【文档说明】通用版高考数学(理数)一轮复习第5讲《函数的单调性与最值》学案(含详解) .doc，共(15)页，776.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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1第5讲函数的单调性与最值1.单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图像描

述自左向右看图像是自左向右看图像是2.单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫作函数y=f(x)的单调区间.3.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M

;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M(1)对于任意x∈I,都有;(2)存在x0∈I,使得结论M为最大值M为最小值常用结论1.函数的单调性(1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数.(2)若

k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反.2(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反.(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=的单调性相同.(5)复合函数单调性的确定方法:若两

个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.2.单调性定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],x1≠x2.(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或>0,则f(x)在闭区间

[a,b]上是增函数;(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或<0,则f(x)在闭区间[a,b]上是减函数.3.函数最值的两条结论:(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.(2)开区间上

的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=(2a-1)x-3是R上的减函数,则a的取值范围是.2.[教材改编]函数f(x)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的单调递增区间是;单调递减区间是.3.[教材改编]函数f(x)=(x

∈[2,5])的最大值与最小值之和等于.4.[教材改编]函数f(x)=|x-a|+1在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.题组二常错题◆索引:求单调区间忘记定义域导致出错;对于分段函数,一般不能整体单调,只能

分段单调;利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念.35.函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是.6.已知函数f(x)=是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围为.7.函数y=f(x)

是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1)<f(2a),则实数a的取值范围是.8.(1)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是.(2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间为(-∞,4],则a的值为.

探究点一函数单调性的判断与证明例1判断函数f(x)=ax+(a>1),x∈(-2,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.[总结反思](1)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈D,且x1<x2;②作差

f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断f(x1)-f(x2)的正负);⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).变式题(1)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的函数是()A.y=-x2+1B.y=|x-1|C.y

=1-D.y=lnx+x(2)[2018·茂名二联]设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论一定正确的是()A.y=[f(x)]2在R上为增函数4B.y=|f(x)|在R上为增函数C.y=2-f(x)在R上为减函数D.y=-[f(x)]3在R上为增函数探究

点二求函数的单调区间例2(1)[2018·石嘴山一模]函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是()A.(-1,1]B.[1,3)C.(-∞,1]D.[1,+∞)(2)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)

的单调递减区间是.[总结反思](1)求函数单调区间的常见方法:①定义法;②图像法;③导数法.(2)求复合函数单调区间的一般步骤为:①确定函数的定义域;②求简单函数的单调区间;③求复合函数的单调区间,其依据是“同增异减”.(3)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等

式表示,有多个单调区间应分开写,不能用并集符号“∪”连接.变式题(1)[2019·成都七中一诊]函数f(x)=的单调递增区间是()A.(-∞,-2]B.(-∞,1]C.[1,+∞)D.[4,+∞)(2)已知函数f(x)=-x|x|+2x,则下列结论

正确的是()A.f(x)的单调递增区间是(0,+∞)B.f(x)的单调递减区间是(-∞,0)C.f(x)的单调递增区间是(-∞,-1)D.f(x)的单调递增区间是(-1,1)探究点三利用函数单调性解决问题微点1利用函数的单调性比较大小5例3已知

f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有>0.记a=,b=,c=,则()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.c<b<a[总结反思]比较函数值的大小时,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性去比较大小.微点

2利用函数的单调性解决不等式问题例4(1)[2018·广州模拟]已知函数f(x)=log2(4x+1)+x,则不等式f(log3x)<1的解集为()A.(0,1)B.(0,2)C.(-1,0)D.(-1,1)(2)已知函数f(x)的

定义域为R,对任意x1<x2,都有f(x1)-f(x2)<x1-x2,且f(2)=3,则不等式f(3x-1)>3x的解集为()A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.(1,+∞)D.(-∞,1)[总结反思]解函数不等式的理论依据

是函数单调性的定义,具体步骤是:(1)将函数不等式转化成f(x1)>f(x2)的形式;(2)考查函数f(x)的单调性;(3)据函数f(x)的单调性去掉法则“f”,转化为形如“x1>x2”或“x1<x2”的常规不等式,从而得解.微点3利用函数的单调性求最值问题6例5(1)已知a>0

,设函数f(x)=+2018x3(x∈[-a,a])的最大值为M,最小值为N,则M+N的值为()A.2018B.2019C.4035D.4036(2)[2018·龙岩质检]函数f(x)=-log2(x+

4)在区间[-2,2]上的最大值为.[总结反思]若函数f(x)在区间[a,b]上单调,则必在区间的端点处取得最值;若函数f(x)在区间[a,b]上不单调,则最小值为函数f(x)在该区间内的极小值和区间端点值中最小的值,最大值为函数f(x)在该区间内的极大

值和区间端点值中最大的值.微点4利用函数的单调性求参数的范围(或值)例6(1)[2018·南充三模]已知f(x)=是R上的增函数,那么实数a的取值范围是()A.(0,3)B.(1,3)C.(1,+∞)D.(2)已知函数f(x)=e|x-a|(a为常数),

若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是.7[总结反思](1)根据函数的单调性,将题设条件转化为含参数的不等式(组),即可求出参数的值或范围;(2)若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的.应用演练1.【微点1】[20

18·南阳第一中学模拟]已知a,b∈R,0<a<b<1,则下列不等式错误的是()A.a3<b3B.2a<2bC.log2a<log3bD.loga2<logb22.【微点3】设函数f(x)=在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则=()A.B.C.D.3.【微点4】

已知函数f(x)=对任意两个不相等的实数x1,x2∈[2,+∞),都有不等式>0成立,则实数a的取值范围是()A.(0,+∞)B.C.D.4.【微点2】[2018·昆明检测]已知函数f(x)=若f(a-1)≥f(-a),则实数a的取值范围是()A.B.8C.D.5.

【微点3】[2018·河南六市联考]若函数f(x)=,1≤|x|≤9的最大值为M,最小值为m,则M-m=()A.B.C.D.第5讲函数的单调性与最值考试说明1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数图像分析函数的性质.【课前双基巩固】知识聚焦1.f(x1)<f(x2)

f(x1)>f(x2)上升的下降的2.增函数或减函数区间D3.f(x)≥Mf(x0)=M对点演练91.a<[解析]当2a-1<0,即a<时,f(x)是R上的减函数.2.(2,3][-3,2][解析]由函数f(x

)=(x-2)2+5(x∈[-3,3])的图像(图略)即可得到单调区间.3.[解析]函数f(x)=在[2,5]上是减函数,所以最大值为f(2)=1,最小值为f(5)=,所以最大值与最小值之和为1+=.

4.a≤2[解析]因为函数f(x)=|x-a|+1的单调递增区间是[a,+∞),当f(x)在[2,+∞)上单调递增时,满足[2,+∞)⊆[a,+∞),所以a≤2.5.[解析]函数f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2+3x+4=-+,x∈(-1,4)的单调递减区间为,∴函数f(x)的单

调递减区间为.6.[解析]由题知解得a≤,即实数a的取值范围是.7.[-1,1)[解析]由条件知解得-1≤a<1.8.(1)a≤-3(2)-3[解析](1)函数图像的对称轴为直线x=1-a,由1-a≥4,得a≤-3.(2)函数图像的对称轴为

直线x=1-a,由1-a=4,得a=-3.【课堂考点探究】例1[思路点拨]直接判断单调性即可,再按照单调性的定义证明单调性.解:该函数在(-2,+∞)上单调递增.证明如下:任取x1,x2∈(-2,+∞),不妨设x1<x2,则x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0,又a

>1,所以>,即有->0,所以f(x2)-f(x1)=+--10=(-)+=(-)+>0,故函数f(x)在(-2,+∞)上单调递增.变式题(1)D(2)C[解析](1)对于选项A,函数y=-x2+1在(0,+∞)上单调递减,故A错;对

于选项B,函数y=|x-1|在(0,+∞)上先减后增,故B错;对于选项C,函数y=1-在(0,1)和(1,+∞)上均单调递增,但在(0,+∞)上不单调递增,故C错;对于选项D,函数y=lnx+x在(0,+∞)上单调递增,所以D正确.(2)A错,比如

f(x)=x在R上为增函数,但y=[f(x)]2在R上不具有单调性;B错,比如f(x)=x在R上为增函数,但y=|f(x)|=|x|在(0,+∞)上为增函数,在(-∞,0)上为减函数;C对,f(x)在R上为增函数,所以-f(x)在R上单调递减,所以y=2-f(x)在R上为减函

数;D错,比如f(x)=x在R上为增函数,但y=-[f(x)]3=-x3在R上为减函数.故选C.例2[思路点拨](1)先令t=-x2+2x+3>0求得函数的定义域,再根据复合函数的单调性的性质判定函数的单调递增区间;(2)作出函数g(x)的图像,由图像可得单调递减区间.(1)

A(2)[0,1)[解析](1)令t=-x2+2x+3>0,求得-1<x<3,故函数的定义域为(-1,3).由二次函数的性质可知,t=-(x-1)2+4,x∈(-1,3)的单调递增区间为(-1,1],

故函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是(-1,1].(2)由题意知g(x)=该函数的图像如图所示,其单调递减区间是[0,1).变式题(1)D(2)D[解析](1)由x2-2x-8≥0得x≥4或x≤-2

.令t=x2-2x-8,则y=为增函数,11又t=x2-2x-8在[4,+∞)上单调递增,∴原函数的单调递增区间为[4,+∞),故选D.(2)由题意可得函数的定义域为R.∵函数f(x)=-x|x|+2x,∴f(-x)=x|-x|-2x=-f(x),∴f(x)为奇函数.当x≥0时,f(x)=

-x2+2x=-(x-1)2+1,由二次函数的性质可知,函数在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减;由奇函数的性质可得,函数在(-1,0)上单调递增,在(-∞,-1)上单调递减.综上可得,函数的单调递增区间为(-1,1).故选D.例3[思路点拨]先根据已知条件判定y=的单调

性,再比较大小.B[解析]∵f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有>0,∴函数y=是(0,+∞)上的增函数.∵1<30.2<30.5=<2,0<0.32<1,log25>2,∴0<0.32<30.2<log25,∴b

<a<c.故选B.例4[思路点拨](1)分析函数的单调性,将不等式转化为f(log3x)<f(0),进一步转化为求解log3x<0即可;(2)构造函数,利用单调性把所求不等式中的函数符号去掉,得出一般的不等式,解该

不等式即可.(1)A(2)C[解析](1)易知函数f(x)=log2(4x+1)+x是R上的增函数,且f(0)=log2(1+1)=1,所以f(log3x)<1可以转化为f(log3x)<f(0),结合函数的单调性可以将不等式

转化为log3x<0,解得0<x<1,从而得原不等式的解集为(0,1).(2)由已知条件知f(x1)-x1<f(x2)-x2对任意x1<x2恒成立,故函数g(x)=f(x)-x为R上的增函数,且g(2)=f(2)-2=1.不等式f(3x-1)>3x,即

f(3x-1)-(3x-1)>1,即g(3x-1)>1=g(2),所以3x-1>2,得3x>3,解得x>1,故所求不等式的解集为(1,+∞).例5[思路点拨](1)对原函数解析式化简变形,利用常见函数的单调性确定f(x)的单调性,从而得到

函数的最大值和最小值;(2)函数f(x)可看成是由函数y=和函数y=-log2(x+4)组合而成的,分别考查这两个函数的单调性可得函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值.12(1)C(2)8[解析](1)f(x)=+2018x3=+201

8x3=2018-+2018x3.因为y=-,y=2018x3均为增函数,所以f(x)在[-a,a]上单调递增,故最大值为f(a),最小值为f(-a),所以M+N=f(a)+f(-a)=2018-+2018a3+2018-+2018(

-a)3=4036-1=4035.(2)因为函数y=和函数y=-log2(x+4)是定义域内的减函数,所以函数f(x)=-log2(x+4)在区间[-2,2]上单调递减,则所求函数的最大值为f(-2)=-log2(-2+4)=9-1=8.例6[思路点拨](1)根

据一次函数以及指数函数的性质,结合函数的单调性得到不等式组,解出即可.(2)根据解析式求出所给函数的单调递增区间,利用[1,+∞)是所得单调递增区间的子集,求得a的取值范围.(1)D(2)(-∞,1][解析](1)由题意得解得≤a<3,故选D.(2)∵f(x)=

e|x-a|=∴f(x)在[a,+∞)上为增函数,则由题意得[1,+∞)⊆[a,+∞),∴a≤1.应用演练1.D[解析]因为函数y=x3与函数y=2x在定义域内单调递增,所以A,B正确;由log2a<log3a<log3b可得C正

确;函数y=log2x单调递增,所以log2a<log2b<0,所以>,即loga2>logb2,所以D错误.故选D.132.D[解析]由题意得f(x)==2+,所以函数f(x)在区间[3,4]上单调递减,所以M=f

(3)=2+=6,m=f(4)=2+=4,所以==.故选D.3.D[解析]因为函数f(x)=对任意两个不相等的实数x1,x2∈[2,+∞),都有不等式>0成立,所以函数f(x)=在[2,+∞)上单调递增.易知a=0时不合题意,所以只需

解得≤a≤2,即实数a的取值范围是,故选D.4.A[解析]函数f(x)=e-x=在(-∞,0]上为减函数,函数f(x)=-x2-2x+1在(0,+∞)上为减函数,且e-0=-02-2×0+1,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数.由f(a-1)≥f(-a)

得a-1≤-a,解得a≤.故选A.5.B[解析]令t=|x|,1≤t≤9,则f(x)=g(t)=-,由y=,y=-在[1,9]上单调递增,可得g(t)=-在[1,9]上单调递增,所以f(x)的最小值m=g(1)=-=0,f(x)的最大值M=g(9

)=-=,所以M-m=,故选B.14【备选理由】例1考查抽象函数单调性的证明以及函数不等式的求解,考查转化思想和计算能力;例2考查的是有关函数值比较大小的问题,在求解的过程中,需要抓住题中的条件f(1+x)=f(1-x),得

到函数图像的对称性,再结合单调性比较大小;例3需要构造函数,利用函数单调性求解,考查学生的观察能力和运用条件的能力,有一定的难度;例4涉及绝对值函数的最值问题,一般利用绝对值定义去掉绝对值,将函数转化为分段函数,再根据函数单调性确定函数的最值.例1[配合例1使用]函数f(x)对任意的m,

n∈R都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且当x>0时,恒有f(x)>1.(1)求证:f(x)在R上是增函数;(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2.解:(1)证明:设x1,x2∈R,且x1<x2,则x2-x1>0,所以f(x2-x1)>1,所以f(x2

)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)是R上的增函数.(2)因为m,n∈R,不妨设m=n=1,所以f(1+1)=f(1)+f(1)

-1,即f(2)=2f(1)-1,所以f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=2f(1)-1+f(1)-1=3f(1)-2=4,所以f(1)=2,所以f(a2+a-5)<2等价于f(a2+a-5)<f(1).因为f(x)在R上为增函数,所以a2+a-5<1,得-

3<a<2,即a∈(-3,2).例2[配合例3使用][2018·莆田质检]设函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)是[1,+∞)上的增函数,则a=f(0.),b=f(0.),c=f(0.)的大小关系是()

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a[解析]A根据f(1+x)=f(1-x),可得函数f(x)的图像关于直线x=1对称,结合f(x)是[1,+∞)上的增函数,可得函数f(x)是(-∞,1]上的减函数.利用

幂函数和指数函数的单调性,可以确定0.<0.<0.<1,所以f(0.)>f(0.)>f(0.),即a>b>c,故选A.例3[配合例4使用][2018·石家庄三模]已知函数f(x)=ex-1+e1-x,则满足f(x-1)<e+e-1的x的取值范围是()A.

1<x<3B.0<x<215C.0<x<eD.1<x<e[解析]A令u=ex-1,u∈(0,+∞),其为单调递增函数,则f(x)=g(u)=u+,u∈(0,+∞),易知g(u)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且当x=

1时,u=e1-1=1.∵复合函数的单调性符合同增异减,∴x∈(-∞,1)时,函数f(x)单调递减;x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递增.∴函数f(x)的最小值f(x)min=f(1),又∵当x=0或x=2时,f

(x)=e+e-1,∴f(x-1)<e+e-1即为0<x-1<2,解得1<x<3.例4[配合例5使用]若函数f(x)=|x+a|+b在区间[-1,2]上的最大值为M,最小值为m,则M-m的值()A.与a有关,与b有关B.

与a有关,与b无关C.与a无关,与b无关D.与a无关,与b有关[解析]B当-a≥2时,f(x)=-x-a+b,∴M=f(-1)=1-a+b,m=f(2)=-2-a+b,∴M-m=3;当-a≤-1时,f(x)=x+a+b,∴m

=f(-1)=-1+a+b,M=f(2)=2+a+b,∴M-m=3;当-1<-a<2时,M=max{f(-1),f(2)}=max{|-1+a|+b,|2+a|+b},m=f(-a)=b,∴M-m=max{|-1+a|,|2+a|}.综上

,M-m的值与a有关,与b无关,故选B.