3D．2【答案】:B【解析】∵集合A={-1,2}，B={0,1}，集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}，∴当x=-1时，y=0或1，可得z=-1或0，当x=2时，y=0或1，可得z=2或3，pμ

θημαz︱eiπ+1=0Page14/Total218课堂笔记∴集合z的元素有-1,0,2,3，共4个元素．7．集合{x|x=2m-3，m∈N*，m<5}，用列举法表示为________．【答案】:{-1,1,3,5}【解析】集合中的元素满足x=2m-3，m∈N*，m<5，则

满足条件的x值：m=1，x=-1；m=2，x=1；m=3，x=3；m=4，x=5．则集合为{-1,1,3,5}．8．能被2整除的正整数的集合用描述法可表示为________．【答案】:{x|x=2n，n∈

N*}【解析】正整数中所有的偶数均能被2整除．9．设-5∈{x|x2-ax-5=0}，则集合{x|x2+ax+3=0}=________．【答案】:{1,3}【解析】由题意知，-5是方程x2-ax-5=0的一个根，所以(-5)2+5a-

5=0，得a=-4，则方程x2+ax+3=0，即x2-4x+3=0，解得x=1或x=3，所以{x|x2-4x+3=0}={1,3}．10．用适当的方法表示下列集合：(1)方程x(x2+2x+1)=0的解集；(2)在自然数集内，小于1000的奇数构成的集合；(3)不等式x-2>6的解的集合；(4

)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；(5)方程组2x+y=3，x-2y=4的解集．【解析】(1){0，-1}．(2){x|x=2n+1，且x<1000，n∈N}．(3){x|x>8}．(4){1,2,

3,4,5,6}．(5)解集用描述法表示为x，y2x+y=3，x-2y=4，解集用列举法表示为{(2，-1)}．11．已知集合A=x∈N910-x∈N，B=910-x∈Nx∈N，试问集合A与B有几个相同的元素？并写出由这些相同元素

组成的集合．【答案】:{1,9}解对于集合A，因为x∈N，910-x∈N，所以当x=1时，910-x=1；当x=7时，910-x=3；当x=9时，910-x=9．所以A={1,7,9}，B={1,3,9}．所以集合A与B有2个相同的元素，集合A，B的相同元素组成的集合为{1,

9}．12．(多选)已知集合A={x|x=2m-1，m∈Z}，B={x|x=2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断正确的是A．x1·x2∈AB．x2·x3∈BC．x1+x2∈BD．x1+x2+x3∈A︱数是万物的本原-毕达哥

拉斯Page15/Total218课堂笔记【答案】:ABC【解析】集合A表示奇数集，B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，∴x1+x2+x3应为偶数，即D是错误的，ABC都正确．13．定义集合A-B

={x|x∈A，且x∉B}，若集合A={x|2x+1>0}，集合B=xx-23<0，则集合A-B=________．【答案】:{x|x≥2}【解析】A=xx>-12，B={x|x<2}，A-B=x

x>-12且x≥2={x|x≥2}．14．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集，则集合A={-1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒数集．试写出一个含三个元素的可倒数集________．(【答案】:不唯一)【答案】:不是1，2

，12【解析】由于2的倒数12不在集合A中，故集合A不是可倒数集．若一个元素a∈A，则1a∈A．若集合中有三个元素，故必有一个元素a=1a，即a=±1，故可取的集合有1，2，12，

-1，3，13等．15．设P={1,2,3,4}，Q={4,5,6,7,8}，定义P*Q={(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为A．4B．5C．19D．20【答案】:C【解析】由题意知集合P*Q的元素为点，当a=1时，集合P*Q的元素为(1,4)，(1,5)

，(1,6)，(1,7)，(1,8)，共5个元素．同样当a=2,3时，集合P*Q的元素个数都为5，当a=4时，集合P*Q中元素为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，共4个．因此P*Q中元素的个数为

19．16．已知集合A中的元素均为整数，对于k∈A，如果k-1∉A且k+1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定集合S={1,2,3,4,5,6,7,8}，由S中的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．【答案】:6【解析】依题意可知，所谓

不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数，故所求的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．pμθημαz︱eiπ+1=0Page16

/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§1.2集合间的基本关系一、基础必备(一)子集、真子集、集合相等1．子集、真子集、集合相等定义符号表示图形表示子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x

∉A，就称集合A是集合B的真子集AB(或BA)集合相等如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等A=B2．Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．3．子集的性质(1)任何一个集合是它本

身的子集，即A⊆A．(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C．(二)空集1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅．2．规定：空集是任何集合的子集．【例9】基础练习(1)已知集合M={x|x是菱形}，N={x|x是正方形}，则集

合M与集合N的关系为_____．(2)用“⊆”或“∈”填空：{0,2}_____{2,1,0},2______{2,1,0}．(3)设a∈R，若集合{2,9}={1-a,9}，则a=________．(4)集合{0,1}的子集有_____

___个．【答案】:(1)NM；(2)⊆，∈；(3)-1；(4)4二、题型考法(一)集合间关系的判断(1)观察法：一一列举观察．(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．(3)数形结合法：利用数轴或

Venn图．【例10】指出下列各对集合之间的关系：(1)A={-1,1}，B={(-1，-1)，(-1,1)，(1，-1)，(1,1)}；(2)A={x|-1<x<4}，B={x|x-5<0}；(3)M={x|x=2n-1，n∈N*}，N={x|x=2n+1，n∈N*}．【解析】(1)集

合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page17/Total218课堂笔记系．(2)集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB．(3)由列

举法知M={1,3,5,7，⋯}，N={3,5,7,9，⋯}，故NM．【练8】集合M={x|x2-3x+2=0}，N={0,1,2}，则集合M与N的关系是A．M=NB．NMC．MND．N⊆M【答案】:C【解析】解方程x2-3x

+2=0得x=2或x=1，则M={1,2}，因为1∈M且1∈N,2∈M且2∈N，所以M⊆N．又因为0∈N但0∉M，所以MN．【练9】集合A={x|x=3k，k∈Z}，B={x|x=6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是A．A⊆BB．A=BC．ABD．BA【答案】:D【解析】因为A中元素

是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．(二)确定集合的子集、真子集求集合子集、真子集的3个步骤【例11】设A={x|(x2-16)(x2+5x+4)=0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．【答案】:集合A的子集为∅，{-4}，{-1}，{4}，{-4，

-1}，{-4,4}，{-1,4}，{-4，-1,4}．真子集为∅，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4,4}，{-1,4}．解由(x2-16)(x2+5x+4)=0，得(x-4)(x+1)(x+4)2=0，解方程得x=-4或x=-1或x=4．故集合A={-4，

-1,4}．由0个元素构成的子集为∅；由1个元素构成的子集为{-4}，{-1}，{4}；由2个元素构成的子集为{-4，-1}，{-4,4}，{-1,4}；由3个元素构成的子集为{-4，-1,4}．因此集合

A的子集为∅，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4,4}，{-1,4}，{-4，-1,4}．真子集为∅，{-4}，{-1}，{4}，{-4，-1}，{-4,4}，{-1,4}．【练10】满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有______

__个．【答案】:7【解析】由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；pμθημ

αz︱eiπ+1=0Page18/Total218课堂笔记含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．(三)由集合间的关系求参数利用集合关系求参数的关注点(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．

(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示．(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．

【例12】(1)已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若BA，求实数m的取值范围．(2)已知集合A={x|-2<x<5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若BA，求实数m的取值范围．(3)已知集合A={x|-2

≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，若A⊆B，求实数m的取值范围．【答案】:(1){m|m≤3}(2){m|m≤3}．(3)即不存在实数m使A⊆B．【※解析※】(1)当B≠∅时，如图所示．∴m+1≥-2，2m-1<5，2m-1≥m+1或m+1>-

2，2m-1≤5，2m-1≥m+1，解这两个不等式组，得2≤m≤3．(2)当B=∅时，由m+1>2m-1，得m<2．综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．【※解析※】(2)【解析】(1)当B=∅时，由m+1>2m-1，得m<2．(2)当B≠∅时，如图所示．∴m+1>-2，2m-1<5

，m+1≤2m-1，解得m>-3，m<3，m≥2，即2≤m<3，综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．【※解析※】(3)解当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅．∴2m-1>m+1，m+1≤-2，2m-1≥5，即m>2，m≤-3，m≥3，∴m不存在

．即不存在实数m使A⊆B．【练11】已知集合A={x|x<-1或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．【答案】:{a|a<-4或a>2}【解析】(1)当B=∅时，2a>a+3，即a>3．显然满足题意．(2)当B≠∅时，根据题意作出如图

所示的数轴，︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page19/Total218课堂笔记可得a+3≥2a，a+3<-1或a+3≥2a，2a>4，解得a<-4或2<a≤3．综上可得，实数a的取值范围为{a|a<-4或a>2}．三、巩固练习1

．下列六个关系式：①{a，b}={b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅={∅}；④{0}=∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是A．1B．3C．4D．6【答案】:C【解析】①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，

而{∅}表示的是含∅这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为∅∈{∅}；④错误，∅表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为∅{0}；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．2．集合{1,2}的子集有A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】

:A【解析】集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}，共4个．3．能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是【答案】:B【解析】x2-x=0得x=1

或x=0，故N={0,1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．4．已知集合A={-1,3，m}，B={3,4}，若B⊆A，则实数m=________．【答案】:4【解析】∵B⊆A，B={3,4}，A={-1,3，m}，∴4∈A，∴m=4．5．已知集合A={x|x≥1或x≤-

2}，B={x|x≥a}，若BA，则实数a的取值范围是________．【答案】:a≥1【解析】∵BA，∴a≥1．6．已知集合M={x∈Z|-5<x<3}，则下列集合是集合M的子集的为pμθημαz︱eiπ+1=0Page20/Total218课堂笔记A．P={-3,0,1}B．Q={-1

,0,1,2}C．R={y∈Z|-π<y<-1}D．S={x∈N||x|≤3}【答案】:D【解析】集合M={-2，-1,0,1}，集合R={-3，-2}，集合S={0,1}，不难发现集合P中的元素-3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素-3∉M，

而集合S={0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M．7．(多选)已知集合A={2，-1}，集合B={m2-m，-1}，且A=B，则实数m等于A．2B．-1C．-2D．4【答案】:AB【解析】∵A=B，∴m2-m=

2，∴m=2或m=-1．8．已知集合M={x|y2=2x，y∈R}和集合P={(x，y)|y2=2x，y∈R}，则两个集合间的关系是A．M⊆PB．P⊆MC．M=PD．M，P互不包含【答案】:D【解析】由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含．9．已知集合A={x∈R|x2-3x+

2=0}，B={x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为A．1B．2C．3D．4【答案】:D【解析】由题意知：A={1,2}，B={1,2,3,4}．又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．10．设a，b∈R，集合A={1

，a}，B={x|x(x-a)(x-b)=0}，若A=B，则a=__，b=____．【答案】:0，1【解析】A={1，a}，解方程x(x-a)(x-b)=0，得x=0或a或b，若A=B，则a=0，b=1．11．写出集

合{a，b，c}的所有子集，并指出其中的真子集的个数．【答案】:{a，b，c}的子集有∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个．12．设A={x|x2-8x+15=0

}，B={x|ax-1=0}．(1)若a=15，试判定集合A与B的关系；(2)若B⊆A，求实数a组成的集合C．【答案】:(1)BA；(2)C=0，13，15︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page21/Total218课堂笔记【解析】(1)A={x|x2-8x+15=0}={5,

3}，当a=15时，B={5}，元素5是集合A={5,3}中的元素，集合A={5,3}中除元素5外，还有元素3,3不在集合B中，所以BA．(2)当a=0时，由题意得B=∅，又A={3,5}，故B⊆A；当a≠0时，B=1a，又A={3,5}，B⊆A，此时1a

=3或5，则有a=13或a=15．所以C=0，13，15．13．设集合M=xx=k2+14，k∈Z，N=xx=k4+12，k∈Z，则正确的是A．M=NB．MNC．NMD．M与N的关系不确定【答案】:B【解析】集合M中的元素x=k2+14

=2k+14(k∈Z)，集合N中的元素x=k4+12=k+24(k∈Z)，而2k+1为奇数，k+2为整数，因此MN．14．已知集合A={x∈R|x2+x=0}，则集合A=________．若集合B满足{0}B⊆A，则集合B=__

______．【答案】:{-1,0}{-1,0}【解析】∵解方程x2+x=0，得x=-1或x=0，∴集合A={x∈R|x2+x=0}={-1,0}，∵集合B满足{0}B⊆A，∴集合B={-1,0}．15．已知非空集合P满足：(1)P⊆{1,2,3,4,5}；(

2)若a∈P，则6-a∈P．符合上述条件的集合P的个数为________．【答案】:7【解析】由a∈P,6-a∈P，且P⊆{1,2,3,4,5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选，2,4同时选，3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1,5}

，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,5,2,4}，{1,2,3,4,5}，共7个．16．集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}有且仅有两个子集，则a的取值为_____．【答案】:1或-18【解析】由集合有两个子集可知，该集合是单元素集，

当a=1时，满足题意．当a≠1时，由Δ=9+8(a-1)=0可得a=-18．17．设集合A={-1,1}，集合B={x|x2-2ax+1=0}，若B≠∅，B⊆A，则a等于A．-1B．0C．1D．±1【答案】:D【解析】当B={-1}时，x2-2ax+1=0有两相等的实根-1，即a=-1；当

B={1}时，x2-2ax+1=0有两相等的实根1，即a=1；pμθημαz︱eiπ+1=0Page22/Total218课堂笔记当B={-1,1}时，不成立．故a=±1．18．已知三个集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+a-1=0}，C={x|x2-bx+2=0}，

同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．解A={x|x2-3x+2=0}={1,2}．∵B={x|x2-ax+a-1=0}={x|(x-1)[x-(a-1)]=0}，∴1∈B．又BA，∴a-1=1，即a

=2．∵C={x|x2-bx+2=0}，且C⊆A，∴C=∅或{1}或{2}或{1,2}．当C={1,2}时，b=3；当C={1}或{2}时，Δ=b2-8=0，即b=±22，此时x=±2，与C={1}或{2}矛盾，故舍去；当C=∅时，Δ=b2-8<0，即-22<

b<22．综上可知，存在a=2，b=3或-22<b<22满足要求．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page23/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZ§1.3.1集合的基本运算之并集与交集一、基础必备1.并集2.交集【例13】已知表示集合M={-1,0,1}和P={0，1,2,3}关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示的集合

是________．【答案】:{0,1}【解析】由题中Venn图得，阴影部分表示的集合是M∩P，因为M={-1,0,1}，P={0,1,2,3}，所以M∩P={-1,0,1}∩{0,1,2,3}={0,1}．【例14】设集合M={0,1,2}，N={1,2,3}，则M∩N=_____，M∪N=

______．【答案】:{1,2}{0,1,2,3}【解析】∵M={0,1,2}，N={1,2,3}，∴M∩N={1,2}，M∪N={0,1,2,3}．【练12】已知集合A={x|x>0}，B={x|1≤x≤2}，则A∪B=________．【答案】:{x|x>0}【解析

】A∪B={x|x>0}∪{x|1≤x≤2}={x|x>0}．【练13】已知集合A={x|1<x<4}，B={x|-2<x<3}，则A∩B=_______．【答案】:{x|1<x<3}【解析】因为A={x

|1<x<4}，B={x|-2<x<3}，所以A∩B={x|1<x<3}．二、题型考法(一)并集的运算技巧(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互pμθημαz︱eiπ+1=0Page24/Total218课

堂笔记异性．(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值．【例15】设集合A={-1,0，-2}，B={x|x2-x-6=0}，则A∪B等于A．{-2}B．{-2,3}C．{-1,0，-2}D．{-1,0，-2,3}

【答案】:D【解析】因为A={-1,0，-2}，B={x|x2-x-6=0}={-2,3}，所以A∪B={-1,0，-2,3}．【练14】若集合A={x|x>-1}，B={x|-2<x<2}，则A∪B等于A．{x|x>-2}B．{x|x>-1}C．{x|-2<x<-1}D．{x|-1<x<2}【

答案】:A【解析】在数轴上表示出集合A与B，如图所示，故A∪B={x|x>-2}．【练15】已知集合M={0,1,3}，N={x|x=3a，a∈M}，则M∪N等于A．{0}B．{0,3}C．{1,3,9}D．{0,1,3,9}【答案】:D【解析】易

知N={0,3,9}，故M∪N={0,1,3,9}．(二)交集运算的注意点(1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法．(2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值

用空心点表示．【例16】已知集合A={1,2,3,4}，B={y|y=3x-2，x∈A}，则A∩B等于A．{1}B．{4}C．{1,3}D．{1,4}【答案】:D【解析】因为集合B中，x∈A，所以当x=1时，y=3-2=1；当

x=2时，y=3×2-2=4；当x=3时，y=3×3-2=7；当x=4时，y=3×4-2=10．即B={1,4,7,10}．又因为A={1,2,3,4}，所以A∩B={1,4}．【练16】设集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4}，则A∩B等于A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x

≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}【答案】:A【解析】在数轴上表示出集合A与B，如图所示．则由交集的定义，知A∩B={x|0≤x≤2}．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page25/Total218课堂笔记【练17】若A={x∈N

|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x-6=0}，则图中阴影部分表示的集合为A．{2}B．{3}C．{-3,2}D．{-2,3}【答案】:A【解析】易知A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B={-3,2}，图

中阴影部分表示的集合为A∩B={2}．(三)并集、交集性质的应用(1)在进行集合运算时，若条件中出现A∩B=A或A∪B=B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A=∅的情况．(2)集合运

算常用的性质：①A∪B=B⇔A⊆B；②A∩B=A⇔A⊆B；③A∩B=A∪B⇔A=B．【例17】已知集合A={x|-3<x≤4}，集合B={x|k+1≤x≤2k-1}，(1)A∪B=A，试求k的取值范围．(2)A∩B=A，求k的取值范围．【

答案】:(1)kk≤52(2)∅【※解析※】∵A∪B=A，∴B⊆A，∴分B=∅和B≠∅两种情况讨论．①当B=∅时，k+1>2k-1，∴k<2．②当B≠∅，则根据题意如图所示：根据数轴可得k+1≤2k-1，-3<k+1，2k-1≤4，解得2≤

k≤52．综合①②可得k的取值范围是kk≤52．(2)∵A∩B=A，∴A⊆B．又∵A={x|-3<x≤4}，B={x|k+1≤x≤2k-1}，可知B≠∅．由数轴(如图所示)可知k+1≤-3

，2k-1≥4，解得k∈∅，即当A∩B=A时，k的取值范围为∅．【练18】设集合M={x|-2<x<5}，N={x|2-t<x<2t+1，t∈R}．若M∩N=N，则实数t的取值范围为________．【答案】:{t|t≤2}【解析】由M∩N=N，得N⊆M．故当N=∅，即2t+1≤2-t，t≤

13时，M∩N=N成立；当N≠∅时，由图得2-t<2t+1，2t+1≤5，2-t≥-2，解得13<t≤2．pμθημαz︱eiπ+1=0Page26/Total218课堂笔记综上可知，所求实数t的取值范围为{t|

t≤2}．【例18】A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|a<x<4}，若A∪B=R，则实数a的取值范围是A．3≤a<4B．-1<a<4C．a≤-1D．a<-1【答案】:C【解析】利用数轴，若A∪B=R，则a≤-1．【练19】已知M={2，a

2-3a+5,5}，N={1，a2-6a+10,3}，M∩N={2,3}，则a的值是A．1或2B．2或4C．2D．1【答案】:C【解析】∵M∩N={2,3}，∴a2-3a+5=3，∴a=1或2．当a=1时

，N={1,5,3}，M={2,3,5}，不合题意；当a=2时，N={1,2,3}，M={2,3,5}，符合题意．含字母的集合运算忽视空集或检验(1)经过数学运算和逻辑推理后，要代入原集合进行检验，这一点极易被忽视．(2)A∩B=B⇔B⊆A，B可能为空集，极

易被忽视．【练20】已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-2x+a-1=0}，若A∩B=B，则a的取值范围为________．【答案】:{a|a≥2}【解析】由题意，得A={1,2}．∵A∩B=B，∴B⊆A，∴当B=∅时，(-2)2-4(a-

1)<0，解得a>2；当1∈B时，1-2+a-1=0，解得a=2，且此时B={1}，符合题意；当2∈B时，4-4+a-1=0，解得a=1，此时B={0,2}，不合题意．综上所述，a的取值范围是{a|a≥2}．三、巩固练习1．已知集合M=x∈Z0<x<52

，N={a,0}，如果M∩N≠∅，则a等于A．1B．2C．1或2D．52【答案】:C【解析】∵N=x∈Z0<x<52={1,2}，又∵M={a,0}，M∩N≠∅，∴a=1或a=2．2．若集合A={x

|-1<x<5}，B={x|x≤-1或x≥4}，则A∪B=________，A∩B=______．【答案】:R{x|4≤x<5}【解析】借助数轴可知A∪B=R，A∩B={x|4≤x<5}．︱数是万物的本

原-毕达哥拉斯Page27/Total218课堂笔记3．已知集合M={-1,0,1}，P={0,1,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是A．{0,1}B．{0}C．{-1,2,3}D．{-1,0,1,2,3}【答案】:D【解析】由Venn

图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P．因为M={-1,0,1}，P={0,1,2,3}，故M∪P={-1,0,1,2,3}．4．已知集合A={x∈R|x≤5}，B={x∈R|x>1}，那么A∩B等于A．{1,2,3,4,5}B．{2,3,4,5}C．{2,3,4}D．{x∈

R|1<x≤5}【答案】:D【解析】∵A={x∈R|x≤5}，B={x∈R|x>1}，∴A∩B={x∈R|1<x≤5}．5．(多选)A∩B=A，B∪C=C，则A，B，C之间的关系必有A．A⊆CB．A⊆BC．A=CD．以上都不对【答案】

:AB【解析】A∩B=A⇒A⊆B，B∪C=C⇒B⊆C，∴A⊆C．6．集合A={0,2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0,1,2,4,16}，则a的值为A．0B．1C．2D．4【答案】:D【解析】∵A∪B={0,1,2

，a，a2}，又A∪B={0,1,2,4,16}，∴{a，a2}={4,16}，∴a=4．7．已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是___．【答案】:{a|a≤1}【解析】因为A∪B=R，画出数轴(图略)可知表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表示1

的点的左边，所以a≤1．8．已知集合A={x|x≥3}，B={x|1≤x≤7}，C={x|x≥a-1}．(1)求A∩B，A∪B；(2)若C∪A=A，求实数a的取值范围．【答案】:(1)A∪B={x|x≥3}∪{x|1≤x≤7}={x|x≥1}．(2)

{a|a≥4}【解析】(1)A∩B={x|x≥3}∩{x|1≤x≤7}={x|3≤x≤7}，A∪B={x|x≥3}∪{x|1≤x≤7}={x|x≥1}．(2)因为C∪A=A，所以C⊆A，所以a-1≥3，即a≥4．故实数a的取值范围为pμθημαz︱eiπ+1=0Page28/To

tal218课堂笔记{a|a≥4}．9．设A={x|x2+ax+12=0}，B={x|x2+3x+2b=0}，A∩B={2}，C={2，-3}．(1)求a，b的值及A，B；(2)求(A∪B)∩C．【答案】:(1)a=-8，b

=-5，A={2,6}，B={2，-5}．(2)(A∪B)∩C={2}【解析】(1)∵A∩B={2}，∴4+2a+12=0,4+6+2b=0，即a=-8，b=-5，∴A={x|x2-8x+12=0}={2,

6}，B={x|x2+3x-10=0}={2，-5}．(2)由(1)知A∪B={-5,2,6}，C={2，-3}，∴(A∪B)∩C={2}．10．设集合S={x|x>5或x<-1}，T={x|a<x<a+8}，S∪T=R，则a的取值范围是A．-3<a<-1

B．-3≤a≤-1C．a≤-3或a≥-1D．a<-3或a>-1【答案】:A【解析】∵S∪T=R，∴a+8>5，a<-1．∴-3<a<-1．11．设A，B是非空集合，定义A*B={x|x∈(A∪B)且x∉(A

∩B)}，已知A={x|0≤x≤3}，B={y|y≥1}，则A*B等于A．{x|1≤x<3}B．{x|1≤x≤3}C．{x|0≤x<1或x>3}D．{x|0≤x≤1或x≥3}【答案】:C【解析】由题意知A∪B

={x|x≥0}，A∩B={x|1≤x≤3}，∴A*B={x|0≤x<1或x>3}．12．已知集合A={3,2a}，B={a，b}．若A∩B={2}，则A∪B=________．【答案】:{1,2,3}【解析】因为A∩B={2}，所以2a=2，所以a=1，b=2，故A∪B={1,2,3}．13．已

知集合A={-2,3,4,6}，集合B={3，a，a2}，若B⊆A，则实数a=________；若A∩B={3,4}，则实数a=________．【答案】:-22或4【解析】∵集合A={-2,3,4,6}，集合B={3，a，a

2}，B⊆A，∴a=-2．∵A∩B={3,4}，∴a=4或a2=4，∴a=±2或4．当a=-2时，B={3，-2,4}，不合题意；当a=2或4时，B={3,2,4}或{3,4,16}，符合题意，∴实数a=2或4．14．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜

爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．【答案】:12︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page29/Total218课堂笔记【解析】设所求人数为x，则只喜爱乒乓球运动的人数为10-(15-x)=x-5，故15+x-5=30-8

，解得x=12．15．已知集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|x2-5x+6=0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：(1)A≠B；(2)A∪B=B；(3)∅(A∩B)．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由

．解假设存在a使得A，B满足条件，由题意得B={2,3}．∵A∪B=B，∴A⊆B，即A=B或AB．由条件(1)A≠B，可知AB．又∵∅(A∩B)，∴A≠∅，即A={2}或{3}．当A={2}时，代入得a2-2a-15=0，即a

=-3或a=5．经检验a=-3时，A={2，-5}，与A={2}矛盾，舍去；a=5时，A={2,3}，与A={2}矛盾，舍去．当A={3}时，代入得a2-3a-10=0．即a=5或a=-2．经检验a=-2时，A={3，-5}，与A={3}矛盾，舍去；a=5时，

A={2,3}，与A={3}矛盾，舍去．综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件．pμθημαz︱eiπ+1=0Page30/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§1.3.2集合的基本运算之补集一、基础必备(一)知识点全集与补集1．全集如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．全集通常记作U．2．补集自然语言对于一个集合A，由全集

U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA符号语言∁UA={x|x∈U且x∉A}图形语言【例19】基础练习之判断正误(1)全集一定含有任何元素．(F)(2)集合∁RA=∁QA．(F)(3)一个集

合的补集一定含有元素．(F)(4)存在x0∈U，x0∉A，且x0∉∁UA．(F)(5)设全集U=R，A=x1x>1，则∁UA=x1x≤1．(F)二、题型考法(一)补集的运算求补集的方法(1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合．

(2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成集合．【例20】设集合U=R，M={x|x>2或x<-2}，则∁UM等于A．{x|-2≤x≤2}B．{x|-2<x<2}C．{x|x<-2或x>2}D．{x|x≤-2或x≥2}【答案】:A【解析】如图，在数轴

上表示出集合M，可知∁UM={x|-2≤x≤2}．【例21】设U={x∈Z|-5≤x<-2或2<x≤5}，A={x|x2-2x-15=0}，B={-3,3,4}，则∁UA=________，∁UB=________．【答案】:{-5，-4,3,4}{-5，-4,5}【解析

】方法一在集合U中，∵x∈Z，则x的值为-5，-4，-3,3,4,5，︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page31/Total218课堂笔记∴U={-5，-4，-3,3,4,5}．又∵A={x|x2-2x-15=0}={-3,5}，∴∁UA={-5，-4,3,4}，∁UB={-5，-4,5}

．方法二可用Venn图表示．则∁UA={-5，-4,3,4}，∁UB={-5，-4,5}．【练21】已知全集U={x|x≥-3}，集合A={x|-3<x≤4}，则∁UA=________；【答案】:{x|x=-3或x>4}【解析】借

助数轴得∁UA={x|x=-3或x>4}．【练22】已知全集为U，集合A={1,3,5,7}，∁UA={2,4,6}，∁UB={1,4,6}，则集合B=________．【答案】:{2,3,5,7}【解析】方法一(定义法)：因为A={1,3,5,7}，∁UA={2,4,

6}，所以U={1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB={1,4,6}，所以B={2,3,5,7}．方法二(Venn图法)：满足题意的Venn图，如图所示．由图可知B={2,3,5,7}．(二)交、并、补集的综合运算解决集合交、并、补运

算的技巧(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数

轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．【例22】已知全集U={x|x≤4}，集合A={x|-2<x<3}，B={x|-3≤x≤2}，求(1)A∩B(2)(∁UA)∪B(3)A∩(∁UB)(4)∁U(A∪B)(5)(∁UA)∩(∁

UB)(6)∁U(A∩B)(7)(∁UA)∪(∁UB)．【答案】:A∩B={x|-2<x≤2}，(∁UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁UB)={x|2<x<3}，∁U(A∪B)={x|x<-3或3≤x≤4}，(∁UA)∩(∁UB)={x|x<-3

或3≤x≤4}，∁U(A∩B)={x|x≤-2或2<x≤4}，(∁UA)∪(∁UB)={x|x≤-2或2<x≤4}．【※解析※】∵A={x|-2<x<3}，B={x|-3≤x≤2}，U={x|x≤4}，∴∁UA={x|x≤-2或3≤x≤4}，∁UB={x|x<-3或2<x≤4}

，A∪B={x|-3≤x<3}．故：A∩B={x|-2<x≤2}，pμθημαz︱eiπ+1=0Page32/Total218课堂笔记(∁UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁UB)={x|2<x

<3}，∁U(A∪B)={x|x<-3或3≤x≤4}，(∁UA)∩(∁UB)={x|x<-3或3≤x≤4}，∁U(A∩B)={x|x≤-2或2<x≤4}，(∁UA)∪(∁UB)={x|x≤-2或2<x≤4}．【练2

3】已知U={1,2,3,4,5,6,7,8}，A={3,4,5}，B={4，7,8}，求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UB)，(∁UA)∪B．【答案】:A∩B={4}，A∪B={3,4,5,7,8}，(∁UA)∩(∁UB)={1,2,6}，A∩(∁UB

)={3,5}，(∁UA)∪B={1,2,4,6,7,8}．解方法一(直接法)：由已知易求得A∩B={4}，A∪B={3,4,5,7,8}，∁UA={1,2,6,7,8}，∁UB={1,2,3,5,6}，∴(∁UA)∩(

∁UB)={1,2,6}，A∩(∁UB)={3,5}，(∁UA)∪B={1,2,4,6,7,8}．方法二(Venn图法)：画出Venn图，如图所示，可得A∩B={4}，A∪B={3,4,5,7,8}，(∁

UA)∩(∁UB)={1,2,6}，A∩(∁UB)={3,5}，(∁UA)∪B={1,2,4,6,7,8}．(三)与补集有关的参数值的求解利用补集求参数应注意两点(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形．(2)不等

式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．【例23】已知全集U=R，集合A={x|x≤-2或x≥3}，B={x|2m+1<x<m+7}，(1)若(∁UA)∩B=B，则实数m的取值范围为．(2)若(∁UA)∪B=B，则实数m的取值范围为．(3

)若(∁UA)∩B=∅，则实数m的取值范围为．【答案】:(1){m|m≥6}；(2)m-4≤m≤-32；(3){m|m≤-9或m≥1}【※解析※】(1)解因为A={x|x≤-2或x≥3}，所以∁UA=

{x|-2<x<3}，因为(∁UA)∩B=B，所以B⊆(∁UA)．当B=∅时，即2m+1≥m+7，所以m≥6，满足(∁UA)∩B=B．当B≠∅时，由2m+1<m+7，2m+1≥-2，m+7≤3无解．故m的取值范围是{m|m≥6}．(2因为(∁UA)∪

B=B，所以(∁UA)⊆B，所以2m+1<m+7，2m+1≤-2，m+7≥3，解得-4≤m≤-32，故实数m的取值范围为m-4≤m≤-32．(3)【解析】当B=∅时，m≥6．当B≠∅时，m<6时，m+7≤-2或2m+1≥3，

解得m≤-9或1≤m<6．故实数m的取值范围为{m|m≤-9或m≥1}．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page33/Total218课堂笔记【例24】已知集合A={x|x<a}，B={x|x<-1或x>0}．若A∩(∁RB)=∅，求实数a的取值范围．解∵B={x|x<-1或x>0

}，∴∁RB={x|-1≤x≤0}，要使A∩(∁RB)=∅，结合数轴分析(如图)，可得a≤-1．即实数a的取值范围是{a|a≤-1}．三、巩固练习1．已知全集U={0,1,2}，且∁UA={2}，则A等于A．{0}B．{1}C．∅D．{0,1}【答案】:D【解析】∵U={0,1,2}，∁UA=

{2}，∴A={0,1}．2．设U=R，A={x|-1<x≤0}，则∁UA等于A．{x|x≤-1或x>0}B．{x|-1≤x<0}C．{x|x<-1或x≥0}D．{x|x≤-1或x≥0}【答案】:A【解析】因为

U=R，A={x|-1<x≤0}，所以∁UA={x|x≤-1或x>0}．3．已知A={x|x+1>0}，B={-2，-1,0,1}，则(∁RA)∩B等于A．{-2，-1}B．{-2}C．{-1,0,1}D．{0,1}【答案】:A【解析】因为集合A={x|x>-1}，所以∁RA={x|x≤-1

}，则(∁RA)∩B={x|x≤-1}∩{-2，-1,0,1}={-2，-1}．4．设全集为R，A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<10}，则∁R(A∪B)=，(∁RA)∩B=．【答案】:{x|x≤2或x≥10}{x|2<x<3或7≤x<10}【解析】把全集R和集合A，B在数轴上表示

如图：由图知，A∪B={x|2<x<10}，∴∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}．∵∁RA={x|x<3或x≥7}，∴(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}．5．设全集U={x|x≥0}，集合P={1}，

则∁UP等于A．{x|0≤x<1或x>1}B．{x|x<1}C．{x|x<1或x>1}D．{x|x>1}pμθημαz︱eiπ+1=0Page34/Total218课堂笔记【答案】:A【解析】因为U={x|x≥0}，P={1}，所以∁UP={x|x≥0且x≠1}={x|0≤x<1或x>

1}．6．已知集合U={1,2,3,4,5,6,7}，A={3,4}，B={6,7}，则(∁UB)∩A等于A．{1,6}B．{1,7}C．{3,4}D．{3,4,5}【答案】:C【解析】∵U={1,2,3,4,5,6,7

}，A={3,4}，B={6,7}，∴∁UB={1,2,3,4,5}，∴(∁UB)∩A={3,4}．7．集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x<1}，则A∩(∁RB)等于A．{x|x>1}B．{x|x≥1}C．{x|1<x≤2}D．{x|1≤x≤2}【答案】:D【解析】由A

={x|-1≤x≤2}，B={x|x<1}可知∁RB={x|x≥1}．∴A∩(∁RB)={x|1≤x≤2}．8．设全集U为实数集R，M={x|x>2或x<-2}，N={x|x≥3或x<1}都是全集U的子集，则图中阴影部分所

表示的集合是A．{x|-2≤x<1}B．{x|-2≤x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|x<2}【答案】:A【解析】阴影部分表示的集合为N∩(∁UM)={x|-2≤x<1}．9．已知全集U={1,2,3,4,5}，集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x=2

a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为A．1B．2C．3D．4【答案】:B【解析】A={1,2}，B={2,4}，所以A∪B={1,2,4}，则∁U(A∪B)={3,5}，共有2个元素．10．设全集U=R，A={x|x>0}，B={x|x>1}，则A∩(∁UB)=．【答案】:{x|0

<x≤1}【解析】∵U=R，B={x|x>1}，∴∁UB={x|x≤1}．又∵A={x|x>0}，∴A∩(∁UB)={x|x>0}∩{x|x≤1}={x|0<x≤1}．11．设全集U=R，集合A={x|0

<x<9}，B={x∈Z|-4<x<4}，则集合(∁UA)∩B中的元素的个数为．【答案】:4【解析】∵U=R，A={x|0<x<9}，︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page35/Total218课堂笔记∴∁UA={x|x≤0或x≥9}，又∵B={x∈Z|

-4<x<4}，∴(∁UA)∩B={x∈Z|-4<x≤0}={-3，-2，-1,0}，共4个元素．12．已知全集U={x|1≤x≤5}，A={x|1≤x<a}，若∁UA={x|2≤x≤5}，则a=．【答案】:2【解析】∵A={x|

1≤x<a}，∁UA={x|2≤x≤5}，∴A∪(∁UA)=U={x|1≤x≤5}，且A∩(∁UA)=∅，∴a=2．13．设U=R，已知集合A={x|-5<x<5}，B={x|0≤x<7}，求：(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁UB)；(4)B∩(∁

UA)．【答案】:(1)A∩B={x|0≤x<5}；(2){x|-5<x<7}；(3)A∪(∁UB)={x|x<5或x≥7}；(4){x|5≤x<7}【解析】(1)如图①．A∩B={x|0≤x<5}．(2)如图①．A∪B={x|-5<x<7}．(3)如图②．∁UB={x|x<0或x≥7}，∴A

∪(∁UB)={x|x<5或x≥7}．(4)如图③．∁UA={x|x≤-5或x≥5}，∴B∩(∁UA)={x|5≤x<7}．14．设全集U=R，M={x|3a<x<2a+5}，P={x|-2≤x≤1}，若M∁

UP，求实数a的取值范围．【答案】:a≤-72或a≥13．解∁UP={x|x<-2或x>1}，∵M∁UP，∴分M=∅，M≠∅两种情况讨论．(1)M≠∅时，如图可得3a<2a+5，2a+5≤-2或3a<2a+5，3a≥1，∴a≤-72或13≤a<5．(

2)M=∅时，应有3a≥2a+5⇒a≥5．综上可知，a≤-72或a≥13．15．定义差集A-B={x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C-(A-B)可表示下列图中阴影部分的为【答案】:A【解析

】如图所示，A-B表示图中阴影部分，故C-(A-B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分．pμθημαz︱eiπ+1=0Page36/Total218课堂笔记16．设全集U=R，集合A={x|x≤1或x≥3}，集合B={x

|k<x<k+1，k∈R}，且B∩(∁UA)≠∅，则A．k<0或k>3B．2<k<3C．0<k<3D．-1<k<3【答案】:C【解析】∵A={x|x≤1或x≥3}，∴∁UA={x|1<x<3}．若B∩(∁UA)=∅，则k+1≤1或k≥3，即k≤

0或k≥3，∴若B∩(∁UA)≠∅，则0<k<3．17．设全集U是实数集R，M={x|x<-2或x>2}，N={x|1≤x≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为．【答案】:{x|-2≤x<1}【解析】由题意知M∪N={x|x<-2或x≥1

}，阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)={x|-2≤x<1}．18．设全集U=R，集合A={x|x>1}，B={x|x>a}，且(∁UA)∪B=R，则实数a的取值范围是．【答案】:{a|a≤1}【解析】因为A={x|x>1}，B={x|x>a}，所以∁UA={x|x≤1}，由(∁UA)∪B

=R，可知a≤1．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page37/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZ§1.4.1充分条件与必要条件一、基础必备(一)充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒qp⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的

必要条件【例25】(1)若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的____条件．(2)若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的____条件．(3)p：|x|=|y|，q：x=y，则p是q的___条件．(4)p：a=0，q：ab=0，则p是q的____条件．(1)【答案】:必要【解析

】因为两个三角形全等，所以这两个三角形相似，即q⇒p，p是q的必要条件．(2)【答案】:充分【解析】因为A⊆B，所以x∈A⇒x∈B，所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件．(3)【答案】:必要【解析】∵x=y⇒|x|=|y|，即q⇒p，∴p是q的必要条

件．(4)【答案】:充分【解析】因为当a=0时，一定有ab=0成立，即p⇒q，所以p是q的充分条件．二、题型考法(一)充分条件的判断充分条件的判断方法(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．(2)除了用定义判断

充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．【例26】指出下列哪些命题中p是q的充分条件？(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；(2)已知x

，y∈R，p：x=1，q：(x-1)·(x-2)=0；(3)已知x∈R，p：x>1，q：x>2．【答案】:(1)充分；(2)充分；(3)p不是q的充分条件【解析】(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠

C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件．(2)由x=1⇒(x-1)(x-2)=0，故p是q的充分条件．pμθημαz︱eiπ+1=0Page38/Total218课堂笔记(3)方法一由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件．方法二设集合A={x|x>1}

，B={x|x>2}，所以B⊆A，所以p不是q的充分条件．【练24】“x>2”是“x2>4”的________条件．【答案】:充分【解析】x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件．(二)必要条件的判断必要条件的判断

方法(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．(2)利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，

条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件．【例27】指出下列哪些命题中q是p的必要条件？(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(2)p：A⊆B，q：A∩B=A；(3)p：a>b，q：ac>bc．【答案】:(1)因为矩形的对角线相等，所以q是

p的必要条件．(2)因为p⇒q，所以q是p的必要条件．(3)因为p⇏q，所以q不是p的必要条件．【练25】指出下列哪些命题中q是p的必要条件？(1)p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A=∠B；(2)p：|x|>2，q：x>2．【答案

】:(1)因为对顶角相等，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．(2)因为当|x|>2时，x>2或x<-2，所以p⇏q，所以q不是p的必要条件．(三)充分条件与必要条件的应用(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值

范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．【例28】已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足-2≤x≤3．(1)若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．(2

)若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．【答案】:(1)-23≤a<0；(2)a∈∅【※解析※】(1)p：3a<x<a，即集合A={x|3a<x<a}．q：-2≤x≤3，即集合B={x|-2≤x≤3

}．因为p⇒q，所以A⊆B，所以3a≥-2，a≤3，a<0⇒-23≤a<0，︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page39/Total218课堂笔记所以a的取值范围是-23≤a<0．(2)p：a<x<3

a，即集合A={x|a<x<3a}．q：-2≤x≤3，即集合B={x|-2≤x≤3}．因为q⇒p，所以B⊆A，所以3a>3，a<-2，a>0⇒a∈∅．【练26】已知P={x|a-4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的

取值范围是________．【答案】:-1≤a≤5【解析】因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P，所以a-4≤1，a+4≥3，即a≤5，a≥-1，所以-1≤a≤5．三、巩固练习1．

若p是q的充分条件，则q是p的A．充分条件B．必要条件C．既不充分条件也不必要条件D．既是充分条件又是必要条件【答案】:B【解析】因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．2．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的A．充分条件B．必要条件C．既是

充分条件又是必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件【答案】:B【解析】因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件．3．使x>3成立

的一个充分条件是A．x>4B．x>0C．x>2D．x<2【答案】:A【解析】只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3．4．已知命题p：a是末位是0的整数，q：a能被5整除，则p是q的______条件；q是p的

______条件．(用“充分”“必要”填空)【答案】:充分必要【解析】因为p⇒q，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．5．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．【答案】:a≤1【解析】因为x>1⇒x>a，所以a≤1．pμθημαz︱eiπ+1=0

Page40/Total218课堂笔记6．(多选)使ab>0成立的充分条件是A．a>0，b>0B．a+b>0C．a<0，b<0D．a>1，b>1【答案】:ACD【解析】因为a>0，b>0⇒ab>0；a<0

，b<0⇒ab>0；a>1，b>1⇒ab>0，所以选项ACD都是使ab>0成立的充分条件．7．使x>1成立的一个必要条件是A．x>0B．x>3C．x>2D．x<2【答案】:A【解析】只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出．8．下列命题中，p是q的充分条

件的是A．p：ab≠0，q：a≠0B．p：a2+b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1D．p：a>b，q：a>b【答案】:A【解析】根据充分条件的概念逐一判断．只有ab≠0⇒a≠0．9．已知集合A={1，a}，B={

1,2,3}，则“a=3”是“A⊆B”的A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件也不是必要条件D．既是充分条件又是必要条件【答案】:A【解析】∵A={1，a}，B={1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a=2或3，即a=3⇒A⊆B，∴“a=3”是“A⊆B”的充分条件．10．(多选

)下列命题中，p是q的充分条件的是A．p：a是无理数，q：a2是无理数B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等C．p：x>2，q：x≥1D．p：a>b，q：ac2>bc2【答案】:BC【解析】A中

，a=2是无理数，a2=2是有理数，所以p不是q的充分条件；B中，因为等腰梯形的对角线相等，所以p是q的充分条件；C中，x>2⇒x≥1，所以p是q的充分条件；D中，当c=0时ac2=bc2，所以p不是q的充分条件．11．“x2=2x”是“x=0

”的________条件，“x=0”是“x2=2x”的________条件(用“充分”“必要”填空)．【答案】:必要充分【解析】由于x=0⇒x2=2x，所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件，“x=0”是“

x2=2x”︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page41/Total218课堂笔记的充分条件．12．下列说法不正确的是________．(只填序号)①“x>5”是“x>4”的充分条件；②“xy=0”是“x=0且y=0”的充分条

件；③“-2<x<2”是“x<2”的充分条件．【答案】:②【解析】②中由xy=0不能推出x=0且y=0，则②不正确；①③正确．13．条件p：2-x>0，条件q：x<a，若p是q的充分条件，则a的取值范

围是_____．【答案】:{a|a≥2}【解析】p：x<2，若p是q的充分条件，则p⇒q，即p对应集合是q对应集合的子集，故a≥2．14．指出下列命题中，p是q的什么条件？(1)p：x2=2x+1，q：

x=2x+1；(2)p：a2+b2=0，q：a+b=0；(3)p：(x-1)2+(y-2)2=0，q：(x-1)(y-2)=0．【答案】:(1)必要条件；(2)充分条件；(3)充分条件【※解析※】(1)∵x2=2x+1⇏x=2x+1，x=2x+1⇒x2=2x+1，∴p是q的必要条

件．(2)∵a2+b2=0⇒a=b=0⇒a+b=0，a+b=0⇏a2+b2=0，∴p是q的充分条件．(3)∵(x-1)2+(y-2)2=0⇒x=1且y=2⇒(x-1)·(y-2)=0，而(x-1)(y-2)=0⇏(x-1)2+(y-2)2=0，∴p是q的充分条件．15．已知

p：-1<x<3，若-a<x-1<a是p的一个必要条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围．【答案】:{b|b<2}解由于p：-1<x<3，又由-a<x-1<a，得1-a<x<1+a，依题意，得{x|-1<x<3}⊆{x|1-a<x<1+a}，所以1

-a≤-1，1+a≥3，解得a≥2，则使a>b恒成立的实数b的取值范围是{b|b<2}．16．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是A．x+y=2B．x+y>2C．x2+y2>2D．xy>

1【答案】:B【解析】对于选项A，当x=1，y=1时，满足x+y=2，但命题不成立；对于选项C，D，当x=-2，y=-3时，满足x2+y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意．pμθημαz︱eiπ+1=0Pa

ge42/Total218课堂笔记17．集合A={x|-1<x<1}，B={x|-a<x-b<a}．若“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是A．{b|-2≤b<0}B．{b|0<b

≤2}C．{b|-2<b<2}D．{b|-2≤b≤2}【答案】:C【解析】A={x|-1<x<1}，B={x|-a<x-b<a}={x|b-a<x<b+a}．因为“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以-1≤b-1<1或-

1<b+1≤1，即-2<b<2．18．设命题p：k>5，b<5，命题q：一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的________条件；q是p的________条件．(用“充分”“必要”填空)【答案】:充分必要【解

析】当k>5，b<5时，函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示，此时一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件．19．已知p：x<-2或x>10，q：x<1+a或x>1-a．若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为_

_______．【答案】:{a|a≤-9}【解析】∵q：x<1+a或x>1-a，∴a≤0．∵p是q的必要条件，∴q⇒p，∴1+a≤-2，1-a≥10，a≤0，解得a≤-9．20．(1)是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件？(2)是否存

在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件？【答案】:(1)m≥2；(2)不存在实数m．【解析】(1)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件，则只要xx<-m2⊆{x|x<-1或x>3}，即只需

-m2≤-1，所以m≥2．故存在实数m≥2，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件．(2)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件，则只要{x|x<-1或x>3}⊆xx<-m2，这是不可能的．故不存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件．︱数是万物

的本原-毕达哥拉斯Page43/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§1.4.2充要条件一、基础必备(一)充要条件1．如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既

是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．2．如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．【例29】(1)“x>1”是“x+2>3”的________条件．(2)“(2x-1)

x=0”是“x=0”的________条件．(3)△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的________条件．(4)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．(1)【答案】:充要【解析】当x>1时，

x+2>3；当x+2>3时，x>1，所以“x>1”是“x+2>3”的充要条件．(2)【答案】:必要不充分【解析】设命题p：(2x-1)x=0，命题q：x=0，则命题p：x=0或x=12，故p是q的必要

不充分条件．(3)【答案】:充分不必要(4)【答案】:充要【解析】因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．二、题型考法(一)充分、必要、充要条件的判断判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假．(2)集合法

：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒⋯⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性．【例30】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必

要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．(1)p：x=1，q：x-1=x-1；(2)p：-1≤x≤5，q：x≥-1且x≤5；(3)p：x+2≠y，q：(x+2)2≠y2；(4)p：a是自然数；q：a是正数．【

答案】:(1)充分不必要条件；(2)充要条件；(3)必要不充分条件；(4)既不充分又不必要条件【解析】(1)当x=1时，x-1=x-1成立；当x-1=x-1时，x=1或x=2．∴p是q的充分不必要条件．pμθημαz︱eiπ+1=0Page44/Total218课堂笔

记(2)∵-1≤x≤5⇔x≥-1且x≤5，∴p是q的充要条件．(3)由q：(x+2)2≠y2，得x+2≠y，且x+2≠-y，又p：x+2≠y，故p是q的必要不充分条件．(4)0是自然数，但0不是正数，故p⇏q；又12是正数，但12不是自然数

，故q⇏p．故p是q的既不充分又不必要条件．【练27】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．(1)p：x2>0，q：x>0；(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(3)p

：两个角不都是直角，q：两个角不相等；(4)p：A∩B=A，q：∁UB⊆∁UA．【答案】:(1)必要不充分条件；(2)充分不必要条件．(3)必要不充分条件；(4)充要条件【解析】(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件．(2)p：a能被6

整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件．(3)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要不充分条件．(4)∵A∩B=A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA，∴p是q的充要条件．(二)充要条件的证明充要条

件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．(2)集合思想：记p：A={x|p(x)}，q：B={x|q(x)}，若A=B，则p与q互为充

要条件．【例31】设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°．【证明】:必要性：设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根x0，则x20+2ax0+b2=0，x2

0+2cx0-b2=0．两式相减，得x0=b2c-a，将此式代入x20+2ax0+b2=0，可得b2+c2=a2，故∠A=90°．充分性：∵∠A=90°，∴b2=a2-c2．①将①代入方程x2+2ax+b2=0，可得x2+2ax+a2-c2=0，即(x+a-c)(x+a+

c)=0．将①代入方程x2+2cx-b2=0，可得x2+2cx+c2-a2=0，即(x+c-a)(x+c+a)=0．故两方程有公共根x=-(a+c)．∴方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是∠A=90°．【练28】求证：一次函数y

=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0．证明①充分性：如果b=0，那么y=kx，当x=0时，y=0，函数图象过原点．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page45/Total218课堂笔记②必要性：因为y=kx+b

(k≠0)的图象过原点，所以当x=0时，y=0，得0=k·0+b，所以b=0．综上，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0．(三)充要条件的应用应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的

一般步骤(1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．【例32】已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，(

1)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．(3)是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】:(1){m|0<m≤3}；

(2)m≥9；(3)故不存在实数m．【※解析※】(1)p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10}，故有1-m≥

-2，1+m<10或1-m>-2，1+m≤10，解得m≤3．又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．(2)p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)．因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代

表的集合为B，所以AB．所以1-m≤-2，1+m>10或1-m<-2，1+m≥10．解不等式组得m>9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是m≥9．(3)因为p：-2≤x≤10，q：1-m≤

x≤1+m(m>0)．若p是q的充要条件，则-2=1-m，10=1+m，m不存在．故不存在实数m，使得p是q的充要条件．【例33】已知当a<0时，设p：3a<x<a，q：x<-4或x≥-2．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】:a≤-4或-

23≤a<0解设A={x|3a<x<a，a<0}，B={x|x<-4或x≥-2}．因为p是q的充分不必要条件，所以AB，∴a≤-4或3a≥-2，即a≤-4或a≥-23．又∵a<0，∴a≤-4或-23≤a<0，即实数a的取值范围为a≤-4或

-23≤a<0．三、巩固练习1．“x2-4x-5=0”是“x=5”的【答案】:必要不充分条件【解析】由x2-4x-5=0得x=5或x=-1，则当x=5时，x2-4x-5=0成立，pμθημαz︱eiπ+1=0Pag

e46/Total218课堂笔记但当x2-4x-5=0时，x=5不一定成立．2．“a<b”是“ab<1”的A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】:D3．已知a，b是实数，则“a>0且b>

0”是“a+b>0且ab>0”的________条件．【答案】:充要【解析】因为a>0，b>0，所以a+b>0，ab>0，所以充分性成立；因为ab>0，所以a与b同号，又a+b>0，所以a>0且b>0，所以必要性成立．故“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的

充要条件．4．函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是________．【答案】:m=-2【解析】函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则-m2=1，即m=-2；反之，若m=-2，则y=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称．5．“1<x<2”是

“x≤2”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】:A【解析】设A={x|1<x<2}，B={x|x≤2}，AB．故“1<x<2”是“x≤2”的充分不必要条

件．6．“x=1”是“x2-2x+1=0”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【答案】:A【解析】若x=1，则x2-2x+1=0；若x2-2x+1=0，即(x-1)2=0，则x=1．故为充要条件．7．设x∈R，则“2-x≥0”是“|

x-1|≤1”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】:B【解析】由2-x≥0，得x≤2，由|x-1|≤1，得0≤x≤2．当x≤2时不一定有0≤x≤2，而当0≤x≤2时一定有x≤2，∴“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要不充分条件．︱数是

万物的本原-毕达哥拉斯Page47/Total218课堂笔记8．已知a，b是实数，则“a<0，且b<0”是“ab(a-b)>0”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】:D【解析】已知a，b是实数，则若a<0，且b<0，则不一定有ab(a-b)>0

，比如当a<b<0时，ab(a-b)<0；反之，若ab(a-b)>0，则a-b和ab同号，当a>b>0时满足ab(a-b)>0，当b<a<0时也满足ab(a-b)>0，故不能确定a和b的正负．故是既不充分又不必要条件．9．使“x∈xx≥3或x≤-12”成立的一个

充分不必要条件是A．x≥0B．x<0或x>2C．x∈{-1,3,5}D．x≤-12或x≥3【答案】:C【解析】选项中只有x∈{-1,3,5}是使“x∈xx≥3或x≤-12”成立的一个充分不必要

条件．10．已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)【答案】:必要不充分【解析】由两三角

形对应角相等⇏△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1．11．对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件．【答案】:充要【解析】由x∈B

，显然可得x∈A∪B；反之，由A⊆B，则A∪B=B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要条件．12．设a，b是实数，则“a+b>0”是“ab>0”的________条件．【答案】:既不充分又不必要【解析】若a+b>0，取a=3，b=-2，则a

b>0不成立；反之，若ab>0，取a=-2，b=-3，则a+b>0也不成立，因此“a+b>0”是“ab>0”的既不充分又不必要条件．13．求证：一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．证明必要性：由于方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根

，所以Δ=b2-4ac>0，x1x2=ca<0(x1，x2为方程的两根)，所以ac<0．充分性：由ac<0，可推得b2-4ac>0，及x1x2=ca<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2+bx+c=0有一正

根和一负根．综上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．pμθημαz︱eiπ+1=0Page48/Total218课堂笔记14．设命题p：12≤x≤1；命题q：a≤x≤

a+1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解设A=x12≤x≤1，B={x|a≤x≤a+1}，由p是q的充分不必要条件，可知AB，∴a≤12，a+1>1或a<12，a+1≥1，

解得0≤a≤12，故所求实数a的取值范围是0≤a≤12．15．“函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】:A【解析】函数y=x2-2ax+a的图象在x轴的上方，则Δ=4a

2-4a<0，解得0<a<1，由集合的包含关系可知选A．16．设x∈R，则“x-12<12”是“x2<1”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】:A【解析】由x-12<12，得0<x<1，所以0<x2<1；由x2<1，得-1<x<1，

不能推出0<x<1．所以“x-12<12”是“x2<1”的充分不必要条件．17．已知“p：x>m+3或x<m”是“q：-4<x<1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．【答案】:m≤-7或m≥1【解析

】因为p是q成立的必要不充分条件，所以m+3≤-4或m≥1，故m≤-7或m≥1．18．已知α：x≥a，β：|x-1|<1．若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．【答案】:{a|a≤0}【解析】α：x≥a，可看作集合A={x|x≥a}．∵β：|x-1|<1，∴0<x

<2，∴β可看作集合B={x|0<x<2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0．19．设m∈N*，一元二次方程x2-4x+m=0有整数根的充要条件是m=______．【答案】:3或4︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page49/Total218课堂笔记【解析】x

=4±16-4m2=2±4-m，因为x是整数，即2±4-m为整数，所以4-m为整数，且m≤4，又m∈N*，取m=1,2,3,4．验证可得m=3,4符合题意，所以m=3,4时可以推出一元二次方程x2-4x+m=0有整数根．20．已知a，b，c∈R

，a≠0．判断“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的什么条件？并说明理由．【答案】:充要条件【※解析※】“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件

．理由如下：当a，b，c∈R，a≠0时，若“a-b+c=0”，则-1满足二次方程ax2+bx+c=0，即“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”，故“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根

为-1”的充分条件，若“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”，则“a-b+c=0”，故“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的必要条件，综上所述，“a-b+c=0”是“二次方程ax2+bx+c=0有

一根为-1”的充要条件．pμθημαz︱eiπ+1=0Page50/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§1.5.1全称量

词与存在量词一、基础必备(一)知识点全称量词和存在量词全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号∀∃命题含有全称量词的命题是全称量词命题含有存在量词的命题是存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符

号简记为“∀x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”【例34】基础练习之判断正误(1)“三角形内角和是180°”是全称量词命题．(T)(2)“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题．(T)(3)“∀x∈R，x

2+1≥1”是真命题．(T)(4)存在量词命题“∃x∈R，x2<0”是真命题．(F)二、题型考法(一)全称量词命题与存在量词命题的识别判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词．由于某些全称量词命题的量词可能省

略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．【例35】判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题．(1)对任意x∈{x|x>-1},3x+4>0成立；(2)对所有实数a，b，方程ax+b=0恰有一个解；(3)有些整数既

能被2整除，又能被3整除；(4)某个四边形不是平行四边形．【答案】:(1)全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>-1},3x+4>0．(2)全称量词命题，表示为∀a，b∈R，方程ax+b=0恰有一解．(3)存在量词命题，表示为∃

x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．(4)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形．【练29】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)矩形的对角线不相等；(3)若一个四边形是菱形，则这个

四边形的对角线互相垂直；(4)有些实数a，b能使|a-b|=|a|+|b|；(5)方程3x-2y=10有整数解．【答案】:(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．(2)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Pag

e51/Total218课堂笔记(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题．(5)可改写为存在一对整数x，y，使3x-2y=10成立．故为存在量词命题．(二)

全称量词命题与存在量词命题的真假的判断判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言(1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假．(2)

要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可．【例36】判断下列命题的真假．(1)∃x∈Z，x3<

1；(2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(3)∀x∈N，x2>0．【答案】:(1)因为-1∈Z，且(-1)3=-1<1，所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．(2)由有序实数对与平

面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(3)因为0∈N,02=0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．【练30】试判断下列命题的真假：(1)∀x∈R，x2+1≥2；(2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点；(3)

存在一对整数x，y，使得2x+4y=6．【答案】:(1)取x=0，则x2+1=1<2，所以“∀x∈R，x2+1≥2”是假命题．(2)与x轴平行的直线与x轴无交点，所以该命题为假命题．(3)取x=3，y=0，则2x+

4y=6，故为真命题．(三)依据含量词命题的真假求参数的取值范围依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法(1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意．(2)其次根据含量词命题的真假把命题的

真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围．【例37】已知集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，且B≠∅，(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围．(2)若命题p：“∃x∈A，x∈B”是

真命题，求m的取值范围．(3)若命题p：“∀x∈A，x∈B”,是否存在实数m，使命题p是真命题？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】:(1)2≤m≤3(2)2≤m≤4(3)不存在【※解析

※】(1)解由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，所以B⊆A，B≠∅，pμθημαz︱eiπ+1=0Page52/Total218课堂笔记所以m+1≤2m-1，m+1≥-2，2m-1≤5，解得2≤m≤3．(2)p为真，则A∩B≠∅，因为B≠∅，所以m≥2．所

以-2≤m+1≤5，m≥2或-2≤2m-1≤5，m≥2，解得2≤m≤4．(3)由于命题p：“∀x∈A，x∈B”是真命题，所以A⊆B，B≠∅，所以m+1≤2m-1，m+1≤-2，2m-1≥5

，解得m∈∅，所以不存在实数m，使命题p是真命题．【练31】若命题“∃x∈R，x2-4x+a=0”为真命题，求实数a的取值范围．【答案】:a≤4解∵命题“∃x∈R，x2-4x+a=0”为真命题，∴方程x2-4x+a=0存在实数根，则Δ=(-4)2-4a≥0，

解得a≤4．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page53/Total218课堂笔记三、巩固练习1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是A．每个二次函数的图象都开口向上B．存在一条直线与已知直线不平行C．对任意实数a

，b，若a-b≤0，则a≤bD．存在一个实数x，使等式x2-2x+1=0成立【答案】:C【解析】B，D是存在量词命题，故应排除；对于A，二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象开口向下，也应排除，故应选C．2．命题p：∃x∈R，x2+2x

+5=0是________(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)【答案】:存在量词命题假【解析】命题p是存在量词命题，因为方程x2+2x+5=0的判别式22-4×5<

0，即方程x2+2x+5=0无实根，所以命题p是假命题．3．若一次函数y=kx+2(x∈R)的图象恒过第三象限，则实数k的取值范围为____．【答案】:{k|k>0}【解析】一次函数y=kx+2的图象过点(0,2

)，若恒过第三象限，则k>0．4．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的是A．有一个x∈R，使得x2>3B．对有些x∈R，使得x2>3C．任选一个x∈R，使得x2>3D．至少有一个x∈R，使得x2>3【答案】:C【解析】“∀”表示“

任意的”．5．(多选)下列命题中是存在量词命题的是A．有些自然数是偶数B．正方形是菱形C．能被6整除的数也能被3整除D．存在x∈R，使得|x|≤0【答案】:AD【解析】命题A含有存在量词；命题B可以叙述为“

所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题C可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题D是存在量词命题．6．已知命题p：∀x∈R，x2+2x-a>0．若p为真命题，则实数a的取值范围是A．a>-1B．a<-1C．a≥-1D．a≤-1【答

案】:B【解析】依题意不等式x2+2x-a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ=4+4a<0，解得a<-1．pμθημαz︱eiπ+1=0Page54/Total218课堂笔记7．命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为_____________

_____．【答案】:∃x<0，(1+x)(1-9x)2>0【解析】存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．8．下列命题，是全称量词命题的是______，是存在量词命题的是______．(填序号)①正方形的四条边相等；②有

两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．【答案】:①②③④【解析】①②③是全称量词命题，④是存在量词命题．9．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是________．【答案】:a≤3【解析】对于任意x>3，x>a恒成立，即大于3

的数恒大于a，所以a≤3．10．判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性．(1)对所有的正实数t，t为正且t<t；(2)存在实数x，使得x2-3x-4=0；(3)存在实数对(x，y)，使得3x-4y-5>0；(4)角平分线上的点到这个

角的两边的距离相等．【解析】(1)为全称量词命题，且为假命题，如取t=1，则t<t不成立．(2)为存在量词命题，且为真命题，因为判别式Δ=b2-4ac=25>0．(3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2,0)，则3x-4y-5>0成立．(4)为全称量词命题，且为真命题．

11．下列命题中正确的个数是①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数；③∃x∈{x|x是无理数}，x+5是无理数．A．0B．1C．2D．3【答案】:D【解析】①∃x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件；③∃x∈{x|x是无理数}

，x+5是无理数，正确，例如x=π．综上可得①②③都正确．12．已知命题p：∃x∈R，x2+4x+a=0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是A．0<a<4B．a>4C．a<0D．a≥4︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Pa

ge55/Total218课堂笔记【答案】:B【解析】∵p是假命题，∴方程x2+4x+a=0没有实数根，即Δ=16-4a<0，即a>4．13．能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a-b=ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为_____．【答案】:12，13(【答

案】:不唯一)【解析】存在两个不相等的正数a，b，如a=12，b=13时，使得a-b=ab是真命题．14．若存在x∈R，使ax2+2x+1<0，则实数a的取值范围为________．【答案】:{a|a<1}【解析】当a≤0时，显然

存在x∈R，使ax2+2x+1<0；当a>0时，需满足Δ=4-4a>0，得a<1，故0<a<1．综上所述，实数a的取值范围是a<1．15．已知A={x|1≤x≤2}，命题“∀x∈A，x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5【答案】:C

【解析】当该命题是真命题时，只需a≥(x2)max，x∈A={x|1≤x≤2}．又y=x2在1≤x≤2上的最大值是4，所以a≥4．因为a≥4⇏a≥5，a≥5⇒a≥4．所以命题“∀x∈A，x2-a≤0”是真命题的

一个充分不必要条件是a≥5．16．若∀x∈R，函数y=x2+mx-1-a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围___________．解因为函数y=x2+mx-1-a的图象和x轴恒有公共点，所以Δ=m2+4

(1+a)≥0恒成立，即m2+4a+4≥0恒成立．设y1=m2+4a+4，则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方(或图象顶点在x轴上)的充要条件是Δ1=02-4(4a+4)≤0，可得a≥-1．综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥-1}．pμθημαz︱e

iπ+1=0Page56/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定一、基础必备(一)含量词的命题的否定p¬p结论全称量词命题∀x∈M，

p(x)∃x∈M，¬p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，¬p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题【例38】基础练习之判断正误(1)命题“∀x∈R，x2-1≥-1”的否定是全称量词命题．(F)(2)若

命题¬p是存在量词命题，则命题p是全称量词命题．(T)(3)“∃x∈M，p(x)”与“∀x∈M，¬p(x)”的真假性相反．(T)(4)“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．(T)二、题型考法(一)全称量词命题的否定全

称量词命题否定的关注点(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，¬p(x)．(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定．【例39】写出下列命题的否定．(1)所有分数都是有理数；(2)所有被5整除的整数都是奇数；(

3)∀x∈R，x2-2x+1≥0．【答案】:(1)该命题的否定：存在一个分数不是有理数．(2)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数．(3)∃x∈R，x2-2x+1<0．【练32】写出下列全称量词命题的否定：(1)所有自然数的平方都是正数；(2)任何实数x都是方程5x-

12=0的根；(3)对任意实数x，x2+1≥0．【答案】:(1)¬p：有些自然数的平方不是正数．(2)¬p：存在实数x不是方程5x-12=0的根．(3)¬p：存在实数x，使得x2+1<0．(二)存在量

词命题的否定存在量词命题否定的关注点(1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，¬p(x)．(2)存在量词命题的否定是全称量词

命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定．【例40】写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page57/Total218课堂笔记(1)某些梯形的对角线互相平分；(2)存在k∈R，函数y=kx+b随x值的增大而减小；(3)∃x，y∈Z，使得2x+y

=3．【答案】:(1)任意一个梯形的对角线都不互相平分．命题的否定为真命题．(2)对任意k∈R，函数y=kx+b不随x值的增大而减小．命题的否定为假命题．(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x+y≠3”．当x=0，y=3时，2x+

y=3，因此命题的否定是假命题．【练33】写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有的素数是偶数；(2)∃a，b∈R，a2+b2≤0．【答案】:(1)命题的否定：所有的素数都不是偶数．由于2是素数也是偶数，因此

命题的否定为假命题．(2)命题的否定：∀a，b∈R，a2+b2>0．∵当a=b=0时，a2+b2=0，∴命题的否定是假命题．(三)全称量词命题与存在量词命题的综合应用求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(

或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)．(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最

小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)．【例41】(1)已知命题p：∀x∈R，不等式x2+4x-1>m恒成立．求实数m的取值范围．(2)存在实数x，使不等式-x2+4x-1>m有解，求实数m的取值范围．(3)已知命题p：∀x≥1，不等式x2+4x-1>m恒成立．求

实数m的取值范围．【答案】:(1){m|m<-5}；(2){m|m<3}；(3){m|m<4}．【※解析※】(1)令y=x2+4x-1，x∈R，则y=(x+2)2-5≥-5，因为∀x∈R，不等式x2+4x-1>m恒成立，所以只要m<-5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<-5}．(2)令

y=-x2+4x-1，因为y=-x2+4x-1=-(x-2)2+3≤3，又因为∃x∈R，-x2+4x-1>m有解，所以只要m小于函数的最大值即可，所以所求m的取值范围是{m|m<3}．(3)令y=x2+4x-1，x≥1，则

y=(x+2)2-5≥(1+2)2-5=4，因为∀x≥1，不等式x2+4x-1>m恒成立，所以只要m<4即可．所以所求m的取值范围是{m|m<4}．【练34】已知命题p：∀x∈{x|-3≤x≤2}，都有x∈{x|a-4≤x≤a+5}，且¬p是假命题，求实数a的取值范围

．【答案】:-3≤a≤1【※解析※】因为¬p是假命题，所以p是真命题，又∀x∈{x|-3≤x≤2}，都有x∈{x|a-4≤x≤a+5}，pμθημαz︱eiπ+1=0Page58/Total218课堂笔记所以{x|-3≤x≤2}⊆{x|a-4≤x≤a+5}，则a-

4≤-3，a+5≥2，解得-3≤a≤1，即实数a的取值范围是-3≤a≤1．三、巩固练习1．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是A．∀x∈R，|x|+x2<0B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x∈R，|x|+x2<0D．∃x∈R，|x|+x2≥0【答案】:C【解析】此全称量词命题的

否定为∃x∈R，|x|+x2<0．2．命题“∃x>0,2x2=5x-1”的否定是A．∀x>0,2x2≠5x-1B．∀x≤0,2x2=5x-1C．∃x>0,2x2≠5x-1D．∃x≤0,2x2=5x-1【答案】:A【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题．3．命

题“同位角相等”的否定为___________________________．【答案】:有的同位角不相等【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等．4．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：_________________

_．【答案】:所有的三角形都不是直角三角形【解析】命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，即所有的三角形都不是直角三角形．5．若命题“∀x∈R，x2-4x+a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

【答案】:{a|a≤4}【解析】∵命题∀x∈R，x2-4x+a≠0为假命题，∴∃x∈R，x2-4x+a=0是真命题，∴方程x2-4x+a=0有实数根，则Δ=(-4)2-4a≥0，解得a≤4．6．命题p

：“存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根”，则p的否定是A．存在实数m，使方程x2+mx+1=0无实数根B．不存在实数m，使方程x2+mx+1=0无实数根C．对任意的实数m，方程x2+mx+1=0无实数根D．至多有一个实数m，使方程

x2+mx+1=0有实数根【答案】:C【解析】命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即对任意的实数m，方程x2+mx+1=0无实数根．7．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：

∀x∈A,2x∈B，则︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page59/Total218课堂笔记A．¬p：∀x∈A,2x∈BB．¬p：∀x∉A,2x∉BC．¬p：∃x∉A,2x∈BD．¬p：∃x∈A,2x∉B【答案】:D【解析】命题p：∀x∈A,2x∈B是一个全称量词命题，命题p的否定应为：∃x∈A,2

x∉B．8．命题“存在实数x，使x>1”的否定是A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1【答案】:C【解析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，

都有x≤1”．9．(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2+1≠0”的叙述，正确的是A．¬p：∃x∈R，x2+1=0B．¬p：∀x∈R，x2+1=0C．p是真命题，¬p是假命题D．p是假命题，¬p是真命题【答案】:AC【解析】命题p：“∀x∈R，x2+1≠0

”的否定是“∃x∈R，x2+1=0”．所以p是真命题，¬p是假命题．10．(多选)对下列命题的否定说法正确的是A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形C．p：有的三角形为正三角形；p的

否定：所有的三角形不都是正三角形D．p：∀n∈N,2n≤100；p的否定：∃n∈N,2n>100【答案】:ABD【解析】“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．11．命题“任意一个x∈R，都

有x2-2x+4≤0”的否定是_______________．【答案】:存在一个x∈R，使得x2-2x+4>0【解析】原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要否定量词又要否定结论，所以其否定为存在一个x∈R，使得x2-2x+4>0．12．命题“存在x∈R，使

得x2+2x+5=0”的否定是________________．【答案】:任意x∈R，使得x2+2x+5≠0【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题，将“存在”改为“任意”，“=”改为“≠”．13．已知命题p：存在x∈R，x2+2x+a=0．若命题¬p是假命

题，则实数a的取值范围是________．pμθημαz︱eiπ+1=0Page60/Total218课堂笔记【答案】:{a|a≤1}【解析】∵命题¬p是假命题，∴p是真命题，即存在x∈R，x2+2x+a=0为真命题，∴Δ=4-4a≥0，∴a≤1．14．写出下列命题的否定．(1)有

些四边形有外接圆；(2)末位数字为9的整数能被3整除；(3)∃x∈R，x2+1<0．【解析】(1)所有的四边形都没有外接圆．(2)存在一个末位数字为9的整数不能被3整除．(3)∀x∈R，x2+1≥0．15．写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2+mx-1=0必

有实根；(2)∀x，y∈R，x2+y2+2x-4y+5=0．【答案】:(1)¬p：存在一个实数m，使方程x2+mx-1=0没有实数根．∵该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立，∴¬p为假命题．(2)¬p：

∃x，y∈R，x2+y2+2x-4y+5≠0．∵x2+y2+2x-4y+5=(x+1)2+(y-2)2，当x=0，y=0时，x2+y2+2x-4y+5≠0成立，∴¬p为真命题．16．(多选)下列命题的否定是假命题的是A．等圆的面积相等，周长相等B．∀x∈N，

x2≥1C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2-9=0的一个根【答案】:ACD【解析】A的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，假命题；B的否定：∃x∈N，x2<1，真命题；C的否定：有些

等边三角形不相似，假命题；D的否定：3不是方程x2-9=0的一个根，假命题．17．已知命题“∃x∈R，使4x2+x+14(a-2)≤0”是假命题，则实数a的取值范围是A．a<0B．0≤a≤4C．a≥4D．a>94【答案】:D【解析】∵命题“∃x∈R，使

4x2+x+14(a-2)≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2+x+14(a-2)>0”是真命题，即判别式Δ=1-4×4×14(a-2)<0，解得a>94．18．已知命题：“∃x∈{x|1≤x≤2}，使x2+2x+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________．【答案】:a≥-

8【解析】当x∈{x|1≤x≤2}时，因为x2+2x=(x+1)2-1，所以3≤x2+2x≤8，由题意有a+8≥0，∴a≥-8．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page61/Total218课堂笔记19．已知命题p

：∀1≤x≤3，都有m≥x，命题q：∃1≤x≤3，使m≥x，若命题p为真命题，¬q为假命题，求实数m的取值范围．解由题意知命题p，q都是真命题．由∀1≤x≤3，都有m≥x都成立，只需m大于或等于x的最大值，即m≥3．由∃1≤x≤3，使m≥x成立，只需m大于或等于x的最小值，即m≥1，因

为两者同时成立，故实数m的取值范围为{m|m≥3}∩{m|m≥1}={m|m≥3}．pμθημαz︱eiπ+1=0Page62/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZ章末复习课一、思维导图二、基础必备(一)集合的概念与运算1．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使

问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解．2．集合基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式

有数轴、坐标系和Venn图．【例42】已知集合A={2,3}，B={x|mx-6=0}，若B⊆A，则实数m等于A．3B．2C．2或3D．0或2或3【答案】:D【解析】当m=0时，方程mx-6=0无解，B=∅，满足B⊆A；当m≠0时，B=6m，因为B⊆A，所以6m=2或6m=3，解得m=

3或m=2．【练35】已知集合A={x|0≤x≤2}，B={x|a≤x≤a+3}．①若(∁RA)∪B=R，求a的取值范围；②是否存在a使(∁RA)∪B=R且A∩B=∅？【答案】:(1){a|-1≤a≤0}；(2)a不存在解①∵A={x|0≤x≤2}，∴∁RA={

x|x<0或x>2}．∵(∁RA)∪B=R，∴a≤0，a+3≥2，∴-1≤a≤0．∴a的取值范围为{a|-1≤a≤0}．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page63/Total218课堂笔记②由(1

)知(∁RA)∪B=R时，-1≤a≤0，而2≤a+3≤3，∴A⊆B，这与A∩B=∅矛盾．即这样的a不存在．【例43】(多选)已知集合A={x|x<2}，B={x|3-2x>0}，则A．A∩B=xx<32B．A∩(∁RB)=x3

2≤x<2C．A∪B=xx<32D．(∁RA)∪B=R【答案】:AB【解析】因为A={x|x<2}，B={x|3-2x>0}=xx<32，∁RA=x|x≥2}，∁RB=xx≥3

2，所以A∩B=xx<32，A∩(∁RB)=x32≤x<2，A∪B=x|x<2}，(∁RA)∪B=xx<32或x≥2．【练36】已知集合M={(x，y)|y=3x2}，N={(x，y

)|y=5x}，则M∩N中的元素个数为A．0B．1C．2D．3【答案】:C【解析】联立y=3x2，y=5x，解得x=0，y=0或x=53，y=253，因此M∩N中的元素个数为2．(二)充分条件与必要条件1．若p⇒q，且q⇏p，则p是q

的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件．2．充要条件的常用判断方法(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假．(2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，

若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件．【例44】设x∈R，则“x>3或x<0”是“x>4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】:B【解析】由x>

3或x<0，推不出x>4，但当x>4时，不等式x>3或x<0成立．【例45】设p：实数x满足A={x|x≤3a或x≥a(a<0)}．q：实数x满足B={x|-4≤x<-2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案

】:a-23≤a<0或a≤-4解∵q是p的充分不必要条件，∴BA，∴a≤-4，a<0或3a≥-2，a<0，解得-23≤a<0或a≤-4．∴a的取值范围为a-23≤a<0或a≤-4．pμθημαz︱eiπ+1=0Page64/Total218课堂笔记【例46

】设x∈R，则“|x-2|<1”是“x>1或x<-2”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】:A【解析】|x-2|<1⇔1<x<3，由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<-2}的真子集，所以“|x-2|<1”是“x>1或x

<-2”的充分不必要条件．【例47】若-a<x<-1成立的一个充分不必要条件是-2<x<-1，则a的取值范围是________．【答案】:a>2【解析】根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有{x|-2<

x<-1}{x|-a<x<-1}，所以-a<-2，解得a>2．(三)全称量词命题与存在量词命题1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词

改为全称量词，然后把判断词加以否定．2．全称量词命题与存在量词命题问题的关注点(1)对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论．(2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决．【

例48】命题：“∀x∈R，x2≠x”的否定是A．∀x∉R，x2≠xB．∀x∈R，x2≠xC．∃x∉R，x2≠xD．∃x∈R，x2=x【答案】:D【解析】先将“∀”改为“∃”，再否定结论，可得命题的否定为∃x∈R，x2=x．【练37】设

命题p：∀x∈R，ax2+x+2>0，若¬p为假命题，则实数a的取值范围是________．【答案】:a>18【解析】¬p为假命题，所以命题p是真命题，所以a>0，Δ=1-8a<0，解得a>18．【例49】命题“至少有一个正实数x

满足方程x2+2(a-1)x+2a+6=0”的否定是________________________．【答案】:所有正实数x都不满足方程x2+2(a-1)x+2a+6=0【解析】把“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．【练38】命题p

：存在实数x∈R，使得方程ax2+2x-1=0成立．若命题p为真命题，求实数a的取值范围．【答案】:{a|a≥-1}︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page65/Total218课堂笔记解当a=0时，方程为2x-1=0，显然有实

数根，满足题意；当a≠0时，由题意可得ax2+2x-1=0有实根，得Δ=4+4a≥0，解得a≥-1，且a≠0．综上可得a≥-1，即实数a的取值范围是{a|a≥-1}．pμθημαz︱eiπ+1=0Page66/Total21

8课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ第二章一元二次函数、方程和不等式2023年高考真题速递1．

【2023∙乙文∙11】已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是A．1+322B．4C．1+32D．7【答案】C【分析】法一：令x-y=k，利用判别式法即可；法二：通过整理得x-22+y-12=9，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设x-y=k，利用圆

心到直线的距离小于等于半径即可.【解析】法一：令x-y=k，则x=k+y，代入原式化简得2y2+2k-6y+k2-4k-4=0，因为存在实数y，则Δ≥0，即2k-62-4×2k2-4k-4≥0，化简得k2-2k-

17≤0，解得1-32≤k≤1+32，故x-y的最大值是32+1，法二：x2+y2-4x-2y-4=0，整理得x-22+y-12=9，令x=3cosθ+2，y=3sinθ+1，其中θ∈0,2π

，则x-y=3cosθ-3sinθ+1=32cosθ+π4+1，∵θ∈0,2π，所以θ+π4∈π4,9π4，则θ+π4=2π，即θ=7π4时，x-y取得最大值32+1，法三：由x2+y2-4x-2y-4=0可得(x-2)2+(y-1)2=9，

设x-y=k，则圆心到直线x-y=k的距离d=|2-1-k|2≤3，解得1-32≤k≤1+32故选：C.2．【2023∙上海∙01】不等式|x-2|<1的解集为．【答案】:(1,3)【分析】原不等式可化为-1<x-2<1，

从而求出x的范围．【解析】由|x-2|<1可得，-1<x-2<1，解得1<x<3，即不等式的解集为(1,3)．故答案为：(1,3)．【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，属于基础题．3．【2022∙上海春∙14】若a>b>c>d，则下列不等式恒成立的是A．a+

d>b+cB．a+c>b+dC．ac>bdD．ad>bc【答案】:A【解析】:对于A，令a=2，b=1，c=-1，d=-2，满足a>b>c>d，但a+d=b+c，故A错误，对于B，∵a>b>c>d，即a>b，c>d，∴由不等式的可加性可得，a+c>b+d，故B正确，对于C，令a

=2，b=1，c=-1，d=-2，满足a>b>c>d，但ac=bd，故C错误，︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page67/Total218课堂笔记对于D，令a=2，b=1，c=-1，d=-2，满足a>b>c>d，但ad<bc，故D错误．故选：B．4．【2022∙上海春∙03】不等式x

-1x<0的解集为【答案】:(0,1)【解析】:由题意得x(x-1)<0，解得0<x<1，故不等式的解集(0,1)．故答案为：(0,1)．5．【2022∙上海夏∙14】若实数a、b满足a>b>0，下列不等式中恒成立的是A．a+b>2abB．a+b<2abC．a2+2b

>2abD．a2+2b<2ab【答案】:C【解析】:a>b>0，a+b>2ab，选A；C项可取等号；（大于为大于等于的必要条件）6．【2022∙浙江∙09】已知a，b∈R，若对任意x∈R，a|x-b|+|x-4|-|2x-5|≥0，则A．a≤1，b≥3B．a≤1，b≤3C．a≥

1，b≥3D．a≥1，b≤3【答案】:D【解析】:取x=4，则不等式为a|4-b|-3≥0，显然a≠0，且b≠4，观察选项可知，只有选项D符合题意．7．【2021全国乙文08】下列函数中最小值为4的是A．y=x2+2x+4B．y=sinx+4sinx

C．y=2x+22-xD．y=lnx+4lnx【答案】:C【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出B，D不符合题意，C符合题意.【详解】对于A，y=x2+2x+4=x+12+3≥

3，当且仅当x=-1时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；对于B，因为0<sinx≤1，y=sinx+4sinx≥24=4，当且仅当sinx=2时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为R

，而2x>0，y=2x+22-x=2x+42x≥24=4，当且仅当2x=2，即x=1时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；对于D，y=lnx+4lnx，函数定义域为0，1∪1，+∞，而lnx∈R且lnx≠0，如当lnx=-1，y=-5，D不符合题意

.故选：C.【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出.8．【2021浙江08】已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三pμθημαz︱eiπ+

1=0Page68/Total218课堂笔记个值中，大于12的个数的最大值是A．0B．1C．2D．3【答案】:C【答案】C【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤32，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结

合特例可得三式中大于12的个数的最大值.【详解】法1：由基本不等式有sinαcosβ≤sin2α+cos2β2，同理sinβcosγ≤sin2β+cos2γ2，sinγcosα≤sin2γ+cos2α2，故sinαco

sβ+sinβcosγ+sinγcosα≤32，故sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα不可能均大于12.取α=π6，β=π3，γ=π4，则sinαcosβ=14<12，sinβcosγ=64>12，sinγcosα=64>12，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.

法2：不妨设α<β<γ，则cosα>cosβ>cosγ，sinα<sinβ<sinγ，由排列不等式可得：sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤sinαcosγ+sinβcosβ+sinγcosα，而sinαcosγ+sinβcos

β+sinγcosα=sinγ+α+12sin2β≤32，故sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα不可能均大于12.取α=π6，β=π3，γ=π4，则sinαcosβ=14<12，sinβcosγ=64>12，sinγcosα=64>1

2，故三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C.【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page69/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZ§2.1.1基本事实与重要不等式一、基础必备(一)基本事实两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a=b，a<b．a>b⇔a-b>0a=b⇔a-b=0a<b⇔a-b<0⟹比较两个实数的大小，可转

化为比较它们的差与0的大小(二)重要不等式∀a，b∈R，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．【例50】(1)大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系________．(2

)雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________________．(3)若x<0，则x-2与2x-2的大小关系是________________

．(4)a2+1与a的大小关系为_________．【答案】:(1)T≤40【解析】“限重40吨”是不超过40吨的意思．(2)4.5t<28000【解析】由题意得，太阳表面温度的4．5倍小于雷电的温度，即4．5t<28000．(3)x-2>2x-2【解析】因为x-2-(2x-2)=-x>0，所

以x-2>2x-2.(4)a2+1>a【解析】因为a2+1-a=a-122+34>0，所以a2+1>a．二、题型考法(一)用不等式(组)表示不等关系(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路①读懂题意，找准不等

式所联系的量．②用适当的不等号连接．③多个不等关系用不等式组表示．(2)常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言><≥≤【例51】一辆汽车原来每

天行驶xkm，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19km，那么在8天内它的行程就超过2200km，写出不等式为____________；如果它每pμθημαz︱eiπ+1=0Page70/Total218课

堂笔记天行驶的路程比原来少12km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________________．【答案】:8(x+19)>22008xx-12>9【解析】由题意知，汽车原来每天行驶xkm,8天内它的行程超过2200km，则8

(x+19)>2200．若每天行驶的路程比原来少12km，则原来行驶8天的路程就要用9天多，即8xx-12>9．【练39】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、

90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)．【答案】:设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆、y辆，则40x+90y≤1000，x≥5，y≥6，x，y∈N*．【例52】用一段长为30m的篱笆围成一

个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于96m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式(组)表示其中的不等关系．【答案】:0<x≤18，x15-x2≥96．解由于矩形菜园靠墙的一边长

为xm，而墙长为18m，所以0<x≤18，这时菜园的另一条边长为30-x2=15-x2．因此菜园面积S=x·15-x2，依题意有S≥96，即x15-x2≥96，故该题中的不等关系可用不等式组表示为0<x≤18，x15

-x2≥96．(二)作差法比较大小作差法比较两个实数大小的基本步骤【例53】已知a，b均为正实数．(1)比较a3+b3与a2b+ab2的大小．(2)比较a5+b5与a3b2+a2b3的大小．(3)对于a

n+bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？【答案】:(1)a3+b3≥a2b+ab2；(2)a5+b5≥a3b2+a2b3；(3)an+bn≥arbn-r+an-rbr︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page71/Total

218课堂笔记【※解析※】(1)∵a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)+(b3-ab2)=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)．当a=b时，a-b=0，a3+b3=a2b+ab2；当a≠b时，(a-b)2>0，a

+b>0，a3+b3>a2b+ab2．综上所述，a3+b3≥a2b+ab2．(2)(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=a5-a3b2+b5-a2b3=a3(a2-b2)+b3(b2-a2)=(a2-b2)(a3-b3)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2)．∵a>0，b

>0，∴(a-b)2≥0，a+b>0，a2+ab+b2>0．∴a5+b5≥a3b2+a2b3．(3)若a>0，b>0，n>r，n，r∈N*，则an+bn≥arbn-r+an-rbr．【练40】比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小．【答案】:2x2+5x+3>x2+4x+2【解析】(2x

2+5x+3)-(x2+4x+2)=x2+x+1=x+122+34．∵x+122≥0，∴x+122+34≥34>0．∴(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0，∴2x2+5x+3>x2+4x+2.(三)重要不等式及其简单应用比较两个数的大小关系，最基本的方法是

利用作差法，通过逻辑推理得到差的符号，从而判定两个数的大小关系，也可以由a+1a构建重要不等式的形式，通过逻辑推理进行证明．【例54】已知a>0，求证：a+1a≥2.【证明】:利用a2+b2≥2ab．∵a>0，∴a+1

a=(a)2+1a2≥2a·1a=2.当且仅当a=1时，等号成立．方法二∵a+1a-2=(a)2+1a2-2=a-1a2≥0，∴a+1a≥2.三、巩固练习1．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为1

20km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为A．v≤120km/h且d≥10mB．v≤120km/h或d≥10mC．v≤120km/hD．d≥10m【答案】:A【解析】v的最大值为120km/h，即v≤120km/h，车间距d不得小于10

m，即d≥10m．2．完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是A．5x+4y<200B．5x+4y≥200C．5x+4y=200D．5x+4y≤200【答案】:D【

解析】依题意，得50x+40y≤2000，即5x+4y≤200．pμθημαz︱eiπ+1=0Page72/Total218课堂笔记3．一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________．【答案】

:10y+x>70【解析】∵该两位数可表示为10y+x，∴10y+x>70．4．设m=2a2+2a+1，n=(a+1)2，则m，n的大小关系是________．【答案】:m≥n【解析】∵m-n=2a2+

2a+1-(a+1)2=a2≥0．∴m≥n．5．若实数a>b，则a2-ab________ba-b2．(填“>”或“<”)【答案】:>【解析】因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2，又a>b

，所以(a-b)2>0．6．下面能表示“a与b的和是非正数”的不等式为A．a+b<0B．a+b>0C．a+b≤0D．a+b≥0【答案】:C【解析】a与b的和是非正数，即a+b≤0．7．若x∈R，y∈R，则A．x2+y2>2xy-1B．x2+y2=2x

y-1C．x2+y2<2xy-1D．x2+y2≤2xy-1【答案】:A【解析】因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0，所以x2+y2>2xy-1．8．已知0<a1<

1,0<a2<1，记M=a1a2，N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是A．M<NB．M>NC．M=ND．M≥N【答案】:B【解析】∵0<a1<1,0<a2<1，∴-1<a1-1<0，-1<a2-1<0，∴M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2

-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0，∴M>N．9．某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量可用含绝对值的不等式表示为________．【答案】:|x-500|≤1︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page7

3/Total218课堂笔记【解析】∵某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则-1≤x-500≤1，∴|x-500|≤1．10．若x=(a+3)(a-5)，y=(a+2)(a-4)，则x与y的大小关系是________．【答案】:x<y【解析】

因为x-y=(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0，所以x<y．11．若x∈R，则x1+x2与12的大小关系为________．【答案】:x1+x2≤12【解析】∵x1+x2-12=2x-1-x221+x2=-x-122

1+x2≤0，∴x1+x2≤12．12．已知x∈R且x≠-1，比较11+x与1-x的大小．【答案】:当x<-1时，11+x<1-x；当x=0时，11+x=1-x；当-1<x<0或x>0时，11+x>1-x解∵11+x-(1-x)=1-1-x21+

x=x21+x，当x=0时，x21+x=0，∴11+x=1-x；当1+x<0，即x<-1时，x21+x<0，∴11+x<1-x；当1+x>0且x≠0，即-1<x<0或x>0时，x21+x>0，∴11+x>1-x．综上，当x<-1时，11+x<1-x；当x=0时，

11+x=1-x；当-1<x<0或x>0时，11+x>1-x．13．足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每

辆车坐5人，有的车未坐满．则A队有出租车A．11辆B．10辆C．9辆D．8辆pμθημαz︱eiπ+1=0Page74/Total218课堂笔记【答案】:B【解析】设A队有出租车x辆，则B队有出租车(x+3)辆，由题意，得5x<56，6x

>56，4x+3<56，5x+3>56，x∈N*解得x<1115，x>913，x<11，x>815．∴913<x<11．而x为正整数，故x=10．14．已知a1>1

，a2>1，设P=1a1+1a2，Q=1a1a2+1，则P与Q的大小关系为A．P>QB．P<QC．P=QD．不确定【答案】:B【解析】P-Q=1a1+1a2-1a1a2+1=a1+a2a1a2-1+a1a2a1a2=a1-1+a21-a1a1a2=a1-1

1-a2a1a2．因为a1>1，a2>1，所以a1-1>0,1-a2<0，a1a2>0，所以P-Q=a1-11-a2a1a2<0，所以P<Q．15．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计

产值如下：产品种类每件需要人员数每件产值(万元/件)A类127.5B类136今制定计划欲使总产值最高，则A类产品应生产________件，最高产值为________万元．【答案】:20330【解析】设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50-x)件，则x2+50-x3≤20，解得x

≤20．由题意，得总产值y=7．5x+6×(50-x)=300+1．5x≤330，当且仅当x=20时，y取得最大值330．所以应开发A类电子器件20件，能使点产值最高，最高产值为330万元．16．若a1<a2，b1<b2，则a1b1+a2

b2________a1b2+a2b1．(填“>”“<”或“=”)【答案】:>【解析】a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1)=a1(b1-b2)+a2(b2-b1)=(b1-b2)(a1-a2)，∵a1<a2，b1<b2，∴b1-b2<0，a1-a2<0，∴(b1-b2

)(a1-a2)>0，∴a1b1+a2b2>a1b2+a2b1．17．已知a，b，c满足b+c=3a2-4a+6，b-c=a2-4a+4，则a，b，c的大小关系为_︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page75/Total218课堂笔记

_______．【答案】:b≥c>a【解析】∵b-c=a2-4a+4=(a-2)2≥0，∴b≥c．由题意，得方程组b-c=a2-4a+4，b+c=3a2-4a+6．解得b=2a2-4a+5，c=a2+1．∵c-a=a2-a+1=a-122+34>0，∴c>a，∴b

≥c>a．pμθημαz︱eiπ+1=0Page76/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZ§2.1.2等式性质与不等式性质一、基础必备(一)等式的基本性质1．如果a=b，那么b=a．2．如果a=b，b=c，那么a=c．3．如果a=b，那么a±c=b±c．4．如果a=b，那么ac=bc．5．如果a=b，c≠0，那么ac=bc．(二)不等式的性质性质别名性质内容注

意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a+c>b+c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a+c>b+d同向6同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>b

n(n∈N，n≥2)同正【例55】基础练习之判断正误(1)若a>b，则a-c>b-c．(T)(2)ab>1⇒a>b．(F)(3)a>b⇔ac2>bc2．(F)(4)a>b⇔a+c>b+c．(T)(5)a>b，c>d⇔a+c

>b+d．(F)二、题型考法(一)利用不等式的性质判断命题的真假利用不等式性质判断命题真假的注意点(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进

行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．【例56】对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>b>0，则1a>1bC．若a<b<0，则ba>abD．若a>b，1a>1

b，则a>0，b<0︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page77/Total218课堂笔记【答案】:D【解析】方法一∵c2≥0，∴c=0时，有ac2=bc2，故A为假命题；由a>b>0，有ab>0⇒aab>bab⇒1b>1a，

故B为假命题；a<b<0⇒-a>-b>0⇒-1b>-1a>0，a<b<0⇒-a>-b>0⇒ab>ba，故C为假命题；a>b⇒b-a<0，1a>1b⇒1a-1b>0⇒b-aab>0⇒ab<0．∵a>b，∴a>0且b<0，故D为真命题．方法二特殊值排除法．取

c=0，则ac2=bc2，故A错．取a=2，b=1，则1a=12，1b=1．有1a<1b，故B错．取a=-2，b=-1，则ba=12，ab=2，有ba<ab，故C错．【练41】(多选)若1a<1b<0，则下面四个不等式成立的有A．|a|>|b|B．a<bC．a+b<a

bD．a3>b3【答案】:CD【解析】由1a<1b<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，A，B均不正确；a+b<0，ab>0，则a+b<ab成立，C正确；a3>b3，D正确．(二)利用不等式的性质证明简单的不等式

利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意

构造性质与法则．【例57】若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：ea-c2>eb-d2．证明∵c<d<0，∴-c>-d>0．又∵a>b>0，∴a-c>b-d>0．∴(a-c)2>(b-d)2>0．两边同乘以1a-c2b-

d2，得1a-c2<1b-d2．又e<0，∴ea-c2>eb-d2．【练42】若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：ea-c>eb-d．证明方法一∵c<d<0，∴-c>-d>0．又a>b>0，∴a-c>b-d>0，∴0<1a-c<

1b-d．∵e<0，∴ea-c>eb-d，不等式得证．方法二ea-c-eb-d=e[b-d-a-c]a-cb-d=e[b-a+c-d]a-cb-d．∵a>b>0，c<d<0，∴-c>-d>0．∴a-c>0，b-d>0，b-a<0，c-d<0．pμθημαz︱eiπ

+1=0Page78/Total218课堂笔记∴b-a+c-da-cb-d<0，又∵e<0，∴e[b-a+c-d]a-cb-d>0，∴ea-c>eb-d．【练43】若bc-ad≥0，bd>0，求证：a

+bb≤c+dd．【证明】:∵bc-ad≥0，∴bc≥ad，∴bc+bd≥ad+bd，即b(c+d)≥d(a+b)．又bd>0，两边同除以bd得，a+bb≤c+dd．方法二a+bb-c+dd=a+bd-c+dbbd=ad-bcbd，∵bc-ad≥0，∴ad-bc≤0，又bd>0，

∴ad-bcbd≤0，即a+bb≤c+dd．(三)利用不等式的性质求范围利用不等式的性质求取值范围的策略(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异

向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．【例58】已知：3<a+b<4,0<b<1，求下列各

式的取值范围．(1)a；(2)a-b；(3)ab．【答案】:(1)2<a<4；(2)1<a-b<4；(3)ab>2证明(1)∵3<a+b<4，又∵0<b<1，∴-1<-b<0，∴2<a+b+(-b)<4，即2<a<4．(2)∵0<b

<1，∴-1<-b<0．又∵2<a<4，∴1<a-b<4．(3)∵0<b<1，∴1b>1，又∵2<a<4，∴ab>2.【练44】已知0<a+b<2，-1<b-a<1，则2a-b的取值范围是________．

【答案】:-32<2a-b<52【解析】因为0<a+b<2，-1<-a+b<1，且2a-b=12(a+b)-32(-a+b)，结合不等式的性质可得，-32<2a-b<52．三、巩固练习1．与a>b等价的不等式是A．|a|>|b|B．a2>b2C

．ab>1D．a3>b3【答案】:D【解析】可利用赋值法．令a=1，b=-2，满足a>b，但|a|<|b|，a2<b2，ab=-12<1，故A，B，C都不正确．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page79/Total218课堂笔记2．已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是A．a>b⇒ac2>bc2B

．ac>bc⇒a>bC．a>b，ab<0⇒1a>1bD．ab>0，a>b⇒1a>1b【答案】:C【解析】当c=0时，A不成立；当c<0时，B不成立；ab<0，a>b⇒aab<bab，即1a>1b，C成立．同理可证D不成立．3．设a，b∈R，若a+|b|<0，则下列

不等式中正确的是A．a-b>0B．a3+b3>0C．a2-b2<0D．a+b<0【答案】:D【解析】本题可采用特殊值法，取a=-2，b=1，则a-b<0，a3+b3<0，a2-b2>0，a+b=-1<0故A，B，C错误，D正确．4．设x>1，-1<y<0，试将x，y，-y按

从小到大的顺序排列如下：_______．【答案】:y<-y<x【解析】∵-1<y<0，∴0<-y<1，∴y<-y，又x>1，∴y<-y<x．5．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是A．1a<1bB．-a<bC．a2<b2D．|a|>|b|【答案】:A【解析】∵a<0，b>0，

∴1a<0，1b>0，∴1a<1b．6．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是A．若a>b，c>d，则a+b>c+dB．若a>-b，则c-a<c+bC．若a>b，c<d，则ac>bdD．若a2>b2，则-a<-b【答案】:B【解析】选项A，取a

=1，b=0，c=2，d=1，则a+b<c+d，A错误；选项B，因为a>-b，所以-a<b，所以c-a<c+b，则B正确；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0<d时，不成立；选项D只有a>b>0时才可以．否则

如a=-1，b=0时不成立．7．设a>1>b>-1，则下列不等式中恒成立的是A．1a<1bB．1a>1bC．a2>2bD．a>b2【答案】:D【解析】A错，例如a=2，b=-12时，1a=12，1b=-2，此时，1a>1b；B错，例如a=pμθημαz︱eiπ

+1=0Page80/Total218课堂笔记2，b=12时，1a=12，1b=2，此时，1a<1b；C错，例如a=54，b=1516时，a2=2516，2b=3016，此时a2<2b；由a>1，b2<1得a>b2，故D正确．8．已知a<0，b<-1，则下列不等式成立

的是A．a>ab>ab2B．ab2>ab>aC．ab>a>ab2D．ab>ab2>a【答案】:D【解析】由题意知ab>0，b2>1，∴0<1b2<1，又a<0，∴a<ab2<0，∴ab>ab2>a．9．若1<a<3，-4<b<2，那么a-|b|的范围是A．-3

<a-|b|≤3B．-3<a-|b|<5C．-3<a-|b|<3D．1<a-|b|<4【答案】:C【解析】∵-4<b<2，∴0≤|b|<4，∴-4<-|b|≤0．又∵1<a<3，∴-3<a-|b|<3．10．若a

>b>0，则a+1b_____b+1a．(用“<”“>”或“=”填空)【答案】:>【解析】方法一∵a>b>0，∴0<1a<1b，即1b>1a>0，∴a+1b>b+1a．方法二a+1b-b+1a=a-b1+abab，∵a>b>0，∴a-b>0，ab>0,1+ab>0，∴a-b

1+abab>0，即a+1b>b+1a．11．给出下列命题：①a>b⇒ac2>bc2；②a>|b|⇒a2>b2；③a>b⇒a3>b3；④|a|>b⇒a2>b2．其中正确命题的序号是______．【答案】:②③【解析】①当c2=0时不成立；②一定成立；③当a>b时

，a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)·a+b22+34b2>0成立；④当b<0时，不一定成立．如|2|>-3，但22<(-3)2．12．已知1<α<3，-4<β<2，若z=12α-β，则z的取值范围是________．【答案】:z-32<z<

112【解析】∵1<α<3，∴12<12α<32，又-4<β<2，∴-2<-β<4．∴-32<12α-β<112，即-32<z<112．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page81/Total218课堂笔记13．已知x>y>z，x+y+z=0，则下列不等式中一定成立的是A．xy>

yzB．xz>yzC．xy>xzD．x|y|>z|y|【答案】:C【解析】因为x>y>z，x+y+z=0，所以3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0，所以x>0，z<0．所以由x>0，y>z，可得xy>xz．14．有外表一样，重量不同的四个

小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a+b=c+d，a+d>b+c，a+c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是A．d>b>a>cB．b>c>d>aC．d>b>c>aD．c>a>d>b【答案】:A

【解析】∵a+b=c+d，a+d>b+c，∴a+d+(a+b)>b+c+(c+d)，即a>c．∴b<d．又a+c<b，∴a<b．综上可得，d>b>a>c．15．已知-1≤x+y≤4，且2≤x-y≤3，则z=2x-3y的取值范围是______．【答案】:3≤

z≤8【解析】∵z=-12(x+y)+52(x-y)，-2≤-12(x+y)≤12，5≤52(x-y)≤152，∴3≤-12(x+y)+52(x-y)≤8，∴3≤z≤8．16．设a，b为正实数，有下列命题：①若a2-b2=1，则a-b<1；②若1b-1a=1，则a-b<1；③

若|a-b|=1，则|a-b|<1．其中正确的命题为________(写出所有正确命题的序号)．【答案】:①【解析】对于①，由题意a，b为正实数，则a2-b2=1⇒a-b=1a+b⇒a-b>0⇒a>b>0，故a+b>a-b>0．若a-

b≥1，则1a+b≥1⇒a+b≤1≤a-b，这与a+b>a-b>0矛盾，故a-b<1成立．对于②，取特殊值，a=3，b=34，则a-b>1．对于③，取特殊值，a=9，b=4时，|a-b|>1．17．若x

>0，y>0，M=x+y1+x+y，N=x1+x+y1+y，则M，N的大小关系是A．M=NB．M<NC．M≤ND．M>N【答案】:B【解析】∵x>0，y>0，∴x+y+1>1+x>0,1+x+y>1+y>0，∴x1

+x+y<x1+x，y1+x+y<y1+y，pμθημαz︱eiπ+1=0Page82/Total218课堂笔记故M=x+y1+x+y=x1+x+y+y1+x+y<x1+x+y1+y=N，即M<N．解∵二次函数y=ax2+bx+c图象过原点，

∴c=0，∴y=ax2+bx．又∵当x=-1时，1≤a-b≤2.①当x=1时，3≤a+b≤4，②∴当x=-2时，y=4a-2b．设存在实数m，n，使得4a-2b=m(a+b)+n(a-b)，而4a-2b=(m+n)a

+(m-n)b，∴m+n=4，m-n=-2，解得m=1，n=3，∴4a-2b=(a+b)+3(a-b)．由①②可知3≤a+b≤4,3≤3(a-b)≤6，∴3+3≤4a-2b≤4+6．即6≤4a-2b≤10，故当x=-2时，y的取值范围是大于等于6且小于等于10．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯

Page83/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§2.2.1基本不等式一、基础必备(一)基本不等式1．基本不等式：如果a>0，b>0，ab≤a+b2，当

且仅当a=b时，等号成立．其中a+b2叫做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．2.变形：ab≤a+b22，a，b∈R，当且仅当a=b时，等号成立．a+b≥2ab，a，b都是正数，当且仅当a=b时，等号成立．【例59】基础练习之判断正误(1)若a>0，b>0且a≠

b，则a+b>2ab．(T)(2)若a>0，b>0，则ab≤a+b22．(T)(3)对任意a，b∈R，a2+b2≥2ab，a+b≥2ab均成立．(F)(4)若a≠0，则a+1a≥2a·1a=2.(F)二、题型考法(一)对基本不等式的理解对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个

方面(1)不等式成立的条件是a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a=b时，ab≤a+b2的等号成立，即a=b⇒a+b2=ab；仅当a=b时，a+b2≥ab的等号成立，即a+b2=ab⇒a=b．【例60】(多选)下面四个推导过程正确的有A．若a，b为正实数，则ba+ab≥2ba·ab=2

B．若a∈R，a≠0，则4a+a≥24a·a=4C．若x，y∈R，xy<0，则xy+yx=--xy+-yx≤-2-xy-yx=-2D．若a<0，b<0，则a2+b22≤ab【答案】:AC【解析】A中，∵a，b为正实数，∴ba

，ab为正实数，符合基本不等式的条件，A正确．B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴4a+a≥24a·a=4是错误的．C中，由xy<0，得xy，yx均为负数，但在推导过程中将整体xy+yx提出负号后，-xy，-yx均变为正数，符合基本不等式的条件，故C

正确；D中，对任意的a，b∈R，都有a2+b2≥2ab，即a2+b22≥ab，所以D不正确．【练45】下列不等式的推导过程正确的是______．pμθημαz︱eiπ+1=0Page84/Total2

18课堂笔记①若x>1，则x+1x≥2x·1x=2；②若x<0，则x+4x=--x+-4x≤-2-x·-4x=-4；③若a，b∈R，则ba+ab≥2ba·ab=2.【答案】:②【解析】①中忽视了基本不

等式等号成立的条件，当x=1x，即x=1时，等号成立，因为x>1，所以x+1x>2；③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件．(二)利用基本不等式比较大小运用基本不等式比较大小的注意点(1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形．

(2)应注意成立的条件，即a+b≥2ab成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a=b；a2+b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a=b．【例61】如果0<a<b<1，P=a+b2，Q=ab，M=a+b，那么P，Q，M的大小顺

序是A．P>Q>MB．M>P>QC．Q>M>PD．M>Q>P【答案】:B【解析】∵a>0，b>0，∴a+b2≥ab，当且仅当a=b时，等号成立，又∵0<a<b，∴取不到等号，∴a+b2>ab又因为a+b2<a+b，由a+b>a+b24也就是a+b4<1可得，所以a+b>a+b2>ab．

故M>P>Q．【练46】设a，b为非零实数，给出下列不等式：①a2+b22≥ab；②a2+b22≥a+b22；③a+b2≥aba+b；④ab+ba≥2.其中恒成立的是________．(填序号)【答案】:①②【解析】由重要不等式a2+b2≥2ab，可知①正确；a2+b22

=2a2+b24=a2+b2+a2+b24≥a2+b2+2ab4=a+b24=a+b22，可知②正确；当a=b=-1时，不等式的左边为a+b2=-1，右边为aba+b=-12，可知③不正确；当a=1，b=-1时，可知④不正确．【练47

】比较大小：x2+2x2+1________2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)【答案】:≥︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page85/Total218课堂笔记【解析】由题意，得x2+1≥1，x2+2x2

+1=x2+1+1x2+1=x2+1+1x2+1≥2，当且仅当x2+1=1x2+1．即x=0时，等号成立．(三)利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的

性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，

证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用．【例62】已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1．求证：1a-11b-11c-1≥8．【证明】:因为a，b，c均为正实数，a+b+c=1，所以1a-1=1-aa

=b+ca≥2bca，同理1b-1≥2acb，1c-1≥2abc．上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1a-11b-11c-1≥2bca·2acb·2abc=8．当且仅当a=b=c=13时，等号成立．【练48】

已知a，b，c均为正实数，且a+b+c=1．求证：1a+1b+1c≥9．【证明】:1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9，当且仅当a=

b=c=13时，等号成立．【练49】已知a>0，b>0，且a+b=1a+1b，求证：a+b≥2.【证明】:由a>0，b>0，则a+b=1a+1b=a+bab，由于a+b>0，则ab=1，即a+b≥2ab=2，当且仅当a=b=1时，等号成立，

所以a+b≥2.三、巩固练习1．已知0<a<1,0<b<1，且a≠b，下列各式中最大的是A．a2+b2B．2abC．2abD．a+b【答案】:D【解析】∵0<a<1,0<b<1，∴a2<a，b2<b，∴a2+b2<a+b，又a2+b2>2ab(a≠b)，∴2ab<a2+b2<a+b．又∵a+

b>2ab(a≠b)，∴a+b最大．2．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是pμθημαz︱eiπ+1=0Page86/Total218课堂笔记A．a>a+b2>ab>bB．b>ab>a+b2>aC．b>a+b

2>ab>aD．b>a>a+b2>ab【答案】:C【解析】∵0<a<b，∴2b>a+b，∴b>a+b2>ab．又∵b>a>0，∴ab>a2，∴ab>a．故b>a+b2>ab>a．3．如果正数a，b，c，d满足a+b=cd=4，那么A．ab≤c+d，且等号成

立时，a，b，c，d的取值唯一B．ab≥c+d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一C．ab≤c+d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一D．ab≥c+d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一【答案】:A【解析】因为a+b=cd=4，所以由基

本不等式，得a+b≥2ab，故ab≤4．又因为cd≤c+d24，所以c+d≥4，所以ab≤c+d，当且仅当a=b=c=d=2时，等号成立．4．(多选)下列条件可使ba+ab≥2成立的有A．ab>0B．ab<0C．a>0，b>0D．a<0，b<0【答案】

:ACD【解析】根据基本不等式的条件，a，b同号，则ba>0，ab>0．5．设t=a+2b，s=a+b2+1，则t与s的大小关系是A．s≥tB．s>tC．s≤tD．s<t【答案】:A【解析】∵b2+1≥2b(当且仅当b=1时等号成立)

，∴a+2b≤a+b2+1．∴t≤s．6．a，b∈R，则a2+b2与2|ab|的大小关系是A．a2+b2≥2|ab|B．a2+b2=2|ab|C．a2+b2≤2|ab|D．a2+b2>2|ab|【答案】:A【解析】∵a2+b2-2|a

b|=(|a|-|b|)2≥0，∴a2+b2≥2|ab|(当且仅当|a|=|b|时，等号成立)．7．下列不等式中正确的是A．a+4a≥4B．a2+b2≥4abC．ab≥a+b2D．x2+3x2≥23︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page87

/Total218课堂笔记【答案】:D【解析】若a<0，则a+4a≥4不成立，故A错；若a=1，b=1，则a2+b2<4ab，故B错；若a=4，b=16，则ab<a+b2，故C错；由基本不等式可知D项正确．8．小王从甲地到乙地往返的时速

分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则A．a<v<abB．v=abC．ab<v<a+b2D．v=a+b2【答案】:A【解析】设甲、乙两地的距离为s，则v=2ssa+sb=21a+1b．由于a<b，∴1a+1b<2a，∴v>a，又1a+1b

>21ab，∴v<ab．故a<v<ab．9．已知a，b是不相等的正数，x=a+b2，y=a+b，则x，y的大小关系是___．【答案】:x<y【解析】x2=a+b+2ab2，y2=a+b=a+b+a+b2．∵

a+b>2ab(a≠b)，∴x2<y2，∵x，y>0，∴x<y．10．已知a>b>c，则a-bb-c与a-c2的大小关系是___________．【答案】:a-bb-c≤a-c2【解析】因为

a>b>c，所以a-b>0，b-c>0，所以a-c2=a-b+b-c2≥a-bb-c，当且仅当a-b=b-c时，等号成立．11．设a>0，b>0，给出下列不等式：①a2+1>a；②a+1

ab+1b≥4；③(a+b)1a+1b≥4；④a2+9>6a．其中恒成立的是________．(填序号)【答案】:①②③【解析】由于a2+1-a=a-122+34>0，故①恒成立；由于a+

1ab+1b=ab+1ab+ba+ab≥2ab·1ab+2ba·ab=4．当且仅当pμθημαz︱eiπ+1=0Page88/Total218课堂笔记ab=1ab，ba=ab，即a=b=1时，等号成立，故②恒成立；由于(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥2+

2ba·ab=4．当且仅当ab=ba，即a=b时等号成立，故③恒成立；当a=3时，a2+9=6a，故④不恒成立．综上，①②③正确．12．下列不等式一定成立的是A．x+1x≥2B．x2+2x2+2≥2C．x2+3x2+4≥2D．2-3x-4x≥2【答案】:B【解析】A项中，当x

<0时，x+1x<0<2，∴A错误；B项中，x2+2x2+2=x2+2≥2，∴B正确；C项中，当x=0时，x2+3x2+4=32<2，∴C错误；D项中，取x=1,2-3x-4x<2，∴D错误．13．已知a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是A．a+b+1ab≥22B．(a+b)1a+1

b≥4C．a2+b2ab≥2abD．2aba+b>ab【答案】:D【解析】a+b+1ab≥2ab+1ab≥22，当且仅当a=b=22时，等号成立，A成立；(a+b)1a+1b≥2ab·21ab=4，当且仅当a=b

时，等号成立，B成立；∵a2+b2≥2ab>0，∴a2+b2ab≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立，C成立；∵a+b≥2ab，a>0，b>0，∴2aba+b≤1，2aba+b≤ab，当且仅当a=b时，等号成立，D不成立．14．若a>0，b>0，a+b=2，则下列不等式①ab≤1；

②a+b≤2；③a2+b2≥2；④1a+1b≥2，对满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号)︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page89/Total218课堂笔记【答案】:①③④【解析】因为ab≤a+b22=1，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以①正确；

因为(a+b)2=a+b+2ab=2+2ab≤2+a+b=4，故②不正确；所以a+b≤2，当且仅当a=b=1时，等号成立，a2+b2≥a+b22=2，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以③正确；1a+1b=a+bab=2ab≥2，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以④正确．15．已知a，b，

c是两两不等的实数，则p=a2+b2+c2与q=ab+bc+ca的大小关系是__________．【答案】:a2+b2+c2>ab+bc+ac【解析】∵a，b，c互不相等，∴a2+b2>2ab，b2+c2>2ac，a2+c2>2ac．∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac)．即a2+b2+

c2>ab+bc+ac．16．已知a，b都是正数，求证：21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22．证明∵1a+1b≥21ab，∴11a+1b≤121ab，即21a+1b≤ab．又∵a+b22=a2+2ab+b24≤a2+a2+b2+b24=a2+b22，∴a

+b2≤a2+b22．又由基本不等式得a+b2≥ab，故21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22(当且仅当a=b时，等号成立)．pμθημαz︱eiπ+1=0Page90/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§2.2.2基本不等式的应用一、基础必备(一)用基本不等式求最值用基本不等式x+y2≥xy求最值应注意：(1

)x，y是正数．(2)①如果xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P；②如果x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2．(3)讨论等号成立的条件是否满足．【例63】(1)不等式(x-2y)+1x-2y≥2成立的前提条件为________

．(2)已知正数a，b满足ab=10，则a+b的最小值是________．(3)已知m，n∈R，m2+n2=100，则mn的最大值是________．(4)已知0<x<12，则y=x(1-2x)的最大值为________．【答案】:(1)x>2y【解析】因

为不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以x-2y>0，即x>2y．(2)210【解析】a+b≥2ab=210，当且仅当a=b=10时，等号成立．(3)50【解析】m2+n2≥2mn，∴mn≤m2+n

22=50．当且仅当m=n=±52时等号成立．(4)18【解析】由题意知1-2x>0，则y=x(1-2x)=12·2x·(1-2x)≤122x+1-2x22=18，当且仅当2x=1-2x，即x=14时，等号成立．二、题型考法(一)利用基本不等式求最值基本不等式求最值的两种常用方法(1)拼凑法

，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件．(2)常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利

用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．【例64】(1)若x<0，求12x+3x的最大值；(2)若x>2，求1x-2+x的最小值；︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page91/Total218课堂笔记(3)已知x>0，y>0，且满足8x+1

y=1．求x+2y的最小值．【答案】:(1)-12；(2)4；(3)18【解析】(1)因为x<0，所以12x+3x=--12x+-3x≤-2-12x·-3x=-12，当且仅当-12x=-3x，即x=-2时，等号成立，所以

12x+3x的最大值为-12.(2)因为x>2，所以x-2>0，1x-2+x=1x-2+x-2+2≥2x-2·1x-2+2=4，当且仅当x-2=1x-2，即x=3时，等号成立，所以1x-2+x的最小值为4．(3)因为x

>0，y>0，8x+1y=1，所以x+2y=(x+2y)·8x+1y=8+16yx+xy+2=10+16yx+xy≥10+216=18，当且仅当16yx=xy，即x=12，y=3时等号成立，所以x+2y的最小值为18．【练

50】若x+2y=1，求8x+1y的最小值．【答案】:18解因为x>0，y>0，所以8x+1y=(x+2y)8x+1y=8+16yx+xy+2=10+16yx+xy≥10+216=18，当且仅当16yx=xy，x+2y=1，即x=23，y=16时，等号成立，所以8x+1y的最小值为18．【练5

1】若x+8y=xy，求x+2y的最小值．【答案】:18解因为x>0，y>0，由x+8y=xy，两边同时除以xy，可得8x+1y=1，所以x+2y=8x+1y(x+2y)=10+xy+16yx≥10+2xy·16yx=18，当且仅当8x+1y=1，xy=16yx，即x=

12，y=3时，等号成立，所以当x=12，y=3时，x+2y的最小值为18．【例65】(1)当x>0时，求12x+4x的最小值；(2)当x>1时，求2x+8x-1的最小值．【答案】:(1)83；(2)10；【解析】(1)∵x>0，∴12x>0,4x>0．∴12x+4x≥212x·4x=83．

当且仅当12x=4x，即x=3时，等号成立，∴当x>0时，12x+4x的最小值为83．pμθημαz︱eiπ+1=0Page92/Total218课堂笔记(2)2x+8x-1=2x-1+4x-1+2，∵x>1，∴x-1>0，∴2x

+8x-1≥2×24+2=10，当且仅当x-1=4x-1，即x=3时，等号成立．∴当x>1时，2x+8x-1的最小值为10．(二)基本不等式的实际应用利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本

不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．(2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求出函数最大值或最小值．【例66】长征系列运载火箭的设计生产

采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料(kx2+9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．(1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数；(2)要使生产1000千克该产品

消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？【答案】:(1)y=mx(kx2+9)=mx+9x，1≤x≤10．(2)选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6000千克．【解析】(1)由题意，得k+9=10，即k=1，生产m千克该产品需要的时间

是mx，所以y=mx(kx2+9)=mx+9x，1≤x≤10．(2)由(1)知，生产1000千克该产品消耗的A材料为y=1000x+9x≥1000×29=6000(千克)，当且仅当x=9x，即x=3时，等号成立，故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最

少，最少为6000千克．【练52】某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【答案】:两

边长分别为40m,20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648m2【※解析※】设矩形的一边长为xm，则另一边长为800xm，因此种植蔬菜的区域宽为(x-4)m，长为800x-2m．由x-4>0，800x-2>0，得4<x<400，所

以其面积S=(x-4)·800x-2=808-2x+3200x︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page93/Total218课堂笔记≤808-22x·3200x=808-160=648(m2)．当且仅当2x=3200x，即x=40时，等号成立．因此当矩形温室的两边长分别为4

0m,20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648m2．(三)基本不等式的综合应用求参数的值或取值范围的一般方法(1)分离参数，转化为求代数式的最值问题．(2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参

数的值或取值范围．【例67】已知4x+ax(x>0，a>0)在x=3时取得最小值，则a的值为_____．【答案】:36【解析】4x+ax≥24x·ax=4a，当且仅当4x=ax，即a=4x2=36时，等号成立，∴a=36．【例68】已知a>0，b>0，若不等式2a+1b≥m2a+b恒成

立，则m的最大值等于___．A．10B．9C．8D．7【答案】:B【解析】因为a>0，b>0，所以2a+b>0，所以要使2a+1b≥m2a+b恒成立，只需m≤(2a+b)2a+1b恒成立，而(2a+b

)2a+1b=4+2ab+2ba+1≥5+4=9，当且仅当a=b时，等号成立，所以m≤9．(四)基本不等式在实际问题中的应用【例69】如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．(1)设

场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试将y表示成x的表达式．(2)怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【答案】:(1)y=x(l-3x)；(2)长为l2，宽为l6时，最大面积为l212．【解析】(1)由题意，得由x>0，且l-3x>0，可得x的范围为0<x<13l

．(2)y=x(l-3x)=13×3x(l-3x)≤133x+l-3x22=l212，当且仅当3x=l-3x，即x=l6时，等号成立，此时l-3x=l2，因此当围成的长方形场地的长为l2，宽为l6时，这块长方形场地的面

积最大，这时的长为l-3x=l2，最大面积为l212．pμθημαz︱eiπ+1=0Page94/Total218课堂笔记[素养提升]数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程，其一般步骤是：建模→解模→回归验证．三、巩固练习1．下

列等式中最小值为4的是A．y=x+4xB．y=2t+1tC．y=4t+1t(t>0)D．y=t+1t【答案】:C【解析】A中x=-1时，y=-5<4；B中t=-1时，y=-3<4；C中y=4t+1t≥24t·

1t=4，当且仅当t=12时，等号成立；D中t=-1时，y=-2<4．2．设x，y满足x+y=40，且x，y都是正数，则xy的最大值是A．400B．100C．40D．20【答案】:A【解析】∵xy≤x+y2(x>0，y>0)，∴xy≤x+y22=4022=400．当且仅当x=y=

20时，等号成立．3．设x>0，则3-3x-1x的最大值是A．3B．3-22C．-1D．3-23【答案】:D【解析】∵x>0，∴3x+1x≥23x·1x=23，当且仅当x=33时，等号成立，∴-3x+1x≤-23，则

3-3x-1x≤3-23．4．如果a>0，那么a+1a+2的最小值是．【答案】:4【解析】因为a>0，所以a+1a+2≥2a·1a+2=2+2=4，当且仅当a=1时等号成立．5．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器

生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*)，则当每台机器运转年时，年平均利润最大，最大值是万元．【答案】:58【解析】每台机器运转x年的年平均

利润为yx=18-x+25x，且x>0，故yx≤18-225=8，当且仅当x=5时，等号成立，︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page95/Total218课堂笔记所以，当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．6．已知x>0，则9x+x的最小值为A．6B．5C．4D．3【答案】:A

【解析】∵x>0，∴9x+x≥2x·9x=6，当且仅当x=9x，即x=3时，等号成立．7．已知x>-2，则x+1x+2的最小值为A．-12B．-1C．2D．0【答案】:D【解析】∵x>-2，∴x+2>0，∴x+1x+2=x+2+1x+2-

2≥2-2=0，当且仅当x=-1时，等号成立．8．若正实数a，b满足a+b=2，则ab的最大值为A．1B．22C．2D．4【答案】:A【解析】由基本不等式得，ab≤a+b22=1，当且仅当a=b=1时，等号成立．9．

(多选)设y=x+1x-2，则A．当x>0时，y有最小值0B．当x>0时，y有最大值0C．当x<0时，y有最大值-4D．当x<0时，y有最小值-4【答案】:AC【解析】当x>0时，y=x+1x-2≥2x·1x-2=2-2=0，当且仅当x=1x，即x=1时，等号成立，

故A正确，B错误；当x<0时，y=--x+1-x-2≤-2-2=-4，当且仅当-x=1-x，即x=-1时，等号成立，故C正确，D错误．10．已知x>0，y>0，且x+y=8，则(1+x)(1+y)的最大值为A．16B．25C．9D．36

【答案】:B【解析】(1+x)(1+y)≤1+x+1+y22=2+x+y22=2+822=25，当且仅当1+x=1+y，即x=y=4时，等号成立．11．已知a>0，b

>0，则1a+1b+2ab的最小值是．pμθημαz︱eiπ+1=0Page96/Total218课堂笔记【答案】:4【解析】∵a>0，b>0，∴1a+1b+2ab≥21ab+2ab≥41ab·ab=4，当且仅当a=b=1时，等号成立．12．若正数m，n满足2m+

n=1，则1m+1n的最小值为．【答案】:3+22【解析】∵2m+n=1，则1m+1n=1m+1n(2m+n)=3+2mn+nm≥3+22，当且仅当n=2m，即m=1-22，n=2-1时，等号成立，即最小值为3+22．13．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器

的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是元．【答案】:160【解析】设底面矩形的一边长为x，由容器的容积为4m3，高为1m，得另一边长为4xm．记容器的总造价为y元，则y=4×20+2x+4x×1×10=80+20x+4x≥80+20×2x·4

x=160，当且仅当x=4x，即x=2时，等号成立．因此当x=2时，y取得最小值160，即容器的最低总造价为160元．14．(1)已知x<3，求4x-3+x的最大值；(2)已知x，y是正实数，且x+y=4，求1x+3y的最小值．【

答案】:(1)-1；(2)1+32【解析】(1)∵x<3，∴x-3<0，∴4x-3+x=4x-3+(x-3)+3=-43-x+3-x+3≤-243-x·3-x+3=-1，当且仅当43-x=3-x，即x=1时，等号成立，∴4x-

3+x的最大值为-1．(2)∵x，y是正实数，x+y=4，∴1x+3y=1x+3y·x+y4=144+yx+3xy≥1+234=1+32，当且仅当yx=3xy，即x=2(3-1)，y=2(3-3)时等号成

立．故1x+3y的最小值为1+32．15．(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有A．(1,4)B．(6,8)C．(7,12)D．3，12︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page97/Total218课堂笔

记【答案】:AC【解析】设矩形的长和宽分别为x，y，则x+y=12l，S=xy．由xy≤x+y22知，S≤l216，故AC成立．16．已知x>-1，则x+10x+2x+1的最小值为．【答案】:16【解析】x+10

x+2x+1=x+1+9x+1+1x+1=x+12+10x+1+9x+1=(x+1)+9x+1+10，∵x>-1，∴x+1>0，∴(x+1)+9x+1+10≥29+10=16．当且仅当x+1=9x+1，即x=2时，等号成立．17．若对∀x>-1，不等式x+1x+1-1

≥a恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】:a≤0【解析】因为x>-1，所以x+1>0，则x+1x+1-1=x+1+1x+1-2≥2x+1×1x+1-2=2-2=0，当且仅当x+1=1x+1，即x=0时等

号成立，由题意可得a≤x+1x+1-1min=0，即a≤0．18．若不等式ax2+1x2+1≥2-3a3(a>0)恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】:aa≥19【解析】原不等式可转化为a(x2+1)+1x2+1≥23，又a>0，则a(x2+1)+

1x2+1≥2ax2+1·1x2+1=2a，当且仅当a(x2+1)=1x2+1，即a=1x2+12时，等号成立，则根据恒成立的意义可知2a≥23，解得a≥19．19．某农业科研单位打算开发一个生

态渔业养殖项目，准备购置一块1800平方米的矩pμθημαz︱eiπ+1=0Page98/Total218课堂笔记形地块，中间挖三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占

面积为S平方米，其中a∶b=1∶2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S最大，则x，y的值分别为多少？【答案】:(1)S=1832-6x-163y；(2)S≤1352，x为40，y为45【解析】(1)由题意得，xy=1800，b=2a，则y=a+b+6=3a+6，S=a(x-4)+b(

x-6)=a(x-4)+2a(x-6)=(3x-16)a=(3x-16)×y-63=xy-6x-163y+32=1832-6x-163y，其中6<x<300,6<y<300．(2)由(1)可知，6<x<300

,6<y<300，xy=1800，6x+163y≥26x·163y=26×16×600=480，当且仅当6x=163y时等号成立，∴S=1832-6x-163y≤1832-480=1352，此时9x=8y，xy=1800，解得x=40，y=45，即x为40，y为45．20．某厂家拟在2

020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x=3-km+1(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8

万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利

润最大？最大利润为多少？【答案】:2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元解设2020年该产品利润为y，由题意，可知当m=0时，x=1，∴1=3-k，解得k=2，∴x=3-2m+1，又每件产品的

销售价格为1．5×8+16xx元，∴y=x1．5×8+16xx-(8+16x+m)=4+8x-m=4+83-2m+1-m=-16m+1+m+1+29，∵m≥0，16m+1+(m+1)≥216=8，当且仅当

16m+1=m+1，即m=3时，等号成立，∴y≤-8+29=21，∴ymax=21．故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page99/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§2.3.1二次函数与一元二次

方程、不等式一、基础必备(一)一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式．一般形式:ax2+bx+c>0，ax2+bx+c<0，ax2+bx+c≥0，ax2+bx+c≤0，其中a≠0，a，b，

c均为常数(二)二次函数的零点一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c，我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点．(三)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一

元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1=x2=-b2a没有实数根ax2+bx+c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}xx≠-b2aRax2+bx+c<0(a

>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅【例70】一元二次不等式与一元二次函数有什么关系？【答案】:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集就是一元二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象在x轴上方的点的

横坐标x的集合；ax2+bx+c<0(a>0)的解集就是一元二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象在x轴下方的点的横坐标x的集合．【例71】(1)不等式x2<2的解集是________．(2)不等式2x2-x-1>0的解集

是________．(3)不等式-3x2+5x-4>0的解集为________．(4)若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<3}，则方程ax2+bx+c=0的两根分别为________．【

答案】:(1){x|-2<x<2}【解析】由x2<2可得x2-2<0，即(x-2)(x+2)<0，所以-2<x<2，则不等式x2<2的解集是{x|-2<x<2}．(2)xx<-12或x>1【解析】∵2x2-x-1=(2x+1)

(x-1)，∴由2x2-x-1>0得(2x+1)(x-1)>0，解得x<-12或x>1，∴不等式的解集为xx<-12或x>1．pμθημαz︱eiπ+1=0Page100/Total218课堂笔记(3)∅【解

析】原不等式变形为3x2-5x+4<0．因为Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0，所以3x2-5x+4=0无解．由函数y=3x2-5x+4的图象可知，3x2-5x+4<0的解集为∅．(4)-2,3【解析】不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2<x<3}，所以方程a

x2+bx+c=0的两根分别-2,3．二、题型考法(一)一元二次不等式的解法解一元二次不等式的一般步骤(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．(2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．(3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根

标在图中．(4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．【例72】解下列不等式：(1)-2x2+x-6<0；(2)-x2+6x-9≥0；(3)x2-2x-3>0．【答案】:(1)R；(2){x|x=3}；(3){x|x<-1或x>3}【解

析】(1)原不等式可化为2x2-x+6>0．因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0，所以函数y=2x2-x+6的图象开口向上，与x轴无交点(如图所示)．观察图象可得，原不等式的解集为R．(2

)原不等式可化为x2-6x+9≤0，即(x-3)2≤0，函数y=(x-3)2的图象如图所示，根据图象可得，原不等式的解集为{x|x=3}．(3)方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1，x2=3．函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(-1,0)和(3,0)，如图所示

．观察图象可得不等式的解集为{x|x<-1或x>3}．【练53】解下列不等式：(1)x2-5x-6>0；(2)(2-x)(x+3)<0．【答案】:(1){x|x<-1或x>6}；(2){x|x<-3或x>2}【解析】(1)方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1，x2=6．︱数是

万物的本原-毕达哥拉斯Page101/Total218课堂笔记结合二次函数y=x2-5x-6的图象知，原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}．(2)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0．方程(x-2

)(x+3)=0的两根为x1=2，x2=-3．结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象知，原不等式的解集为{x|x<-3或x>2}．(二)含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式的步骤特别提醒：对应方程的根优先考虑因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算

．【例73】解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(x∈R)．【答案】:当a=0时，不等式的解集为{x|x≤-1}；当a>0时，不等式的解集为xx≥2a或x≤-1；当-2<a<0时，不等式的解集为x2a≤x≤-1；当a=-2时，不等式的解集为{-1

}；当a<-2时，不等式的解集为x-1≤x≤2a．【※解析※】原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0．①当a=0时，原不等式化为x+1≤0，解得x≤-1．②当a>0时，原不等式化为x-

2a(x+1)≥0，解得x≥2a或x≤-1．③当a<0时，原不等式化为x-2a(x+1)≤0．当2a>-1，即a<-2时，解得-1≤x≤2a；当2a=-1，即a=-2时，解得x=-1；当2a<-1，即-2<a<0，解得2a≤x≤-1．综上所述，当

a=0时，不等式的解集为{x|x≤-1}；当a>0时，不等式的解集为xx≥2a或x≤-1；当-2<a<0时，不等式的解集为x2a≤x≤-1；当a=-2时，不等式的解集为{-1}；当a<-2时，不等式的解集为x-1≤x≤2a

．【例74】解关于x的不等式x2-(3a-1)x+(2a2-2)>0．pμθημαz︱eiπ+1=0Page102/Total218课堂笔记【答案】：当a<3时，不等式的解集为{x|x>a+1或x<2(a-1)}，当a=3时，不等式的解集为{x|x≠4}，当a>3时，不等

式的解集为{x|x>2(a-1)或x<a+1}．【※解析※】原不等式可化为[x-(a+1)][x-2(a-1)]>0，讨论a+1与2(a-1)的大小．(1)当a+1>2(a-1)，即a<3时，不等

式的解为x>a+1或x<2(a-1)．(2)当a+1=2(a-1)，即a=3时，不等式的解为x≠4．(3)当a+1<2(a-1)，即a>3时，不等式的解为x>2(a-1)或x<a+1．综上，当a<3时，不等式的解集为{x|x>a+1或x<2

(a-1)}，当a=3时，不等式的解集为{x|x≠4}，当a>3时，不等式的解集为{x|x>2(a-1)或x<a+1}．(三)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的

符号．(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式．(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．【例75】已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}，(1)求关于x

的不等式cx2+bx+a<0的解集．(2)求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集．【答案】:(1)xx<13或x>12【※解析※】由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根，由根与系数的关系可知ba=-5，ca

=6．由a<0知c<0，bc=-56，故不等式cx2+bx+a<0，即x2+bcx+ac>0，即x2-56x+16>0，解得x<13或x>12，所以不等式cx2+bx+a<0的解集为xx<13或x>12．(2)x-12<x<-13解由根与系数的关系知ba=-5，

ca=6且a<0．∴c<0，bc=-56，故不等式cx2-bx+a>0，即x2-bcx+ac<0，即x2+56x+16<0．解得-12<x<-13，故原不等式的解集为x-12<x<-13．【练54】关于x的不等式ax2

+bx+c≥0的解集是x-13≤x≤2”．求不等式cx2+bx+a<0的解集．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page103/Total218课堂笔记【答案】:x-3<x<12解方法一由ax2+bx+c≥0的解集为

x-13≤x≤2知a<0．又-13×2=ca<0，则c>0．又-13，2为方程ax2+bx+c=0的两个根，∴-ba=53，∴ba=-53．又ca=-23，∴b=-53a，c=-23a，∴不等式cx2+bx+a<0变为

-23ax2+-53ax+a<0，即2ax2+5ax-3a>0．又∵a<0，∴2x2+5x-3<0，故所求不等式的解集为x-3<x<12．方法二由已知得a<0且-13+2=-ba，-13×2=ca知c>0，设方程cx2+bx+

a=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2=-bc，x1·x2=ac，其中ac=1-13×2=-32，-bc=-baca=-13+2-13×2=-52，∴x1=1-13=-3，x2=12．∴不等式cx2+bx+a<0(c>0)的解集为x-3<x<12．【练

55】已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集．【答案】:xx<12或x>1解∵x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2}，∴方程x2+ax+b=0的两根为1,2.由根与系数的关系得-a=1+2，b=1×2，

得a=-3，b=2，代入所求不等式，得2x2-3x+1>0．解得x<12或x>1．∴bx2+ax+1>0的解集为xx<12或x>1．三、巩固练习1．不等式3x2-2x+1>0的解集为A．x-1<x<13B．x13<x<1

C．∅D．R【答案】:D【解析】因为Δ=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0，所以不等式3x2-2x+1>0的解集为R．2．已知集合U={x|x2>1}，集合A={x|x2-4x+3<0}，∁UA等于A．{x|1<x<3}B．{x|x<1或x≥3}pμθημαz︱eiπ+1=0Pag

e104/Total218课堂笔记C．{x|x<-1或x≥3}D．{x|x<-1或x>3}【答案】:C【解析】∵U={x|x2>1}={x|x>1或x<-1}，A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3}，∴∁UA={x|x<-

1或x≥3}．3．若0<m<1，则不等式(x-m)x-1m<0的解集为A．x1m<x<mB．xx>1m或x<mC．xx>m或x<1mD．xm<x<1m

【答案】:D【解析】∵0<m<1，∴1m>1>m，故原不等式的解集为xm<x<1m．4．已知方程ax2+bx+2=0的两根为-12和2，则不等式ax2+bx-1>0的解集为________．【答案】:x1

2<x<1【解析】∵方程ax2+bx+2=0的两根为-12和2，由根与系数的关系可得-12+2=-ba，-12×2=2a，∴a=-2，b=3，ax2+bx-1>0可变为-2x2+3x-1>0，即2x2-3x+1<0，

解得12<x<1．5．不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是A．xx≤-1或x≥92B．x-1≤x≤92C．xx≤-92或x≥1D．x-92≤x≤1【答案】:D【解析】方法一取x=1检验

，满足，排除A；取x=4检验，不满足，排除B，C．方法二原不等式可化为2x2+7x-9≤0，即(x-1)(2x+9)≤0，解得-92≤x≤1．6．若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0}，B={x∈N*|x≤5}，则A∩B等于A．{1,2,3}

B．{1,2}C．{4,5}D．{1,2,3,4,5}【答案】:B︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page105/Total218课堂笔记【解析】(2x+1)(x-3)<0，∴-12<x<3，又x∈N*且x≤5，则x=1,2.7．如果关于x的不等式x2<ax+b的解集是{x|1<x<3}

，那么ba等于A．-81B．81C．-64D．64【答案】:B【解析】不等式x2<ax+b可化为x2-ax-b<0，其解集是{x|1<x<3}，那么，由根与系数的关系得1+3=a，1×3=-b，解得a=4，b=-3，所以ba=(-

3)4=81．8．设m+n>0，则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是A．{x|x<-n或x>m}B．{x|-n<x<m}C．{x|x<-m或x>n}D．{x|-m<x<n}【答案】:B【解析】方程(m-x)(n+x)=0的两根为m，-n，因为m+n>0，所以m>-

n，结合函数y=(m-x)(n+x)的图象，得原不等式的解集是{x|-n<x<m}．9．若a<0，则关于x的不等式a(x+1)x+1a<0的解集为________．【答案】:xx>-1a或x<-1【解析】因为a<0，所以原

不等式等价于(x+1)·x+1a>0，方程(x+1)x+1a=0的两根为-1，-1a，显然-1a>0>-1，所以原不等式的解集为xx>-1a或x<-1．10．已知关于x的不等式ax2+bx+c

<0的解集是xx<-2或x>-12，则ax2-bx+c>0的解集为________．【答案】:x12<x<2【解析】由题意知，-2，-12是方程ax2+bx+c=0的两个根且a<0，故-2+-12=-ba，-2

×-12=ca，解得a=c，b=52a．所以不等式ax2-bx+c>0，即为2x2-5x+2<0，解得12<x<2，即不等式ax2-bx+c>0的解集为x12<x<2．11．解关于x的不

等式x2-ax-2a2<0(a∈R)．pμθημαz︱eiπ+1=0Page106/Total218课堂笔记【答案】:当a>0时，原不等式的解集为{x|-a<x<2a}；当a=0时，原不等式的解集为∅；当a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<-a}．解原不

等式转化为(x-2a)(x+a)<0．对应的一元二次方程的根为x1=2a，x2=-a．①当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|-a<x<2a}；②当a=0时，原不等式化为x2<0，无解；③当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<-a}．综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|

-a<x<2a}；当a=0时，原不等式的解集为∅；当a<0时，原不等式的解集为{x|2a<x<-a}．12．已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为x13<x<12．(1)求a，c的值；(2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0．【答案】:(

1)a=-6，c=-1．(2)x13≤x≤1．【解析】(1)由题意知，不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为13和12，由根与系数的关系，得-5a=13+12，ca=12×13，解

得a=-6，c=-1．(2)由a=-6，c=-1知不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0，即3x2-4x+1≤0，解得13≤x≤1，所以不等式的解集为x13≤x≤1．13．在R上定义

运算“⊙”：a⊙b=ab+2a+b，则满足x⊙(x-2)<0的实数x的取值范围为A．{x|0<x<2}B．{x|-2<x<1}C．{x|x<-2或x>1}D．{x|-1<x<2}【答案】:B【解析】根据给出的定义得，x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+(x-

2)=x2+x-2=(x+2)(x-1)，又x⊙(x-2)<0，则(x+2)(x-1)<0，故不等式的解集是{x|-2<x<1}．14．关于x的不等式(mx-1)(x-2)>0，若此不等式的解集为x1m<x<2，则m的取值范围是________．【

答案】:{m|m<0}【解析】由题意知m<0，∵不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为x1m<x<2，︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page107/Total218课堂笔记∴方程(mx-1)(x-2)=0的两个实数根为1m和2，且

m<0，1m<2，解得m<0，∴m的取值范围是{m|m<0}．15．不等式ax2-bx+c>0的解集是x-12<x<2，对于系数a，b，c，有下列结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c>0；⑤a-b+c>0．其中正确结论的序号是________．【答案】:③⑤

【解析】由ax2-bx+c>0的解集为x-12<x<2知a<0，∵ca=-12×2=-1<0，∴c>0．又ba=-12+2>0，∴b<0．∵-1∉x-12<x<2，∴a+b+c≤0，又1∈x-12<x<2，∴a-b+c

>0，故③⑤正确．16．设不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A，若A⊆{x|1≤x≤3}，则a的取值范围为________．【答案】:-1<a≤115【解析】设y=x2-2ax+a+2，因为不等式x2-2ax+a+2≤0的解集为A，且A⊆{x|1≤x≤3}，所以

对于方程x2-2ax+a+2=0．若A=∅，则Δ=4a2-4(a+2)<0，即a2-a-2<0，解得-1<a<2.若A≠∅，则Δ=4a2-4a+2≥0，12-2a+a+2≥0，32-3×2a+a+2≥0，1≤a≤3，即a≥

2或a≤-1，a≤3，a≤115，1≤a≤3，所以2≤a≤115．综上，a的取值范围为-1<a≤115．17．解关于x的不等式：x2-2ax+2≤0．【答案】:当-2<a<2时，原不等式的

解集为∅；当a=2时，原不等式的解集为{x|x=2}；当a=-2时，原不等式的解集为{x|x=-2}；当a>2或a<-2时，原不等式的解集为{x|a-a2-2≤x≤a+a2-2}．解因为Δ=4a2-8，所以当Δ<0，即-2<a<2时，原不等式对

应的方程无实根，又二次函数y=x2-2ax+2的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅．当Δ=0时，即a=±2时，原不等式对应的方程有两个相等实根．当a=2时，原不等式的解集为{x|x=2}；当a=-2时，原不等式的

解集为{x|x=-2}．pμθημαz︱eiπ+1=0Page108/Total218课堂笔记当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式对应的方程有两个不等实数，分别为x1=a-a2-2，x2=a+a2-2，且x1<x2，所以原不等式的解集为{x|a-a2-2≤x≤a+a2

-2}．综上所述，当-2<a<2时，原不等式的解集为∅；当a=2时，原不等式的解集为{x|x=2}；当a=-2时，原不等式的解集为{x|x=-2}；当a>2或a<-2时，原不等式的解集为{x|a-a2-2≤x≤a+a2-

2}．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page109/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§2.3.2一元二次不等式的应用一、基础必备(一)简单的分式不等式的解法

分式不等式的解法：(二)一元二次不等式恒成立问题1.转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔a>0，Δ<0；ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立⇔a<0，Δ<0．2.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．3.利

用不等式解决实际问题的一般步骤(1)选取合适的字母表示题目中的未知数．由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)．(2)求解所列出的不等式(组)．(3)结合题目的实际意义确定答案．【例76】(1)不等式x-2x-1<0的解集为

．(2)不等式1x≤1的解集为．(3)若方程x2+ax+1=0的解集是∅，则实数a的取值范围是．(4)对∀x∈R，不等式x2+2x+m>0恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】:(1){x|1<x<2}【解析】原不等式⇔(x-1)(

x-2)<0，∴1<x<2.【答案】:(2){x|x≥1或x<0}【解析】∵1x≤1，∴x-1x≥0，∴xx-1≥0，x≠0，∴x≥1或x<0．【答案】:(3)-2<a<2【解析】由题意可得a2-4<0，所以-2<a<2.【答案】

:m>1【解析】由题意可得22-4m<0，所以m>1．二、题型考法pμθημαz︱eiπ+1=0Page110/Total218课堂笔记(一)简单的分式不等式的解法分式不等式的解法(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元

二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．【例77】解下列不等式：(1)x+12x-1<0；(2)1-x3x+

5≥0；(3)x-1x+2>1．【答案】:(1)x-1<x<12．(2)x-53<x≤1．(3){x|x<-2}．【解析】(1)原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0，∴-1<x<12，故原不等式的解集为

x-1<x<12．(2)原不等式可化为x-13x+5≤0，∴x-13x+5≤0，3x+5≠0，∴-53≤x≤1，x≠-53，即-53<x≤1．故原不等式的解集为x-53<x≤1．(3)原不等式可化为x-1x+2-1>0，

∴x-1-x+2x+2>0，-3x+2>0，则x<-2.故原不等式的解集为{x|x<-2}．【练56】解下列不等式：(1)x+1x-3≥0；(2)5x+1x+1<3．【答案】:(1){x|x≤-1或x>3

}；(2){x|-1<x<1}．【解析】(1)不等式x+1x-3≥0可转化成不等式组x+1x-3≥0，x≠3．解这个不等式组，可得x≤-1或x>3．即知原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}．(2)不等式5x+1x+1<3可改写为5x+1x+1-3<0，即2x-1x+1<0．

可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0，解得-1<x<1．所以，原不等式的解集为{x|-1<x<1}．(二)不等式的恒成立问题一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和

对应方程的判别式的符号．(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．【例78】(1)对∀x∈R，不等式mx2-mx-1<0，求m的取值范围．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page111/Total218课堂笔记(2)是否

存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2-mx-1>0，若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．(3)若对∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2-mx-1<0，求m的取值范围．【答案】:(1){m|-4<m≤0}；(2)不存在；(3)mm<16

【※解析※】(1)若m=0，显然-1<0恒成立；若m≠0，则m<0，Δ=m2+4m<0⇒解得-4<m<0．综上，m的取值范围为{m|-4<m≤0}．(2)显然m=0时不等式不成立；由题意可得m>0，Δ=m2+4m<0，解得

m∈∅，所以不存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2-mx-1>0．(3)解由不等式mx2-mx-1<0得m(x2-x)<1，因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2-x>0，所以m(x2-x)<1可化为m<1x2-x，因为x2-x=x-122-14≤6，所以1x2-x≥16，所

以m<16．即m的取值范围是mm<16．【练57】若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立，则实数k的取值范围是______．【答案】:{k|-3<k≤1}【解析】当k=1时，-1<0恒成立；当k≠1时，

由题意得k-1<0，k-12+4k-1<0，解得-3<k<1，因此实数k的取值范围为{k|-3<k≤1}．(三)一元二次不等式的实际应用解不等式应用题的步骤【例79】某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率，为10个百分点)，计划

可收购a万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x>0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出降税后税收y(万元)与x的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值

范围．pμθημαz︱eiπ+1=0Page112/Total218课堂笔记【答案】:y=150a(100+2x)(10-x)(0<x<10)．(2){x|0<x≤2}【※解析※】(1)降低税率后的税率为(10-x)%，农产品的收购量为a(1+2x%)万担，

收购总金额为200a(1+2x%)万元．依题意得y=200a(1+2x%)(10-x)%=150a(100+2x)(10-x)(0<x<10)．(2)原计划税收为200a×10%=20a(万元)．依题意得1

50a(100+2x)(10-x)≥20a×83．2%，化简得x2+40x-84≤0，解得-42≤x≤2.又因为0<x<10，所以0<x≤2.即x的取值范围为{x|0<x≤2}．【练58】某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满．该农家院欲提高档次，并提高

租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间．每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？【答案】:20~50元解设每间客房日租金提高

x个10元，即每间客房日租金提高到(80+10x)元，则客房出租数减少x间，此时客房的租金总收入为(80+10x)(20-x)元．因为每天客房的租金总收入不低于1800元，所以(80+10x)(20-x)≥1800．化简，得x2-12x+20≤0．解得2≤x≤10，所以20≤10x≤100．

又由题意可知80+10x≤130，所以10x≤50．因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是20~50元．三、巩固练习1．若集合A={x|-1≤2x+1≤3}，B=xx-2x≤0，则A∩B等于A．{x|-1≤x<0}B．{x|0<x≤1}C．{x|0≤

x<2}D．{x|0≤x≤1}【答案】:B【解析】∵A={x|-1≤x≤1}，B={x|0<x≤2}，∴A∩B={x|0<x≤1}．2．不等式x+1x≥5的解集是．【答案】:x0<x≤14

【解析】原不等式⇔x+1x-5≥0⇔4x-1x≤0⇔x4x-1≤0，x≠0，解得0<x≤14．3．不等式x2+ax+4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是．【答案】:a>4或a<-4【解析】∵x2+ax+4<0的解集不是空集，即不等式x2+ax+4<0有解，∴Δ=a

2-4×1×4>0，解得a>4或a<-4．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page113/Total218课堂笔记4．若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式ax+bx-2>0的解集为A．{x|x>1或x<-2}B．{x|1<x<

2}C．{x|x>2或x<-1}D．{x|-1<x<2}【答案】:C【解析】x=1为ax-b=0的根，∴a-b=0，即a=b，∵ax-b>0的解集为{x|x>1}，∴a>0，故ax+bx-2=ax+1x-2>0，等价为(x+1)(x-2)>0．∴x>2或x<-1．5．已

知不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解，则实数a的取值范围为A．{a|-1≤a≤4}B．{a|-1<a<4}C．{a|a≥4或a≤-1}D．{a|-4≤a≤1}【答案】:A【解析】由题意知，原不等式可化为-(x-2)2+4≥a2-3a在R上有解，∴a2-3

a≤4，即(a-4)(a+1)≤0，∴-1≤a≤4．6．某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t万立方米．为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范

围是A．{t|1≤t≤3}B．{t|3≤t≤5}C．{t|2≤t≤4}D．{t|4≤t≤6}【答案】:B【解析】设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y=240020-52t×t%=60(8t-t2)．令y≥9

00，即60(8t-t2)≥900．解得3≤t≤5．7．不等式1x-1≥-1的解集是．【答案】:{x|x≤0或x>1}【解析】1x-1≥-1⇔1x-1+1≥0⇔xx-1≥0⇔xx-1≥0，x-1≠0，

∴不等式的解集是{x|x≤0或x>1}．8．若实数a，b满足a+b<0，则不等式x+ab-x<0的解集为．【答案】:{x|x>-a或x<b}【解析】原不等式等价于(x+a)(b-x)<0⇔(x-b)(x+a)>0．因为a+b<0，所以b<

-a．所以原不等式的解集为{x|x>-a或x<b}．9．解下列不等式：(1)2x-5x+4<0；(2)x+12x-3≤1．pμθημαz︱eiπ+1=0Page114/Total218课堂笔记【解析】(1)2x-5x+4<0⇔(2x-5)(x+4)<0⇔-4<x<

52，∴原不等式的解集为x-4<x<52．(2)∵x+12x-3≤1，∴x+12x-3-1≤0，∴-x+42x-3≤0，即x-4x-32≥0．此不等式等价于(x-4)x-32≥0且x-32≠0，解得x<32或x≥4，∴原不

等式的解集为xx<32或x≥4．10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同

时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？【解析】(1)由题意得y=

[12(1+0．75x)-10(1+x)]×10000×(1+0．6x)(0<x<1)，整理得y=-6000x2+2000x+20000(0<x<1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有y-12-

10×10000>0，0<x<1，即-6000x2+2000x>0，0<x<1，解得0<x<13，所以投入成本增加的比例x应在0<x<13的范围内．11．二次不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实

数的条件是A．a>0，Δ>0B．a>0，Δ<0C．a<0，Δ>0D．a<0，Δ<0【答案】:D【解析】二次不等式ax2+bx+c<0的解集为全体实数等价于二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴下方，需要开口

向下，且与x轴无交点，故需要a<0，Δ<0．12．若a>0，b>0，不等式-b<1x<a的解集为A．xx<-1b或x>1aB．x-1a<x<1bC．xx<-1a或x>1bD．x-1b<x<0或0<x<1a【答案】:A

【解析】原不等式可化为1x>-b，1x<a，即bx+1x>0，ax-1x>0，可得x<-1b或x>0，x<0或x>1a，故不等式的解集为xx<-1b或x>1a．︱数是万

物的本原-毕达哥拉斯Page115/Total218课堂笔记13．设x2-2x+a-8≤0对于任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则a的取值范围是___．【答案】:{a|a≤5}【解析】原不等式x2-2x+a-8≤0转化为a≤-x2+2x+8对任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，设y=-x2+2x+8

，易知y在{x|1≤x≤3}上的最小值为5．∴a≤5．14．在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又

知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：s甲=0.1x+0.01x2，s乙=0.05x+0.005x2．则这次事故的主要责任方为．【答案】:乙车【解析】由题意列出不等式s甲=0．

1x+0．01x2>12，s乙=0．05x+0．005x2>10．分别求解，得x甲<-40或x甲>30，x乙<-50或x乙>40．由于x>0，从而得x甲>30km/h，x乙>40km/h．经比较知乙车超过限速，应负主要责任．15．不等式x2+8y2≥

λy(x+y)对于任意的x，y∈R恒成立，则实数λ的取值范围为_____．【答案】:-8≤λ≤4【解析】因为x2+8y2≥λy(x+y)对于任意的x，y∈R恒成立，所以x2+8y2-λy(x+y)≥0对于任意的x，y∈R恒成立，即x2-λyx+(8-λ)

y2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ=λ2y2+4(λ-8)y2=y2(λ2+4λ-32)≤0，所以(λ+8)(λ-4)≤0，解得-8≤λ≤4．pμθημαz︱eiπ+1=0Page116/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ章末重点1基本不等式的应用技巧在解答基本不等式的问题时，常常会用加项、凑项、常值的代换、换元等技巧，而且在通常情况下往往会考查这些知识的嵌套使用．(一)

凑项【例80】已知x<54，求4x-2+14x-5的最大值．【答案】:1解∵4x-5<0，∴首先要“调整”符号，又(4x-2)·14x-5不是常数，∴对4x-2要进行拆、凑项，∵x<54，∴5-4x>0，∴4x-2+14

x-5=-5-4x+15-4x+3≤-2+3=1，当且仅当5-4x=15-4x，即x=1时，等号成立，故当x=1时，4x-2+14x-5取得最大值1．(二)凑系数【例81】当0<x<4时，求y=x(8-2x)的最大值．【答案】:8解由0<x<4知，8-2x>

0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值．此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+(8-2x)=8为定值，故只需将y=x(8-2x)凑上一个系数即可．y=x(8-2x)=12[2x·(8-2x)]≤122x+8-2x22=8，当且仅当2x=8-2x，即

x=2时，等号成立，故当x=2时，y=x(8-2x)取得最大值为8．(三)分离分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．即化为y=AK+BK+m(A>0，B>0)，K恒正或恒负的形式，然

后运用基本不等式来求最值．【例82】求y=x2+7x+10x+1(x>-1)的最小值．【答案】:9，x=1时，等号成立．解方法一本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离．y=x2+7x+10x+1=x+12+5x+1+4

x+1=(x+1)+4x+1+5，∵x>-1，∴x+1>0，∴y≥2x+1×4x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1即x=1时，等号成立．方法二本题也可先换元，令t=x+1，即x=t-1，化简原式再分离求最值．y=t-12+7t-1+10t=t2+5t+4t=t+4t+

5，︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page117/Total218课堂笔记当x>-1，即t=x+1>0时，y≥2t×4t+5=9，当t=2，即x=1时，等号成立．(四)常值代换【例83】已知x，y是正数且x+y=1，则4x+2+1y+1的最小值为A．1315B．94C．2D．

3【答案】:B【解析】避免多次连用基本不等式，使取等号的条件不一致而出错．由x+y=1，得(x+2)+(y+1)=4，即14[(x+2)+(y+1)]=1，∴4x+2+1y+1=4x+2+1y+1·14[(x+2)+(y+1)]=144+1+4y+1x+2+x+2y

+1≥14(5+4)=94，当且仅当x=23，y=13时，等号成立．(五)消元代换在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用基本不等式求解．

【例84】若实数x，y满足xy+3x=30<x<12，则3x+1y-3的最小值为______．【答案】:8【解析】∵实数x，y满足xy+3x=30<x<12，∴x=3y+3，∴0<3y+3<12，解得y>3．则3x+1y-3=y+3+1y-3=y-3+1y-3

+6≥2y-3·1y-3+6=8，当且仅当y=4，x=37时，等号成立．(六)取平方【例85】已知x，y为正实数，3x+2y=10，求W=3x+2y的最大值．【答案】:25解∵x，y为正实数，3x+2y=10，∴W2=3x+2y+23x·2y≤10+(3x+2y)=20，当且仅当3x=2

y,3x+2y=10，即x=53，y=52时，等号成立．∴W≤25，即W的最大值为25．(七)建立求解目标的不等式求最值【例86】已知a，b是正数，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，则3a+4b的最小值等

于___．【答案】:62-1【解析】a，b是正数，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，pμθημαz︱eiπ+1=0Page118/Total218课堂笔记即(a+b)(a+2b+1)=9，即(2a+2b)

(a+2b+1)=18，可得3a+4b+1=(2a+2b)+(a+2b+1)≥22a+2ba+2b+1=62，当且仅当2a+2b=a+2b+1，即a=1，b=32-22时，等号成立，即3a+4b的最小值为62-1．︱数是万物的本

原-毕达哥拉斯Page119/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ章末重点2不等式恒成立、能成立问题在解决不等式恒成立、能成立的问题

时，常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决，方法灵活，能提升学生的逻辑推理、数学运算等素养．(一)“Δ”法解决恒成立问题(1)如图①，一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R⇔

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔a>0，Δ<0．(2)如图②，一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R⇔二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的

图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔a<0，Δ<0．【例87】(1)已知不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立，求实数k的取值范围；(2)若不等式-x2+2x+3≤a2-3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．【答案】:(1){k|-1<k≤0}(2){a|a≤-1

或a≥4}【解析】(1)当k=0时，原不等式化为-2<0，显然符合题意．当k≠0时，令y=kx2+2kx-(k+2)，由y<0恒成立，∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点．∴k<0，4k2+4kk+2<0，解得-1<k<0．综上，实数k的取值范围是{k|-1<k≤0

}．(2)原不等式可化为x2-2x+a2-3a-3≥0，∵该不等式对任意实数x恒成立，∴Δ≤0，即4-4(a2-3a-3)≤0，即a2-3a-4≥0，解得a≤-1或a≥4，∴实数a的取值范围是{a|a≤-1或a≥4}．(二)数形结

合法解决恒成立问题结合函数的图象将问题转化为函数图象的对称轴，端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题．【例88】当1≤x≤2时，不等式x2+mx+4<0恒成立，求m的取值范围．【答案】:{m|m<-5}解令y=x2+mx+4．∵当1≤x≤2时，y

<0恒成立．∴x2+mx+4=0的根一个小于1，另一个大于2.如图，得1+m+4<0，4+2m+4<0，∴m+5<0，2m+8<0．pμθημαz︱eiπ+1=0Page120/Total218课堂笔记∴m的取值范围是{m|m<-5}．(三

)分离参数法解决恒成立问题通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题．【例89】设函数y=mx2-mx-1,1≤x≤3，若y<-m+5恒成立，求m的取值范围．【答案】:m<67解y<-m+5恒成立，即m(x2-x+1)-6

<0恒成立，∵x2-x+1=x-122+34>0，又m(x2-x+1)-6<0，∴m<6x2-x+1．∵y=6x2-x+1=6x-122+34在1≤x≤3上的最小值为67，∴只需m<67即可．(四)主参换位法解决恒成立问题转换思维角度，即把变元与参数变换位

置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解．【例90】已知函数y=mx2-mx-6+m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围．【答案】:x1-52<x<1+52解y<0⇔mx2-mx

-6+m<0⇔(x2-x+1)m-6<0．∵1≤m≤3，∴x2-x+1<6m恒成立，∴x2-x+1<63⇔x2-x-1<0⇔1-52<x<1+52．∴x的取值范围为x1-52<x<1+52．(五)利用图象解决能成立问题结合二次函数的图象，将问题转化为端点值的问题解决

．【例91】当1<x<2时，关于x的不等式x2+mx+4>0有解，则实数m的取值范围为________．【答案】:{m|m>-5}【解析】记y=x2+mx+4，则由二次函数的图象知，不等式x2+mx+4>

0(1<x<2)一定有解，即m+5>0或2m+8>0，解得m>-5．(六)转化为函数的最值解决能成立问题能成立问题可以转化为m>ymin或m<ymax的形式，从而求y的最大值与最小值，从而求得参数的取值范

围．【例92】若存在x∈R，使得4x+mx2-2x+3≥2成立，求实数m的取值范围．【答案】:{m|m≥-2}．解∵x2-2x+3=(x-1)2+2>0，∴4x+m≥2(x2-2x+3)能成立，∴m≥2x2-8x+6能成立，令y=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2，

∴m≥-2，∴m的取值范围为{m|m≥-2}．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page121/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ章末复习课一、思维导图二、基础必备(一)不等式的性质及应用1．不等式的性质常用来比较大小、判

断与不等式有关的命题的真假和证明不等式，防止由于考虑不全面出现错误，有时也可结合特殊值法求解．2．不等式性质的应用方法(1)作差法比较大小的关键是对差式进行变形，变形的方法一般是通分、分解因式、配方等．(2)不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法

，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项．【例93】若A=a2+3ab，B=4ab-b2，则A，B的大小关系是()A．A≤BB．A≥BC．A<B或A>BD．A>B【答案】:B【解析】∵A-B=a2+3ab-(

4ab-b2)=a-b22+34b2≥0，∴A≥B.【例94】若a>b，x>y，下列不等式正确的是()A．a+x<b+yB．ax>byC．|a|x≥|a|yD．(a-b)x<(a-b)y【答案】:C【解析】因为当a≠0时，|

a|>0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变；当a=0时，|a|x=|a|y，故|a|x≥|a|y.【练59】若1≤a≤5，-1≤b≤2，则a-b的取值范围为．pμθημαz︱eiπ+1=0Page122/Total218课堂笔记【答案】:-1≤a-b≤6【解

析】∵-1≤b≤2，∴-2≤-b≤1，又1≤a≤5，∴-1≤a-b≤6.(二)基本不等式及应用1．基本不等式：ab≤a+b2(a>0，b>0)是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实

际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现．2．利用基本不等式求最值的关注点(1)注意寻求已知条件与目标函数之间的联系．(2)利用添项和拆项的配凑方法，使积(或和)产生定值．特别注意“1”的

代换．【例95】若0<x<2，则x(2-x)的最大值是()A．2B．32C．1D．12【答案】:C【解析】因为0<x<2，所以2-x>0，x(2-x)≤x+2-x22=1，当且仅当x=2-x，即x=1时，等号成立．【例96】已知x>0，y>0，且x+3y=1，则x+yxy的最小值是____

____．【答案】:23+4【解析】x>0，y>0，且x+3y=1.x+yxy=(x+y)(x+3y)xy=x2+3y2+4xyxy=x2+3y2xy+4≥2x2·3y2xy+4=23+4.当且仅当x=3y，x+3y=1，即y=13+3=3-36，x=33+3=3-12时取

等号．x+yxy的最小值是23+4.【练60】已知函数y=x-4+9x+1(x>-1)，当x=a时，y取得最小值b，则a=________；b=________.【答案】:2；1【解析】y=x-4+9x+

1=(x+1)+9x+1-5，因为x>-1，所以x+1>0，所以y≥2(x+1)·9x+1-5=2×3-5=1，当且仅当x+1=9x+1，即x=2时，等号成立，此时a=2，b=1.(三)三、一元二次不等式

的解法1．对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集．2．对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏．3．掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养．对

于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page123/Total218课堂笔记【例97】已知x2+ax-a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】:-

4≤a≤0【解析】由题意可得Δ=a2+4a≤0，解得-4≤a≤0.【例98】解关于x的不等式：x2+(1-a)x-a<0.【答案】:方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1，x2=a.函数y=x2+(1-a)x-a的图象开

口向上，所以①当a<-1时，原不等式的解集为{x|a<x<-1}；②当a=-1时，原不等式的解集为∅；③当a>-1时，原不等式的解集为{x|-1<x<a}．【例99】若不等式ax2+5x-2>0的解集是x12<x<2，(1)求a的值；(2

)求不等式1-axx+1>a+5的解集．【答案】:(1)a=-2(2){x|-2<x<-1}【※解析※】(1)依题意，可得ax2+5x-2=0的两个实数根为12和2，由根与系数的关系，得12×2=-2a，12+

2=-5a，解得a=-2.(2)将a=-2代入不等式，得1+2xx+1>3，即1+2xx+1-3>0，整理得-(x+2)x+1>0，即(x+1)(x+2)<0，解得-2<x<-1，则不等式的解集为{x|-2<x<-1}．(四)不等式在实际问题中的应用1．不等式的应用题常以函数为背景

，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，根据题设条件构建数学模型是解题关键．2．解决与不等式有关的实际应用问题的关注点(1)审题要准，初步建模．(2)设出变量，列出函数关系式．(3)根据题

设构造应用不等式的形式并解决问题．【例100】某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(

如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比A1B1B1C1=x(x>1)，写出公园ABCD所占面积S与x的关系式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？pμθημαz︱eiπ+1=0Page124/Tot

al218课堂笔记【答案】:(1)S=80102x+5x+4160(x>1)．(2)长100米，宽40米【※解析※】(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则长A1B1为ax米，由a2x=4000，得a=2010x.则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4

000+(8x+20)·2010x+160=80102x+5x+4160(x>1)．(2)80102x+5x+4160≥8010×22x×5x+4160=1600+4160=5760.当且仅当2x=5x，即x=2.5时，等号成立，此时a=40，ax=100.所以要使公园所占面

积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．【练61】甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是1005x+1-3x元．(1)要使生产该产品2小时获

得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．【答案】:(1)3≤x≤10.(2)x=6千克/小时时，ymax=457500元【※解析※

】(1)根据题意，2005x+1-3x≥3000⇒5x-14-3x≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.(2)设利润为y元，则y=900x×1005x+1-3x=9×104×-31x-162+6112，故x=6千克/小时时，ymax=4

57500元．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page125/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ第三章函数的概念与性质2023年高考真题速递1．【2023∙天津∙05】已知函数fx的一条对

称轴为直线x=2，一个周期为4，则fx的解析式可能为()A．sinπ2xB．cosπ2xC．sinπ4xD．cosπ4x【答案】B【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在x=2处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【解析】由函数的解

析式考查函数的最小周期性：A选项中T=2ππ2=4，B选项中T=2ππ2=4，C选项中T=2ππ4=8，D选项中T=2ππ4=8，排除选项CD，对于A选项，当x=2时，函数值sinπ2×2=0，故2,0是函数一

个对称中心，排除选项A，对于B选项，当x=2时，函数值cosπ2×2=-1，故x=2是函数的一条对称轴，故选：B.2．【2023∙北京∙11】已知函数f(x)=4x+log2x，则f12=．【答案】1【分析】根据给定条件，把x=12代入，利用指数、对数运算计算作答.【解析】函数f

(x)=4x+log2x，所以f12=412+log212=2-1=1.故答案为：13．【2023∙上海∙05】已知函数f(x)=1,x≤0,2x,x>0，则函数f(x)的值域为．【答案】:[1，+∞)【分析】分段求出f(x

)的值域，再取并集即可．【解析】当x≤0时，f(x)=1，当x>0时，f(x)=2x>1，所以函数f(x)的值域为[1，+∞)．故答案为：[1，+∞)．【点评】本题主要考查了求函数的值域，属于基础题．4．【2023∙北京∙04】下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是()A．f(x)

=-lnxB．f(x)=12xC．f(x)=-1xD．f(x)=3|x-1|pμθημαz︱eiπ+1=0Page126/Total218课堂笔记【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【

解析】对于A，因为y=lnx在0,+∞上单调递增，y=-x在0,+∞上单调递减，所以fx=-lnx在0,+∞上单调递减，故A错误；对于B，因为y=2x在0,+∞上单调递增，y=1x在0,+∞上单调递减，所以fx=12x在

0,+∞上单调递减，故B错误；对于C，因为y=1x在0,+∞上单调递减，y=-x在0,+∞上单调递减，所以fx=-1x在0,+∞上单调递增，故C正确；对于D，因为f12=312-1=312=3，f1=31-1=30=1,f2=32-1=3，显然fx=

3x-1在0,+∞上不单调，D错误.故选：C.5．【2023∙新高考Ⅰ卷∙04】设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是()A．(-∞，-2]B．[-2，0)C．(0，2]D．[2，+∞)【答案】:D【分析】利用换元法转化为指数函

数和二次函数单调性进行求解即可．【解析】设t=x(x-a)=x2-ax，对称轴为x=a2，抛物线开口向上，∵y=2t是t的增函数，∴要使f(x)在区间(0,1)单调递减，则t=x2-ax在区间(0,1)单调递减，即a2

≥1，即a≥2，故实数a的取值范围是[2，+∞)．故选：D．【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．6．【2023∙新高考Ⅱ卷∙04】若f(x)=(x+a)ln2x-12x+1为偶函数，则a=()A．-1B．

0C．12D．1【答案】:B【分析】求出函数的定义域，利用函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．【解析】由2x-12x+1>0，得x>12或x<-12，由f(x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)，得(-x+a)ln-2x-1

-2x+1=(x+a)ln2x-12x+1，即(-x+a)ln2x+12x-1=(-x+a)ln2x-12x+1-1=(x-a)ln2x-12x+1=(x+a)ln2x-12x+1，∴x-a=x+a，得-a=a，得a=0．故选：

B．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用偶函数的定义建立方程，利用对数的运算法则进行化简是解决本题的关键，是中档题．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page127/Total218课堂笔记7．【2023∙甲理∙13】若y=(x-1

)2+ax+sinx+π2为偶函数，则a=．【答案】2【分析】利用偶函数的性质得到f-π2=fπ2，从而求得a=2，再检验即可得解.【解析】因为y=fx=x-12+ax+sinx+π

2=x-12+ax+cosx为偶函数，定义域为R，所以f-π2=fπ2，即-π2-12-π2a+cos-π2=π2-12+π2a+cosπ2，则πa=π2+12-π2-12=2π，故a=2，此时fx=x-1

2+2x+cosx=x2+1+cosx，所以f-x=-x2+1+cos-x=x2+1+cosx=fx，又定义域为R，故fx为偶函数，所以a=2.故答案为：2.8．【2023∙乙理∙04】已知f(x)=xexeax-1是偶函数，则a=()A．-

2B．-1C．1D．2【答案】D【分析】根据偶函数的定义运算求解.【解析】因为fx=xexeax-1为偶函数，则fx-f-x=xexeax-1--xe-xe-ax-1=xex-ea-1xeax-1=0，又因为x不恒为0，可得ex-ea-1x=0，即ex=ea-1

x，则x=a-1x，即1=a-1，解得a=2.故选：D.9．【2022∙上海夏∙08】若函数f(x)=a2x-1,x<00,x=0x+a,x>0为奇函数，则实数a=1【答案】:1【解析】:a2⋅0-1=-(0+a)⇒a=1.10．【2023∙天津∙04】函数f

x的图象如下图所示，则fx的解析式可能为()A．5ex-e-xx2+2B．5sinxx2+1C．5ex+e-xx2+2D．5cosxx2+1【答案】D【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先

判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函pμθημαz︱eiπ+1=0Page128/Total218课堂笔记数在(0,+∞)上的函数符号排除选项，即得答案.【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(-2)=f(2)<0，由5sin(-x)(-x)2+1=-5sinxx

2+1且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；当x>0时5(ex-e-x)x2+2>0、5(ex+e-x)x2+2>0，即A、C中(0,+∞)上函数值为正，排除；故选：D11．【2023∙新高考Ⅰ卷∙10】噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp=

20×lgpp0，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则()A

．p1≥p2B．p2>10p3C．p3=100p0D．p1≤100p2【答案】:ACD【分析】根据题意分别计算p1，p2，p3的范围，进行比较即可求解．【解析】由题意得，60≤20lgp1p0≤90，1000p0≤p1≤1092p0，50≤20lgp2p0≤60，10

52p0≤p2≤1000p0，20lgp3p0=40，p3=100p0，可得p1≥p2，A正确；p2≤10p3=1000p0，B错误；p3=100p0，C正确；p1≤1092p0=100×1052p0≤

100p2，p1≤100p2，D正确．故选：ACD．【点评】本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，是中档题．12．【2022∙北京∙11】函数f(x)=1x+1-x的定义域是．【答案】:(-∞,0)

∪(0,1]【解析】:依题意x≠0,1-x≥0,解得x∈(-∞,0)∪(0,1]．13．【2022∙上海夏∙08】若函数f(x)=a2x-1,x<00,x=0x+a,x>0为奇函数，则实数a=【答案】:1【解析】:a2⋅0-1=-(0+a)⇒a=1.

︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page129/Total218课堂笔记14．【2021∙全国乙∙文09】设函数f(x)=1-x1+x，则下列函数中为奇函数的是A．fx-1-1B．fx-1+1C．fx+1-1D．fx+1+1【答案】:B【解析】:

由题意可得f(x)=1-x1+x=-1+21+x，对于A，fx-1-1=2x-2不是奇函数；对于B，fx-1+1=2x是奇函数；对于C，fx+1-1=2x+2-2，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，fx+1+

1=2x+2，定义域不关于原点对称，不是奇函数.【答案】:B15．【2021∙新高考Ⅰ卷∙13】已知函数fx=x3a⋅2x-2-x是偶函数，则a=.【答案】:1【解析】:因为fx=x3a⋅2x-2-x，故f-x=-x3a⋅2-x-2x，因为fx

为偶函数，故f-x=fx，时x3a⋅2x-2-x=-x3a⋅2-x-2x，整理得到a-12x+2-x=0，故a=1.pμθημαz︱eiπ+1=0Page130/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§3.1.1函数的概念及其表示一、基础必备(一)知识点函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系

f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素：对应关系:y=f(x)，x∈A定义域:x的取值范围值域:与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}理解函数的概念应关注三点(1)函数定义中强调“三性”：任意性、

存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．(2)y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．(3)除f(x)外，有时还

用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．【例101】基础练习之判断正误(1)根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y．(F)(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(F)(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其

他集合．(F)(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(F)二、题型考法(一)函数关系的判断(1)判断一个对应关系是否为函数的方法首先观察两个数集A，B是否非空；其次验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的

直线l；②在定义域内平行移动直线l；③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．【例102】(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是(AD)A．A={-1,0,1}，B={0

,1}，f：A中的数平方B．A={0,1}，B={-1,0,1}，f：A中的数开方C．A=Z，B=Q，f：A中的数取倒数D．A=R，B={x|x≥0}，f：A中的数取绝对值︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page131/Total218课堂笔记【答案】:AD【

解析】按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求；选项A和D符合函数的定义．【

例103】设M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(B)A．0B．1C．2D．3【答案】:B【解析】①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不是

；②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②是；③中，x=2对应元素y=3∉N，所以③不是；④中，当x=1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不是．因此只有②是．【练62】已知集合M={-1,1,2,4}，N={1,2,4}，给出下列四个对应关系：①y=x2，②

y=x+1，③y=x-1，④y=|x|，其中能构成从M到N的函数的是(D)A．①B．②C．③D．④【答案】:D【解析】只有y=|x|是符合题意的对应关系．【练63】在下列从集合A到集合B的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(D)①A={x|x∈Z}，B

={y|y∈Z}，对应关系f：x→y=x3；②A={x|x>0，x∈R}，B={y|y∈R}，对应关系f：x→y2=3x；③A={x|x∈R}，B={y|y∈R}，对应关系f：x→x2+y2=25；④A={x|x∈R}，B={y|y∈R}，对应关系f：x→y=x2；⑤A={(x，y)

|x∈R，y∈R}，B={s|s∈R}，对应关系f：(x，y)→s=x+y；⑥A={x|-1≤x≤1，x∈R}，B={0}，对应关系f：x→y=0．A．①⑤⑥B．②④⑤⑥C．②③④D．①②③⑤【答案】:D【解析】①在对应

关系f下，A中不能被3整除的数在B中没有唯一确定的数与它对应，所以不能确定y是x的函数．②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之对应，所以不能确定y是x的函数．③在对应关系f下，A中的数(除去5与-5外)在B中有两个数与之对应，

所以不能确定y是x的函数．⑤A不是数集，所以不能确定y是x的函数．④⑥显然满足函数的特征，y是x的函数．(二)求函数值pμθημαz︱eiπ+1=0Page132/Total218课堂笔记函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．(2)求

f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．【例104】设f(x)=2x2+2，g(x)=1x+2，(1)求f(2)，f(a+3)，g(a)+g(0)(a≠-2)，g(f(2))；(2)求g(f(x))．【答案】:(1)f(2)=2×22+

2=10，f(a+3)=2(a+3)2+2=2a2+12a+20．(2)g(f(2))=112．g(f(x))=12x2+4【※解析※】(1)因为f(x)=2x2+2，所以f(2)=2×22+2=10，f(a+3)=2(a+3)2+2=2a2+12a+20．因为

g(x)=1x+2，所以g(a)+g(0)=1a+2+10+2=1a+2+12(a≠-2)．g(f(2))=g(10)=110+2=112．(2)g(f(x))=1fx+2=12x2+2+2=12x2+4

．【练64】设f(x)=2x2+2，g(x)=1x+2，求f(f(x))，g(g(x))．【答案】:(1)f(f(x))=8x4+16x2+10；(2)g(g(x))=x+22x+5．【※解析※】f(f(x))=2(f(x))2+2=2(2x2+2)

2+2=8x4+16x2+10，g(g(x))=1gx+2=11x+2+2=x+22x+5．【例105】设f(x)=2x2+2，g(x)=1x+2，若f(a+1)=g-32+a+1，求a的值．【答案】:a=-1或a=-12解由f(

a+1)=g-32+a+1得2a2+3a+1=0，解得a=-1或a=-12．【练65】若f(x)=1-x1+x(x≠-1)，求f(0)，f(1)，f(1-a)(a≠2)，f(f(2))的值．【答案

】:f(0)=1，f(1)=0，f(1-a)=a2-a(a≠2)，f(f(2))=2．【※解析※】f(0)=1-01+0=1，f(1)=1-11+1=0，f(1-a)=1-1-a1+1-a=a2-a(a≠2)

，f(f(2))=1-f21+f2=1-1-21+21+1-21+2=2．(三)求函数的定义域求函数的定义域应关注四点(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y=x0要求x≠0．(2)

不对解析式化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page133/Total218课堂笔记【例106】求下列函数的定义域：(1

)y=3-12x；(2)y=x+10x+2；(3)y=5-x|x|-3；(4)f(x)=x+1-x2-3x+4．【答案】:(1)R；(2){x|x>-2且x≠-1}；(3){x|x≤5且x≠±3}；(4){x|-1≤x<1}【※解析※

】(1)函数y=3-12x的定义域为R．(2)由于0的零次幂无意义，故x+1≠0，即x≠-1．又x+2>0，即x>-2，所以函数y=x+10x+2的定义域为{x|x>-2且x≠-1}．(3)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足5-x≥0，|x|-3≠0，

解得x≤5，且x≠±3，所以函数y=5-x|x|-3的定义域为{x|x≤5且x≠±3}．(4)要使函数f(x)有意义，则x+1≥0，-x2-3x+4>0，即x≥-1，x+4x-1<0，解不等式组得-1≤x<1．因此函数f(x)的定义域为{x|-1≤x<1}．【练66】求下

列函数的定义域：(1)y=x+12x+1-1-x；(2)y=2x2-3x-2+14-x．【答案】:(1){x|x≤1且x≠-1}；(2)xx≤-12或2≤x<4【※解析※】(1)由x+1≠0，1-x

≥0，得x≠-1，x≤1．所以定义域为{x|x≤1且x≠-1}．(2)由2x2-3x-2≥0，4-x>0，得x≤-12或2≤x<4，所以定义域为xx≤-12或2≤x<4．三、巩固练习1．下列函数中定义域为R的是(C)A．y=xB．y=(x

-1)0C．y=x2+3D．y=1x【答案】:C【解析】A中x≥0，B中要求x≠1，D中x≠0．2．(多选)下列关于函数y=f(x)的说法正确的是A．y是x的函数B．x是y的函数C．对于不同的x，y也不同D．f(a)表示x=a时，f(x)

的函数值是一个常数【答案】:AD【解析】由函数的定义可知B错误，根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)=1，故C错误．pμθημαz︱eiπ+1=0Page134/Total218课堂笔记3．若f(x)=11-x2，

则f(3)=-18，f(f(-2))=98．【答案】:-18；98【解析】f(3)=11-9=-18，f(f(-2))=f-13=98．4．函数y=x+1x-1的定义域是．【答案】:{x|x≥-1且x

≠1}【解析】由题意可得x+1≥0，x-1≠0，所以x≥-1且x≠1，故函数y=x+1x-1的定义域为{x|x≥-1且x≠1}．5．(多选)下列四种说法中，正确的有(ACD)A．函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B．函数的定义域和值域一定是无限集合C．定义

域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素【答案】:ACD【解析】由函数定义知，A，C，D正确，B不正确．6．设函数f(x)=3x2-1，则f(a)-f(-a)的值是(A)A．0B．

3a2-1C．6a2-2D．6a2【答案】:A【解析】f(a)-f(-a)=3a2-1-[3(-a)2-1]=0．7．(多选)已知集合A={x|0≤x≤8}，集合B={y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是(A

BC)A．f：x→y=18xB．f：x→y=14xC．f：x→y=12xD．f：x→y=x【答案】:ABC【解析】根据函数的定义，对于D，在集合A中的部分元素，在集合B中没有元素与它对应，故不正确．8．函数f(x)=1-3x

x的定义域为(D)A．xx≤13B．xx<13C．x0<x≤13D．xx≤13且x≠0【答案】:D︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page135/Total218课堂笔记【解析】要使f(x)有意义，只需满足1-3x≥0，x≠0，

即x≤13且x≠0．9．若A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤y≤2}，下列图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(B)【答案】:B【解析】A中值域为{y|0≤y≤2}，故错误；C，D中值域为{1,2}，故错误．10．若f(x)=2xx2+2，则f(1)=23．【答案】:23【解析

】f(1)=21+2=23．11．已知函数f(x)=11+x，又知f(t)=6，则t=-56．【答案】:-56【解析】由f(t)=6，得11+t=6，即t=-56．12．已知集合A={1,2,3}，B={4,5}，则从A到B的函数f(x)有8个．【答案】:8【解析】利用列表法确定函数的

个数．f(1)44445555f(2)44554455f(3)4545454513．求下列函数的定义域：(1)f(x)=3x-1+1-2x+4；(2)f(x)=x+30|x|-x．【答案】:(1)x13≤x≤12；(2){x|x<0且x≠

-3}【※解析※】(1)要使函数式有意义，必须满足3x-1≥0，1-2x≥0，即x≥13，x≤12．所以13≤x≤12，即函数的定义域为x13≤x≤12．pμθημαz︱eiπ+1=0Page136/Total218课堂笔记(2)要使函数式

有意义，必须满足x+3≠0，|x|-x>0，即x≠-3，|x|>x，解得x≠-3，x<0．所以函数的定义域为{x|x<0且x≠-3}．14．已知函数f(x)=6x-1-x+4．(1)求函数f(x)的定义域；(2)求f(-1)，f(12)的值．【答案】:

(1){x|x≥-4且x≠1}；(2)f(-1)=-3-3，f(12)=-3811【※解析※】(1)根据题意知x-1≠0且x+4≥0，∴x≥-4且x≠1，即函数f(x)的定义域为{x|x≥-4且x≠1}．(2)f(-1)=6-2--1+4=-3-3．f(12)=612-1-12+4=6

11-4=-3811．15．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x+1)=f(x)+1恒成立的为(A)A．f(x)=x+1B．f(x)=-x2C．f(x)=1xD．f(x)=|x|【答案】:A【解析】对于A选项，f(x+1)=(x+1)+1=f(x)+1，成立．对于B选项，f(

x+1)=-(x+1)2≠f(x)+1，不成立．对于C选项，f(x+1)=1x+1，f(x)+1=1x+1，不成立．对于D选项，f(x+1)=|x+1|，f(x)+1=|x|+1，不成立．16．若函数f(x

)=3x-1mx2+x+3的定义域为R，则m的取值范围为mm>112．【答案】:mm>112【解析】要使原函数有意义，必须满足mx2+x+3≠0，由于函数的定义域是R，故mx2+

x+3≠0对一切实数x恒成立．当m=0时，x+3≠0，即x≠-3，与f(x)的定义域为R矛盾，所以m=0不合题意．当m≠0时，有Δ=12-12m<0，解得m>112．综上可知，m的取值范围是mm>112

．17．已知函数f(x)的定义域为(-1,1)，则函数g(x)=fx2+f(x-1)的定义域是{x|0<x<2}．【答案】:{x|0<x<2}【解析】由题意知-1<x2<1，-1<x-1<1，即-2<x<2，0<x<2．

解得0<x<2，于是函数g(x)的定义域为{x|0<x<2}．18．若对任意实数x恒有2f(x)-f(-x)=3x+1，则f(1)=2，f(-1)=0．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page137/Total218课堂笔记【答案】:20

【解析】对∀x∈R，有2f(x)-f(-x)=3x+1，令x=1，则2f(1)-f(-1)=4，①令x=-1，则2f(-1)-f(1)=-2．②由①②解得f(1)=2，f(-1)=0．19．设函数y=f(x)对任意正

实数x，y都有f(x·y)=f(x)+f(y)，已知f(8)=3，则f(2)=12．【答案】:12【解析】因为f(x·y)=f(x)+f(y)，所以令x=y=2，得f(2)=f(2)+f(2)，令x=y=2，得f(

4)=f(2)+f(2)，令x=2，y=4，得f(8)=f(2)+f(4)，所以f(8)=3f(2)=6f(2)，又f(8)=3，所以f(2)=12．20．已知函数f(x)=x21+x2．(1)求f(2)与f12，f(3)与f13；(2)由(1)中求得的结果，你能发现f(x

)与f1x有什么关系吗？证明你的发现；(3)求f(2)+f12+f(3)+f13+⋯+f(2023)+f12023的值．【答案】:(1)f(2)=45，f12=15．f(3)=910，f13=110．(2)f(x)+f

1x=1．(3)f(2)+f12+f(3)+f13+⋯+f(2023)+f12023=2022【※解析※】(1)由f(x)=x21+x2=1-1x2+1，所以f(2)=1-122+1=45，f12=1-11

4+1=15．f(3)=1-132+1=910，f13=1-119+1=110．(2)由(1)中求得的结果发现f(x)+f1x=1．证明如下：f(x)+f1x=x21+x2+1x21+1x2=x21+x2+1x2+1=

1．(3)由(2)知f(x)+f1x=1，∴f(2)+f12=1，f(3)+f13=1，f(4)+f14=1，⋯，f(2020)+f12020=1．∴f(2)+f12+f(3)+f13+

⋯+f(2023)+f12023=2022．pμθημαz︱eiπ+1=0Page138/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZ§3.1.2函数的概念与值域一、基础必备(一)区间设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}

半开半闭区间(a，b]{x|x≥a}[a，+∞){x|x>a}(a，+∞){x|x≤a}(-∞，a]{x|x<a}(-∞，a)(二)同一个函数1．前提条件：(1)定义域相同；(2)对应关系相同．2．结论：这两个函数为同一个函数．(三)

常见函数的值域1．一次函数f(x)=ax+b(a≠0)的定义域为R，值域是R．2．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，值域为4ac-b24a，+∞，当a<0时，值域为-∞，4ac-b24a．【例107】集合{x|x<-2}表示的区间是(-∞，

-2)．【答案】:(-∞，-2)【解析】根据区间的意义集合{x|x<-2}表示的区间是(-∞，-2)．【练67】区间[1,2)表示的集合为{x|1≤x<2}．【答案】:{x|1≤x<2}【解析】根据区间的定义，可表示为{x|1≤x<2

}．【例108】已知函数f(x)与函数g(x)=21-1-x是同一个函数，则函数f(x)的定义域用区间表示为(-∞，0)∪(0,1]．【答案】:(-∞，0)∪(0,1]【解析】因为f(x)与g(x)为同一个函数，则f(x)与g(x)的定义域相同，所以f(x)的定义域

需满足1-1-x≠0，1-x≥0，则x≠0，x≤1，即x≤1且x≠0．【练68】函数f(x)=x2+1的值域为[1，+∞)．【答案】:[1，+∞)【解析】因为x2≥0，所以x2+1≥1，则函数f(x)=x2+1的值域为[1，+∞)．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page139

/Total218课堂笔记二、题型考法(一)区间的应用用区间表示数集的方法(1)区间左端点值小于右端点值．(2)区间两端点之间用“，”隔开．(3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号．(4)以“-∞”，“+∞”为区间的一端时，这端必须用小括号．【

例109】把下列数集用区间表示：(1){x|x≥-1}；(2){x|x<0}；(3){x|-1<x<1}；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}．【答案】:(1){x|x≥-1}=[-1，+∞)；(2){x|x<0}=(-∞，0)；(3){x|-1<x

<1}=(-1,1)；(4){x|0<x<1或2≤x≤4}=(0,1)∪[2,4]．【练69】集合{x|-2<x≤2且x≠0}用区间表示为(-2,0)∪(0,2]．【答案】:(-2,0)∪(0,2]【解析】{x|-2<x≤2且

x≠0}=(-2,0)∪(0,2]．【练70】已知区间(a2+a+1,7]，则实数a的取值范围是(-3,2)．【答案】:(-3,2)【解析】由题意可知a2+a+1<7，即a2+a-6<0，解得-3<a<2，所以实数a的取值范围是(-3,2)．(二)同一个函数的判断判断两个函数为同一个函数应注

意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．(3)在化简解析式时，必须是等价变形．【例110】下列各组函数：①f(x)=x2

-xx，g(x)=x-1；②f(x)=xx，g(x)=xx；③f(x)=x+1·1-x，g(x)=1-x2；④f(x)=x+32，g(x)=x+3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x

≤5)．其中表示同一个函数的是③⑤(填上所有正确的序号)．【答案】:③⑤【解析】①不是同一个函数，定义域不同，f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R．pμθημαz︱eiπ+1=0Page140/Total218课堂笔记②不是同一个函数，对应关系不同，f(x)=1x，g(x)=x．

③是同一个函数，定义域、对应关系都相同．④不是同一个函数，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R．⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．【练71】下列各组函数中是同一个函数的是(B)A．y=x+1与y=x2-1x-1B．y=x2+1与s=t2+1C．y=2x与y=2x(x≥0)D．y=(

x+1)2与y=x2【答案】:B【解析】A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误．(三)求函数的值域求函数值域的方法(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到．(2)配方法：此

方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法．(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．(4)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±cx±d)，通过换元把它们转化为有理函数，

然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．【例111】求下列函数的值域：(1)y=2x+1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y=x+1；(3)y=x2-4x+6，x∈[1,5]；(4)y=3x+2x-1．【答案】:(1){3,5,7,9,11}．(2)[1，+∞)．(3)[2,1

1]．(4)(-∞，3)∪(3，+∞)．【※解析※】(1)∵y=2x+1，且x∈{1,2,3,4,5}，∴y∈{3,5,7,9,11}．∴函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)∵x≥0，∴x+1≥1．∴函数的值域为[1，+∞)．(3)配方

得y=(x-2)2+2．∵x∈[1,5]，画函数图象如图所示，由图知，2≤y≤11，即函数的值域为[2,11]．(4)∵y=3x+2x-1=3x-1+5x-1=3+5x-1≠3，∴函数的值域为(-∞，3)∪(3，+∞)．【练72

】求下列函数的值域：(1)y=-x2-2x+3(-5≤x≤-2)；(2)y=x+2x-1．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page141/Total218课堂笔记【答案】:(1)[-12,3]；(2)12,+∞【解析】(1)∵x∈[

-5，-2]在对称轴x=-1的左侧，∴x∈[-5，-2]时，抛物线上升．∴当x=-5时，ymin=-12，当x=-2时，ymax=3．∴y=-x2-2x+3的值域是[-12,3]．(2)方法一设u=2x-1

，则u≥0，∴x=1+u22．∴y=1+u22+u=12(u+1)2．∵u≥0，∴y≥12，∴y=x+2x-1的值域为12，+∞．方法二∵2x-1≥0，∴x≥12．而当x增大时y也增大，∴y≥12，∴y=x+2x-1的值域为12，+∞．三、巩固练习1．已

知区间[2a-1,11]，则实数a的取值范围是(A)A．(-∞，6)B．(6，+∞)C．(1,6)D．(-1,6)【答案】:A【解析】由题意可知，2a-1<11，解得a<6．2．函数y=x2-2x的定义域为{0

,1,2,3}，那么其值域为(A)A．{-1,0,3}B．{0,1,2,3}C．{y|-1≤y≤3}D．{y|0≤y≤3}【答案】:A【解析】由对应关系y=x2-2x得，0→0,1→-1,2→0,3→3，所以值域为{-1,0,3}．3．已知四组函数：①f(x)=x，g(x)=

(x)2；②f(x)=x，g(x)=3x3；③f(n)=2n-1，g(n)=2n+1(n∈N)；④f(x)=x2-2x-1，g(t)=t2-2t-1．其中是同一个函数的是(C)A．没有B．仅有②C．②④D．

②③④【答案】:C【解析】对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应关系不同；对于第二、四组，定义域与对应关系都相同．4．函数f(x)=11+x2(x∈R)的值域是(C)A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1]D．(0,1)【答案】:C【解析】因为x2≥0，所以x2+1≥1，所以0<1

x2+1≤1，所以函数的值域为(0,1]．pμθημαz︱eiπ+1=0Page142/Total218课堂笔记5．用区间表示下列数集：(1){x|x≥1}=[1，+∞)；(2){x|2<x≤4}=(2,4]；(3){x|x>-1，且x≠2

}=．【答案】:(1)(2)(3)6．函数y=x+1的值域为(B)A．[-1，+∞)B．[0，+∞)C．(-∞，0]D．(-∞，-1]【答案】:B【解析】由题意得，x+1≥0，则有y≥0，所以B正确．7．(多选)下列各组函数

为同一个函数的是(CD)A．f(x)=x，g(x)=x2xB．f(x)=1，g(x)=(x-1)0C．f(x)=x2x，g(x)=xx2D．f(t)=t2-16t-4，g(t)=t+4(t≠4)【

答案】:CD【解析】A．因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；B．这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数；C．这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数；D．这两个函数的定义域和对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数．8．若一系列函数的解

析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．函数解析式为y=2x2-1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有(B)A．10个B．9个C．8个D．4个【答案】:B【解析】由2x2-1=1，得x1=1，x2=-1；由2

x2-1=7，得x3=-2，x4=2，所以定义域为2个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．9．已知函数f(x)的值域为-32，38，则函数g(x)=f(x)+1-2fx的值域为(B)A．1

2，78B．12，1C．78，1D．0，12∪78，+∞【答案】:B【解析】设t=1-2fx(t≥0)，∵f(x)∈-32，38，∴12≤t≤2．∴设h(t)=1-t22+t=-12(t-1)2+1，∵h(t)=-

12(t-1)2+1图象的对称轴为直线t=1，∴当t=1时，h(t)取得最大值1，当t=2时，h(t)取得最小值12，∴函数︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page143/Total218课堂笔记g(x)的值域是12，1．10．试写出一个与函数y=x2定义域和值域都相同的函数y=(x+1)

2．【答案】:y=(x+1)2(【答案】:不唯一)【解析】函数y=x2与y=(x+1)2的定义域和值域都相同．11．下列各对函数中是同一个函数的是②④(填序号)．①f(x)=2x-1与g(x)=2x-x0；②f(x)=2x+12与g(x)=|2x+1|；③f

(n)=2n+2(n∈Z)与g(n)=2n(n∈Z)；④f(x)=3x+2与g(t)=3t+2．【答案】:②④【解析】①函数g(x)=2x-x0=2x-1，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一个函数；②f(x)=2x+12=|2x+1|与g(x)

=|2x+1|的定义域和对应关系相同，是同一个函数；③f(n)=2n+2(n∈Z)与g(n)=2n(n∈Z)的对应关系不相同，不是同一个函数；④f(x)=3x+2与g(t)=3t+2的定义域和对应关系相同，是同一个函数．12．求下列函数的值域：(1)y=2x+

1x-3；(2)y=2x-x-1．【答案】:(1)(-∞，2)∪(2，+∞)；(2)158，+∞【※解析※】(1)y=2x+1x-3=2x-3+7x-3=2+7x-3，显然7x-3≠0，所以y≠2，故函数的值域为(-∞，2)∪(2，+∞)．(2)设t=x-1，则t≥0

，且x=t2+1，所以y=2(t2+1)-t=2t-142+158，由t≥0，结合函数的图象可得原函数的值域为158，+∞．13．已知函数f(x)=12x2-x+32，是否存在实数m，使得函数的定义域和值域都是[1，m](m>1)？若存

在，求出m的值；若不存在，说明理由．【答案】:存在【※解析※】存在．理由如下：f(x)=12x2-x+32=12(x-1)2+1的对称轴为x=1，顶点(1,1)且开口向上．∵m>1，∴当x∈[1，m]时，y随x的增大而增大，∴要使f(x)的定义域和值域都是[1，m]，则有f

1=1，fm=m，pμθημαz︱eiπ+1=0Page144/Total218课堂笔记∴12m2-m+32=m，即m2-4m+3=0，∴m=3或m=1(舍)，∴存在实数m=3满足条件．14．下列四组函数中表示

同一个函数的是(C)A．f(x)=-2x3，g(x)=x-2xB．f(x)=x2，g(x)=(x+1)2C．f(x)=x2，g(x)=|x|D．f(x)=0，g(x)=x-1+1-x【答案】:C【解析】∵f(x)=-x-2x，g(x)=x-2x，对应关系

不同，∴A中两个函数不表示同一个函数；∵f(x)=x2，g(x)=(x+1)2两个函数的对应关系不一致，∴B中两个函数不表示同一个函数；∵f(x)=x2=|x|与g(x)=|x|，两个函数的定义域均为R，∴

C中两个函数表示同一个函数；f(x)=0，g(x)=x-1+1-x=0(x=1)两个函数的定义域不一致，∴D中两个函数不表示同一个函数．15．若函数f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的

定义域和值域都为R，则a的值是-1．【答案】:-1【解析】由题意知f(x)为一次函数，则满足a2-2a-3=0，a-3≠0，所以a=-1．16．已知集合A={x|y=x+2}，若函数f(x)=-x，x∈A，

则函数f(x)的值域是________．【答案】:(-∞，2]【解析】∵A={x|y=x+2}={x|x≥-2}，∴-x≤2，即函数f(x)的值域是(-∞，2]．17．在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当a≥b时，a

*b=a；当a<b时，a*b=b2．设函数f(x)=(-2*x)-(2*x),x∈(-2,2],则函数f(x)的值域为[-2,2]．【答案】:[-2,2]【解析】由题意知f(x)=x2-2，因为x∈(-2,2]，所以x2∈[0,4]，所以f(x)

∈[-2,2]．18．函数y=3x2+3x+1x2+x-1的值域是-∞，-15∪(3，+∞)．【答案】:-∞，-15∪(3，+∞)【解析】由y=3x2+3x+1x2+x-1，得(y-3)x2+(y-3)x-

(y+1)=0，当y=3时，上式无解．当y≠3时，要使方程有解，需满足Δ=(y-3)2+4(y-3)(y+1)≥0．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page145/Total218课堂笔记即5y2-14y-3≥0，解得y≤-15或y>3．∴y=3x2+3x

+1x2+x-1的值域为-∞，-15∪(3，+∞)．pμθημαz︱eiπ+1=0Page146/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§3.1

.3函数的表示法一、基础必备(一)函数的表示法(二)函数三种表示法的优缺点比较【例112】已知函数f(x)由下表给出，则f(3)=___．x1≤x<222<x≤4f(x)123【答案】:3【解析】∵当2<

x≤4时，f(x)=3，∴f(3)=3．【例113】已知函数y=f(x)的图象如图所示，则其定义域是________．【答案】:[-2,3]【解析】由图象可知f(x)的定义域为[-2,3]．【练73】已知

f(x)的图象如图，则f(x)的值域为______．【答案】:[-4,3]︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page147/Total218课堂笔记【解析】由f(x)的图象知，f(x)的值域为[-4,3]．【练74】若一次函数f(x)的图象经过点(0,1)和(1,2)，则该函

数的解析式为________．【答案】:f(x)=x+1【解析】由题意设f(x)=kx+b，则b=1，k+b=2，解得k=b=1，所以f(x)=x+1．二、题型考法(一)函数的三种表示法理解函数表示法的

三个关注点(1)列表法、图象法、【解析】法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，【解析】法从数的角度描述函数．(3)函数的三种表示法互相兼容或

补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以【解析】法为主．【例114】已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t=ax+bx．当x=2时，t=100；当x=14时，t=28，且参加此项任务的人

数不能超过20人．(1)写出函数t的解析式；(2)用列表法表示此函数；(3)画出函数t的图象．【答案】:(1)t=x+196x．{x|0<x≤20，x∈N}．【解析】(1)由题设条件知，当x=2时，t=100，当x=14时，t=28，列出方程组2a+b2=100，14a+b14=28，解得

a=1，b=196．所以t=x+196x．又因为x≤20，x为正整数，所以函数的定义域是{x|0<x≤20，x∈N}．(2)x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：x123

45678910t19710068.35344.238.73532.530.829.6x11121314151617181920t28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8注：表中的部分数据是近似值．(3)函数t的图

象是由20个点组成的一个点列，如图所示．【练75】已知函数f(x)=-x-1，x∈{1,2,3,4}，试分别用图象法和列表法表示函数y=f(x)．【答案】:用图象法表示函数y=f(x)，如图所示．pμθημαz︱eiπ+

1=0Page148/Total218课堂笔记用列表法表示函数y=f(x)，如表所示．x1234y-2-3-4-5(二)函数的图象的画法作函数y=f(x)图象的方法(1)若y=f(x)是已学过的函数，则

描出图象上的几个关键点，直接画出图象即可，有些可能需要根据定义域进行取舍．(2)若y=f(x)不是所学过的函数之一，则要按：①列表；②描点；③连线三个基本步骤作出y=f(x)的图象．【例115】作出下列函数的图象，并求其值域：(1)y=2x+1，x∈[0,2]；(2)y=2

x，x∈[2，+∞)；(3)y=x2+2x，x∈[-2,2]．【答案】:(1)中函数的值域为[1,5]．(2)中函数的值域为(0,1]．(3)中函数的值域为[-1,8]．【解析】(1)当x∈[0,2]时，图象是直线y=2x+1的一部分．如图所示，(2)当x∈[2，+∞)时，图象是反比例函数y=2

x的一部分．如图所示，(3)当-2≤x≤2时，图象是抛物线y=x2+2x的一部分．如图所示，解观察图象可知：(1)中函数的值域为[1,5]．(2)中函数的值域为(0,1]．(3)中函数的值域为[-1,8]．【练76】作出下列函数的图象：(1)y=1-x(x∈

Z)；(2)y=x2-4x+3，x∈[1,3]．【※解析※】(1)因为x∈Z，所以图象为直线y=1-x上的孤立点，其图象如图①．(2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1，当x=1,3时，y=0；当x=2时，y=-1，其图象如图②所示．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page149/

Total218课堂笔记(三)求函数的解析式求函数解析式的四种常用方法(1)换元法：设t=g(x)，解出x，代入f(g(x))，求f(t)的解析式即可．(2)配凑法：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g

(x)表示出来，再用x代替两边所有的“g(x)”即可．(3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．(4)方程组法(或消元法)：当同一个对应关系中的两个之间有互

为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性．【例116】(1)已知f(x+1)=x+2x，求f(x)；(2)已知f(x)为二次函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x，求f(x)；(3)已知函数f(x)对

于任意的x都有2f1x+f(x)=x(x≠0)，求f(x)．【答案】:(1)f(x)=x2-1(x≥1)；(2)f(x)=x2-2x-1．(3)f(x)=23x-x3(x≠0)．【※解析※】(1)方法一(换元法)：令t=

x+1，则x=(t-1)2，t≥1，所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1)，所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1)．方法二(配凑法)：f(x+1)=x+2x=x+2x+1-1=(x+1)2-1．因为x+1≥1，所以f(x

)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1)．(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x，∴2a=2，2b=-4，2a+2c=0，∴a=1，b=-2，c

=-1，∴f(x)=x2-2x-1．(3)f(x)+2f1x=x，令x=1x，得f1x+2f(x)=1x，于是得关于f(x)与f1x的方程组fx+2f1x=x，f1x+2fx=1x．解得f

(x)=23x-x3(x≠0)．【练77】(1)已知f(x+1)=x2-3x+2，求f(x)；(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))=4x+8，求f(x)．【答案】:(1)f(x)=x2-

5x+6．pμθημαz︱eiπ+1=0Page150/Total218课堂笔记(2)f(x)=2x+83或f(x)=-2x-8．【※解析※】(1)方法一(配凑法)：∵f(x+1)=x2-3x+2=(x+1)2-5x+1=(x+1)2-5(x+1)+6，∴f(x)=x2-5x+6．方法二(

换元法)：令t=x+1，则x=t-1，∴f(t)=(t-1)2-3(t-1)+2=t2-5t+6，即f(x)=x2-5x+6．(2)设f(x)=ax+b(a≠0)，则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b．又f(

f(x))=4x+8，∴a2x+ab+b=4x+8，即a2=4，ab+b=8，解得a=2，b=83或a=-2，b=-8．∴f(x)=2x+83或f(x)=-2x-8．(四)函数图象的应用(1)函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以

更直观地寻求问题的解决思路和要点．(2)借助几何直观认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形分析数学问题，是直观想象的核心内容，也是数学的核心素养．【例117】已知函数f(x)=x2-2x(x>1或x<-1)，(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的图象与y=m有两个交点

，求实数m的取值范围．【答案】:(1)(-1，+∞)．(2)m>3．【※解析※】f(x)=x2-2x=(x-1)2-1(x>1或x<-1)是抛物线y=x2-2x去掉-1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图所示．(1)由图可知，函数f(x)的

值域为(-1，+∞)．(2)f(x)的图象与直线y=m有2个不同交点，由图易知m>3．三、巩固练习1．已知函数f(2x-1)=4x+6，则f(x)的解析式是A．f(x)=2x+8B．f(x)=2x+1C．f(x)=2x+2D．f(

x)=4x+2【答案】:A【解析】因为f(2x-1)=4x+6=2(2x-1)+8，所以f(x)=2x+8．2．已知函数y=f(x)的对应关系如下表，函数y=g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，则f(

g(2))的值为x123f(x)230A．3B．2C．1D．0【答案】:B【解析】由函数g(x)的图象知，g(2)=1，则f(g(2))=f(1)=2．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page151/Total218课堂笔记3．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))=____．x1

234f(x)3241【答案】:1【解析】由题设给出的表知f(3)=4，则f(f(3))=f(4)=1．4．已知f(1-2x)=1x2，则f12的值为A．4B．14C．16D．116【答案】:C【解析】根据题意知1-2x=12，解得x

=14，故1x2=16．5．已知f(x-1)=x2+4x-5，则f(x)的解析式是A．f(x)=x2+6xB．f(x)=x2+8x+7C．f(x)=x2+2x-3D．f(x)=x2+6x-10【答案】:A【解析】方法一设t=x-1，则x=t+1．∵f(x-

1)=x2+4x-5，∴f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t2+6t，∴f(x)的解析式是f(x)=x2+6x．方法二∵f(x-1)=x2+4x-5=(x-1)2+6(x-1)，∴f(x)=x2+6x，∴f(x

)的解析式是f(x)=x2+6x．6．已知函数f(2x+1)=3x+2，且f(a)=2，则a的值为A．-1B．5C．1D．8【答案】:C【解析】由3x+2=2得x=0，所以a=2×0+1=1．7．李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论

问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他加快速度回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是【答案】:D【解析】由题意可知，李明离家的距离随时间的变化先是变小，且变化得比较慢，后来保持不变，再后来继续变小，且变化得比较快，直至为0，只有D选项符

合题意．8．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量x(kg)与其运费y(元)pμθημαz︱eiπ+1=0Page152/Total218课堂笔记由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________kg．【答案】

:19【解析】设一次函数解析式为y=ax+b(a≠0)，代入点(30,330)与点(40,630)得330=30a+b，630=40a+b，解得a=30，b=-570．即y=30x-570，若要免费，则y≤0，所以x≤19．9．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)=6x+4，

则f(x)=________．【答案】:2x-23【解析】设f(x)=ax+b(a≠0)，则f(x+1)=a(x+1)+b=ax+a+b，依题设，3ax+3a+3b=6x+4，∴3a=6，3a+3b=4，∴a=2，b=-23，则f(x)=2x-23

．10．(1)已知函数f(x+1)=3x+2，求f(x)；(2)已知fx-1x=x2+1x2，求f(x)；(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x，求f(x)．【答案】:(1)f(x)

=3x-1；(2)f(x)=x2+2；(3)f(x)=23x-1；【解析】(1)方法一(换元法)：令x+1=t，∴x=t-1，∴f(t)=3(t-1)+2=3t-1，∴f(x)=3x-1．方法二(配凑法)：f(x+1)=3x+2=

3(x+1)-1，∴f(x)=3x-1．(2)∵fx-1x=x2+1x2=x-1x2+2，令t=x-1x，∴f(t)=t2+2，∴f(x)=x2+2．(3)由题意，在f(x)-2f(-x)=1+2x中，以-x代替x可得f(-x)-2f(x)=1-2x，联立可得fx-2f-x=

1+2x，f-x-2fx=1-2x，消去f(-x)可得f(x)=23x-1．11．函数y=x1+x的大致图象是【答案】:A【解析】方法一y=x1+x的定义域为{x|x≠-1}，排除C，D，当x=0时，y=0，排除︱数是万物的本

原-毕达哥拉斯Page153/Total218课堂笔记B．方法二y=x1+x=1-1x+1，由函数的平移性质可知A正确．12．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为A．y=

20-2xB．y=20-2x(0<x<10)C．y=20-2x(5≤x≤10)D．y=20-2x(5<x<10)【答案】:D【解析】由题意得y+2x=20，所以y=20-2x，又2x>y，即2x>20-2x，即x>5，由y>0即20-2x>0得x<10，所以5<x<10．13．设f(

x)=2x+a，g(x)=14(x2+3)，且g(f(x))=x2-x+1，则a的值为______．【答案】:-1【解析】因为g(x)=14(x2+3)，所以g(f(x))=14[(2x+a)2+3]=14(4x2+4ax+a2+3)=x2-x+1，求得a=-1．14．已

知函数F(x)=f(x)+g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F13=16，F(1)=8，则F(x)的解析式为________________．【答案】:F(x)=3x+5x(x≠

0)【解析】设f(x)=kx(k≠0)，g(x)=mx(m≠0，且x≠0)，则F(x)=kx+mx．由F13=16，F(1)=8，得13k+3m=16，k+m=8，解得k=3，m=5，所以F(x)=

3x+5x(x≠0)．15．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】:A【解析】对于第一幅图，水面

的高度h的增加应是均匀的，因此不正确，其他均正确．16．已知函数f(x)=x2+(a+1)x+b满足f(3)=3，且f(x)≥x恒成立，求f(x)的解析式．解由f(3)=3，得b=-3a-9．由f(x)≥x恒成立可知，x2+ax+b≥0恒成立，

所以a2-4b≤0，所以a2+12a+36=(a+6)2≤0，所以a=-6，b=9．所以f(x)=x2-5x+9．pμθημαz︱eiπ+1=0Page154/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§3.1

.4分段函数一、基础必备(一)分段函数1．一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．3．作分段函数图象时，应分别作出每

一段的图象．【例118】基础练习之判断正误(1)分段函数由几个函数构成．(F)(2)函数f(x)=x+1，x≤1，-x+3，x>1是分段函数．(T)(3)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应关系，但它们是一个函数．(T)(4)分段函数各段上的函数值集合的交集为

∅．(F)二、题型考法(一)分段函数求值(1)分段函数求值的方法①先确定要求值的自变量属于哪一段区间．②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知分段

函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．【例119】已知函数f(x)=x+1，x≤-2，3x+5，-2<x<2，2x-1，x≥2，(1)求f(-5

)，f(1)，ff-52；(2)若f(a2+2)≥a+4，求实数a的取值范围．(3)若f(a)=3，求实数a的值．(4)若f(x)>2x，求x的取值范围．【答案】:(1)12(2)-∞,-12∪[1，+∞)(3)-23或2(4

){x|x<2}【解析】(1)由-5∈(-∞，-2]，1∈(-2,2)，-52∈(-∞，-2]，知f(-5)=-5+1=-4，f(1)=3×1+5=8，ff-52=f-52+1=f-32=3×-32+5=12．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page155/To

tal218课堂笔记(2)因为a2+2≥2，所以f(a2+2)=2(a2+2)-1=2a2+3，所以不等式f(a2+2)≥a+4化为2a2-a-1≥0，解得a≥1或a≤-12，即实数a的取值范围是-∞，-12∪[1

，+∞)．(3)当a≤-2时，f(a)=a+1=3，即a=2>-2，不合题意，舍去；当-2<a<2时，f(a)=3a+5=3，即a=-23∈(-2,2)，符合题意；当a≥2时，f(a)=2a-1=3，即a=2∈[2，+∞)，符合题

意．综上可得，当f(a)=3时，a的值为-23或2．(4)当x≤-2时，f(x)>2x可化为x+1>2x，即x<1，所以x≤-2；当-2<x<2时，f(x)>2x可化为3x+5>2x，即x>-5，所以-2<x<2；当x≥2时，f(x)>2

x可化为2x-1>2x，则x∈∅．综上可得，x的取值范围是{x|x<2}．【练78】已知函数f(x)=x+1x-2，x>2x2+2，x≤2，则f(f(1))等于A．-12B．2C．4D．11【答案】:C【解析】由函数的解析式可

得，f(1)=12+2=3，则f(f(1))=f(3)=3+13-2=4．【练79】函数f(x)=x2+2，x≤245x，x>2，若f(x0)=8，则x0=________．【答案】:-6或10【解析】当x0≤2时，

f(x0)=x20+2=8，即x20=6，∴x0=-6或x0=6(舍去)；当x0>2时，f(x0)=45x0=8，∴x0=10．综上可知，x0=-6或x0=10．(二)分段函数的图象及应用分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝

对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．【例120

】已知函数f(x)=-x2+2，g(x)=x，令φ(x)=min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．(1)分别用图象法和解析式表示φ(x)；(2)求函数φ(x)的定义域，值域．【答案】:定义域为R，值域为(-∞，1]．【解析】(1)在同一个坐

标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①．由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②．令-x2+2=x，得x=-2或x=1．pμθημαz︱eiπ+1=0Page156/Total218课堂笔记结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)=-x2

+2，x≤-2，x，-2<x<1，-x2+2，x≥1．(2)由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)=1，∴φ(x)的值域为(-∞，1]．【练80】设x∈R，则函数y=2|x-1|-3|x|的值域为____

____．【答案】:{y|y≤2}【解析】当x≥1时，y=2(x-1)-3x=-x-2；当0≤x<1时，y=-2(x-1)-3x=-5x+2；当x<0时，y=-2(x-1)+3x=x+2．故y=-x-2，x≥1，-5x+2，0≤x<1，x+2，x<0．根据函数解析

式作出函数图象，如图所示．由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}．(三)分段函数的实际应用分段函数的实际应用(1)当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确

自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式．【例121】如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为22cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有

公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF=x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．【答案】:y=12x2，x∈[0，2]，2x-2，x∈2，5]，-12x-72+10，x∈5，7．【※解析※】过点A，D分别作AG⊥BC，

DH⊥BC，垂足分别是G，H．因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB=22cm，又BC=7cm，所以AD=GH=3cm．(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y=12x2；(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y=x+x-22×2=2x-2；(3)当点F在HC上，即x∈(5

,7]时，y=S五边形ABFED=S梯形ABCD-SRt△CEF=12(7+3)×2-12(7-x)2=-12(x-7)2+10．综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page157

/Total218课堂笔记y=12x2，x∈[0，2]，2x-2，x∈2，5]，-12x-72+10，x∈5，7．图象如图所示．【例122】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．(1)求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；(2)假

设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函数解析式，并作出相应的图象．【答案】:s=50t+2004，0≤t<1，80t-

1+2054，1≤t<2，90t-2+2134，2≤t<3，75t-3+2224，3≤t<4，65t-4+2299，4≤t≤5．【解析】(1)阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360．阴影部分的面积表示汽车在这5

h内行驶的路程为360km．(2)根据图象，有s=50t+2004，0≤t<1，80t-1+2054，1≤t<2，90t-2+2134，2≤t<3，75t-3+2224，3≤t<4，65t-4+2299，4≤t≤5．相

应的图象如图所示：三、巩固练习1．函数f(x)=|x-1|的图象是【答案】:B【解析】方法一函数的解析式可化为y=x-1，x≥1，1-x，x<1．画出此分段函数的图象，故选B．方法二由f(-1)=2，知图象过点(-1,2)，排除A，C，

D．2．著名的Dirichlet函数D(x)=1，x为有理数，0，x为无理数，则DDx等于A．0B．1C．1，x为无理数，0，x为有理数D．1，x为有理数，0，x为无理数【答案】:Bpμθημαz︱eiπ+1=0Page158/Total218课堂笔记【解析】∵D(x

)∈{0,1}，∴D(x)为有理数，∴DDx=1．3．已知函数f(x)=1x+1，x<1且x≠-1，x-1，x≥1，则f(2)=________．【答案】:1【解析】f(2)=2-1=1．4．函数f(x)=x+2，x≤-1，x2，

-1<x<2，若f(x)=3，则x的值是________．【答案】:3【解析】当x≤-1时，x+2=3，得x=1，舍去；当-1<x<2时，x2=3得x=3或x=-3(舍去)．5．设函数f(x)=x2+1，x≤1，2x，x>1，则f(f(3))等于A．15B．3C．23D．139【

答案】:D【解析】∵f(3)=23≤1，∴f(f(3))=232+1=139．6．设x∈R，定义符号函数sgnx=1，x>0，0，x=0，-1，x<0，则函数f(x)=|x|sgnx的图象大致是【答

案】:C【解析】由题意知f(x)=x，x>0，0，x=0，x，x<0，则f(x)的图象为C中图象所示．7．设函数f(x)=3x-b，x<1，2x，x≥1，若ff56=4，则b等于A．1B．78C．34D．12【答案】:D【解析】ff56

=f3×56-b=f52-b．当52-b<1，即b>32时，3×52-b-b=4，解得b=78(舍去)．当52-b≥1，即b≤32时，2×52-b=4，解得b=12．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page159/Total218课堂笔记8．已知f(x

)=2x，x>0，fx+1，x≤0，则f-43+f43=________．【答案】:4【解析】∵f(x)=2x，x>0，fx+1，x≤0，∴f-43=f-43+1=f-13=f-13+1=f23=23×2=43，f43=2×43=8

3，∴f-43+f43=43+83=4．9．函数f(x)=-x2+1，0<x<1，0，x=0，x2-1，-1<x<0的定义域为______，值域为______．【答案】:(-1,1)；(-1,1)【解析】定义

域为各段的并集，即(0,1)∪{0}∪(-1,0)=(-1,1)．值域为各段的并集(0,1)∪{0}∪(-1,0)=(-1,1)．10．设f(x)=x+3，x>10，ffx+5，x≤10，则f(5)的值是A．2

4B．21C．18D．16【答案】:A【解析】f(5)=f(f(10))，f(10)=f(f(15))=f(18)=21，f(5)=f(21)=24．11．已知实数a≠0，函数f(x)=2x+a，x<1，-x-2a，x≥1，若f(1-a)=f(1+a)，则a的值为________．【

答案】:-34【解析】当a>0时，1-a<1,1+a>1，∴2(1-a)+a=-1-a-2a，解得a=-32(舍去)．当a<0时，1-a>1,1+a<1，∴-1+a-2a=2+2a+a，解得a=-34．12．已知函数f(x)=3x2-2x

，x≥1，-2x2+3，x<1，则使f(x)<2成立的x的值组成的集合为______________．【答案】:xx<-22或22<x<1+73【解析】由题意可得x≥1，3x2-2x<

2或x<1，-2x2+3<2．由x≥1，3x2-2x<2解得1≤x<1+73；由x<1，-2x2+3<2解得x<-22或22<x<1．综上所述，使f(x)<2成立的x的值组成的集合为pμθ

ημαz︱eiπ+1=0Page160/Total218课堂笔记xx<-22或22<x<1+73．13．若定义运算a⊙b=b，a≥b，a，a<b，则函数f(x)=x⊙(2-x)的值域为_____．【答案】:(-∞，1]【解析】由题意得f(x)=2-x，x≥1，x，x

<1，画出函数f(x)的图象得值域为(-∞，1]．14．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的

地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？(5)他在9∶00~10∶00和10∶00~10∶30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？【解

析】(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00~10∶00的平均速度是10千米

/时；10∶00~10∶30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page161/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§3.2.1函数性质之单调性一、基础必备(一)增函数与减函数的定义条件设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I条件∀x1，x2∈D，x1<

x2都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2)图示结论f(x)在区间D上单调递增f(x)在区间D上单调递减特殊情况当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(二)函数的单调区间如果函数y=f(x)在区间D上单调递增

或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间．特别提醒(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可

闭，若区间端点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D⊆定义域I．(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大．【例123】基础练习之判断正误(1)因为f(-1)<f(2)，所以函数f(x)在[-1,2]上单调递增．(F)(2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．(T)(3)若函数f(x

)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递增，则函数f(x)在区间(1,3)上单调递增．(F)(4)若函数y=f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y=f(x)是增函数．(F)(5)若函数y=f(x)在区间D上单调递增，则函数y=-f(x)在区间D上单调

递减．(T)二、基础必备(一)函数单调性的判断与证明利用定义判断或证明函数单调性的步骤pμθημαz︱eiπ+1=0Page162/Total218课堂笔记【例124】用定义判断函数f(x)=ax+1x+2a≠12在(-2

，+∞)上的单调性．【答案】:当a<12时，f(x)在(-2，+∞)上单调递减；当a>12时，f(x)在(-2，+∞)上单调递增．【※解析※】设-2<x1<x2，则f(x2)-f(x1)=ax2+1x2+2-ax1+1x1+2=a

x2+1x1+2-ax1+1x2+2x2+2x1+2=x2-x12a-1x1+2x2+2．∵-2<x1<x2，∴x2-x1>0，x1+2>0，x2+2>0，故当a<12时，f(x2)-f(x1)<0，∴f(x)在(-2，+∞)上单调递减．当a>12时

，f(x2)-f(x1)>0，∴f(x)在(-2，+∞)上单调递增．综上得，当a<12时，f(x)在(-2，+∞)上单调递减；当a>12时，f(x)在(-2，+∞)上单调递增．【练81】利用单调性的定义，证

明函数f(x)=x+2x+1在(-1，+∞)上单调递减．【证明】:∀x1，x2∈(-1，+∞)，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=x1+2x1+1-x2+2x2+1=x2-x1x1+1x2+1．因为-1<x1<x2，所以x2-x1>0，x1+1>0，x2+

1>0，所以x2-x1x1+1x2+1>0，即f(x1)-f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．所以f(x)=x+2x+1在(-1，+∞)上单调递减．(二)求函数的单调区间求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1

)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．(2)利用函数的图象．提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开．【例125】求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还

是单调递减．(1)f(x)=-1x；(2)f(x)=2x+1，x≥1，5-x，x<1；(3)f(x)=-x2+2|x|+3．【答案】:(1)(-∞，0)，(0，+∞)，其在(-∞，0)，(0，+∞)上都单调递增

．(2)(-∞，1)，[1，+∞)，在(-∞，1)上单调递减，在[1，+∞)上单调递增．(3)(-∞，-1]，(-1,0)，[0,1)，[1，+∞)．在(-∞，-1]，[0,1)上单调递增，在(-1,0)，[1，+∞)上单调递减．【※解析※】

(1)函数f(x)=-1x的单调区间为(-∞，0)，(0，+∞)，其在(-∞，0)，︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page163/Total218课堂笔记(0，+∞)上都单调递增．(2)当x≥1时，f(x

)单调递增，当x<1时，f(x)单调递减，所以f(x)的单调区间为(-∞，1)，[1，+∞)，并且函数f(x)在(-∞，1)上单调递减，在[1，+∞)上单调递增．(3)因为f(x)=-x2+2|x|+3

=-x2+2x+3，x≥0，-x2-2x+3，x<0．根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f(x)的单调区间为(-∞，-1]，(-1,0)，[0,1)，[1，+∞)．f(x)在(-∞，-1]，[0,1)上单调递增，在(-1,0)，[1，+∞)

上单调递减．【练82】借助函数图象，求函数f(x)=|x2-1|+x的单调递增区间．【答案】:-1，12，[1，+∞)【※解析※】当x≥1或x≤-1时，f(x)=x2+x-1=x+122-54；当-1<x

<1时，f(x)=-x2+x+1=-x-122+54．作出函数f(x)的图象(如图实线部分)．由图可知函数f(x)的单调递增区间为-1，12，[1，+∞)．(三)函数单调性的应用由函数单调性求参数范围的处理方法(1)由函数解析式求参数若为二次函数—判断开口方向与对称轴—

利用单调性确定参数满足的条件，若为一次函数—由一次项系数的正负决定单调性．若为复合函数y=|f(x)|或y=f(|x|)—数形结合，探求参数满足的条件．(2)当函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后

求解，此时注意函数的定义域．【例126】若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．【答案】:(-∞，-4]【解析】f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3．因此函数的单调递增区间为(

-∞，-a-1]，由f(x)在(-∞，3]上单调递增知3≤-a-1，解得a≤-4，即实数a的取值范围为(-∞，-4]．【例127】已知函数y=f(x)是(-∞，+∞)上的增函数，且f(2x-3)>f(5x-6)，则实数x的取值范围为________

．【答案】:(-∞，1)【解析】∵f(x)在(-∞，+∞)上是增函数，且f(2x-3)>f(5x-6)，∴2x-3>5x-6，即x<1．∴实数x的取值范围为(-∞，1)．【练83】若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3的单调递增区间是(-∞，3]，则实数a的pμθημαz

︱eiπ+1=0Page164/Total218课堂笔记值为________．【答案】:-4【解析】f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3．因此函数的单调递增区间为(-∞，-a-1]，由题意得-a-1=3，a=-4．【练84】函数f(x)

是定义在(0，+∞)上的减函数，且f(2x-3)>f(5x-6)，求x的取值范围．【答案】:32，+∞【※解析※】由题意可知，2x-3>0，5x-6>0，2x-3<5x-6，解得x>32，∴x的取

值范围为32，+∞．【例128】若f(x)在R上是减函数，则f(-1)与f(a2+1)之间有A．f(-1)≥f(a2+1)B．f(-1)>f(a2+1)C．f(-1)≤f(a2+1)D．f(-1)<f(a2+1)【答案】:B【解析】∵f(x)在R上是减函数，∴对

任意x1，x2，若x1<x2，均有f(x1)>f(x2)．又∵-1<a2+1，∴f(-1)>f(a2+1)．【练85】若f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(-2x+8)的解集是________．【答案】:83，4【解析】依题意，得不等式组x≥0，

-2x+8≥0，x>-2x+8，解得83<x≤4．三、巩固练习1．(多选)下列函数在区间(0，+∞)上单调递增的是A．y=2x+1B．y=x2+1C．y=3-xD．y=x2+2x+1【答案】:ABD【解析】函数y=3-x在区间(0，+∞)上单调递减．2．函数f(x)在R上

是减函数，则有A．f(3)<f(5)B．f(3)≤f(5)C．f(3)>f(5)D．f(3)≥f(5)【答案】:C【解析】因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)．3．若y=(2

k-1)x+b是R上的减函数，则有A．k>12B．k>-12C．k<12D．k<-12【答案】:C︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page165/Total218课堂笔记【解析】由2k-1<0，得k<12．4．已知f(x)是

定义在R上的增函数，且f(x2-2)<f(-x)，则x的取值范围是___．【答案】:(-2,1)【解析】x2-2<-x，即x2+x-2<0，解得-2<x<1．5．(多选)下列说法中，正确的有A．若任意x1，x2∈I，当x1<x2时，fx1-fx2x1-x2>0，则y=

f(x)在I上是增函数B．函数y=x2在R上是增函数C．函数f(x)=-x+1，x<0，-x，x≥0在定义域上是减函数D．函数y=1x的单调区间是(-∞，0)∪(0，+∞)【答案】:AC【解析】当x1<x2时，x1-x2<0，由fx1-fx2x1-

x2>0知f(x1)-f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，A正确；作出函数f(x)=-x+1，x<0，-x，x≥0的图象可知其在定义域上是减函数，所以C正确；B和D错误．6．下列函数中，在区间(0,2)上单调递增的是A．y=5-xB．y=x2+2C．y=1xD．y=-|x|【答案】

:B【解析】选项A，C，D中的函数在(0,2)上单调递减，只有函数y=x2+2在(0,2)上单调递增．7．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(

x1)与f(x2)的大小关系为A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)>f(x2)C．f(x1)=f(x2)D．不能确定【答案】:D【解析】由函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同

一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定．8．若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞，2]上单调递减，则实数a的取值范围是A．-32，+∞B．-∞，-32C．(3，+∞)D．(-∞，-3]【答案】:B【解析】∵函数y=x2+(2a-1)

x+1的图象开口向上，直线x=2a-1-2为函数的对pμθημαz︱eiπ+1=0Page166/Total218课堂笔记称轴，又∵函数在区间(-∞，2]上单调递减，故2≤2a-1-2，解得a≤-32．9．f(x)为(-∞

，+∞)上的减函数，a∈R，则A．f(a)<f(2a)B．f(a2)<f(a)C．f(a2+1)<f(a)D．f(a2+a)<f(a)【答案】:C【解析】因为a∈R，所以a-2a=-a与0的大小关系不定，无法比较f(a)与f(2a)

的大小，故A错；而a2-a=a(a-1)与0的大小关系也不定，也无法比较f(a2)与f(a)的大小，故B错；又因为a2+1-a=a-122+34>0，所以a2+1>a．又f(x)为(-∞，+∞)上的减函数，故有f(a2+1)<f(a)，故C对；易知D错．10．

函数y=|x|(1-x)的单调递增区间为________．【答案】:0，12【解析】y=|x|(1-x)=-x2+x，x>0，x2-x，x≤0，作出其图象如图，观察图象知单调递增区间为0，12．11．若函数f(x)=1x+

1在(a，+∞)上单调递减，则a的取值范围是_____．【答案】:[-1，+∞)【解析】函数f(x)=1x+1的单调递减区间为(-1，+∞)，(-∞，-1)，又f(x)在(a，+∞)上单调递减，所以a≥-1．12．已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数，且f(x

-2)<f(1-x)，则x的取值范围是________．【答案】:1，32【解析】由题意，得-1≤x-2≤1，-1≤1-x≤1，x-2<1-x，解得1≤x<32，故满足条件的x的取值范围

是1，32．13．已知函数f(x)=mx+1nx+12(m，n是常数)，且f(1)=2，f(2)=114．(1)求m，n的值；(2)当x∈[1，+∞)时，判断f(x)的单调性并用定义证明．【答案】:(1)m=1，n=2．(2)在[1，+∞)上单调递增︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Pa

ge167/Total218课堂笔记【解析】(1)因为f(1)=m+1n+12=2，f(2)=2m+12n+12=114．所以m=1，n=2．(2)由(1)知f(x)=x+12x+12，f(x)在x∈[1，+∞)上单

调递增，证明如下：设1≤x1<x2，f(x1)-f(x2)=x1+12x1+12-x2+12x2+12=(x1-x2)1-12x1x2=x1-x22x1x2-12x1x2．因为1≤x1<x2，所以x1-x2<0，x1x2>1，所以2x1x2>

2>1，所以x1-x22x1x2-12x1x2<0，即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在[1，+∞)上单调递增．14．已知函数f(x)=x-ax+a2在(1，+∞)上单调递增，求实数a的取值范围．【答案】:[-1，+∞)解设1<

x1<x2，∴x1x2>1．∵函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，∴f(x1)-f(x2)=x1-ax1+a2-x2-ax2+a2=(x1-x2)1+ax1x2<0．∵x1-x2<0，∴1+ax1x2>0，即a>-x1x2．∵1<x

1<x2，x1x2>1，∴-x1x2<-1，∴a≥-1．∴a的取值范围是[-1，+∞)．15．若函数y=ax与y=-bx在(0，+∞)上都单调递减，则函数f(x)=ax2+bx在(0，+∞)上A．单调递增B．单调递减C．先增后减D．先减后增【答案】:B【解析】由于函数y=ax与y=-bx在(0，

+∞)上均单调递减，故a<0，b<0，故二次函数f(x)=ax2+bx的图象开口向下，且对称轴为直线x=-b2a<0，故函数f(x)=ax2+bx在(0，+∞)上单调递减．16．已知函数f(x)=x2+4x，x≥0，4x-x2，x<0，若f(4-a)>f(a)，则实数a

的取值范围是A．(-∞，2)B．(2，+∞)C．(-∞，-2)D．(-2，+∞)【答案】:A【解析】画出f(x)的图象(图略)可判断f(x)在R上单调递增，故f(4-a)>f(a)⇔4-a>a，解得a<2

．17．已知函数f(x)=x2，x>1，4-a2x-1，x≤1．若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为______．【答案】:[4,8)pμθημαz︱eiπ+1=0Page168/Total218课堂笔记【解析】因为f(x)是R上的增

函数，所以4-a2>0，4-a2-1≤1，解得4≤a<8．18．若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在(-1，+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．【答案】:[-3,0]【解析】①a=0时，f(x)=-3x+1在R上单调递减，∴a=0满足条件；②a≠0时，f(

x)=ax2+(a-3)x+1，对称轴为x=-a-32a，∴a<0，-a-32a≤-1，解得-3≤a<0．由①②得-3≤a≤0，故a的取值范围是[-3,0]．19．已知定义在R上的函数y=f(x)满足以下三个条件：①对于任意的x∈R，都有f(x+1)=-f(x)；②函

数y=f(x)的图象关于直线x=1对称；③对于任意的x1，x2∈[0,1]，且fx1-fx2x2-x1>0．则f(-1)，f32，f(2)的大小顺序是____．(用“<”连接)【答案】:f(-1)<f32<f(2)【解析】由①知f(1)=-f(0)

，f(0)=-f(-1)，所以f(-1)=f(1)．由③知fx1-fx2x1-x2<0，所以函数f(x)在[0,1]上单调递减，结合②知，函数f(x)在[1,2]上单调递增，所以f(1)<f32<f(2)，即f(-1

)<f32<f(2)．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page169/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§3.2.2函数性质之函数的最大(小)值一、基础必备(一)函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地

，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M∃x0∈I，使得f(x0)=M结论称M是函数y=f(x)的最大值称M是函数y=f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的

纵坐标(二)求函数最值的常用方法1．图象法：作出y=f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax=f(

b)，ymin=f(a)．(2)若y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax=f(a)，ymin=f(b)．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．【例129】函数f(x)在[-2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值为________，最大值为___

_____．【答案】:-12【解析】由图可知，图象最低点的纵坐标为-1，图象最高点的纵坐标为2，所以函数的最大值为2，最小值为-1．【例130】函数f(x)=|x|，x∈[-1,3]，则f(x)的最大值为________．【答案】:3【解析】根据图象(图略)可知，f(x)max=

3．【练86】函数y=1x-1在[2,3]上的最大值为________．【答案】:1【解析】∵y=1x-1在[2,3]上单调递减，∴ymax=f(2)=1．【练87】函数y=2x2+2，x∈R的最小值是_

_______．【答案】:2二、题型考法(一)图象法求函数的最值(值域)图象法求函数最值的一般步骤pμθημαz︱eiπ+1=0Page170/Total218课堂笔记【例131】求函数y=|x+1|-|x-2|的最大值和最小值．【答案】:大值为3，

最小值为-3．解y=|x+1|-|x-2|=-3，x≤-1，2x-1，-1<x<2，3，x≥2．作出函数的图象，由图可知，y∈[-3,3]．所以函数的最大值为3，最小值为-3．【练88】已知函数f(x)=x2-x，0≤x≤2，2x-1，x>

2，求函数f(x)的最大值、最小值．【答案】:最大值为2，最小值为-14【※解析※】作出f(x)的图象如图．由图象可知，当x=2时，f(x)取最大值为2；当x=12时，f(x)取最小值为-14．所以f

(x)的最大值为2，最小值为-14．(二)利用函数的单调性求函数的最值利用函数的单调性求最值的关注点(1)若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)．(2)若函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)

．(3)若函数y=f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端

点处的函数值或者发展趋势．【例132】已知函数f(x)=x2+2x+ax，x∈[1，+∞)．(1)当a=12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意的x∈[1，+∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围．【答案】:(1)72(

2)(-3，+∞)【※解析※】(1)当a=12时，f(x)=x2+2x+12x=x+12x+2．任取x1，x2∈[1，︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page171/Total218课堂笔记+∞)，且x1<x2，所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)·1-12x1x

2，因为x1<x2且x1>1，x2>1，所以x1-x2<0，x1x2>1，所以1-12x1x2>0，所以(x1-x2)1-12x1x2<0，所以f(x1)<f(x2)，即函数f(x)在[1，+∞)上单调递增．所以函数f(x)在[1，

+∞)上的最小值为f(1)=1+12+2=72．(2)因为f(x)=x2+2x+ax>0在[1，+∞)上恒成立，所以x2+2x+a>0在[1，+∞)上恒成立．记y=x2+2x+a，x∈[1，+∞)，所以y=(x+1)2+a-1在[

1，+∞)上单调递增，故当x=1时，y取得最小值，最小值为3+a．所以当3+a>0，即a>-3时，f(x)>0恒成立，所以实数a的取值范围为(-3，+∞)．【练89】已知函数f(x)=x+1x．(1)求证f(x)在[1，+∞)上单调递增

；(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值．【答案】:(1)证明设1≤x1<x2，则f(x1)-f(x2)=x1+1x1-x2+1x2=x1-x2x1x2-1x1x2．∵1≤x1<x2，∴x1-x2<0，x1x2>1，∴x1x2-1>0，∴x1

-x2x1x2-1x1x2<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)在[1，+∞)上单调递增．(2)f(x)在[1,4]上的最大值是174，最小值是2．【※解析※】(1)证明设1≤x1<x2，则f(x1)-f(x2)=x1+

1x1-x2+1x2=x1-x2x1x2-1x1x2．∵1≤x1<x2，∴x1-x2<0，x1x2>1，∴x1x2-1>0，∴x1-x2x1x2-1x1x2<0，即f(x1)<f(x2)．∴f(x)在[1，+∞)上单调递增．(2)解由(1)可知f(x)

在[1,4]上单调递增，∴当x=1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)=2，当x=4时，f(x)取得最大值，最大值为f(4)=174．综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是174，最小值是2．(三)函数最值的实际应用解决函数最值应用题的方法(1)解实际应用题时要弄清题意，从实

际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使

问题得到解决．【例133】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)=400x-12x2，0≤x≤400，80000，x>400，其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；pμθημαz︱eiπ+1=0

Page172/Total218课堂笔记(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益=总成本+利润)【答案】:(1)f(x)=-12x2+300x-20000，0≤x≤400，60000-100x，x>400．(2)当x=300时，f(x)m

ax=25000．【解析】(1)设月产量为x台，则总成本为20000+100x，从而f(x)=-12x2+300x-20000，0≤x≤400，60000-100x，x>400．(2)当0≤x≤400时，f(x)=-12(x-300)2+25000；∴当x=300时，f(x)max=250

00，当x>400时，f(x)=60000-100x单调递减，f(x)<60000-100×400<25000．∴当x=300时，f(x)max=25000．即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为2500

0元．【练90】将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？【答案】:售价为70元时，利润最大，最大利润值为9000元解设售价为x

元，利润为y元，单个涨价(x-50)元，销量减少10(x-50)个，销量为500-10(x-50)=(1000-10x)个，则y=(x-40)(1000-10x)=-10(x-70)2+9000．故当x=70时，ymax=9000．即售价为70元时，利润最大，最

大利润值为9000元．(四)分类讨论求二次函数的最值【例134】求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a)．【答案】:M(a)=3-4a，a≤1，-1，a>1，m(a)

=-1，a<0，-1-a2，0≤a≤2，3-4a，a>2．解f(x)=(x-a)2-1-a2，对称轴为x=a．(1)当a<0，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以f(x)min=f

(0)=-1，f(x)max=f(2)=3-4a．(2)当0≤a≤1，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min=f(a)=-1-a2，f(x)max=f(2)=3-4a．(3)当1<a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min=f

(a)=-1-a2，f(x)max=f(0)=-1．(4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上单调递减，所以f(x)min=f(2)=3-4a，f(x)max=f(0)=-1．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page173/Total218课堂笔记综上，M(a)=3

-4a，a≤1，-1，a>1，m(a)=-1，a<0，-1-a2，0≤a≤2，3-4a，a>2．三、巩固练习1．函数f(x)的图象如图所示，则其最大值、最小值分别为A．f32，f-32B

．f(0)，f32C．f-32，f(0)D．f(0)，f(3)【答案】:B【解析】观察函数图象可知，f(x)的最大值、最小值分别为f(0)，f32．2．设函数f(x)=2x-1(x<0)，则f(x)A．有

最大值B．有最小值C．既有最大值又有最小值D．既无最大值又无最小值【答案】:D【解析】∵f(x)在(-∞，0)上单调递增，∴f(x)<f(0)=-1．3．函数y=x2-2x，x∈[0,3]的值域为A．[0,3]B．[-1,0]C．[-1，+∞)D．[-

1,3]【答案】:D【解析】∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1，x∈[0,3]，∴当x=1时，函数y取得最小值为-1，当x=3时，函数y取得最大值为3，故函数的值域为[-1,3]．4．已知函数f(x)=x+7，-1≤x<1，2x+6，1≤x≤2，则f(x)的最大值、最小值分别为A

．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对【答案】:A【解析】当-1≤x<1时，6≤f(x)<8；当1≤x≤2时，8≤f(x)≤10，所以f(x)的最大值、最小值分别为10,6．5．用长度为24m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________

m．【答案】:3【解析】设隔墙长度为xm，场地面积为Sm2，则S=x·24-4x2=12x-2x2=-2(x-3)2pμθημαz︱eiπ+1=0Page174/Total218课堂笔记+18．所以当x=3时，S

有最大值．6．下列函数在[1,4]上最大值为3的是A．y=1x+2B．y=3x-2C．y=x2D．y=1-x【答案】:A【解析】选项B，C在[1,4]上均单调递增，选项A，D在[1,4]上均单调递减，代入端点值，可知A正确．7．函数f(x)=x+x，x∈[

0,4]的值域为A．[0,3]B．[1,4]C．[0,6]D．[0,4]【答案】:C【解析】∵函数y=x+x在区间[0,4]上单调递增，所以f(x)∈[f(0)，f(4)]=[0,6]．8．函数f(x)=1x，x≥1，-x2+2，x<1的最大值为A

．1B．2C．12D．13【答案】:B【解析】当x≥1时，函数f(x)=1x单调递减，此时f(x)在x=1处取得最大值，最大值为f(1)=1；当x<1时，函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值，最大值为f(0)=2．综上可得，f(x)的最大值为2．9．某公司在甲、乙两地同时

销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为A．90万元B．60万元C．120万元D．120．25万元【答案】:C【解析】设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15-x)辆，公

司获利为L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30=-x-1922+30+1924，∴当x=9或10时，L最大为120万元．10．已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是A．[1，+∞)B．[0,2]C．(-∞，2]D．[1,2]

【答案】:D【解析】f(x)=(x-1)2+2，∵f(x)min=2，f(x)max=3，且f(1)=2，f(0)=f(2)=3，∴1≤m≤2．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page175/Total218课堂笔记11．函数y=ax+1在区间[1,3]上的最

大值为4，则a=________．【答案】:1【解析】若a<0，则函数y=ax+1在区间[1,3]上单调递减，并且在区间的左端点处取得最大值，即a+1=4，解得a=3，不满足a<0，舍去；若a>0，则函数y=ax+1在区间[1,3]上单调递增，并且在区间

的右端点处取得最大值，即3a+1=4，解得a=1．综上，a=1．12．函数y=-x2+6x+9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值-7，则a=________，b=________．【答案】:-20【解析】y=-(x-3)2+18，∵a<b<3，∴f(x)在

区间[a，b]上单调递增，即-b2+6b+9=9，得b=0，-a2+6a+9=-7，得a=-2．13．已知函数f(x)=-x，-1≤x≤0，x2，0<x≤1，x，1<x≤2，则f(x)的最大值为________．【答案】:2【解析】f(x)的图象如图，则f(x)的最大值为f(2)=

2．14．设函数f(x)=2xx-2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则m2M等于A．23B．38C．32D．83【答案】:D【解析】易知f(x)=2xx-2=2+4x-2，所以f(x)在区间[3,4]上单调递减，所以M=f(3)=2+43-2=6，m=f(4)=2+44-2=4，所

以m2M=166=83．15．已知实数a，b满足|a-2b+1|+4a2-12ab+9b2=0，函数y=x2+a-bx(1≤x≤2)，则y的取值范围是__________．【答案】:[2,6]【解析】∵实数a，b满足|a-2b+1|+4a2-12ab+9b2

=0，化简可得|a-2b+1|+2a-3b2=0，∴a-2b+1=0，2a-3b=0，解方程组可得a=3，b=2．代入解析式可得y=x2+3-2x(1≤x≤2)．pμθημαz︱eiπ+1=0Page176/Total218课堂笔记∵y

=x2与y=-2x在1≤x≤2上y随x的增大而增大，∴y=x2+3-2x在1≤x≤2上y随x的增大而增大．∴当x=1时，y取得最小值为y=2；∴当x=2时，y取得最大值为y=6．∴y=x2+3-2x在1

≤x≤2上的取值范围是2≤y≤6．16．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)=min{x+2，10-x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．【答案】:6【解析】在同一个平面直角坐标系内画出函数y=x+2和y=10-x的

图象．根据min{x+2,10-x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分．解方程x+2=10-x，得x=4，此时y=6，故两图象的交点为(4,6)．所以f(x)=x+2，0≤x≤4，10-x，x>4，其最大值为交点的纵坐

标，所以f(x)的最大值为6．17．函数f(x)=x+4x在[1,4]上的最大值为______；最小值为_____．【答案】:5；4【解析】设1≤x1<x2<2，则f(x1)-f(x2)=x1+4x1-x2-4x2=x1-x2+4x2-x1x1x2=(x1-x2)·1-4x1

x2=(x1-x2)x1x2-4x1x2=x1-x2x1x2-4x1x2．∵1≤x1<x2<2，∴x1-x2<0，x1x2-4<0，x1x2>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上单调递减．同理：f(x)在[2,4]上单调递增．∴当x=2时，

f(x)取得最小值4；当x=1或x=4时，f(x)取得最大值5．18．(多选)已知f(x)=x，g(x)=x2-2x，F(x)=gx，fx≥gx，fx，fx<gx，则F(x)的最值情况是

A．最大值为3B．最小值为-1C．无最小值D．无最大值【答案】:CD【解析】由f(x)≥g(x)得0≤x≤3；由f(x)<g(x)，得x<0或x>3，所以F(x)=x2-2x，0≤x≤3，x，x<0或x>3．作出函数F(x)的图象(图略)

，可得F(x)无最大值，无最小值．19．已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)=-23．(1)求证：f(x)是R上的减函数；(2)求f(x)在[-3,3]上的最小值．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page177/Tot

al218课堂笔记(1)证明设x1，x2是任意的两个实数，且x1<x2，则x2-x1>0，因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2-x1)<0，又因为x2=(x2-x1)+x1，所以f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)，所以f(x2)-f(x1)=f(x2

-x1)<0，所以f(x2)<f(x1)．所以f(x)是R上的减函数．(2)解由(1)可知f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[-3,3]上也是减函数，所以f(x)在[-3,3]上的最小值为f(3)．而f(3)=f(1)+

f(2)=3f(1)=3×-23=-2．所以函数f(x)在[-3,3]上的最小值是-2．pμθημαz︱eiπ+1=0Page178/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZ§3.2.3函数性质之奇偶性的概念一、基础必备(一)函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴

对称奇函数设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称理解函数的奇偶性应关注三点(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x，都有f(-x)=-

f(x)[或f(-x)=f(x)]，才能说f(x)是奇(偶)函数．(2)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)=0．(3)若f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有

且只有一类，即f(x)=0，x∈D，D是关于原点对称的实数集．【例135】基础练习之判断正误(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(-1)=f(1)，则f(x)一定是偶函数．(F)(2)函数f(x)=x2，x∈[0，+∞)是偶函数．(F)(3)对于函数y=f(x)，若存在x，使f(-x)=-f

(x)，则函数y=f(x)一定是奇函数．(F)(4)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(F)(5)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(F)(6)函数f(x)=x2+|x|的图象关于原点对称．(F)二、题型考法(一)函数奇偶性的判断判断函数

的奇偶性，一般有以下两种方法(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(-x)是否等于±f(x)，或判断f(-x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y

轴对称，则函数为偶函数．【例136】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=2-|x|；(2)f(x)=x2-1+1-x2；(3)f(x)=xx-1；(4)f(x)=x+1，x>0，-x+1，x<0．【答案】:(1)偶函数；(2)既是偶函数又是奇函数；(3)非奇

非偶；（4）偶函数︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page179/Total218课堂笔记【※解析※】(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x)，所以f(x)为偶函数．(2)函数f(x)的定义域为{-1,1}，关于原

点对称，则f(x)=0，又f(-x)=f(x)，且f(-x)=-f(x)，所以f(x)既是偶函数又是奇函数．(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)f(x)的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称．当x>0时，-x

<0，f(-x)=1-(-x)=1+x=f(x)；当x<0时，-x>0，f(-x)=1+(-x)=1-x=f(x)．综上可知，对于x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，都有f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数．【练9

1】判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)=1x；(2)f(x)=x2(x2+2)．【答案】:(1)奇函数；（2）偶函数【※解析※】(1)f(x)=1x的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，∵f(-x)=-1x=-f(x)，∴f(x)=1x是奇函数．(2)f(x)

=x2(x2+2)的定义域为R．∵f(-x)=f(x)，∴f(x)=x2(x2+2)是偶函数．(二)奇、偶函数的图象及应用利用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解

不等式问题．【例137】已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x．现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．(1)请补全函数y=f(x)的图象；(2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间；(3)根据图象写出使

f(x)<0的x的取值集合．(4)若函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，求f(x)<0的x的取值集合．【答案】:(1)由题意作出函数图象如图．(2)据图可知，单调递增区间为(-1,0)，(1，+∞)．(3)据图知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|-

2<x<2，且x≠0}．（4）由题意作出函数图象如图所示．(2)据图可知，单调增区间为(-1,1)．(3)据图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2<x<0或x>2}．【练92】定义在[-3，-1]∪[

1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小．【答案】:(1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．pμθημαz︱eiπ+1=0Page180/Total218课堂笔记(2)观察图象，知

f(3)<f(1)．(三)利用函数的奇偶性求值利用奇偶性求值的常见类型(1)求参数值：若解析式含参数，则根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原

点对称，利用区间的端点和为0求参数．(2)求函数值：利用f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)求解，有时需要构造奇函数或偶函数以便于求值．【例138】已知函数f(x)=x2+x，x≤0，ax2+bx，x>0为奇函数，则a=_____；b=____

__．【答案】:-1；1【解析】当x<0时，-x>0，∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x)．即ax2-bx=-x2-x，∴a=-1，b=1．【练93】已知函数f(x)=x7-ax5+bx3+cx+2，若f

(-3)=-3，则f(3)=_____．【答案】:7【解析】令g(x)=x7-ax5+bx3+cx，则g(x)是奇函数，∴f(-3)=g(-3)+2=-g(3)+2，又f(-3)=-3，∴g(3)=5．又f(

3)=g(3)+2，∴f(3)=5+2=7．【例139】定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，+∞)时，f(x)=2-x，x≥2x2+1，0≤x<2，则f(f(-2))=________．【答案】:1【解析】因为f(x)为R上的偶函数，所以f(-2)=f(2)=0，所以f(f

(-2))=f(0)=1．【练94】设函数f(x)=x+1x+ax为奇函数，则a=________．【答案】:-1【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，即-x+1-x+a-x=-x+1x+ax，显然x≠0，整理得x2-(a+1)x+a=x2+(a+1

)x+a，故a+1=0，得a=-1．三、巩固练习1．函数y=f(x)，x∈[-1，a](a>-1)是奇函数，则a等于A．-1B．0C．1D．无法确定【答案】:C【解析】∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a-1=0，即a=1．2．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是

︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page181/Total218课堂笔记【答案】:B【解析】选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的

函数是偶函数．3．(多选)下列函数是奇函数的是A．y=x(x∈[0,1])B．y=3x2C．y=1xD．y=x|x|【答案】:CD【解析】利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f(-x)=-f(x)，排除选项B．4．若f(x)为R上的偶函数，且f(2)=3，则

f(-2)=________．【答案】:3【解析】∵f(x)为R上的偶函数，∴f(-2)=f(2)=3．5．已知函数y=f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)=0的所有实根之和是______．【答案

】:0【解析】由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0．6．(多选)下列函数中为奇函数的是A．f(x)=x3B．f(x)=x5C．f(x

)=x+1xD．f(x)=1x2【答案】:ABC【解析】选项ABC中的函数满足f(-x)=-f(x)，由奇函数的定义可知选ABC．7．已知y=f(x)，x∈(-a，a)，F(x)=f(x)+f(-x)，则F(x)是A．奇函数B．偶函数C．既是奇

函数又是偶函数D．非奇非偶函数【答案】:B【解析】∵F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)．又x∈(-a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数．pμθημαz︱eiπ+1=0Page182/Total218课堂笔记8．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=

x2-12x，则f(1)等于A．-32B．-12C．32D．12【答案】:A【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)=-f(-1)=-32．9．函数f(x)=1x-x的图象A．关于y轴对称B．关于直线y=x对称C．关

于坐标原点对称D．关于直线y=-x对称【答案】:C【解析】∵f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，且f(-x)=-1x-(-x)=x-1x=-f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．1

0．如图，给出奇函数y=f(x)的局部图象，则f(-2)+f(-1)的值为A．-2B．2C．1D．0【答案】:A【解析】f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=-32-12=-2．11．已知函数f(x)=ax2+2x是奇

函数，则实数a=________．【答案】:0【解析】由奇函数定义有f(-x)+f(x)=0，得a(-x)2+2(-x)+ax2+2x=2ax2=0，故a=0．12．已知y=f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)=x2+ax，且f(3

)=6，则a的值为________．【答案】:5【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(-3)=-f(3)=-6，所以(-3)2+a(-3)=-6，解得a=5．13．若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法

：①f(x)+f(-x)=0；②f(x)-f(-x)=2f(x)；③f(x)·f(-x)<0；④fxf-x=-1．其中一定正确的为____．【答案】:①②︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page183/Total218

课堂笔记【解析】∵f(x)在R上为奇函数，∴f(-x)=-f(x)．∴f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0，故①正确．f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x)，故②正确．当x=0时，f(x)·f(-x)=0，故③不正确．当x=0时，fx

f-x分母为0，无意义，故④不正确．14．已知函数f(x)=x+ax(a>0)．(1)若f(1)=3，求a的值；(2)判断函数f(x)的奇偶性并证明．【答案】:(1)a=2；(2)奇函数【※解析※】(1)由题意知，f(1)=1+a=3，所以a=2>0满足题意．

(2)函数f(x)为奇函数，证明如下：函数f(x)=x+ax(a>0)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)且关于原点对称．又因为f(-x)=-x+a-x=-x+ax=-f(x)，所以函数f(x)为奇函数．15．(1)如图①，给出奇函数

y=f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(2)如图②，给出偶函数y=f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．【解析】(1)奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上

任一点P(-x，f(-x))关于原点的对称点为P′(x，f(x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)=-2．(2)偶函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x，f(-x))关于y轴的对称点为P′(x，f(-x))，图④为图②补充后的图

象，易知f(1)>f(3)．16．函数f(x)=1，x是有理数，0，x是无理数是A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【答案】:B【解析】若x是有理数，则-x也是有理数，∴f(-x)=f(x)=1；若x是无理数，则-x也是无理数，∴f(-x)=f

(x)=0．∴函数f(x)是偶函数．17．(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中不正确的是A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数pμθημα

z︱eiπ+1=0Page184/Total218课堂笔记【答案】:ABD【解析】∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|

g(x)|为奇函数．18．已知定义域为[a-4,2a-2]的奇函数f(x)=2020x3-5x+b+2，则f(a)+f(b)的值为_____．【答案】:0【解析】奇函数的图象关于原点对称，所以a-4+2a-2=0，所以a=2，因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即b+

2=0，故b=-2，所以f(a)+f(b)=f(2)+f(-2)=f(2)-f(2)=0．19．设奇函数f(x)的定义域为[-6,6]，当x∈[0,6]时f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集用区间表示为________

．【答案】:[-6，-3)∪(0,3)【解析】由f(x)在[0,6]上的图象知，满足f(x)<0的不等式的解集为(0,3)．又f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以在[-6,0)上，不等式f(x)<0的解集为[-6，-3)．综上可知，不等式f(x)<0的解集为[-6，-3)∪(0,3)．20

．已知函数f(x)=x2+x+1x2+1，若f(a)=23，则f(-a)=________．【答案】:43【解析】根据题意，f(x)=x2+x+1x2+1=1+xx2+1，而h(x)=xx2+1是奇函数，故f(-a)=1+h(-a)=1-h(a)=

2-[1+h(a)]=2-f(a)=2-23=43．21．已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)，(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(-3)=a，试用a表示f(12)．(

1)证明由已知f(x+y)=f(x)+f(y)，令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)，令x=y=0得f(0)=2f(0)，所以f(0)=0．所以f(x)+f(-x)=0，即f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数．(2)解由(1)知f(x)为

奇函数．所以f(-3)=-f(3)=a，所以f(3)=-a．又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3)，所以f(12)=-4a．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page185/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§3.2.4函数性质之奇偶性的应用一、基础必备(一)用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[-b，-a]上的解析式，其解决思路为(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在

哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x)，从而解出f(x)．(二)函数的奇偶性与单调性1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增

，则f(x)在[-b，-a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)．2．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上为单调递增，则f(x)在[-b，-a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反．【例140】若f(x)为R上的偶函数，且

在[0，+∞)上单调递增，则f(-2)______f(1)．(填“>”“=”或“<”)【答案】:>【解析】因为f(x)为R上的偶函数，所以f(-2)=f(2)，又f(x)在[0，+∞)上单调递增，所以f(-

2)>f(1)．【练95】若f(x)为R上的奇函数，且在[0，+∞)上单调递减，则f(-1)______f(1)．(填“>”“=”或“<”)【答案】:>【解析】∵f(x)为R上的奇函数，且在[0，+∞)上单调递减，∴f(x)在R上单调递减，∴f(-1)>f(1)．【例141】若奇函

数f(x)在区间[-4，-2]上的最大值为2，则f(x)在区间[2,4]上的最小值为________．【答案】:-2【练96】函数f(x)为偶函数，若x>0时，f(x)=x，则x<0时，f(x)=______．【答案】:-x【解析】

方法一令x<0，则-x>0，∴f(-x)=-x，又∵f(x)为偶函数，∴f(-x)=f(x)，∴f(x)=-x(x<0)．方法二利用图象(图略)可得x<0时，f(x)=-x．二、题型考法(一)利用函数的奇偶性求解析式(1)已知某区间上

函数的解析式，求对称区间上的函数的解析式，应设这个区间上的变量为x，然后把x转化为-x，此时-x成为了已知区间上的解析式中的变量，通过应用奇函数或偶函数的定义，适当推导，即可得所求区间上的解析式．(2)已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为

-x，构造方程组求解．pμθημαz︱eiπ+1=0Page186/Total218课堂笔记提醒：若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)=0，但若为偶函数，未必有f(0)=0．【例142】若f(x)是定义在R上的奇函

数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，求f(x)的解析式．【答案】:f(x)=x2-2x+3，x>00，x=0-x2-2x-3，x<0解当x<0时，-x>0，f(-x)=(-x)2-2(-x

)+3=x2+2x+3，由于f(x)是奇函数，故f(x)=-f(-x)，所以f(x)=-x2-2x-3．即当x<0时，f(x)=-x2-2x-3．又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0．故f(x)=x2-2x+3，x>00，x=0-x2-2x-3，x<0【

练97】设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=1x-1，求函数f(x)，g(x)的解析式．【答案】:f(x)=1x2-1；g(x)=xx2-1．解∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)，有f(x)+g(x)=1x-

1．①用-x代替上式中的x，得f(-x)+g(-x)=1-x-1，∴f(x)-g(x)=1-x-1，②(①+②)÷2，得f(x)=1x2-1；(①-②)÷2，得g(x)=xx2-1．【例143】若f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+3，求

当x<0时，f(x)的解析式．【答案】:x<0时，f(x)=x2+2x+3．解当x<0时，-x>0，f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3，由于f(x)是偶函数，故f(x)=f(-x)，所以f(x)=x2+2x+3．即当x<0时，f(x)=x2+2x+3

．【练98】设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=1x-1，求函数f(x)，g(x)的解析式．【答案】:f(x)=xx2-1，g(x)=1x2-1．解∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(-x)=-f(x)，g(-

x)=g(x)，又f(x)+g(x)=1x-1，①用-x代替上式中的x，得f(-x)+g(-x)=1-x-1，即f(x)-g(x)=1x+1．②联立①②得f(x)=xx2-1，g(x)=1x2-1．【例144】设

函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=-x2-x，求函数f(x)的解析式．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page187/Total218课堂笔记【答案】:f(x)=-x2-x，x<0，x2-x，x≥0．解设x>0，则-x<0，则f(-x)=-(-x)2-(

-x)=-x2+x．又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)=-f(-x)=x2-x．又∵函数定义域为R，∴f(0)=0，综上可知f(x)=-x2-x，x<0，x2-x，x≥0．【练99】已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，+∞)时，f(x)=x2+x-1，当x∈(-∞，0)时，求f(

x)的解析式．【答案】:x∈(-∞，0)时，f(x)=f(-x)=x2-x-1解设x<0，则-x>0，则f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1，又f(x)在R上为偶函数，∴当x∈(-∞，0)时，f(x)=f(-x)=x2-x-1．(

二)利用函数的单调性与奇偶性比较大小比较大小的求解策略，看自变量是否在同一单调区间上(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．【例145】设函数f(x)的定义域为R，对于任

意实数x总有f(-x)=f(x)，当x∈[0，+∞)时，f(x)单调递增，则f(-2)，f(π)，f(-3)的大小关系是A．f(π)>f(-3)>f(-2)B．f(π)>f(-2)>f(-3)C．f(π)<f(-3)<

f(-2)D．f(π)<f(-2)<f(-3)【答案】:A【解析】由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，+∞)，f(x)单调递增，则x∈(-∞，0)时，f(x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小

，∵|-2|<|-3|<π，∴f(π)>f(-3)>f(-2)．【练100】已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6]上单调递减，则f(-5)________f(3)．(填“>”或“<”)【答案】:<【解析】∵f(x)为偶函数，∴f(-5)=f(5)，而

函数f(x)在[2,6]上单调递减，∴f(5)<f(3)，∴f(-5)<f(3)．(三)利用函数的单调性与奇偶性解不等式利用函数奇偶性与单调性解不等式，一般有两类(1)利用图象解不等式．(2)转化为简单不等式求解．①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转

化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式(组)求解．提醒：列不等式(组)时不要忘掉函数定义域．【例146】已知f(x

)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调递增．若f(-3)=0，则fxx<0的解集为____________．pμθημαz︱eiπ+1=0Page188/Total218课堂笔记【答案】:{x|-3<x<0或x>3}【解

析】∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单调递增，∴f(x)在区间(0，+∞)上单调递减．∴f(3)=f(-3)=0．当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得-3<

x<0．故所求解集为{x|-3<x<0或x>3}．【练101】设定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1-m)<f(m)，求实数m的取值范围．【答案】:-1，12【※解析※】因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,

2]上单调递减，所以f(x)在[-2,2]上单调递减．所以不等式f(1-m)<f(m)等价于1-m>m，-2≤m≤2，-2≤1-m≤2，解得-1≤m<12．所以实数m的取值范围为-1，12．三、巩固练习1．设偶函数f(x)在区间(-

∞，-1]上单调递增，则A．f-32<f(-1)<f(2)B．f(2)<f-32<f(-1)C．f(2)<f(-1)<f-32D．f(-1)<f-32<f(2)【答案】:B【解析】∵f(x)为偶函数，∴f(-x)

=f(x)，∴f(2)=f(-2)．又f(x)在区间(-∞，-1]上单调递增，且-2<-32<-1，∴f(2)=f(-2)<f-32<f(-1)．2．如果奇函数f(x)在区间[-7，-3]上单调递减，那么函数f(x)在区间[3,7]上___．【答案】:单调

递减【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[3,7]上的单调性与在[-7，-3]上的单调性一致，∴f(x)在[3,7]上单调递减．3．已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)=x+1，则x>0时，f(x)=____【答案】:x-1【解

析】当x>0时，-x<0，∴f(-x)=-x+1，又f(x)为奇函数，∴f(x)=-f(-x)=x-1．4．已知定义在R上的偶函数f(x)在(-∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是________

．【答案】:(-3,3)【解析】由题意可知|a|<3，解得-3<a<3．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page189/Total218课堂笔记5．设函数f(x)=x2+x，x≥0，gx，x<0，且f(x

)为偶函数，则g(-2)等于A．6B．-6C．2D．-2【答案】:A【解析】g(-2)=f(-2)=f(2)=22+2=6．6．若函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间

为A．(-∞，0]B．[0，+∞)C．(-∞，+∞)D．[1，+∞)【答案】:A【解析】因为函数为偶函数，所以a+2=0，a=-2，即该函数f(x)=-2x2+1，所以函数f(x)在(-∞，0]上单调递

增．7．一个偶函数定义在区间[-7,7]上，它在[0,7]上的图象如图，下列说法正确的是A．这个函数仅有一个单调递增区间B．这个函数有两个单调递减区间C．这个函数在其定义域内有最大值7D．这个函数在其定义域内有最小值-7【答案】:C【解析】根据偶函数

在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[-7,0]上的图象，如图所示，可知这个函数有三个单调递增区间；有三个单调递减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是-7．8．若奇函数f(x)在(-∞，

0)上的解析式为f(x)=x(1+x)，则f(x)在(0，+∞)上有A．最大值-14B．最大值14C．最小值-14D．最小值14【答案】:B【解析】方法一当x<0时，f(x)=x2+x=x+122-14，所以f(x)有最小值-14，因为f(x)

是奇函数，所以当x>0时，f(x)有最大值14．方法二(直接法)当x>0时，-x<0，所以f(-x)=-x(1-x)．又f(-x)=-f(x)，所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-x-122+14，所以f(x)有最大值14．9．如果奇函数f(x)在区间[-3，-1]上单

调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上A．单调递增且最小值为-5B．单调递增且最大值为-5C．单调递减且最小值为-5D．单调递减且最大值为-5【答案】:A【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[1,3]上的单

调性与[-3，-1]上一致且f(1)为最小值，又已知f(-1)=5，∴f(-1)=-f(1)=5，∴f(1)=-5．pμθημαz︱eiπ+1=0Page190/Total218课堂笔记10．函数f(x)在R上为偶函数，且x>0时，f(x)=x+

1，则当x<0时，f(x)=________．【答案】:-x+1【解析】∵f(x)为偶函数，x>0时，f(x)=x+1，∴当x<0时，-x>0，f(x)=f(-x)=-x+1，即x<0时，f(x)=-x+1．11．已知偶函数f(x)在[0，+∞)上单调递减，f(2)=0．若

f(x-1)>0，则x的取值范围是________．【答案】:(-1,3)【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(x-1)=f(|x-1|)．又因为f(2)=0，所以f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>f(2)．又因为f(x)在[0，+∞

)上单调递减，所以|x-1|<2，解得-2<x-1<2，所以-1<x<3．12．若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(-2)从小到大的排列是____________．【答案】:f(-2)<f(1)<f(0)【解析】∵f(

x)是偶函数，∴f(-x)=f(x)恒成立，即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2恒成立，∴m=0，即f(x)=-x2+2．∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，+∞)上单调递减，∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(

-2)<f(1)<f(0)．13．已知f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，且f(x)在(-1,1)上是减函数，解不等式f(1-x)+f(1-2x)<0．【答案】:x0<x<23解∵f(x)是定义在(

-1,1)上的奇函数，由f(1-x)+f(1-2x)<0，得f(1-x)<-f(1-2x)，即f(1-x)<f(2x-1)．又∵f(x)在(-1,1)上是减函数，∴-1<1-x<1，-1<2x-1<1，1-x>2x-1，解得0<x<

23，∴原不等式的解集为x0<x<23．14．已知y=f(x)是奇函数，它在(0，+∞)上单调递增，且f(x)<0，试问F(x)=1fx在(-∞，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论．【答案】:F(x)=

1fx在(-∞，0)上单调递减．解F(x)在(-∞，0)上单调递减．证明如下：任取x1，x2∈(-∞，0)，且x1<x2，则有-x1>-x2>0．因为y=f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(x)<0，所以f(-x2)<f(-x1)<0，①又因为f(x)是奇函数，所以f(-x

2)=-f(x2)，f(-x1)=-f(x1)，②由①②得f(x2)>f(x1)>0．于是F(x1)-F(x2)=fx2-fx1fx1·fx2>0，即F(x1)>F(x2)，所以F(x)=1fx在(-∞，0)上单调递

减．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page191/Total218课堂笔记15．设奇函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f(1)=0，则不等式fx-f-xx<0的解集为A．(-1,0)∪(1，+∞)B．(-∞，-1)∪(0,1)C．(-∞，-1)

∪(1，+∞)D．(-1,0)∪(0,1)【答案】:C【解析】∵f(x)为奇函数，fx-f-xx<0，即fxx<0，∵f(x)在(0，+∞)上单调递减且f(1)=0，∴当x>1时，f(x)<0，fxx<0．∵奇函数图象关于原点对称，∴在(-∞，0)上f

(x)单调递减且f(-1)=0，∴当x<-1时，f(x)>0，fxx<0．综上，fxx<0的解集为(-∞，-1)∪(1，+∞)．16．函数y=f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x+2)是偶函数，则下列结论成立的是A

．f(1)<f52<f72B．f72<f(1)<f52C．f72<f52<f(1)D．f52<f(1)<f72【答案】:B【解析】∵函数f(x+2)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称，∴f52=f32，f72=f12，又f(x)在

[0,2]上单调递增，∴f12<f(1)<f32，即f72<f(1)<f52．17．已知y=f(x)+x2是奇函数且f(1)=1，若g(x)=f(x)+2，则g(-1)=_____．【答案】:-1【解析】∵y=f(x)

+x2是奇函数，∴f(-x)+(-x)2=-[f(x)+x2]，∴f(x)+f(-x)+2x2=0，∴f(1)+f(-1)+2=0．∵f(1)=1，∴f(-1)=-3．∵g(x)=f(x)+2，∴g(-1)=f(-1)+2=-3+2=

-1．18．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x)，且f(x)在[1，+∞)上单调递减，则当x=________时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)<f(m)成立，则m的取值范围是_____

___．【答案】:1(0,2)【解析】由f(1-x)=f(1+x)知，f(x)的图象关于直线x=1对称，又f(x)在[1，+∞)上单调递减，则f(x)在(-∞，1]上单调递增，所以当x=1时f(x)取得最大值

．由对称性可知f(0)=f(2)，由f(0)<f(m)，得0<m<2，即m的取值范围为(0,2)．19．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)=x5-1；当-1≤x≤1时，f(-x)=-f(x)；当x>0时，f(x+1)=f(x)，则f(2020)等于

A．-2B．-1C．0D．2pμθημαz︱eiπ+1=0Page192/Total218课堂笔记【答案】:D【解析】因为当x>0时，f(x+1)=f(x)，所以当x>0时，所以f(2020)=f(2019)=f(2018)=⋯=f(1)，又因为当

-1≤x≤1时，f(-x)=-f(x)，所以f(1)=-f(-1)=-[(-1)5-1]=2．20．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a+b≠0时，都有fa+fba+b>0．(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的

大小关系；(2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0，求实数m的取值范围．【解析】(1)因为a>b，所以a-b>0，由题意得fa+f-ba-b>0，所以f(a)+f(-b)>0．又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-b)=-f(b)，所以f(a)-f(b)>0，即f(a)>f(b

)．(2)由(1)知f(x)为R上的增函数，因为f(1+m)+f(3-2m)≥0，所以f(1+m)≥-f(3-2m)，即f(1+m)≥f(2m-3)，所以1+m≥2m-3，所以m≤4．所以实数m的取值范围为(-∞，4]．︱数是万物

的本原-毕达哥拉斯Page193/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§3.3幂函数一、基础必备(一)幂函数的概念一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α

是常数．(二)五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y=x；(2)y=x12；(3)y=x2；(4)y=x-1；(5)y=x3的图象如图．2．五个幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域RRR[0，+∞){x|x≠0}值域R[0，+∞)R[0，+∞){y|y

≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，+∞)上增，在(-∞，0]上减增增在(0，+∞)上减，在(-∞，0)上减公共点过点(1,1)公共点过点(1,1)公共点过点(1,1)(三)一般幂函数的图象特征1．所有的

幂函数在(0，+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函

数在区间(0，+∞)上单调递减．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y=x对称．5．在第一象限，作直线x=a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【例147】已知f(x)=(m+1)xm2+2是幂函数，则

m等于0．【答案】:0【解析】由题意可知m+1=1，即m=0．【例148】下列函数中的幂函数有①④．①y=x0；②y=(x+1)3；③y=2x；④y=x-1；⑤y=x4+1．pμθημαz︱eiπ+1=0Page194/Tot

al218课堂笔记【答案】:①④【解析】由幂函数的定义可知，①④是幂函数；②③⑤不是幂函数．【例149】当x∈(0,1)时，x2>x3．(填“>”“=”或“<”)【答案】:>【解析】特殊值法，令x=12，则x2=14>x3=18．【例150】已知幂函数f(x)=xα的图象过点(2,

8)，则f(3)=27．【答案】:27【解析】由f(2)=8可知2α=8，即α=3，即f(x)=x3，∴f(3)=27．二、题型考法(一)幂函数的概念幂函数的判断及应用(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(

α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1．形如y=(3x)α，y=2xα，y=xα+5⋯形式的函数都不是幂函数．(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y=xα(α为常数)这一形

式．【例151】在函数y=1x2，y=2x2，y=x2+x，y=1中，幂函数的个数为(B)A．0B．1C．2D．3【答案】:B【解析】∵y=1x2=x-2，∴是幂函数；y=2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y=x2+x是两项和的形式，不是幂函数；y=1=x0(x≠0)

，可以看出，常函数y=1的图象比幂函数y=x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y=1不是幂函数．【练102】已知y=(m2+2m-2)xm2-2+2n-3是幂函数，m=-3或1，n=32．【答案】:m=-3或1，n=32．由题意得m2+2m-2=1，2n-3=0，得m=-3，n=

32或m=1，n=32．所以m=-3或1，n=32．【练103】若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)=16，则f(-4)的值等于16．【答案】:16【解析】设f(x)=xα，∵f(4)=16，∴4α=16，解得α=2，∴f(x)=x2，∴f(-4)=(-4)2=16．(二)幂

函数的图象及应用(1)幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y=xα在第一象限内的图象．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page195/Total218课堂笔记②确定幂函数在其他象限内的图象：

根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．(2)解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y=xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．

同时，注意分类讨论思想的应用．【例152】若点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，点-2，14在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)=g(x)；(3)f(x)<g(x)．【答案】:(1)当x>1或x<-1时，f(x)>

g(x)；(2)当x=1或x=-1时，f(x)=g(x)；(3)当-1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．【※解析※】设f(x)=xα，因为点(2，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(2，2)代入f(x)=xα中，得2=(2)α

，解得α=2，则f(x)=x2．同理可求得g(x)=x-2．在同一坐标系中作出函数f(x)=x2和g(x)=x-2的图象(如图所示)，观察图象可得，(1)当x>1或x<-1时，f(x)>g(x)；(2)当x=1或x=-1时，f(x)

=g(x)；(3)当-1<x<1且x≠0时，f(x)<g(x)．【练104】如图所示，图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象，已知n取±2，±12四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(B)A．-2

，-12，12，2B．2，12，-12，-2C．-12，-2,2，12D．2，12，-2，-12【答案】:B【解析】根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y=xn递增速度越快，故C1的n=2，C2

的n=12；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n=-12，曲线C4的n=-2．(三)比较幂值的大小比较幂值大小的方法(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数

，利用幂函数的单调性比较大小．(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”．【例153】比较下列各组数中两个数的大小：(1)250.5与130.5；(2)-23-1与-35-1；(3)32

34与3432.pμθημαz︱eiπ+1=0Page196/Total218课堂笔记【答案】:(1)250.5>130.5(2)-23-1>-35-1(3)3234>3432【※解析※】(1)∵幂函数y=x0.5在(0，+∞)上是单调递增的，又25>13，

∴250.5>130.5.(2)∵幂函数y=x-1在(-∞，0)上是单调递减，又-23<-35，∴-23-1>-35-1.(3)∵函数y1=x34在(0，+∞)上单调递增，又32>1，∴3234>134=1.∵函数y2=x32在(0，+∞)上

单调递增，且34<1，∴3432<132=1，∴3234>3432.【练105】比较下列各组数的大小：(1)230.3与130.3；(2)-3.143与-π3.【答案】:(1)230.3>130.3；(2)-3.143>-π

3【※解析※】(1)∵y=x0.3在[0，+∞)上单调递增且23>13，∴230.3>130.3.(2)∵y=x3是R上的增函数，且3.14<π，∴3.143<π3，∴-3.143>-π3.(四)幂函数性质的综合应用通过幂函数的图象特征抽象出幂函数的奇偶性，根据幂函数的单调性确

定参数的值，得到幂函数的解析式，然后利用其单调性解不等式，在此过程中体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养．【例154】已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，+∞)上单调递减，求满足a+1-m3<3-2a

-m3的a的取值范围．【答案】:aa<-1或23<a<32【※解析※】因为函数在(0，+∞)上单调递减，所以3m-9<0，解得m<3．又因为m∈N*，所以m=1,2．因为函数的图象关于y轴对称，所以3m-9为偶数，故m=1．则原不等式可化为a+1-13<3-2a-13．因

为y=x-13在(-∞，0)，(0，+∞)上均单调递减，所以a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3-2a，解得23<a<32或a<-1．故a的取值范围是aa<-1或23<a<32．三、巩固练习1

．下列函数中不是幂函数的是(C)A．y=xB．y=x3C．y=3xD．y=x-1︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page197/Total218课堂笔记【答案】:C【解析】只有y=3x不符合幂函数y=xα的形式．2．设a∈-1，1，12，3

，则使函数y=xa的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是(A)A．1,3B．-1,1C．-1,3D．-1,1,3【答案】:A【解析】当a=-1时，函数y=x-1的定义域是{x|x≠0}，且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R，且为奇函数；当a=12时

，函数y=x12的定义域是{x|x≥0}，且为非奇非偶函数；当a=3时，函数y=x3的定义域是R，且为奇函数．3．函数y=x54的图象是(C)【答案】:C【解析】∵函数y=x54是非奇非偶函数，故排除A，B选项．又5

4>1，故排除D选项．4．0.23-2.3与0.24-2.3的大小关系是0.23-2.3>0.24-2.3.【答案】:0.23-2.3>0.24-2.3【解析】因为函数y=x-2.3在(0，+∞)上单调递减，且0.23<0.24，所以0

.23-2.3>0.24-2.3.5．幂函数的图象过点(2，2)，则该幂函数的解析式是(B)A．y=x-1B．y=x12C．y=x2D．y=x3【答案】:B【解析】设f(x)=xα，则2α=2，∴α=

12，∴f(x)=x12．6．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，+∞)上单调递增的函数是(C)A．y=x12B．y=x-1C．y=x2D．y=x【答案】:C【解析】由于y=x-1和y=x都是奇函数，故B，D不合题意．y=x12在(0，

+∞)上单调递增，但不是偶函数，故A不满足题意．y=x2为偶函数，且在(0，+∞)上单调递增．7．函数y=x12-1的图象关于x轴对称的图象大致是(B)pμθημαz︱eiπ+1=0Page198/Total218

课堂笔记【答案】:B【解析】y=x12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y=x12-1的图象可看作是由y=x12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，则y=x12-1的图象关于x轴对称的图象即为选项B．8．已知函数f(x)=x12，若0<a<b<1，则下列各式中

正确的是(C)A．f(a)<f(b)<f1a<f1bB．f1a<f1b<f(b)<f(a)C．f(a)<f(b)<f1b<f1aD．f1a<f(a)<f1b<f(b)【答案】

:C【解析】因为函数f(x)=x12在(0，+∞)上单调递增，又0<a<b<1<1b<1a，故f(a)<f(b)<f1b<f1a．9．(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点27，13，则幂函数f(x)具有的

性质是(BC)A．在其定义域上为增函数B．在(0，+∞)上单调递减C．奇函数D．定义域为R【答案】:BC【解析】设幂函数f(x)=xα(α为常数)，因为幂函数图象过点27，13，所以f(x)=x-13，所以由f(x)的性质知，定义域为{x∈R|x≠0

}，f(x)是奇函数，在(-∞，0)，(0，+∞)上均单调递减．10．若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)=4f(2)，则f12的值等于14．【答案】:14【解析】设f(x)=xα，∵f(4)=4f(2)，∴4α=4×2α，

解得α=2，∴f(x)=x2，∴f12=14．11．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是α<0．【答案】:α<0【解析】因为0<2．4<2．5，而2．4α>2．5α，所以y=xα在(0，+∞)上单调递减．故α<0．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page199/Total218课堂笔记12

．若幂函数y=(m2-2m-2)x-4m-2在x∈(0，+∞)上单调递减，则实数m的值是3．【答案】:3【解析】因为函数y=(m2-2m-2)x-4m-2既是幂函数又在(0，+∞)上单调递减，所以m2-

2m-2=1，-4m-2<0⇒m=3或m=-1，m>-12，解得m=3．13．已知函数f(x)=(m2+2m)·xm2+m-1，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数

．【答案】:(1)m=1；(2)m=-1；(3)m=-1±2．【解析】(1)若函数f(x)为正比例函数，则m2+m-1=1，m2+2m≠0，∴m=1．(2)若函数f(x)为反比例函数，则m2+m-1=-1，m2+2m≠0，∴m=-1．(3)若函数f(x)

为幂函数，则m2+2m=1，∴m=-1±2．14．比较下列各组数的大小：(1)3-72和3.2-72；(2)2323和π623．【答案】:(1)3-72>3.2-72；(2)2323>π623【解析】(1)函数y=x-72在

(0，+∞)上单调递减，又3<3.2，所以3-72>3.2-72．(2)函数y=x23在(0，+∞)上单调递增，而23>π6，所以2323>π623．15．函数f(x)=(a-b)xa3+b-3是幂函数，

则下列结论正确的是(A)A．f(a)>f(b)B．f(a)<f(b)C．f(a)=f(b)D．以上都不对【答案】:A【解析】∵f(x)为幂函数，∴b-3=0，a-b=1，∴a=4，b=3，∴f(x)=x43

，∴f(x)在(0，+∞)上单调递增，且a>b>0，∴f(a)>f(b)．16．若3-2m12>m+112，则实数m的取值范围为-1，23．【答案】:-1，23【解析】因为y=x12在定义域[0，+∞)上是增函数，所以3-2m≥0，m+1≥0，3-2

m>m+1，解得-1≤m<23．故m的取值范围为-1，23．pμθημαz︱eiπ+1=0Page200/Total218课堂笔记17．给出下面四个条件：①f(m+n)=f(m)+f(n)；②f(m+n)=f(m)·f(n)；③f(mn)=f(m)·f(n)；④f(mn)

=f(m)+f(n)．如果m，n是幂函数y=f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y=f(x)一定满足的条件的序号为③．【答案】:③【解析】设f(x)=xα，则f(m+n)=(m+n)α，f(m)+f(n)=mα+nα，f(m)·f(n)=mα·nα=(mn)α，f(mn)=(m

n)α，所以f(mn)=f(m)·f(n)一定成立，其他三个不一定成立．18．已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于(C)A．1B．0,2C．-1,1,3D．0,1,2【答案】:C【解析】∵幂函数y

=xm2-2m-3(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，∴m2-2m-3≤0，且m2-2m-3(m∈Z)为偶数，由m2-2m-3≤0，得-1≤m≤3，又m∈Z，∴m=-1,0,1,2,3．当m=-1时，m2-2m

-3=1+2-3=0，为偶数，符合题意；当m=0时，m2-2m-3=-3，为奇数，不符合题意；当m=1时，m2-2m-3=1-2-3=-4，为偶数，符合题意；当m=2时，m2-2m-3=4-4-3=-3，为奇数，不符合题意；当m=3时，m

2-2m-3=9-6-3=0，为偶数，符合题意．综上所述，m=-1,1,3．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page201/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ§3.4函数的应用一、基础必备

(一)常见的几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)=ax+b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)分段函数模型f(x)=f1x，x∈D

1，f2x，x∈D2，⋯⋯，fnx，x∈Dn幂函数模型f(x)=axα+b(a，b，α为常数，a≠0)【例155】一个矩形的周长是40，则矩形的长y关于宽x的函数解析式为y=20-x,0<x≤10．【

答案】:y=20-x,0<x≤10【解析】由题意可知2x+2y=40，所以y=20-x,0<x≤10．【例156】用一根长为12m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是9m2．【答案】:9【解析】设矩形的一边长为xm，

则与这条边垂直的边长为12-2x2m，所以矩形面积S=x·12-2x2=-x2+6x(0<x<6)，当x=3m时，S最大=9m2．【例157】某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每

个60元．【答案】:60【解析】设涨价x元(0≤x≤25)，销售的利润为y元，则y=(50+x-45)(50-2x)=-2x2+40x+250=-2(x-10)2+450，所以当x=10，即销售价为60元时，y取得最大值．二、题型考法(一

)一次函数模型的应用一次函数模型的特点和求解方法(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．(2)解一次函数模型时，注意待定系数法的应用，主要步骤是：设元、列式、求解．pμθημαz︱eiπ+1=0Page202/Total218课堂笔记【例158】为了发展电信事业，方便用户，电信公司

对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示．(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用

户计算在一个月内使用哪种卡便宜．【答案】:(1)y1=16x+30(x≥0)，y2=12x(x≥0)．(2)当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜．【※解析※】(1)由图象可设y1=k

1x+30(k1≠0)，y2=k2x(k2≠0)，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1=k1x+30，y2=k2x，得k1=16，k2=12．∴y1=16x+30(x≥0)，y2=12x(

x≥0)．(2)令y1=y2，即16x+30=12x，则x=90．当x=90时，y1=y2，两种卡收费一致；当x<90时，y1>y2，使用便民卡便宜；当x>90时，y1<y2，使用如意卡便宜．【练106】某

报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必

须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大.【答案】:买进400份报纸所获利润最大，获利1440元.【※解析※】设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸；每月所获利润是y元，则每月售出报纸共(20x+10×250)份；每月退回报社报纸共1

0×(x-250)份.依题意得，y=(0.40-0.24)×(20x+10×250)-(0.24-0.08)×10(x-250).即y=0.16(20x+2500)-0.16(10x-2500)，化简得y=1.6x+800，其中250≤x≤400，因为此一次函数的k=1.6>0，所以y是一个单调

递增函数，再由250≤x≤400知，当x=400时，y取得最大值，此时y=1.6×400+800=1440(元).所以买进400份报纸所获利润最大，获利1440元.(二)二次函数与幂函数模型的应用利用二次函数求最值的方法及注意点(

1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．(2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符．【例159】某水果批发商

销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与

销售单价x(元/箱)之间的函数关系式；(3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【答案】:(1)y=-3x+240(50≤x≤55，x∈N)．(2)w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55，x∈N)．︱数是

万物的本原-毕达哥拉斯Page203/Total218课堂笔记(3)当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元．【解析】(1)根据题意，得y=90-3(x-50)，化简，得y=-3x+240(50≤x≤55，x∈N)．(

2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润．所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因为w=-3x2+360x-9600=-3(x-60)2

+1200，所以当x<60时，w随x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以当x=55时，w有最大值，最大值为1125．所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元．【练107】据市场

分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，为二次函数的顶点.(1)写出月总成本y(万元)关于月产

量x(吨)的函数关系；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？【答案】:(1)y=110(x-15)2+17.5(10≤x≤25).(2)月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元【※

解析※】(1)设y=a(x-15)2+17.5(a≠0)，将x=10，y=20代入上式，得20=25a+17.5，解得a=110.所以y=110(x-15)2+17.5(10≤x≤25).(2)设最大利润为Q(x)，则Q(x)=1.6x-y=1.6x-110x-15

2+17.5=-110(x-23)2+12.9(10≤x≤25).所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元.(三)分段函数模型的应用应用分段函数时的三个注意点(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏．(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量

取值范围的并集．(3)分段函数的值域求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论．【例160】经市场调查，某新开业的商场在过去一个月内(以30天计)，顾客人数f(t)(千人)与时间t(天)的函数关系近似满足f(t)=4+1t

(t∈N*)，人均消费g(t)(元)与时间t(天)的函数关系近似满足g(t)=100t，1≤t≤7，t∈N*，130-t，7<t≤30，t∈N*．(1)求该商场的日收益w(t)(千元)与时间t(天)

(1≤t≤30，t∈N*)的函数解析式；(2)求该商场日收益的最小值(千元)．【答案】:(1)w(t)=400t+100，1≤t≤7，t∈N*，519-4t+130t，7<t≤30，t∈N*．；(2)该商场日收益的最小值为12103千元．【※解析※】(1)由题意w(t)=f

(t)·g(t)=100t4+1t，1≤t≤7，t∈N*，130-t4+1t，7<t≤30，t∈N*pμθημαz︱eiπ+1=0Page204/Total218课堂笔记=400t+100，1≤t≤

7，t∈N*，519-4t+130t，7<t≤30，t∈N*．(2)当1≤t≤7时，w(t)单调递增，最小值在t=1处取到，w(1)=500；当7<t≤30时，w(t)单调递减，最小值在t=30处取到，w(30)=519-120+13030=12103．由12103

<500，可得w(t)的最小值为12103．所以，该商场日收益的最小值为12103千元．【练108】已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地.(1)把汽车离A地的距离x(千米)表示

为时间t(小时)的函数；(2)求当t=5小时时汽车离A地的距离.【答案】:(1)x=60t，0≤t≤2.5150，2.5<t≤3.5-50t+325，3.5<t≤6.5.(2)t=5小时时汽车离A地75千米.【※解析※】(1)汽车以60千米/时的速度从A地到B地需2.5小时，这时x=60

t；当2.5<t≤3.5时，x=150；汽车以50千米/时的速度返回A地需3小时，这时x=150-50(t-3.5)=-50t+325.所求函数的解析式为x=60t，0≤t≤2.5，150，2.5<t≤3.5，-

50t+325，3.5<t≤6.5.(2)当t=5时，x=-50×5+325=75，即当t=5小时时汽车离A地75千米.三、巩固练习1．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中正确的有()①这几年人民生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长

最快的一年是2010年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2011年；④虽然2012年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．A．1项B．2项C．3项D．4项【答案】:C【解析】由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的

差是逐年增大的，故①正确．“生活费收入指数”在2010~2011年最陡．故②正确，“生活价格指数”在2011~2012年最平缓，故③不正确，由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确．2．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交

通灯由红变绿，绿灯时长超过5s，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么()A．人可在7秒内追上汽车B．人可在10秒内追上汽车︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page205/Total218课堂笔记C．人追不上汽车，其间

距最少为5米D．人追不上汽车，其间距最少为7米【答案】:D【解析】设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s=12t2，车与人的间距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7，当t=6时，d取得最小值7．3．某公司招聘员工，

面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y=4x，1≤x<10，x∈N*，2x+10，10≤x<100，x∈N*，1．5x，x≥100，x∈N*．其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为()A．15B．40C．2

5D．130【答案】:C【解析】令y=60，若4x=60，则x=15>10，不合题意；若2x+10=60，则x=25，满足题意；若1.5x=60，则x=40<100，不合题意，故拟录用人数为25．4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现

，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m=162-3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为()A．30元B．42元C．54元D．越高越好【答案】:B【解析】设当每件商品的售

价为x元时，每天获得的销售利润为y元．又m≥0，所以0<x<54，由题意得，y=m(x-30)=(x-30)·(162-3x)．上式配方得y=-3(x-42)2+432．所以当x=42时，利润最大．5

．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P=1000+5x+110x2，Q=a+xb，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有()A．a=45，b=-30B．a=30，b=-45C．a

=-30，b=45D．a=-45，b=-30【答案】:A【解析】设生产x吨产品全部卖出，获利润为y元，则y=xQ-P=xa+xb-1000+5x+110x2=1b-110x2+(a-5)x-1000(x>0)

．由题意知，当x=150时，y取最大值，此时Q=40．所以-a-521b-110=150，a+150b=40，解得a=45，b=-30．6．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万

元)与药品利润y(万元)存pμθημαz︱eiπ+1=0Page206/Total218课堂笔记在的关系为y=xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为125万元．【答案】:12

5【解析】由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y=xα中，即3α=27，解得α=3，故函数关系式为y=x3．所以当x=5时，y=125．7．某汽车在同一时间内速度v(km/h)与耗油量Q(L)之间有近似的函数关系：Q=0．0025

v2-0.175v+4.27，则车速为35km/h时，汽车的耗油量最少．【答案】:35【解析】Q=0.0025v2-0.175v+4.27=0.0025(v2-70v)+4.27=0.0025[(v-35)

2-352]+4.27=0.0025(v-35)2+1.2075.故v=35km/h时，耗油量最少.8．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价付费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2

.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费14.59元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了9千米.【答案】:14.599【解析】设出租车行驶x千米时，付费y元，则y=9，0<x≤3，8+2.15

x-3+1，3<x≤8，8+2.15×5+2.85x-8+1，x>8，当x=5.6时，y=8+2.15×2.6+1=14.59(元).由y=22.6，知x>8，由8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6，解得x=9.9．某工

厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施．方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立

方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．(1)若工厂每月生产3000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产60

00件时，你作为厂长又该如何决策呢？解设工厂生产x件产品时，依方案1的利润为y1，依方案2的利润为y2，则y1=(50-25)x-2×0．5x-30000=24x-30000，y2=(50-25)x-14×0．5x

=18x．(1)当x=3000时，y1=42000，y2=54000．因为y1<y2，故应选择第2个方案处理污水．(2)当x=6000时，y1=114000元，y2=108000元．因为y1>y2，故应选择

第1个方案处理污水．10．商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page207/Total218课堂笔记数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成

本价的价格(标价)出售．问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？【解析】(1)设购买人数为n，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元，则x∈(100,30

0]，n=kx+b(k<0)，∵0=300k+b，即b=-300k，∴n=k(x-300)．∴利润y=(x-100)k(x-300)=k(x-200)2-10000k(x∈(100,300])，∵k<0，∴x=200时，ymax=-10000k，即商场要获取

最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元．(2)由题意得k(x-100)(x-300)=-10000k·75%，x2-400x+37500=0，解得x=250或x=150，所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元．

11．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0时到6时，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则一定正确的是(A)A．①B．①②C．①③D．①②③【答案

】:A【解析】由甲乙两图知，出水的速度是进水的2倍，所以0点到3点只进水不出水，3点到4点水量减少，则一个进水口进水，另一个关闭，出水口出水；4点到6点水量不变，可能是不进水不出水或两个进水口进水，一个出水口出水，所以只有①正确．12．在股票买卖过程中，经常用两种曲线来

描述价格变化情况：一种是即时价格曲线y=f(x)，另一种是平均价格曲线y=g(x)，如f(2)=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元；g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示y=f(x)，虚线表示y=g(x)，其中可

能正确的是(C)【答案】:C【解析】根据即时价格与平均价格的相互依赖关系，可知，当即时价格升高pμθημαz︱eiπ+1=0Page208/Total218课堂笔记时，对应平均价格也升高；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能正确．13．某厂有许多

形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为15,12．【答案】:15,12【解析】由三角形相似得24-y24-

8=x20，得x=54(24-y)，∴S=xy=-54(y-12)2+180(8≤y<24)．∴当y=12时，S有最大值，此时x=15．︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page209/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ章末重点3函数性质的综合问题函数的性质是高中数学的核心内容，包括函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在历年的高考中函数的性质都占有非常重要的

地位．命题时常常多种性质结合在一起进行考查，难度较大，技巧性比较强．(一)利用函数的单调性、奇偶性比较大小【例161】已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x)．若a=g(-2)，b=g(1)，c=g(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<cB．c<b<aC．b<a<cD

．b<c<a【答案】:C【解析】方法一易知g(x)=xf(x)在R上为偶函数，∴a=g(-2)=g(2)，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)=0．∴g(x)在(0，+∞)上单调递增．∴g(1)<g(2)<g(3)，即b<a<c．方法

二(特殊化)取f(x)=x，则g(x)=x2为偶函数且在(0，+∞)上单调递增，a=g(-2)=4，b=g(1)=1，c=g(3)=9，从而可得b<a<c．(二)利用奇函数、偶函数的图象解不等式【例162】设函数f(x)为奇函数，且在(-∞，0)上单调递减，若f(-2)=

0，则xf(x)<0的解集为()A．(-1,0)∪(2，+∞)B．(-∞，-2)∪(0,2)C．(-∞，-2)∪(2，+∞)D．(-2,0)∪(0,2)【答案】:C【解析】利用函数的性质画出函数f(x)的简图如图，所以不等式xf(x)<0可化为x>0，fx<0或x<0，fx>0，

由图可知x>2或x<-2．(三)利用函数的奇偶性、单调性解不等式解决此类不等式问题时一定要充分利用已知条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．【例

163】已知函数g(x)是R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=-x2+2x，函数f(x)=x，x≤0，gx，x>0，若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是()A．(-∞，1)∪(2，+∞)B．(-∞，-2)∪(1，+∞)C．(1,2)D．(-2,

1)【答案】:D【解析】∵g(x)是奇函数，∴x>0时，g(x)=-g(-x)=x2+2x，易知f(x)在R上是增函数，由f(2-x2)>f(x)，可得2-x2>x，即x2+x-2<0，∴-2<x<1．(四)利用函数的奇偶性、单调性求函数的最值解决此类求最值问题应

充分利用：奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单pμθημαz︱eiπ+1=0Page210/Total218课堂笔记调性且图象关于原点对称；偶函数在关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性且图象关于y轴对称．【例164】已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=1x-2，

0<x<1，2x-3，x≥1，若f(x)在-4，-14上的最大值为m，最小值为n，求m+n=．【答案】:-4解如图，画出f(x)在(0，+∞)上的图象，由图知，当x∈14，4时，f(x

)min=f(1)=-1，又f14=2，f(4)=5，所以f(x)max=f(4)=5．又f(x)为奇函数，所以当x∈-4，-14时，f(x)max=f(-1)=-f(1)=1，f(x)min=f(

-4)=-f(4)=-5．所以m=1，n=-5，故m+n=1-5=-4．(五)抽象函数性质的应用【例165】设函数y=f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f(xy)=f(x

)+f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f(3)=-1．(1)求f(1)，f19的值；(2)证明f(x)在(0，+∞)上是减函数；(3)如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立，求x的取值范围．【答案】:(

1)f(1)=0；f19=2；(2)f(x)在(0，+∞)上是减函数；(3)1-223，1+223【※解析※】(1)解因为对任意正数x，y，都有f(xy)=f(x)+f(y)，f(3)=-1，令x=y=1，得f(1)=f(1)+f(1)，f

(1)=0，令x=y=3，则f(9)=f(3)+f(3)=-2，令x=19，y=9，则有f(1)=f19+f(9)=0，f19=2．(2)证明令x1<x2，且x1，x2∈(0，+∞)，所以x2x1>1，fx2x1<0，f(x2)=fx1·x2

x1=f(x1)+fx2x1<f(x1)，∴f(x)在(0，+∞)上是减函数．(3)解由已知不等式f(x)+f(2-x)<2化为f(2x-x2)<f19，又f(x)在(0，+∞)上是减函数，∴2x-x2>19，x>

0，2-x>0，解得1-223<x<1+223．不等式解集为1-223，1+223．(六)根据函数的奇偶性、单调性求参数︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page211/Total218课

堂笔记【例166】已知函数f(x)=-x2+2x，x>0，0，x=0，x2+mx，x<0是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围．【答案】:(1)m=2；(

2)(1,3]【※解析※】(1)设x<0，则-x>0，所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x．又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)．于是x<0时，f(x)=x2+2x=x2+mx，所以m=2．(2)要使f(x)在

[-1，a-2]上单调递增，结合f(x)的图象(图略)知a-2>-1，a-2≤1，所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．pμθημαz︱eiπ+1=0Page212/Total218课堂笔记ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ

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ZZZZZZ章末复习课一、思维导图二、题型考法(一)求函数的定义域1．求函数定义域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等等；由几个式子构成的函数，则定义域是使各式子有意义的集合的交集．2．掌握基本的集合交并补运算，解简单的不等式，提升逻辑推理和数

学抽象素养．求函数定义域的类型与方法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．(3)复合函数问题：①若f(x)的定义域为

[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围．

【例167】函数f(x)=2x21-x+(2x-1)0的定义域为(D)A．-∞，12B．12，1C．-12，12D．-∞，12∪12，1【答案】:D【解析】由题意知1-x>0，2x-1≠0，解得x<1且x≠12，即f(x)的定义域是-∞，12∪12，1．【例168

】已知函数y=f(x-1)的定义域是[-1,2]，则y=f(1-3x)的定义域为(C)A．-13，0B．-13，3C．[0,1]D．-13，1【答案】:C︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page213/Total218课

堂笔记【解析】由y=f(x-1)的定义域是[-1,2]，则x-1∈[-2,1]，即f(x)的定义域是[-2,1]，令-2≤1-3x≤1，解得0≤x≤1，即y=f(1-3x)的定义域为[0,1]．【练109】若函数y=f(x)的定义域是[-2,4]

，则函数g(x)=f(-x)的定义域是(B)A．[-4,4]B．[-4,2]C．[-4，-2]D．[2,4]【答案】:B【解析】由-2≤-x≤4，得-4≤x≤2．所以函数g(x)=f(-x)的定义域是[-4,2]．【练110】函数y=5-x+x-1

-1x2-9的定义域为{x|1≤x≤5且x≠3}．【答案】:{x|1≤x≤5且x≠3}【解析】解不等式组5-x≥0，x-1≥0，x2-9≠0，得x≤5，x≥1，x≠±3，故函数的定义域是{x|1≤x≤5且x≠3}．(二)求函数

的解析式1．求函数的解析式最常用的方法是换元法和待定系数法．2．掌握常见的基本初等函数的类型和求解析式的方法，提升数学运算和逻辑推理素养．求函数解析式的题型与相应的解法(1)已知形如f(g(x))的解

析式求f(x)的解析式，使用换元法或配凑法．(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数)，使用待定系数法．(3)含f(x)与f(-x)或f(x)与f1x，使用解方程组法．(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式

，可用奇偶性转移法．【例169】函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)=x+1，则f(x)的解析式为．【答案】:f(x)=1+x，x>0，0，x=0，--x-1，x<0【解析】设x<0，则-x>0，∴f(-x)=-x+1．∵f(x)是

奇函数，∴f(-x)=-f(x)，即-f(x)=-x+1，∴f(x)=--x-1．∵f(x)是奇函数，∴f(0)=0，∴f(x)=1+x，x>0，0，x=0，--x-1，x<0．【例170】已知f1+xx=1

+x2x2+1x，则f(x)的解析式为．【答案】:f(x)=x2-x+1，x∈(-∞，1)∪(1，+∞)【解析】令t=1+xx=1x+1，则t≠1．把x=1t-1代入f1+xx=1+x2x2+1x，得f(t)=1+1t-121t-12+11t-1=(t-1)2+1+(t-1

)=t2-t+1．pμθημαz︱eiπ+1=0Page214/Total218课堂笔记所以所求函数的解析式为f(x)=x2-x+1，x∈(-∞，1)∪(1，+∞)．【例171】二次函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时

，f(x)的图象关于直线x=-1对称；②f(1)=1；③f(x)在R上的最小值为0．求函数f(x)的解析式．【答案】:f(x)=14x2+12x+14解因为f(x)的对称轴为x=-1，所以-b2a=-1即b=2a，又f(1)=1，即a+b+c=1，由条件③知，a>0，且4ac-

b24a=0，即b2=4ac，由以上可求得a=14，b=12，c=14，所以f(x)=14x2+12x+14．(三)函数性质的综合应用1．函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象

，要注意勿漏定义域的影响．2．掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养．(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定

义，同时注意根据解题需要给x灵活赋值．【例172】已知函数f(x)是定义在区间[-1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若对于任意的m，n∈[-1,1]，m+n≠0，有fm+fnm+n>0．(1

)判断函数的单调性(不要求证明)；(2)解不等式fx+12<f(1-x)；(3)若f(x)≤-2at+2对于任意的x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围．【答案】:(1)函数

f(x)在区间[-1,1]上是增函数．(2)x0≤x<14(3)-12，12【※解析※】:(1)函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数．(2)由(1)知函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数，由fx+12<f(1-

x)，得-1≤x+12≤1，-1≤1-x≤1，x+12<1-x，解得0≤x<14．所以不等式fx+12<f(1-x)的解集为x0≤x<14．(3)因为函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数，且f(1)=1，要使得对于任意的x∈[-1,1]

，a∈[-1,1]都有f(x)≤-2at+2恒成立，︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page215/Total218课堂笔记只需对任意的a∈[-1,1]，-2at+2≥1恒成立．令y=-2at+1，当t≠0时y可以看作a的一次函数，且在a∈[-1,1]时，y≥0恒成立．因此只需-2t

+1≥0，2t+1≥0，解得-12≤t≤12，且t≠0．当t=0时，y=1，满足y≥0恒成立．所以实数t的取值范围为-12，12．【练111】函数f(x)=mx2+23x+n是奇函数，f(2)=53．

(1)求实数m和n的值；(2)求函数f(x)在区间[-2，-1]上的最值．【答案】:(1)实数m和n的值分别是2和0．(2)f(x)max=f(-1)=-43，f(x)min=f(-2)=-53【※解析

※】(1)∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴mx2+2-3x+n=-mx2+23x+n=mx2+2-3x-n．比较得n=-n，n=0．又f(2)=53，∴4m+26=53，解得m=2．∴实数m和n的值分别是2和0．(2)由(1)知f(x)=2x2+23x=2x3

+23x．任取x1，x2∈[-2，-1]，且x1<x2，则f(x1)-f(x2)=23(x1-x2)1-1x1x2=23(x1-x2)·x1x2-1x1x2．∵-2≤x1<x2≤-1，∴x1-x2<0，x1x2>1，x1x2-1>0，∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x

1)<f(x2)．∴函数f(x)在[-2，-1]上单调递增．∴f(x)max=f(-1)=-43，f(x)min=f(-2)=-53．(四)函数图象的画法及应用1．利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂

函数图象．2．掌握简单的基本函数图象，提升直观想象和数据分析素养．作函数图象的方法(1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线．(2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．①平移：y=f(x)左加右减y=f(x±h)；y=f(x)上加下减y

=f(x)±k(其中h>0，k>0)．②对称：y=f(x)y=f(-x)；y=f(x)y=-f(x)；y=f(x)y=-f(-x)．特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．【例173】已知函数f(x)=|-

x2+2x+3|．(1)画出函数图象并写出函数的单调区间；(2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}．【答案】:(1)单调递增区间为[-1,1]和[3，+∞)，单调递减区间为(-∞，-1)和(1,3)．(2)M={m|0<m<4}【解析】(1)当-x2+2x+3≥0时

，得-1≤x≤3，pμθημαz︱eiπ+1=0Page216/Total218课堂笔记函数f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，当-x2+2x+3<0时，得x<-1或x>3，函数f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4，即f(x)=-x-12+4

，-1≤x≤3，x-12-4，x<-1或x>3的图象如图所示，单调递增区间为[-1,1]和[3，+∞)，单调递减区间为(-∞，-1)和(1,3)．(2)由题意可知，函数y=f(x)与y=m的图象有四

个不同的交点，则0<m<4．故集合M={m|0<m<4}．【例174】已知函数f(x)=-x，x≤0，-x2+2x，x>0，方程f2(x)-bf(x)=0，b∈(0,1)，则方程的根的个数是A．2B．3C．4D．5【答案】

:D【解析】因为f2(x)-bf(x)=0，所以f(x)=0或f(x)=b，作函数f(x)=-x，x≤0，-x2+2x，x>0的图象如图，结合图象可知，f(x)=0有2个不同的根，f(x)=b(0<b<1)有3个不同的根，且5个根都不相同，故方程的根的个数是5．【练11

2】设f(x)=x，0<x<1，2x-1，x≥1，若f(a)=f(a+1)，则f1a等于(C)A．2B．4C．6D．8【答案】:C【解析】若0<a<1，由f(a)=f(a+1)，得a=2(a+1-1)，∴a=14，∴f1a=f(4)=2×(4-1)=6．若a≥

1，由f(a)=f(a+1)，得2(a-1)=2(a+1-1)，无解．综上，f1a=6．【练113】已知函数f(x)=|x|+2，x<1，x+2x，x≥1．设a∈R，若关于x的不等式f(x)

≥x2+a在R上恒成立，则a的取值范围是(A)A．[-2,2]B．[-23，2]C．[-2,23]D．[-23，23]【答案】:A【解析】方法一∵f(x)≥x2+a在R上恒成立，∴-f(x)-x2≤a≤f(x)-x2在R上恒成立．令g(x)=-f(

x)-x2．当0≤x<1时，f(x)=x+2，g(x)=-x-2-x2=-3x2-2≤-2，即g(x)max=-2．当x<0时，f(x)=-x+2，g(x)=x-2-x2=x2-2，即g(x)<-2．当x≥1时，f(x)=x+2x，

g(x)=-x-2x-x2=-3x2-2x≤-23(当且仅当x=︱数是万物的本原-毕达哥拉斯Page217/Total218课堂笔记233时等号成立)．即g(x)max=-23．∴a≥-2．令h(x)=f(x)-x2．当0≤x<1时，f(x)=x+2，h(x)=x+2-x2=x2+2≥2

，即h(x)min=2．当x<0时，f(x)=-x+2，h(x)=-x+2-x2=-3x2+2>2，即h(x)>2．当x≥1时，f(x)=x+2x，h(x)=x+2x-x2=x2+2x≥2，即h(x)min=2．∴a≤2．综上可知，-2≤a≤2．方法二若a=23，则当x=0时，f

(0)=2，而x2+a=23，不等式不成立，故排除选项C，D．若a=-23，则当x=0时，f(0)=2，而x2+a=23．不等式不成立，故排除选项B．【练114】函数y=7+6x-x2的定义域是[-1,7]．【答案】:[-1,7]【解析】要使函数有意义，则7

+6x-x2≥0，解得-1≤x≤7，则函数的定义域是[-1,7]．【练115】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(-∞，0)时，f(x)=2x3+x2，则f(2)=12．【答案】:12【解析】

方法一令x>0，则-x<0．∴f(-x)=-2x3+x2．∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(-x)=-f(x)．∴f(x)=2x3-x2(x>0)．∴f(2)=2×23-22=12．方法二f(2

)=-f(-2)=-[2×(-2)3+(-2)2]=12．【练116】已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是12，1．【答案】:12，1【解析】方法一由x+y=1，得y=

1-x．又x≥0，y≥0，所以0≤x≤1，x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1=2x-122+12．由0≤x≤1，得0≤x-122≤14，即12≤x2+y2≤1．所以x2+y2∈12，1．方法二x2+y2=(x+y

)2-2xy，已知x≥0，y≥0，x+y=1，所以x2+y2=1-2xy．因为1=x+y≥2xy，所以0≤xy≤14，所以12≤1-2xy≤1，即x2+y2∈12，1．pμθημαz︱eiπ+1=0Page218/Total218