【文档说明】通用版高考数学(文数)一轮复习选修部分《坐标系与参数方程》学案(含详解) .doc，共(28)页，281.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1坐标系与参数方程第1课坐标系[过双基]1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：x′＝λ·xλ＞，y′＝μ·yμ＞的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐

标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫

做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：x＝ρcosθ

，y＝ρsinθ；ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx4．常见曲线的极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为r，π2，半径为r的圆的极坐标方程ρ＝2rsinθ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程θ＝α(ρ∈R)或θ

＝π＋α(ρ2∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程ρcosθ＝a－π2<θ<π2过点a，π2，与极轴平行的直线的极坐标方程ρsinθ＝a(0<θ<π)[小题速通]1．点P的直角坐标为(1，－3)，则点

P的极坐标为________．解析：因为点P(1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所成的角为－π3，所以点P的极坐标为2，－π3.答案：2，－π32．在极坐标系中，圆ρ＝2

cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为________．解析：把圆ρ＝2cosθ的方程化为(x－1)2＋y2＝1知，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，从而得这两条切线的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R)和ρcosθ＝2.答案：θ＝π2(ρ∈

R)和ρcosθ＝23．(北京高考)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为________．解析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(

y－2)2＝1，圆心为(1,2)，半径r＝1.因为点P(1,0)到圆心的距离d＝－2＋－2＝2>1，所以点P在圆外，所以|AP|的最小值为d－r＝2－1＝1.答案：14．(天津高考)在极坐标系中，直线4ρcosθ－π6＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为________．解析

：依题意，得4ρ32cosθ＋12sinθ＋1＝0，即23ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，所以直线的直角坐标方程为23x＋2y＋1＝0.由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋

(y－1)2＝1，其圆心(0,1)到直线23x＋2y＋1＝0的距离3d＝|2×1＋1|32＋22＝34<1，则直线与圆相交，故直线与圆的公共点的个数是2.答案：25．在极坐标系中，过点A1，－π2引圆ρ＝8sinθ的一条切线，则切线长为________．解析：点A

1，－π2的极坐标化为直角坐标为A(0，－1)，圆ρ＝8sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－8y＝0，圆的标准方程为x2＋(y－4)2＝16，点A与圆心C(0,4)的距离为|AC|＝5，所以切线长为|AC|2－r2＝3.答案

：3[清易错]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(

ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．1．若圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－π3－1＝0，若以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立相应的

平面直角坐标系xOy，则在直角坐标系中，圆心C的直角坐标是________．解析：因为ρ2－4ρcosθ－π3－1＝0，所以ρ2－2ρcosθ－23ρsinθ－1＝0，即x2＋y2－2x－23y－1＝0，因此圆心坐标为(1，3)．答案：(1，3)2．圆ρ＝5

cosθ－53sinθ的圆心的极坐标为________．解析：将方程ρ＝5cosθ－53sinθ两边都乘以ρ得：ρ2＝5ρcosθ－53ρsinθ，化成直角坐标方程为x2＋y2－5x＋53y＝0.圆心的坐标为

52，－532，化成极坐标为5，5π3.4答案：5，5π3(答案不唯一)平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例](1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y.求点A13，－2经过φ变换所得的点A′的坐标．(2)求直线l：y＝

6x经过φ：x′＝3x，2y′＝y，变换后所得到的直线l′的方程．[解](1)设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：x′＝3x，2y′＝y，得到x′＝3x，y′＝12y，由于点A的坐标为13，－2，于是x′＝3×

13＝1，y′＝12×(－2)＝－1，∴A′(1，－1)为所求．(2)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将x＝13x′，y＝2y′代入y＝6x得2y′＝6×13x′，∴y′＝x′，即y＝x为所求．[方法技巧]伸缩变换的解题方法平面

上的曲线y＝f(x)在变换φ：x′＝λxλ，y′＝μyμ的作用下得到的方程的求法是将x＝x′λ，y＝y′μ代入y＝f(x)，得y′μ＝fx′λ，整理之后得到y′＝h(x′)，即为所求变换之后的方程．[即时演练]51．求椭圆x24＋y2＝1，经过伸缩变

换x′＝12x，y′＝y后的曲线方程．解：由x′＝12x，y′＝y得x＝2x′，y＝y′.①将①代入x24＋y2＝1，得4x′24＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.因此椭圆x24＋y2＝1经伸缩变换后

得到的曲线方程是x2＋y2＝1.2．若函数y＝f(x)的图象在伸缩变换φ：x′＝2x，y′＝3y的作用下得到曲线的方程为y′＝3sinx′＋π6，求函数y＝f(x)的最小正周期．

解：由题意，把变换公式代入曲线y′＝3sinx′＋π6得3y＝3sin2x＋π6，整理得y＝sin2x＋π6，故f(x)＝sin2x＋π6.所以y＝f(x

)的最小正周期为2π2＝π.极坐标与直角坐标的互化[典例]在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρsinπ4－θ＝22，直线与曲线C：ρsin2θ＝8cosθ相交于不同的两点A，B，求|

AB|的值．[解]l：ρsinπ4－θ＝22⇒22ρcosθ－22ρsinθ＝22⇒x－y－1＝0，C的直角坐标方程是y2＝8x.由y2＝8x，x－y－1＝0，可得x2－10x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝10，x1x2＝1，所以AB的长为1

＋1·102－4＝83.[方法技巧]1．极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件6(1)取直角坐标系的原点为极点．(2)以x轴的非负半轴为极轴．(3)两种坐标系规定相同的长度单位．2．直角坐标化为极坐标的注意点(1)根据

终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所

在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．[即时演练]在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1(0≤θ<2π)，M，N分别为C与x轴，y轴的

交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．解：(1)由ρcosθ－π3＝1，得ρ12cosθ＋32sinθ＝1.从而C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y－2＝0.当θ＝0

时，ρ＝2，所以M(2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2.(2)M点的直角坐标为(2,0)．N点的直角坐标为0，233.所以P点的直角坐标为1，33，则P点的极坐标为233，π6.所以直线OP的极坐标方程为

θ＝π6(ρ∈R)．极坐标方程的应用[典例]已知曲线C1：x＋3y＝3和C2：x＝6cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)．以原点O7为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．(1)把曲线C1和C2

的方程化为极坐标方程；(2)设C1与x，y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P.若射线OP与C1，C2交于P，Q两点，求P，Q两点间的距离．[解](1)C1：ρsinθ＋π6＝32，C2：ρ2＝61＋2sin2θ.(2)∵M

(3，0)，N(0,1)，∴P32，12，∴OP的极坐标方程为θ＝π6，把θ＝π6代入ρsinθ＋π6＝32得ρ1＝1，P1，π6.把θ＝π6代入ρ2＝61＋2sin2θ得ρ2＝2，Q2，π6.∴|PQ|

＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q两点间的距离为1.[方法技巧]曲线的极坐标方程的求解策略在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解

决．[即时演练]在直角坐标系xOy中，圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ＋3cosθ)＝33，射线OM：θ＝π3与圆C的

交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解：(1)因为圆C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以圆C的极坐标方程是ρ＝2cosθ.(2)设(ρ1，θ1)为点P的极坐标，则有ρ1＝2cosθ1，θ1＝π3，解得ρ1＝1，θ1＝π3.设

(ρ2，θ2)为点Q的极坐标，8则有ρ2θ2＋3cosθ2＝33，θ2＝π3，解得ρ2＝3，θ2＝π3.由于θ1＝θ2，所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2，即线段PQ的长为2.1．(全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极

轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为2

，π3，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cosθ.由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ＞0)．因此C2的直角坐标

方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·sinα－π3＝2sin2α－π3－32≤2＋3.当

α＝－π12时，S取得最大值2＋3.所以△OAB面积的最大值为2＋3.2．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极

坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.9(2)将θ＝π4代入ρ2－2

ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN|＝2.由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为12.3．(北京高考改编)在极坐标系中，直线ρ

cosθ－3ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，求|AB|.解：∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴直线的直角坐标方程为x－3y－1＝0.∵ρ＝2cosθ，∴ρ2(sin2θ＋cos2θ)＝2ρcosθ，∴x2＋y2＝2x.∴圆的直角坐

标方程为(x－1)2＋y2＝1.∵圆心(1,0)在直线x－3y－1＝0上，∴AB为圆的直径，∴|AB|＝2.4．(2015·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值．解：圆ρ＝8sinθ即ρ2＝8ρsinθ，化为直

角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，直线θ＝π3即tanθ＝3，化为直角坐标方程为3x－y＝0，圆心(0,4)到直线的距离为|－4|4＝2，所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.5．(2015·北京高考改编)在极坐标系中，求点2，π3到直线

ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离．解：点2，π3的直角坐标为()1，3，直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的直角坐标方程为x＋3y－6＝0.所以点(1，3)到直线的距离d＝|1＋3×3－6|12＋32＝22＝1.101．在极坐标系中，直线ρ(sinθ－cosθ)＝

a与曲线ρ＝2cosθ－4sinθ相交于A，B两点，若|AB|＝23，求实数a的值．解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x－y＋a＝0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，所以圆心C的坐标为(1，－2)，半径r＝5，所以圆心C到直线

的距离为|1＋2＋a|2＝r2－|AB|22＝2，解得a＝－5或a＝－1.故实数a的值为－5或－1.2．在极坐标系中，求直线ρcosθ＋π6＝1与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标．解：ρcos

θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x－y＝2，即y＝3x－2.ρ＝4sinθ可化为x2＋y2＝4y，把y＝3x－2代入x2＋y2＝4y，得4x2－83x＋12＝0，即x2－23x＋3＝0，所以x＝3，y＝1.所

以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为2，π6.3．(长春模拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过

两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；因为ρ2－22ρcosθ－π4＝2，所以ρ2－22ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2，所以x2＋y2－2x－2y

－2＝0.11(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsinθ＋π4＝22.4．已知曲线C的参数方程为x＝2＋5cosα，y＝1＋5sinα(α为参数)，

以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设l1：θ＝π6，l2：θ＝π3，若l1，l2与曲线C相交于异于原点的两点A，B，求△AOB的面积．解：(1)∵曲线C的参数方程为

x＝2＋5cosα，y＝1＋5sinα(α为参数)，∴曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，代入并化简得ρ＝4cosθ＋2sinθ，即曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos

θ＋2sinθ.(2)在极坐标系中，C：ρ＝4cosθ＋2sinθ，∴由θ＝π6，ρ＝4cosθ＋2sinθ，得|OA|＝23＋1，同理：|OB|＝2＋3.又∵∠AOB＝π6，∴S△AOB＝12|OA|·|OB|sin∠AOB＝8＋534，

即△AOB的面积为8＋534.5．在坐标系中，曲线C：ρ＝2acosθ(a>0)，直线l：ρcosθ－π3＝32，C与l有且只有一个公共点．(1)求a的值；(2)若原点O为极点，A，B为曲线C上两点，且∠AOB＝π3，求|OA|＋|OB|的最大值．解：(1)由已知在

直角坐标系中，12C：x2＋y2－2ax＝0⇒(x－a)2＋y2＝a2(a>0)；l：x＋3y－3＝0.因为C与l只有一个公共点，所以l与C相切，即|a－3|2＝a，则a＝1.(2)设A(ρ1，θ)，则Bρ

2，θ＋π3，∴|OA|＋|OB|＝ρ1＋ρ2＝2cosθ＋2cosθ＋π3＝3cosθ－3sinθ＝23cosθ＋π6.所以，当θ＝－π6时，(|OA|＋|OB|)max＝23.6．在平面直角坐标系xOy中，直线C1：3x＋y－4＝0

，曲线C2：x2＋(y－1)2＝1，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若曲线C3的极坐标方程为θ＝αρ>0，0<α<π2，且曲线C3分别交C1，C2于点A，B，求|OB||OA|的最大值．解：

(1)∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴C1：3ρcosθ＋ρsinθ－4＝0，C2：ρ＝2sinθ.(2)曲线C3为θ＝αρ>0，0<α<π2，设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，ρ1＝43cosα＋sinα，ρ2＝2sinα，则|OB||OA|＝ρ2ρ1＝

14×2sinα(3cosα＋sinα)＝142sin2α－π6＋1，∴当α＝π3时，|OB||OA|max＝34.7．平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x23＋y2＝1，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ＋π3

，射线OM的极坐标方程为θ＝α0(ρ≥0)．(1)写出曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；13(2)若射线OM平分曲线C2，且与曲线C1交于点A，曲线C1上的点满足∠AOB＝π2，求|AB|.解：(1)曲线C1的极坐标方程为ρ2＝31＋2sin2θ，曲线C2的直角坐标方程为(x

－3)2＋(y－1)2＝4.(2)曲线C2是圆心为(3，1)，半径为2的圆，∴射线OM的极坐标方程为θ＝π6(ρ≥0)，代入ρ2＝31＋2sin2θ，可得ρ2A＝2.又∠AOB＝π2，∴ρ2B＝65，∴|AB|＝|OA|2＋|OB|2＝ρ2A＋ρ2B＝455.8．已知

在一个极坐标系中点C的极坐标为2，π3.(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－3)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上

运动时，求点M的轨迹的普通方程．解：(1)作出图形如图所示，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcosθ－π3＝4，∴圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ－π3.(2)在直角坐标系

中，点C的坐标为(1，3)，可设圆C上任意一点P(1＋2cosα，3＋2sinα)，设M(x，y)，由Q(5，－3)，M是线段PQ的中点，得点M的轨迹的参数方程为x＝6＋2cosα2，y＝2sinα2(α为参数)，即x＝3＋cosα，y＝sinα(α为参数)，

14∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.第2课参数方程[过双基]1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的函数：x＝ft，y＝gt，并且对于t的每一个允许值，由

函数式x＝ft，y＝gt所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程x＝ft，y＝gt叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直

线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数)．(3)椭圆x2a

2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)．[小题速通]1．参数方程x＝2－t，y＝－1－2t(t为参数)与极坐标方程ρ＝sinθ所表示的图形分别是________．解析

：将参数方程x＝2－t，y＝－1－2t消去参数t，得2x－y－5＝0，对应图形为直线．由ρ＝sinθ，得ρ2＝ρsinθ，即x2＋y2＝y，即x2＋y－122＝14，对应图形为圆．答案：直线、圆2．曲线x

＝sinθ，y＝sin2θ(θ为参数)与直线y＝x＋2的交点坐标为________．15解析：曲线的直角坐标方程为y＝x2.将其与直线方程联立得y＝x2，y＝x＋2，∴x2－x－2＝0，∴x＝－1或x＝2.由x＝sinθ知，x＝2不合题意．∴x＝

－1，y＝1，∴交点坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)3．设曲线C的参数方程为x＝2＋3cosθ，y＝－1＋3sinθ(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为71010的点的个数为________．解析：∵曲线C的参数方程为

x＝2＋3cosθ，y＝－1＋3sinθ(θ为参数)，∴(x－2)2＋(y＋1)2＝9，∴圆心(2，－1)到直线l的距离d＝|2＋3＋2|1＋9＝710＝71010.又∵71010<3，141010>3，∴有2个点．答案：24．参数方程x＝2t21＋t

2，y＝4－2t21＋t2(t为参数)化为普通方程为________．解析：∵x＝2t21＋t2，y＝4－2t21＋t2＝＋t2－6t21＋t2＝4－3×2t21＋t2＝4－3x.又x＝2t21＋t2＝＋t2－21＋t2＝2－21＋t2∈[0,2)，∴x∈[0

,2)，∴所求的普通方程为3x＋y－4＝0(x∈[0,2))．答案：3x＋y－4＝0(x∈[0,2))[清易错]1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则不等价．2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义

且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.161．直线y＝x－1上的点到曲线x＝－2＋cosθ，y＝1＋sinθ上的点的最近距离是__

______．解析：由x＝－2＋cosθ，y＝1＋sinθ得cosθ＝x＋2，sinθ＝y－1，∴(x＋2)2＋(y－1)2＝1，∴圆心坐标为(－2,1)，故圆心到直线x－y－1＝0的距离d＝42＝22，∴直线上的点到圆上的点的最近距离是d－r＝22－1.答案：22－12．直

线x＝4＋at，y＝bt(t为参数)与圆x＝2＋3cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．解析：直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为3，从而有

3＝|2b－a·0－4b|a2＋b2，即3a2＋3b2＝4b2，所以b＝±3a，而直线的倾斜角α的正切值tanα＝ba，所以tanα＝±3，因此切线的倾斜角π3或2π3.答案：π3或2π3参数方程与普

通方程的互化[典例]已知椭圆C：x24＋y23＝1，直线l：x＝－3＋3t，y＝23＋t，(t为参数)．(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；(2)设A(1,0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．[解](1)椭圆C

：x＝2cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)，直线l：x－3y＋9＝0.(2)设P(2cosθ，3sinθ)，则|AP|＝θ－2＋3sinθ2＝2－cosθ，点P到直线l的距离17d＝|2cos

θ－3sinθ＋9|2＝2cosθ－3sinθ＋92.由|AP|＝d，得3sinθ－4cosθ＝5，又sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝35，cosθ＝－45.故P－85，335.[方法技巧]将参数

方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋

cos2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．[即时演练]将下列参数方程化为普通方程．(1)x＝3k1＋k2，y＝6k21＋k2(k为参数)；(2)x＝1－sin2θ，y＝sinθ＋cosθ(θ为参数)．解：(1)两式

相除，得k＝y2x，将其代入x＝3k1＋k2，得x＝3·y2x1＋y2x2，化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．(2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，得y2＝2－x.又x＝1－sin2θ∈[0

,2]，故所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．参数方程[典例]在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的

参数方程为x＝－2＋2t，y＝－4＋2t(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N，若|PM|，18|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．[解]曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a>0)，将直线l的参数方程

化为x＝－2＋22t′，y＝－4＋22t′(t′为参数)，代入曲线C的方程得：12t′2－(42＋2a)t′＋16＋4a＝0，则Δ>0，即a>0或a<－4.设交点M，N对应的参数分别为t1′，t2′，则t1′＋t2′＝2(42＋2a)，t1′t2′＝2(16＋4a)，若|PM|，

|MN|，|PN|成等比数列，则|t1′－t2′|2＝|t1′t2′|，解得a＝1或a＝－4(舍去)，所以满足条件的a＝1.[方法技巧](1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线

与圆的位置关系来解决问题．(2)对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)．当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．[即时演练]已知直线l：x＋y－1＝0与抛物线y＝x2相交于A，B

两点，求线段AB的长度和点M(－1,2)到A，B两点的距离之积．解：因为直线l过定点M，且l的倾斜角为3π4，所以它的参数方程为x＝－1＋tcos3π4，y＝2＋tsin3π4(t为参数)，即x＝－1－22t，y＝2＋22t(t

为参数)，19把它代入抛物线的方程，得t2＋2t－2＝0，由根与系数的关系得t1＋t2＝－2，t1·t2＝－2，由参数t的几何意义可知|AB|＝|t1－t2|＝10，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.极坐标、参数方程的综合应用[典例](全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为

x＝2＋t，y＝kt(t为参数)，直线l2的参数方程为x＝－2＋m，y＝mk(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴

正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．[解](1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝1k(x＋2)．设P(x，y)，由题设得

y＝kx－，y＝1kx＋消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立ρ22θ－sin2θ＝4，ρθ＋sinθ－2＝0得cosθ－sinθ

＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－13，从而cos2θ＝910，sin2θ＝110.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为5.[方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题

，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．20(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题

目的．[即时演练]在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρ＝4cosθ1－cos2θ，直线的参数方程是x＝2＋tcosα，y＝2＋tsinα.(α为参数，0≤α<π)．(1)求曲线C的直角坐标方程；(2

)设直线与曲线C交于两点A，B，且线段AB的中点为M(2，2)，求α.解：(1)曲线C：ρ＝4cosθ1－cos2θ，即ρsin2θ＝4cosθ，于是有ρ2sin2θ＝4ρcosθ，化为直角坐标方程为y2＝4x.(2)

法一：把x＝2＋tcosα，y＝2＋tsinα代入y2＝4x，得(2＋tsinα)2＝4(2＋tcosα)，即t2sin2α＋(4sinα－4cosα)t－4＝0.由AB的中点为M(2,2)得t1＋t2＝0，有4sinα－4cos

α＝0，所以k＝tanα＝1.由0≤α<π，得α＝π4.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y21＝4x1，y22＝4x2⇒(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．∵y1＋y2＝4，∴k1＝tanα＝y1－y2x1－x2＝1，由0≤α

<π，得α＝π4.1．(全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数)．(1)若a＝－1，求C与l的交

点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a.解：(1)曲线C的普通方程为x29＋y2＝1.21当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，由x＋4y－3＝0，x29＋y2＝1解得x＝3，y＝0或

x＝－2125，y＝2425.从而C与l的交点坐标为(3,0)，－2125，2425.(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝|3cosθ＋4sinθ－a－4|17.当a≥－4时，d的最大值为a＋9

17.由题设得a＋917＝17，解得a＝8；当a＜－4时，d的最大值为－a＋117.由题设得－a＋117＝17，解得a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.2．(全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方

程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，求l的斜率．解：(1)由x＝ρcosθ，y

＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)法一：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0

，于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝144cos2α－44.22由|AB|＝10得cos2α＝38，tanα＝±153.所以直线l的斜率为

153或－153.法二：由直线l的参数方程x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)，消去参数得y＝x·tanα.设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.又|AB|＝10，由

垂径定理及点到直线的距离公式得|－6k|1＋k2＝25－1022，即36k21＋k2＝904，整理得k2＝53，解得k＝±153，即直线l的斜率为±153.3．(2015·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：

x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；

(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－23x＝0.联立x2＋y2－2y＝0，x2＋y2－23x＝0，解得x＝0，y＝

0或x＝32，y＝32.所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和32，32.(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.23因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(23cosα，α)．所以|AB|＝

|2sinα－23cosα|＝4sinα－π3.当α＝5π6时，|AB|取得最大值，最大值为4.4．(2014·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程

为ρ＝2cosθ，θ∈0，π2.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．可得C的参数方程为x＝1＋cost，y＝s

int(t为参数，0≤t≤π)．(2)设D(1＋cost，sint)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为G在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tant＝3，t＝π3.故D的直角坐标为1＋cosπ3，sinπ3，即

32，32.1．(江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为x＝－8＋t，y＝t2(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝2s2，y＝22s(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．解：直线

l的普通方程为x－2y＋8＝0.因为点P在曲线C上，设P(2s2,22s)，从而点P到直线l的距离d＝|2s2－42s＋8|12＋－2＝s－22＋45.当s＝2时，dmin＝455.24因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上点P到直线l的距离取

到最小值455.2．已知曲线C1：x＝－4＋cost，y＝3＋sint(t为参数)，曲线C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示

什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x＝3＋2t，y＝－2＋t(t为参数)的距离的最小值．解：(1)曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，曲线C2：x264＋y29＝1，曲线C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆

；曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝π2时，P(－4,4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故M－2＋4cosθ，2＋32sinθ.曲线C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝55|4cosθ－3sinθ－

13|，从而当cosθ＝45，sinθ＝－35时，d取最小值855.3．在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为x＝1－22t，y＝1＋22t(t为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程ρ2－2ρcosθ－3＝0.(1

)说明C2是哪种曲线，并将C2的方程化为普通方程；(2)C1与C2有两个公共点A，B，点P的极坐标2，π4，求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积．解：(1)C2是圆，C2的极坐标方程ρ2－2ρcosθ

－3＝0，化为普通方程为x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4.(2)点P的直角坐标为(1,1)，且在直线C1上，25将C1的参数方程x＝1－22t，y＝1＋22t(t为参数)代入x2＋y2－2x－3＝0，得1－22t2＋1

＋22t2－21－22t－3＝0，化简得t2＋2t－3＝0.设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－2，t1·t2＝－3，所以|AB|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝2＋12＝14，定点P到A，B两点的距离之积|PA|·|PB|＝

|t1t2|＝3.4．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的参数方程为x＝1＋2cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝5－2t，y＝3－t(t为参数)，定点P(1,1)．(1)以原点O为极点，x轴的非负半轴为极

轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；(2)已知直线l与圆C相交于A，B两点，求||PA|－|PB||的值．解：(1)依题意得圆C的一般方程为(x－1)2＋y2＝4，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上

式得ρ2－2ρcosθ－3＝0，所以圆C的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－3＝0.(2)因为定点P(1,1)在直线l上，所以直线l的参数方程可表示为x＝1－255t，y＝1－55t(t为参数)．代入(x－1)2＋y2＝4，得t2－255t

－3＝0.设点A，B分别对应的参数为t1，t2，则t1＋t2＝255，t1t2＝－3.所以t1，t2异号，不妨设t1>0，t2<0，所以|PA|＝t1，|PB|＝－t2，26所以||PA|－|PB||＝|t1＋t2|＝255.5．已知直线l：x＝1＋12t，y＝32t(t为参

数)，曲线C1：x＝cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．(1)设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的32倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点

，求它到直线l距离的最小值．解：(1)由已知得l的普通方程为y＝3(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1，联立方程y＝3x－，x2＋y2＝1解得l与C1的交点为A(1,0)，B12，－32，则|AB|＝1.(2)由题意，得C2的参数方程为x

＝12cosθ，y＝32sinθ(θ为参数)，故点P的坐标为12cosθ，32sinθ，从而点P到直线l的距离是d＝32cosθ－32sinθ－32＝342sinθ－π4＋2，当sinθ－π4＝－1时，d取得最小值，且最小值为2

3－64.6．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t－1，y＝t＋2(t为参数)．在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝31＋2cos2θ.(1)直接写出直线l的普通方程、曲线C的直角坐标方程；(2)设曲线C上的点到直线l的距离为d，求d的

取值范围．解：(1)直线l的普通方程为x－y＋3＝0，曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3.(2)∵曲线C的直角坐标方程为3x2＋y2＝3，27即x2＋y23＝1，∴曲线C上的点的坐标可表示为(cosα，3sinα)，∴d＝|cosα－3sinα＋3|2＝2sinπ6－

α＋32＝2sinπ6－α＋32.∴d的最小值为12＝22，d的最大值为52＝522.∴22≤d≤522，即d的取值范围为22，522.7．平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m,0)，且倾斜角为π6，以O为极点，

x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值．解：(1)曲线C的直角坐标方程为：(x－

1)2＋y2＝1，即x2＋y2＝2x，即ρ2＝2ρcosθ，所以曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.直线l的参数方程为x＝m＋32t，y＝12t(t为参数)．(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t

2，将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，得t2＋(3m－3)t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m，由题意得|m2－2m|＝1，解得m＝1或m＝1＋2或m＝1－2.8．已知直线的参数方程是x＝22

t，y＝22t＋42(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ＋π4.(1)求圆心C的直角坐标；(2)由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．28解：(1)∵ρ＝4cosθ＋π4＝22cosθ－22sinθ，∴ρ2＝22ρcosθ－22ρsinθ，∴

圆C的直角坐标方程为x2＋y2－22x＋22y＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝4，∴圆心的直角坐标为(2，－2)．(2)直线l上的点向圆C引切线，则切线长为22t－22＋22t＋42＋22－4＝t2＋8t＋48＝t＋2＋32≥42，∴直线l上的点向圆C引的切线长

的最小值为42.